高中数学必修二 4.1什么是向量_导学案1-湘教版

第 12 课时：§ 2.5 向量的应用【三维目标】：一、知识与技能1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力二、过程与方法1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”。

难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用。

用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，我们就来用向量知识研究解决一些实际问题。

2.研究的方法：用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。

高中必修二数学向量教案教学内容：向量的概念、加法、数量积、夹角、共线和共面教学目标：学习向量的基本概念，掌握向量的加法和数量积运算，能够解决实际问题中的向量计算问题。

教学重点：向量的加法和数量积运算，夹角、共线和共面的概念。

教学难点：向量的几何意义和应用问题的解题方法。

教学方法：导入法、示范法、练习法教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、课件教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾平面直角坐标系中的向量表示，让学生联想向量的定义和性质。

二、向量的概念（10分钟）1. 向量的定义：向量是有大小和方向的线段。

2. 向量的表示法：用有向线段表示。

3. 向量的模：向量的大小，记作|a|。

4. 向量的方向：向量所在的直线方向。

5. 向量的相等：两个向量大小相等、方向相同时为相等向量。

三、向量的加法（15分钟）1. 向量的加法定义。

2. 向量的几何运算规则。

3. 向量的数量运算规则。

四、数量积（10分钟）1. 数量积的定义。

2. 数量积的性质。

3. 数量积的计算公式。

4. 数量积的应用。

五、夹角、共线和共面（15分钟）1. 向量夹角的概念和计算。

2. 向量共线和共面的判定方法。

3. 实际问题分析和解决。

六、练习与总结（15分钟）1. 练习向量的加法和数量积计算。

2. 完成相关题目。

3. 总结向量的基本概念和运算法则。

教学反馈：学生通过作业和课堂练习进行自我评价，教师巩固学生对向量相关知识的理解，并指导学生解决问题。

湘教版高中数学必修二向量教案教案范本
第一课：向量的基本概念
一、教学内容
1. 向量的定义及性质
2. 向量的表示法
3. 向量的加法和减法
二、教学目标
1. 了解向量的定义及性质
2. 掌握向量的表示法
3. 掌握向量的加法和减法的运算规则
三、教学重难点
1. 向量的定义及性质
2. 向量的加法和减法
四、教学方法
1. 讲解结合示例分析
2. 练习巩固
五、教学过程
1. 引言：向量的概念和应用
2. 向量的定义及性质的讲解
3. 向量的表示法的介绍
4. 向量的加法和减法的运算规则
5. 练习演练
6. 总结与拓展
六、教学资源
1. 课件
2. 教材
3. 练习册
七、作业布置
1. 完成练习册上的习题
2. 自主搜索相关资料，了解更多关于向量的知识
八、教学反馈
1. 老师及时批改作业
2. 学生可以提出问题进行解答
九、教学评价
1. 通过练习册中的题目检测学生对向量的掌握程度
2. 学生的提问反映出他们对向量的理解情况
十、教学延伸
1. 可以拓展向量在几何图形中的应用
2. 可以引导学生进行探究性学习，了解更深层次的向量知识。

NO.1 平面向量的实际背景及基本概念【课标要求】由平面向量的实际背景引出其基本概念，让学生理解向量的模及向量的共线.【学习目标】（1）平面向量的基本概念；（2）向量的模及向量的共线.【重难点】向量的模与向量共线的判定.【知识回顾】1、我们把既有大小又有方向的量叫做向量，把那些只有大小，没有方向的量叫做数量.2、带有方向的线段叫做有向线段，例如以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，起点写在终点的前面，这就是向量的表示方法，同时，我们也可以用一个小写字母来表示向量AB，例如a、b、c等.3、有向线段，即向量包括三个要素：起点，方向，长度。

向量的长度也就是有向线段的长度。

向量是可以平行移动的，所以当我们用有向线段表示向量的时候，起点可以随意取，一旦确定了向量的起点，方向和长度，它的终点就唯一确定了.4、向量AB的大小，也就是向量AB，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，与向量a同向的单位向量可表示a==，且两5、长度相等且方向相同的有向线段表示相等向量，例如b向量的方向相同.6、我们把通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线，如果向量的基线平行或重合，a∥.那么就称这这些向量共线或平行，例如向量a与b平行，则记作b7、规定：零向量与非零向量都是平行的.【随堂练习】1、把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．两个孤立的点D．一个圆2、把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在()A．同一个圆上B．同一个点上C．同一条直线上D．以上都有可能3、如图，在菱形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )A ．DA →与BC →B ．DC →与AB → C ．DC →与BC →D ．DC →与DA →4、在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤5、四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形6、若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤7、如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线 8、若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形9、如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是( )A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线10、若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________．11、等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________．12、如图所示，如果小正方形的边长为1，则|AB →|＝________，|CD →|＝________，|EF →|＝________.13、给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b .其中正确命题的序号是________．14、如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？15、如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF→＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．。

平面向量定义及性质一、知识回顾1、向量的定义:既有大小，又有方向的量叫向量，记作→a 2、模：向量的长度称为I →a I3、零向量：，模长为零的向量，记作0→4、单位向量：长度为1个单位的向量。

同→a 共线的单位向量→→→=aa e 或→→→-=aae 5、共线向量：若向量→a 与→b 共线，记作→a =→b λ)0(≠λ ①λ>0，→a 与→b 方向相同。

λ<0，→a 与→b 方向相反。

6、两个向量相等：方向相同，模长相等。

7、向量的运算法则（1）向量加法→a +→b平行四边形法则：⇒（作图）：（2）向量减法三角形法则：a-bab8、数乘→a λ①→→=a a λλ ②→→→+=+a a aμλμλ)(9、数量积 ><=→→→→→→b a b a b a .cos .①θ=0⇒两向量方向相同 ②θ=π ⇒两向量方向相反 ③θ=π21⇒两向量垂直，其数量积 0.=→→b a （ 0.=→→b a ⇔→→⊥b a ）10、投影（1）向量→a 在→b 的投影为→→→⋅b ba （2）向量→b 在→a 投影为→→→⋅aba二、课堂练习1、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形2、已知正方形ABCD 的边长为1, = a,= b,= c,则| a+b+c|等于（ ）A ．0B ．3C ．2D ．22 . 3、如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ） (A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b 三、课后必练1．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ）A ． BCB ． ABC ． ACD ．AM 2． a 、b 为非零向量，且｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜则（ ）A ． a ∥b 且a 、b 方向相同B ． a =bC ． a =-bD ．以上都不对3.设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π34.设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，并且向量a ＝3e 1＋2e 2，b ＝xe 1＋3e 2，如果a ⊥b ，那么实数x 等于( )A ．－92B.92 C ．－2D ．2平面向量的坐标表示一、知识回顾1、平面向量基本定理如果向量→1e 与→2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任意向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ使得→→→+=211e e a λλ。

1.1 向量教学设计-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册一、教学内容分析本节课的主要教学内容为向量及其运算。

向量是描述物体位置和方向的一种数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。

根据湘教版（2019）必修第二册的安排，本节课的内容包括向量的概念、向量的表示、向量的运算以及向量的应用。

教学内容与学生已有知识的联系：1. 向量的概念：学生已经学习了实数和数轴，可以利用数轴的概念来理解向量的概念。

2. 向量的表示：学生已经学习了函数和坐标系，可以利用函数和坐标系的概念来理解向量的表示方法。

3. 向量的运算：学生已经学习了实数的运算，可以利用实数的运算来理解向量的运算。

4. 向量的应用：学生已经学习了物理中的力，可以利用力的概念来理解向量的应用。

二、核心素养目标培养学生运用向量描述物体位置和方向的能力，发展学生的数学思维，培养学生的抽象思维能力。

三、学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识：- 学生已经学习了实数和数轴，能够理解向量的概念。

- 学生已经学习了函数和坐标系，能够理解向量的表示方法。

- 学生已经学习了实数的运算，能够理解向量的运算。

- 学生已经学习了物理中的力，能够理解向量的应用。

2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：- 学生对数学概念和应用有一定的兴趣，能够积极参与课堂讨论和练习。

- 学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，能够理解和掌握向量的概念和运算。

- 学生学习风格多样，有的喜欢通过直观的图像和例子来理解概念，有的喜欢通过公式和推导来掌握方法。

3. 学生可能遇到的困难和挑战：- 学生可能对向量的概念和表示方法感到抽象和难以理解，需要通过具体的例子和直观的图像来帮助学生建立直观的认识。

- 学生可能对向量的运算感到复杂和难以掌握，需要通过逐步引导和练习来帮助学生理解和掌握向量的运算规则。

- 学生可能对向量的应用感到不熟悉和不感兴趣，需要通过实际问题的引入和解决来激发学生的学习兴趣和提高学生的应用能力。

4．1 什么是向量向量的概念及表示下面是一些关于“位移〞和“力〞的例．1．民航每天都有从北京往上海、广州、重、哈等地的航班．每次行都是民航客机的一次位移．由于行的距离和方向各不相同，因此，它是不同的位移(如)．2．起重机吊起物体，物体既受到直向下的重力作用，同又受到直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超重力的大小，物体即被吊起．同学思考一下，位移、速度和力些物理量与度、面、量等有什么区？向量的根本概念定既有大小又有方向的量称向量．(1)几何表示：用有向段来表示向量，有向段的度表示向量的大小，用箭―→所指的方向表示向量的方向．即用表示有向段起点、点的字母表示，例如AB，表示法―→BC，⋯字母表示：用小写字母a，b，⋯表示．模向量a的大小也称个向量的模，作|a|.1．于以下各量：①数；②温度；③拉力；④密度；⑤速．其中是向量的量共有________个．[提示]数只有方向，没有大小，它不是向量；温度和密度只有大小，没有方向，它也不是向量；拉力和速都是由大小和方向确定的，所以是向量．2．在重力、身高、面、体些量中，哪些是数量？哪些是向量？[提示]身高、面积、体积这些量只有大小、没有方向，因而是数量；而重力既有大小，又有方向，因而是向量．零向量与相等向量1．长度为 0的向量称为零向量，用0表示，其方向是任意的．2．长度相等且方向相同的向量称为相等向量．3．从不同的起点出发的有向线段，只要它们的长度和方向相同，表示的向量就相等．如图，其中O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量―→―→―→OD，OE，OF相等的向量．[提示]根据正六边形的性质可知：―→相等的向量有：―→―→―→与向量OD AO，FE，BC；―→相等的向量有：―→―→―→；与向量OE CD，AF，BO―→相等的向量有：―→―→―→与向量OF BA，DE，CO.向量的根本概念问题[例1]给出以下命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；②假设平面上所有单位向量的起点移到同一个点，那么其终点在同一个圆上；―→―→③在菱形A BCD中，一定有AB＝DC；④假设a＝b，b＝c，那么a＝c.其中所有正确命题的序号为________．[思路点拨]解答此题可从向量的定义，向量的模，相等向量，平行向量等概念入手，逐一判断对错．[边听边记]两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.[答案]②③④借对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方题向，方向不能比拟大小．零向量是比拟特殊的量，解题时一定要看清是“零向量〞还发挥是“非零向量〞.判断以下命题是否正确，并说明理由．假设向量a与b同向，且|a|＞|b|，那么a＞b；假设|a|＝|b|，那么a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)假设|a|＝|b|，且a与b的方向相同，那么a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；向量a与向量b平行，那么向量a与b方向相同或相反；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．解：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比拟大小．不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.不正确．依据规定：0与任一向量平行．不正确．因为向量a与向量b假设有一个是零向量，那么其方向不定．正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．相等向量[例2]如以下图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)写出与向量―→ED相等的向量；―→―→的模．(2)假设|AB|＝3，求向量EC[思路点拨]根据条件，观察图形，但凡与向量―→长度相等且方向相同的向量，ED就是其相等向量．利用向量证明E，D，C三点共线，就可将向量―→的模转化为线段EC EC的长度．[边听边记](1)∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，―→―→―→―→∴AB綊ED，AB綊DC，从而AB＝ED，AB＝DC，―→―→∴ED＝DC.―→相等的向量是―→―→故与向量ED AB，DC.―→―→―→(2)由(1)知ED＝DC＝AB.―→―→E，D，C三点共线．∵ED与DC方向相同，从而―→―→―→―→∴|EC|＝|ED|＋|DC|＝2|AB|＝6.借(1)在图形背景下找相等向量，只要根据相等向量的定义，观察图形可直观得出结论．在题逻辑分析中，要注意相等向量的传递性．发―→―→―→―→―→挥一般地，＋与(2)|AB||BC||AC|AB[变式之作]在本例条件下写出与―→相反的向量，写出与―→相等的向量．DC DA―→相反的向量有―→―→解：与DC DE，BA，―→相等的向量有―→与DA CB.1．以下说法不正确的选项是()A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同解析：显然，选项A、B、C说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D说法不正确．答案：D2．假设向量a与向量b不相等，那么a与b一定()A．不共线B．长度不相等C．不都是单位向量D．不都是零向量解析：假设向量a与向量b不相等，那么说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，但是a与b一定不都是零向量．故A，B，C都是错误的，D正确．答案：D3．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，那么以下结论中不一定成立的是()―→―→―→―→A．|AB|＝|EF|B．AB与FH共线―→―→―→―→C．BD与EH共线D．CD＝FG解析：由题可知，―→―→―→―→―→―→―→，|AB|＝|EF|，AB∥CD∥FG，CD＝FG但是∠DEH不一定等于∠―→―→BDC，故BD与EH不一定平行，故A，B，D成立，C不一定成立．答案：C4．以下说法中，正确的个数是()①单位向量都平行；②假设两个单位向量共线，那么这两个向量相等；③向量a与b不共线，那么a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行；⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A．2B．3C．4D．5解析：单位向量不一定平行，故①错；假设两个单位向量方向相反，那么这两个向量不相等，故②错；假设a，b不都是非零向量，那么至少有一个为零向量，零向量与任何向量共线，故③正确；有相同起点的两个非零向量可能平行，故④错；画图可知⑤正确．答案：A5．假设a，b为两个单位向量，以下四个命题中正确的选项是()A．a＝b B．假设a∥b，那么a＝bC．a＝b或a＝－b D．假设a＝b，b＝c，那么a＝c解析：两个单位向量只是长度相等，故A，C均错误；当a∥b时，a，b也可能反向，故B错；D正确．答案：D6．设四边形―→―→―→―→ABCD中，有AB＝DC，且|AD|＝|AB|，那么这个四边形是()A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形―→―→ABCD为平行四边形，解析：由AB＝DC可知，四边形―→―→又∵|AD|＝|AB|，故该四边形为菱形．答案：D学习向量应该注意哪些问题呢？向量不等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示．―→―→―→用手写体a，b，c等表示向量时，一定不要遗漏上面的箭头．用有向线段的起点与终点字母表示向量时，注意始点的位置在前，终点位置在后，箭头从始点指向终点．一、选择题1．以下说法正确的选项是()A．方向相同或相反的向量是平行向量B．零向量是0C．长度相等的向量叫作相等向量D．共线向量是在一条直线上的向量解析：A中，方向相同或相反的非零向量是平行向量；C中，方向相同且长度相等的向量叫作相等向量；D中，共线向量所在直线可能重合，也可能平行．答案：B2．以下说法中，正确的个数为()①向量a与向量b平行，那么a与b的方向相同或相反；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③a与b是共线向量，b与c是共线向量，那么a与c是共线向量；―→―→④向量AB与向量CD是共线向量，那么点A，B，C，D必在同一条直线上．A．0B．1C．2D．3解析：①错误，假设a＝0时，方向是任意的；②错误，有向线段是向量的一种表示，它不同于向量；③错误，当―→―→b＝0时，a与c不一定共线；④错误，AB与CD是共线向量，那么AB与CD所在直线可能平行．答案：A3.如图，在正三角形ABC中，点P，Q，R分别是AB，BC，AC―→相等的向量是()的中点，那么与向量PQ―→―→―→―→A．PR与QR B．AR与RC―→―→―→―→C．RA与CR D．PA与QR解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此―→―→―→相等的向量．AR与RC都是和PQ答案：B4.如下图，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，那么以下等式成立的是()―→―→―→―→A．AD＝BC B．AC＝BD―→―→C．PE＝PF解析：根据相等向量的定义，分析可得，―→―→D．EP＝PF A、B不成立；―→―→方向相反，故―→―→不成立；C中，PE与PF PE＝PF―→―→方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故―→―→成立．D中，EP与PF EP＝PF 答案：D二、填空题．―→，―→＝，假设∠＝°，那么―→＝ABC90|________.5|AB|1|AC|2|解析：由勾股定理可知，22＝3，所以―→BC＝AC－AB|BC＝|3.答案：36．假设a，b为两个向量，给出以下4个条件：①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量．由条件________(填序号)一定可以得到a与b平行．解析：长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以得到a∥b.答案：②或③三、解答题7．如以下图，四边形A BCD和四边形C DFE均为平行四边形，试问图中哪些向量分别―→―→―→与向量AD，AF，DC相等．―→―→―→―→―→―→解：AD＝BC，AF＝BE，DC＝FE.8.如图，四边形ABCD，BEFC，CFGD都是平行四边形，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→解：因为AB＝DC＝GF，BA＝CD＝FG，AD＝BC＝EF，DA―→―→―→―→―→―→―→―→CB＝FE，BE＝CF＝DG，EB＝FC＝GD.所以图中互不相等的非零向量共有6个．。

课题：向量的概念教学目的：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；3.了解平行向量的概念.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等本节从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、讲解新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意与0的区别②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 探究：1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为，需要学生注意的是：的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2.向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的.3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.4．向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段三、讲解范例：例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.例2下列命题正确的是（A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合四、课堂练习：1．平行向量是否一定方向相同？（不一定）2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定）3．与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）4．与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）6．两个非零向量相等的充要条件是什么？（长度相等且方向相同）7．共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）8．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量五、小结：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量六、课后作业：1.下列各量中不是向量的是（ A.浮力B.风速 C.位移 D.2.下列说法中错误．．的是（）A.B.零向量的长度为0C. D.3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.B. C. D.4.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定 .6.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定.参考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.c∥b 6.七、板书设计（略）八、试题：1.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（A. AB与AC共线B. DE与CBC. 与相等D. 与相等2.下列命题正确的是（A.向量AB与BAB.若a、b都是单位向量,则a=bC.若=,则A、B、C、DD.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.在下列结论中,正确的结论为（(1)a∥b且|a|=|b|是a=b(2)a∥b且|a|=|b|是a=b(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠bA.(1)(3)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)4.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 .5.已知||=1,| |=2,若∠BAC=60°,则||= .6.在四边形ABCD中, =,且||=||,则四边形ABCD是 .7.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证：KL =NM.8.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.(1)作出向量、、 (1 cm表示200 m).(2)求的模.9.如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={PQ、Q∈M,且P、Q不重合}.参考答案：1.B2.A3.D4.5.36.菱形7.(略) 8.(1)(2)450 m9.{、、、、、、、}第9题图。

4.1 什么是向量4．知道什么是相等向量.1．向量的概念(1)描述从A 到B 位置变化的量称为位移，记作AB .(2)像位移这样既有大小又有方向的量称为向量．除了位移以外，物理中还有许多量需要考虑大小和方向，如速度、加速度、力，它们都是向量．预习交流1向量的要素是什么？向量与数量有何不同？提示：向量具有大小和方向两个要素，判断一个量是否是向量，就要观察它是否具备了大小和方向这两个要素；向量与数量的不同在于，数量只有大小而没有方向，因此数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．2．向量的表示(1)有向线段：规定了方向的线段称为有向线段，如图，我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为始点、B 为终点的有向线段记作AB .(2)不但位移可以用有向线段来表示，别的向量也都可以用有向线段来表示，有向线段的方向表示这个向量的方向，有向线段的长度表示这个向量的大小．可以用一个字母表示向量．如a ，b ，F 或a ，b ，F ，这里为了与表示数量的字母相区别，将表示向量的字母用黑体印刷或在顶上标箭头．预习交流2向量与有向线段是一回事吗？它们有何区别与联系？提示：向量虽然可以用有向线段表示，但它与有向线段却不是一回事，它们既有区别又有联系：(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有始点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段． 3．向量的模向量a 的大小也称为这个向量的模，记作|a |. 预习交流3向量模的实质是什么？提示：向量的模实质上是表示这个向量的有向线段的长度，它是一个非负实数，虽然向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．4．相等向量在用有向线段表示向量时，从不同的起点出发的有向线段，只要它们的长度和方向相同，表示的向量就相等．因此，可以将有向线段做平行移动，保持它的方向和长度不变，而将它的起点移动到任意位置．预习交流4模相等的两个向量是相等向量吗？提示：不一定．两个向量相等，它们的模一定相等，但两个向量的模相等，却不一定是相等向量．因为它们的方向不一定相同．一、向量的有关概念给出下列各量：①质量；②浮力；③风速；④密度；⑤力；⑥路程；⑦加速度；⑧功；⑨温度．其中是向量的有______．思路分析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．答案：②③⑤⑦解析：由于浮力、风速、力、加速度等都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、密度、路程、功、温度只有大小没有方向，所以不是向量．下列说法正确的是( )A．向量可以比较大小B．坐标平面上的x轴和y轴都是向量C．向量就是有向线段D．体积、面积和时间都不是向量答案：D解析：对于A，向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段来表示，但不能比较大小，故A错；对于B，x轴和y轴只有方向，没有大小，故B错；对于C，从向量与有向线段的定义知，它们是有区别的，故C错；对于D，体积、面积和时间都是只有大小，没有方向的量，故D正确．实际问题中的一些量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念．二、向量的表示在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海域的巡逻任务．请你回答下列问题：(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求|AD|.思路分析：按题意作出巡逻艇航行的路线图，结合图形作出向量，同时根据图形的几何特征求出|AD|.解：(1)作出向量AB，BC，CD，如图．(2)依题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形．故AD＝BC＝400 km，即|AD|＝400 km.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为始点和终点，可以写出多少个非零向量？解：由向量的几何表示可知，可以写出12个非零向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.1．用有向线段表示向量时，始点应写在终点的前面．2．准确作出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．三、相等向量如图，点D，E，F分别是△ABC的各边中点．(1)写出图中与ED，DF，FE相等的向量；(2)写出图中模相等的向量．思路分析：按照相等向量的定义进行判断，找出与ED，DF，FE相等的向量，然后根据模的定义寻找模相等的向量．解：(1)ED=CF=FA，DF=BE=EC，FE=AD=DB.(2)图中模相等的向量有EF，FE，AD，DA，BD，DB；DF，FD，BE，EB，EC，CE；ED，DE，CF，FC，FA，AF.1．有下列说法：①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形；④在ABCD中，一定有AB＝DC.其中，不正确说法的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：两个向量是否相等，只与它们的大小和方向有关，而与始点、终点位置无关，故①不正确；因为a，b的方向不一定相同，故②不正确；由于ABCD是四边形且AB＝DC，故③正确；④正确．故选B．2．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)写出图中与向量ED相等的向量；(2)写出图中模相等的向量．解：(1)与向量ED相等的向量是：AB，DC；(2)模相等的向量有：AB，BA，ED，DE，DC，CD.1．判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与始点和终点的位置无关；2．判断一组向量的模是否相等，只需看这组向量对应的有向线段的长度是否相等即可，无需考虑方向；3．利用三角形中位线和平行四边形的性质研究向量的各种关系是考试常考题型，要正确解决这类问题，首先，要弄清性质中叙述的平行关系和线段长度上的等量关系．其次，要注意一条线段对应两个向量，防止遗漏．1．下列各量中是向量的是( )A．湿度 B．拉力 C．体积 D．电压答案：B解析：只有拉力既具有大小又具有方向，是向量，选B．2．已知A，B，C是平面内的三个点，则以其中的一个点为起点，另一个点为终点所得向量的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．6答案：D解析：所得向量为AB，BA，AC，CA，BC，CB，共6个．3．已知圆O(O为圆心)上三点A，B，C，则向量BO，OC，OA是( )A．有相同起点的相等向量B．长度为1的向量C．模相等的向量D．相等的向量答案：C解析：这三个向量只是模相等，起点不同，方向也不相同，长度也不一定等于1，故只能选C．4．如下图所示，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )A．DA与BCB．DC与ABC．DC与BCD．DC与DA答案：B解析：DC与AB是相等向量，它们可以用同一条有向线段表示．5．在直角△ABC中，∠BAC＝60°，|AB|＝1，|AC|＝2，则|BC|＝__________.解析：由勾股定理可得|BC|=.。

最新湘教版必修第二册学案1.1向量一、课程标准1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.二、学习目标1.理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．三、学习重点向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．四、学习难点向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程．【课前学习区】阅读课本P2-4，回答问题1：什么是向量？与数量有何区别？如何表示向量？问题2：两向量相等需要满足什么条件？两向量相反又该满足什么条件？问题3：零向量有什么特征？【课中学习区】例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）请给图中的部分线段加上箭头表示向量，并写出你所表示的向量；（2）你能发现这些向量有哪些关系？例2.如图，已知向量a ，b 和点P ，以点P 为起点，分别画有向线段表示下列向量：（1） a 的相等向量；（2） b 的相等向量.【课后学习区】练1.某人从点A 出发向西走4个单位长度到达点B,然后改变方向向西北方走6个单位长度到达点C ，最后又向东走4个单位长度到达点D,试分别作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD.⃗⃗⃗⃗⃗⃗练2.下列条件下，能得到a =b⃗ 的是( ) A.|a |=|b⃗ | B.a ，b⃗ 的方向相同 C.a =0⃗ ,b ⃗ 为任意向量 D.a =0⃗ 且b ⃗ =0⃗练3.某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点.(1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ (1cm 表示200m)； (2)求DA⃗⃗⃗⃗⃗ 的模．五.课后小结和反思。

教学札记1．1向量新课程标准解读核心素养1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的数学抽象实际背景2.理解平面向量的几何表示和基本要素直观想象3.了解相等向量、相反向量、零向量的含义数学抽象教学设计一、目标展示二、情境导入我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)，如图，放在水平桌面上的物体A.[问题](1)物体A受到哪些力的作用？(2)物体A受到的力应怎样表示？三、合作探究知识点一向量的基本要素及几何表示1．有向线段(1)定义：具有方向的线段，称为有向线段；―→|．(2)长度：A到B的直线距离，记作|AB|或|AB2．向量(1)定义：既有大小又有方向的量，称为向量；―→表示；(2)表示：①几何表示：用以P为起点，Q为终点的有向线段PQ②字母表示法：在印刷时，用粗体字母a，b，F，…表示向量，书写时，可→，b→，F→，….在字母上方标箭头来表示，如：a(3)向量的模：向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？知识点二 特殊向量1．相等向量：方向相同、长度相等的向量称为相等向量．2．相反向量：长度相等、方向相反的向量a ，b 称为相反向量，记作b ＝－a ．3．零向量：如果向量a 的大小|a|＝0，称a 是零向量，记作0． 规定：所有的零向量相等．0与0相同吗？0是不是没有方向？提示：0与0不相同，0是实数，0是向量，有方向.0的方向是任意的． 四、精讲点拨[例1] (链接教科书第3页例2)在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A 点出发向西航行了200 km 到达B 点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km 到达C 点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km 到达D 点．此时，它完成了此片海域的巡逻任务．(1)作出AB ―→，BC ―→，CD ―→； (2)求|AD ―→|. [母题探究](变设问)在本例的四边形ABCD 中，是否一定有AB ―→＝DC ―→？ [例2] (链接教科书第3页例1)如图所示，△ABC 的三边长均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：(1)找出与FE ―→相等的向量；(2)找出分别与FE ―→，FD ―→，DE ―→互为相反向量的向量． [母题探究](变设问)本例条件不变，试写出与DE ―→相等的向量． 五、达标检测1.如图，在圆O 中，向量OB ―→，OC ―→，AO ―→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．相反向量教学札记C．模相等的向量D．相等向量2．(多选)下列说法正确的是()A．零向量是没有方向的向量B．零向量的长度为0C．相等向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小3.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：―→相等的向量；(1)写出与BC―→的相反向量．(2)写出AD六、课堂小结1.向量的表示及应用;2.相等向量与相反向量.课后作业教后反思。