导体系统的电容.ppt

第二章 静电场
2.7导体系统的电容
主要内容
❖ 电位系数 ❖ 电容系数 ❖ 部分电容
学习目的
❖ 掌握两导体系统之间电容的求解 ❖ 了解电位系数、电容系数的物理意义
一、两导体间的电容
1、电位系数 例：设内导体球带电量为q1，外导体球壳 带电量为q2，可求得：
内球上电位 外球壳上电位
1
1 a
1 b
1 c
+++++++++++++ d
-------------
1.电容是反映电容器本身性质的物理量。（大小仅与导体的 形状、相对位置、其间的电介质有关。与所带电荷量无关。） 2.电容是描述电容器容纳电荷或储存电能的物理量。
如图1所示,若在一平行板电容器中 置入一金属球，请问：平行板间的电
容如何变化？
C
C12
: :
qn n1 1 n22 ....... nn n
n
n
qi qij ij j
j 1
j 1
ij称为电容系数
βij物理意义：
它表示当导体j电位为1v，其余导体均接地时，导体i 上的感应电荷量。即：
qij
ij j j 1,k 0(k j )
当i=j时， β ii 称为电容系数；i≠j时， β ij称为感应系 数，它满足：
ij ji ij 0(i j)
ii 0
3、部分电容
为表示系统中各导体之间的电容关系，将（3）、（4）
式改写为：
q1 11 12 1 12 1 2
q2 21 2 1 21 22 2
n
令
Cii ij , Cij ij (i j)
j 1
自部分电容 互部分电容
代入后得 q1 C111 C12 1 2
Pn
P (ez )
20U0 ( 0 ) ( 0 )d
故介质上表面的极化电荷面密度为
sp上
Pn
P ez
20U0 ( 0 ) ( 0 )d
（2）由于
s
Q S
Q ab
2 0U 0 ( 0 )d
可得极板间电压为 U0
( 0 )dQ 20 ab
所以下极板极化电荷面密度为
sp下
（
0）Q ab
： ：
n pn1q1 pn2q2 ...... pnnqn
n
n
i ij pijq j
j 1
j 1
pij称为电位系数
pij物理意义： 电位系数pij表示当导体j带1库仑正电荷，而其他导体不
带电时，导体j对导体i产生的电位，即
ij
p ij q j q j 1,qk 0(k j )
当i=j时，pii称为自电位系数；i≠j时，pij称为互电位 系数，它满足：
所以上极板极化电荷面密度为
sp上
（
0）Q ab
（3）电容器的电容为 C Q 20 ab
U0 ( 0 )d
【思考】：同轴线的内导体半径为a,外导体半径为b，其间填充
相对介电常数为r 时，求：
r a
的介质。当外导体接地，内导体的电位为U
0
（1）介质中的 E 和 D （2）介质中极化电荷分布 （3）同轴线单位长度的电容。
【解】：设内外导体单位长度带电分别为l 和l 。由高斯定理得：
当 a r r0 时，
s D dS q ll
2πrlD ll
D
l 2πr
er
E1
D 1
l 2π1r
er
1 2
a
当 r0 r b 时，
E2
D 2
l 2π 2 r
er
r0
b
内外导体间电压为：U
b
a
E
dr
r0 a
E1
dr
b
r0
E2
dr
l ln b l ln r0 2π2 r0 2π1 a
单位长度电容为：
C
Q U
l U
1

ln
2π b1
ln r0
2 r0 1 a
【例3】：平行板电容器的长宽分别为a和b，极间距离为d.电容
器的一半厚度用介电常数为 的介质填充。如图。
（1）板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、极化电荷面 密度。
C12 C21
q2 C21 2 1 C222
1
2
Cij满足：
Cij C ji
C11
C22
Cij 0
两导体构成电容器时，电容C为
C
1
p11 p22 2 p12
用导体间的电位差表示时，各导体的电荷量q表示为：
q1 C111 C12 (1 2 ) ....... C1n (1 n ) q2 C21(2 1) C222 ....... C2n (2 n )
: : qn Cn1(n 1) Cn2 (n 2 ) ....... Cnn (n n )
Ci称j 为部分电容
（2）若已知极板上的自由电荷总量Q,求此时极板间电压和极 化电荷面密度。
（3）求电容器的电容量。
z
d
2
0
d 2
U0
【解】（1）设介质中的电场为 E ezE，空气中的电场为E0 ezE0 在介质分界面上由于 s 0 故边界条件 D1n D2n
0E0 E
E
d 2
E0
d 2
U0
解得
由边界条件 D1n D2n s
E 20U0 ( 0 )d
E0
2U0 ( 0 )d
故下极板自由电荷面密度为
s
D1n
E
2 0U 0 ( 0 )d
故上极板自由电荷面密度为
s
0 E0
2 0U 0 ( 0 )d
电介质中的极化强度为P
D
0
E
(
0 )E
ez
20U0 ( 0 ) ( 0 )d
故介质下表面的极化电荷面密度为
sp下
q1
4π 0
q2
4π 0c
2
q1 q2
4π 0c
因此可将1 、2与 q 之间的关系表示如下：
1 p11q1 p12q2 2 p21q1 p22q2
（1） （2）
b● a b
c
对于由N个导体构成的导体系统，系统中各导体的电 位表示为：
1 p11q1 p12q2 ...... p1nqn 2 p21q1 p22q2 ...... p2nqn
a O
b
1 p11q1 p12q2 ...... p1nqn 2 p21q1 p22q2 ...... p2nqn
： ：
n pn1q1 pn2q2 ...... pnnqn
内容小结
pij 称为电位系数，物理意义表示当导 体j带1库仑正电荷，而其他导体不带 电时，导体j对导体i产生的电位
，求
【解】：设内、外导体的带电量分布为Q、-Q。由高斯定理得：
D(r)
Q 4πr 2
er
E(r)
D(r)
Q 4π0a2
er
因此导体内外间的电压为
U
b
E dr
a
b a
Q 4π 0 a 2
er
dr
Q(b a) 4π 0 a 2
故电容器的电容为 C Q 4π0a2
U ba
a O
b
【例2】 一同轴线内导体的半径为a,外导体半径为b，内外导体间 填充两种绝缘材料，a r r0 的介电常数为1 ，r0 r b的介电常数为 2 如图所示，求单位长度的电容。（教材2-12）
pij p ji pij 0
2、电容系数 由（1）、（2）式可改为用 表示电荷量q，如下：
q1 111 122 q2 211 222
（3） （4）
对于由N个导体构成的导体系统，各导体的电荷量q表 示为：
q1 111 122 ....... 1nn q2 211 22 2 ....... 2nn
: : qn Cn1(n 1) Cn2 (n 2 ) ....... Cnn (n n )
N
qi Cii i 0 Cij i j
j1
ji
qii
与导体i的电
位成正比
qij
与导体i、j的
电位差成正比
其比值：
Cii
qii i
0
Cij
qij i j
qij U
电容器的电容：
C q U
q1 111 122 ....... 1nn q2 211 222 ....... 2nn
: : qn n1 1 n22 ....... nn n
ij称为电容系数，表示导体j电位为1V， 而其他导体均接地时，导体i上的感应电 荷量。
q1 C111 C12 (1 2 ) ....... C1n (1 n ) q2 C21(2 1) C222 ....... C2n (2 n )
C13C23 C13 C23
式中 C12、C13和 C23 称为导体系统的 部分电容，其等效电路如图2所示。
图1 含金属球的平行板电容器
图2 三导体系统的等效电路
【例1】：在导体半径为a和b的球形电容器内充满电介质，电介
质的介电常数与离中心的距离r有关，并按规律变化 该电容器的电容。
(r
)
0
a2 r2