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变差函数和结构分析优秀课件

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有界变差函数 有界变差函数

有界变差函数 有界变差函数
i =1
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i

§ 52 有界变差函数 - 精品课程网

§ 52 有界变差函数 - 精品课程网
x ö ö 1æ x 1æ ÷ ÷ ç ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) g ( x) = ç f f x h x f f x + = V V ÷ ÷ ç ç ÷ ÷. 2è a ø ø 2è a
f Î BV [a, b]. 令
则 f (x) g ( x) h( x). 当 x1 < x2 时, 利用定理 5.4(5), 我们有
å
i =1
f ( xi ) - f ( xi-1 ) > V ( f ) - . a
设 x k 1 c x k . 则 {x 0 , x1 , , x k 1 , c} 和 {c, x k , , x n } 分别是 [a, c] 和 [c, b] 的分割 . 显然在 {xi }in0 中递增一个分点 c 后, f (x) 关于新的分割的变差不会减小. 因此
( f ) =V ( f ) +V ( f ). V a a c
b c b
(5.18)
证明 我们只证明(3)和(4), (1), (2)和(4)的证明留作习题. 对 [a, b] 的任一分 割 {xi }in0 , 我们有
å
i =1 n
n
f ( xi ) + g ( xi ) - f ( xi-1 ) - g ( xi-1 )
f ( x1 ) - f ( x2 ) £ V ( f ) =V ( f ) -V ( f ). x a a
1
x2
x2
x1
因此
( f ) + f ( x1 ) £ V ( f ) + f ( x2 ), V a a ( f ) - f ( x1 ) £ V ( f ) - f ( x2 ). V a a

实变函数论课件20 有界变差函数

实变函数论课件20 有界变差函数

设 [a,b) 是 f (x) 右连续点, 则对 0, 0 b , 当 x ( , ) 时, f (x) f ( ) . 2
作[ , ]的划分 x0 x1 xn1 xn , 使
V
(
f
;
x0
,
x1
,,
xn
)
V
(
f
)
2
.
由于
x1
V
(
f
)
V
(
f
)
b
c
b
V ( f ) V ( f ) V ( f （ ). 可加性）
a
a
c
(iii)若 f (x)、g(x) 都是 [a,b] 上的有界变差函数, 则 f (x) g(x), f (x) g(x)也是 [a,b] 上
的有界变差函数.
注：f (x) 在[a,b]上有界变差，则f (x) 在任意子区间[c, d] [a,b]上有界变差.
f (xi1) f (xi ) f (xi1) f (c) f (c) f (xi ) ,
c
b
所以
V(
f
; a, x1,, xi , xi1,, xn1, b) V (
f
; a, x1,, xi , c) V (
f
;
c,
xi
1
,,
xn1
,
b)
V
a
(
f
)
V(
c
f
).
b
c
b
因此
V ( f ) V ( f ) V ( f ).
(3)
由定理 2 证明中的（2）知,当 x x(x、x[a,b]) 时
x
x

第五章 第四节 4.4 有界变差函数

第五章 第四节 4.4 有界变差函数
n→∞ a
b
证毕。
≤ f (b) f (a).
第四节 有界变差函数 应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式 的差别，此处严格不等式样可能成立的， 例如，若 x0 ∈(a, b),(x) =θ (x x0 )，则
b
′(x) = 0 a.e.。于是 ∫ ′(x)dx = 0，但 a (b) = 1，(a) = 0，故 (b) (a) = 1，
∞ ∞
1 0 ≤ ∑{ f (x) Snk (x)} ≤ ∑{ f (b) Snk (b)} < ∑ k =1. k =1 k =1 k =1 2
∞
第四节 有界变差函数 这说明 ∑{ f (x) Snk (x)}也是由单调 增加函数列 f (x) Sn (x)构成的收敛 k 级数，将上面关于 ∑ fn (x) 的结论用 到 ∑{ f (x) Snk (x)} 上，得
∑f '
n
(x) = f ' (x)。
第四节 有界变差函数 由于 lim Sn (b) = f (b) ，对任意自然数 k， 可取 nk，使得
n→∞
1 f (b) Snk (b) < k ， 2 但 f (x) Sn (x) 也是单调增加函数，且 k
，所以, f (a) = Snk (a) = 0
第四节 有界变差函数 推论2 上跳跃函数， 推论 若 是 [a, b] 上跳跃函数，则
' = 0 a.e.。 证明：设 = 1 2 ,1,2 是 [a, b] 上的
单调增加函数，注意对任意 xn∈(a, b) ，
θ ' (x xn ) = 0 a.e., θ '1 (x xn ) = 0 a.e.，
V ( f ) = sup V (, f )，

地质统计学(5)_变差函数及结构分析cjg2011

地质统计学(5)_变差函数及结构分析cjg2011

证：性质④
Ck’k(-h) =E[Zk’(x-h)Zk(x)]-mk’mk 令：y=x-h, 则x=y+h 代入上式得： Ck’k(-h) =E[Zk(y+h)Zk’(y)]-mk’mk= Ckk’(h) 因E[Zk(y+h)Zk’(y)]不一定等于E[Zk’(y+h)Zk(y)] ，故Ckk’(h)不一定等于 Ck’k(h) ，即交叉协方差函数Ckk’(h)对h和（-h）无对称性，这是较特殊的情 况。 因此，在两个变量出现迟后效应时，应采用交叉协方差函数进行研究。
证：性质⑤
2 k k (h ) = zk (x + h ) - z k (x )zk (x + h ) - zk (x )
= zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk = zk (x + h ) - mk z k (x + h ) - mk - z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk = zk (x + h )z k (x + h ) - mk mk - z k (x + h )z k ( x ) - mk mk = Ck k (0) - Ck k (h ) - Ckk (h ) + Ckk (0) = 2Ck k (0) - Ck k (h ) + Ckk (0) - zk ( x + h )z k (x ) - mk mk + z k (x )zk (x ) - mk mk - z k (x ) - mk z k (x + h ) - mk + z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk

变差函数

变差函数

1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。

变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。

这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。

通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。

1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。

计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。

Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。

Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。

Transition曲线类型。

常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。

Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。

Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。

变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。

Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。

描述了两个不相干的样本间的差异性。

当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。

Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。

由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。

1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。

搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。

由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。

1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。

第一节 有界变差函数

学期总结
北京师范大学数学学院 授课教师：刘永平
总结
(1) L-测度； (2) L-可测函数； (3) L-积分 ； (4) 一元函数性态（微分）. (5可测集. 可测集全体为 一个 代数，L-测度的非负性、 完全可加性以及Caratheodory条件. F 型 • L-可测集的结构(开集、闭集、 集、G 型集可测，一个可测集是一 个 F 型集与一个零测度集合的并 集，一个可测集是一个 G 型集与一 个零测度集的差集).
L-可测函数
• 可测函数定义、性质
• 可测函数的结构：可用可测简单函数列逼近 ，叶果洛夫定理(一致收敛与几乎处处收敛) ， Riesz定理(依测度收敛和几乎处处收敛)， 鲁津定理(几乎处处有限的可测函数与连续 函数).
L-积分的定义和性质
• L-积分：简单函数，非负可测函数，一 般可测函数. • L-积分的性质：单调性、线性性、绝对 连续性、对可测集合的 可加性等. • 勒维定理，法都定理，勒贝格定理； • 重积分化累次积分（两个定理）； • 积分的变量代换； • R-积分和L-积分的关系.
.
单增函数的勒贝格分解
跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.
• 与其全变差函数的连续性、绝对连续 性相同
绝对连续函数
• 定义； • 是有界变差且连续的函数； • AC[a,b]是线性空间； • 牛顿-莱布尼兹公式
.
康托集、康托函数
• 康托三分集是稀疏的、不可数的 、完全的零测集. • 康托函数是不为常函数的、单调 增的、导数几乎处处为零的函数; (奇异函数).
单调函数
单调函数的可微性：单调函数几乎处 处有有限导数; 单增函数的导数与函数值的关系：

[ a ,b ]

实变函数课件有界变差函数5


MVab(f ) MVab(g )
故 Vab(fg ) MVab(f ) MVab(g ))，证毕。
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二. 有界变差函数的性质
[a,b ] 性质4 若 f 是 上的有界变差函数，
且 Vab(f ) 0 ，则 f 是常数。
证明：若 f 不为常数，则存在x 0 [a ,b ] 使得 f(x 0 )
证明：由性质1知存在 M，使得
| f(x ) | M ,| g(x ) | M ， [a,b ] 设 为 的任一分划：
a x 0 x1 x n b
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则 V (,fg )
| (fg )(x i ) (fg )(x i i
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[c,d ] 的一个分划 证明：任取
: c x 0 x1 ， xn d 对应到[a,b ]的一个分划 ~ :a x ~0 x ~1 x 0 x ~2 x ~n 1 x n x ~ ， n 2 b
§6.3 有界变差函数
1 有界变差函数的定义
2 有界变差函数的性质
3 有界变差函数的类型
4 有界变差函数与增函数的关系
5 有界变差函数的可微性
6 有界变差函数的可积性
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一．有界变差函数的定义
问题： [a,b] 上单调函数除了跳跃度总和不超 过 f(b ) f(a ) ，其任一分划所对应分点的函 数值之差的总和是否必有限？
函数的导数虽然可积但却 没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数 不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能满 足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这里是相对于 Lebesgue积分而言 )？这正是下面要讨论的问题。

实变函数课件有界变差函数5

x1
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习题选讲（p178）
b
而对于[x1,b]的分划0：x1 b,有 | f (b) f (x1) | V ( f ) M
x1
| f (x1) || f (b) | M
n
| f (xi ) f (xi1) | | f (b) | M | f (a) | M i 1 b
n
V(,g ) |g(xi ) g(xi 1) |
i 1 n
lim
k
|
i 1
g k(xi )
g k(xi 1) |
lim
k
Vab(g
k
)
M
所以Vab(g ) supVab(g k ) ，证毕。 k
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三. 有界变差函数的类型
f
类型1：有界闭区间上的有限单调函数都是有界 变差函数。
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二. 有界变差函数的性质
性质6 设 f 是[a,b]上的有界变差函数，c 是(a,b )内任一数，则(p150Th2(1))
Vab(f ) Vdc(f ) Vcb(f ) 。
证明：由全变差定义，对任意 0，可以 找到分划 1 : a x0 x1 xn c 及分划 2 : c y 0 y1 y m b ，
f (x) g(x) h(x)。 由Lebesgue定理( p143)知增函数g(x)和h(x)存在导数
g ' (x)和h' (x) a.e. 于[a,b]
所以f ' (x) [g ' (x) h' (x)] 存在 a.e. 于[a,b]。
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变差函数

C0:块金效应，它表示h很小时两点间的样品的变化。

可以为0，称为无块金效应
a:变程，当h<a 时，任意两点间的观测值有相关性，并且相关程度随距离的变大而减小。

当h>a时，样品间就不存在相关性。

a的大小反映了研究对象(如油藏)中某一区域化变量(如孔隙度)的变化程度，可以用在a范围以内的已知信息对待估区域进行预测。

C＝C0+C1，称为总基台值。

C1:基台值，是先验方差与块金效应之差c=C-C0
A variogram with no range is shown in image a, image b has an intermediate range, and image c has a long range. Images d, e,and f show the effect of increasing nugget effect. Image d shows the effect of no nugget effect, or no short scale variability, image e shows an intermediate amount of nugget effect, and image f shows pure nugget effect, or complete short scale variability.
球状模型图示。

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http://www.uofaweb.ualberta.ca/ccg/
The director is Dr. Clayton V. Deutsch. He is the student of Andre Journel. Maybe runing CCG is inspired by his mentor.
G.Matheron提出区域化变量理论。 1962年，第一次提出“地质统计学”，出版《应用地
质统计学论》专著，阐明“地统计学原理”，为地质 统计学奠定了理论基础。 地质统计学作为一门新兴的边缘学科诞生了。
12
空间信息统计的研究历史
南非的采矿工程师 D G Krige 巴黎枫丹白露地质统计学和数 学形态学研究中心 G Mathoron
3. Goovaerts P. Applied geostatistics for natural resources evaluation, New York: Oxford University Press, 1997.
4. 侯景儒，尹镇南 李维明等. 实用地质统计学 （空间信息统计学）. 北京：地质出版社，1998.
6
http://www.geosciences.mines-paristech.fr/fr
Here is the place of word "geostatistics" proposed by Matheron. Now the administrative person are: DIETRICH Nathalie, LAURENT Jacques and SCHMITT Isabelle.
G.Matheron
地统计学是以区域化变量理论在评估矿 床上的应用（包括采用的各种方法和技 术）。
Webster 1985， 王仁铎等 1987， Issaks等 1989， 侯景儒等 1993
地统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究在空间分 布上既有随机性又有结构性，或空间相 关和依赖性的自然现象的科学。
变差函数和结构分析优秀课件
思考题
变差函数和协方差函数之间的关系； 如何对区域化变量（空间随机场）进
行结构分析； 结合所学专业，思考空间信息统计学
可能的应用之处？
2
本讲的主要内容
❖ 空间信息统计的概念、内容 与历史
❖ 变差函数的概念 ❖ 实验变差函数的计算 ❖ 变差函数模型的拟合与套和 ❖ 变差函数的应用
斯坦福大学 A G Journel
13
20世纪60末——70年代末 地统计学发展阶段
出现了多元、非线性地统计学，如普通克里金、泛克里金、析取克里 金及条件模拟法等。
20世纪80年代初——80年代末 地统计学上升阶段
非参数和非稳态地统计学出现，非线性地统计学得到发展。
1975、1983、1988年召开的国际地统计学大会和国际地统计学协 会的成立，标志着地统计学已经开始发展成熟。
5. 刘爱利，王培法，丁园圆. 地统计学概论. 北京： 科学出版社，2012.
5
国外杂志
International Association for Mathematical Geology ( IAMG ) Mathematical Geology(Mathematical geosciences) Computers & Geosciences Natural Resources Research Geoderma
8
空间信息统计的研究内容
❖ 空间信息统计是真正从地学发展起来的一 门学科
❖ 利用空间随机变量之间的空间相关性来研 究空间随机场的统计特征
❖ 空间信息统计的基础就是空间邻近原理
9
空间信息统计的研究内容
❖ 具体的内容可以分为： 1 结构分析理论 （变差函数） 2 克立格估值理论（ Kriging方法） 3 条件模拟理论 （蒙特卡罗方法）
/ERE/research/scrf/
The program is the brain-child of Andre Journel, who retired from SCRF in 2006. Now, the director is Dr. Jef Caers.
Andre Journel is the student of Matheron. Clayton V. Deutsch is the student of Andre Journel.
空间信息统计的概念
年代 1962
1970
20世纪 80、90 年代
人物
定义
G.Matheron
地统计学即以随机函数的形式体系在勘 查与估计自然现象中的应用。
10
经典与空间信息统计学的区别
经典统计
研究纯随机变量 变量可无限次重复观测或
大量重复观测 样本相互独立 研究样本的数字特征
空间信息统计
研究区域化变量 变量不能重复试验 样本具有空间相关性 研究样本的数字特征和区
域化变量的空间分布特征
11
空间信息统计的研究历史
产生于地质学领域，亦称地质统计学（Geostatistics） 1951年， D.G.Krige和H.S.Sichel提出“克里格”法。 上世纪50年代后期，法国著名矿山工程师兼统计学家
20世纪90年代初——90年代末 地统计学的进一步成熟阶段
三维和时空地统计学得以发展，开发了大量相关软件。
2000年——至今
地统计学创新性的二次开发阶段
不确定性地统计学和新型地统计学方法得到发展，应用领域进一步得 到拓展。
摘自刘爱利ppt，南京信息工程大学
地统计学理论两大学派：
①以G. Matheron为首的“枫丹白露地统计学派”，开展 以正态假设为基础的克立格法研究，提出了多元地统计学 的思想，形成了包括简单克立格、普通克立格、泛克立格、 析取克立格等在内的一套理论和方法。由于克立格法计算 中，需要利用实际样品数据求取区域化变量理论模型的若 干参数，因而称为“参数地统计学”；
3
1、空间信息统计的研究内容、历史
❖ 参考文献 ❖ 空间信息统计的研究内容 ❖ 空间信息统计的研究历史
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
参考书
1.Journel A G, Huijbregts C. Mining Geostatistics, London: Academic Press, 1978, 1~690
2. 王仁铎，胡光道. 线性地质统计学. 武汉：中国 地质大学出版社，1984.