地质统计学(5)_变差函数及结构分析cjg2019_数学_自然科学_专业资料
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地质统计学变异函数
5
6
变异函数的计算与拟合
• 设Z(x)是二维区域化变量满 足风蕴假设。有41个观测值 如图,网格边长为a。计算4个 方向变异函数
• 方向1：γ(a)=4.1；γ(2a)=8.84； γ(3a)=12.08；
• 方向2: γ(a)=4.25；γ(2a)=8.22； γ(3a)=10.9；
• 方向3：γ(1.414a)=5.03；
• 共180个变异计算 Ran Midr Mini Maxi Aver 10V0 aria
网格 ge ange mum mum age 80 nce
X 16 34.8 26.8 42.8 34.8 6022.4
Variogram
Coef. of Variation
Y 30 20
5
35
20 40 125
• 单一模型的拟合、多模型套合结构的拟合
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的理论模型选择
• 任意有基台的模型都可用球状模型拟合
• 球状模型：单一模型的拟合
• 球 球状 状模 模型型的: 组合:多模型套合结构的拟合
0
,h 0
(h)
C0
C
(
3 2
(
h a
)
1 2
(
h a
)
3
)
,
0
h
变异函数的计算与拟合
• The Variogram Grid: • 有三个观测点位置{(50,50),
(100, 200), (500,100)}. • 三个点对: • A (50,50), (100,200) • B (50,50), (500,100) • C (100,200), (500,100) • 则三个点对在图中的位置 • A 71.57 158.11 • B 6.34 452.77 • C -14.04 412.31
第四、五讲 地质统计学理论基础
当空间一点x固定之后，Z(x)（表示x点处的矿石 品位）就是一个随机变量，体现了其随机性。
在空间两个不同点x及x+h(此处h也是个三维向量
(hu,hv,hw)。它的模
h
h h h 2 2 2
u
v
w
表示x点与(x+h)点
的距离）处的品位Z(x)与Z(x+h)具有某种程度的
相关性，这就体现了其结构性的一面。
6/88
区域化变量的属性
• 1、空间局限性 • 2、连续性 • 3、异向性 • 4、相关性 • 5、叠加性
7/88
1、空间局限性
区域化变量被限制 于一定的空间，该 区间称为区域化变 量的几何域。例如， 矿体的范围，油藏 的范围，断块的范 围等都可以看成是 区域化变量的几何 域。
Z(xi)
Z(xk) Z(xj)
第三章 区域化变量与变差函数
区域化变量及其基本特征 变差函数的定义 变差函数曲线 变差函数的理论模型 变差函数的结构分析
1/88
第一节 区域化变量
区域化变量（Regionalized Variable) 是地质统计学研究的对象,它是一种在空
间上具有数值的实函数(G Matheron),也就 是说,它在空间的每一个点取一个确定的数 值,即当由一个点移到下一个点时,函数值 是变化的
2 (x, h) Var[Z(x) Z(x h)]
E[Z (x) Z (x h)]2 {E[Z (x)] E[Z(x h)]}2
Z(x1)
观测前是一个随机场，
Z(x2)Z(x7) NhomakorabeaZ(x3) Z(x6) Z(x8)
依赖于坐标（xu,xv,xw)
Z(x4) Z(x5)
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是数学分析中常见的一个概念。
它主要用于描述一个函数在一些区间上的变化情况，从而可以对函数的性质进行更加深入的分析。
本文将介绍变差函数的概念、相关定义和性质，并讨论如何计算变差函数。
一、概念：变差函数是指一个实数域上的函数，它在给定区间上的变化程度的度量。
通俗地说，变差函数可以理解为一个函数在一些区间上取值的波动程度。
如果一个函数在一个区间上的变化程度很小，那么它的变差函数就会比较小；相反，如果函数的波动较大，那么它的变差函数就会较大。
二、定义和性质：1.定义：设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数，变差函数V(f,x)表示f(x)在区间[a,x]上的总体变化量。
其中，V(f,x)可以定义为：V(f,x) = sup{∑(f(x_i) - f(x_{i-1}))}其中，sup表示上确界，x_i是[a,x]上的一个子区间，∑(f(x_i) -f(x_{i-1}))表示这个子区间上f(x)的变化量的总和。
2.性质：（1）非负性：变差函数V(f,x)是非负的。
（2）可加性：对于任意的[a,c]和[c,b]，有V(f,b)=V(f,c)+V(f,b)。
（3）上有界：变差函数V(f,x)在[a,b]上是有上界的。
（4）可分割性：对于边界上的两个点x_1和x_2，若x_1<x_2，则有V(f,x_2)-V(f,x_1)=V(f,[x_1,x_2])。
（5）作为测度的应用：如果一个函数的变差函数V(f,x)有界，那么该函数是有界变差函数。
三、计算分析：变差函数V(f,x)的计算是通过求解上述定义中的上确界来实现的。
换言之，我们需要找到最适合的子区间，使得其上的f(x)的变化尽可能大。
为了计算方便，我们可以选取一些特殊的区间进行计算，如等距划分、平方划分等。
1.等距划分计算变差函数：设[a,b]上的等距划分为x_0=a,x_1=a+h,...,x_n=b，其中h=(b-a)/n。
变差函数和结构分析
N. Cressie
专著
《矿产储量地统计学评价》（1977） 《采矿地统计学》（1978） 《实用地统计学》（1979） 《空间统计学》
《应用地统计学导论》（1989）
《空间数据统计学》（1991）
G.马特隆和 D.克里格、 A.玛格海特(女) 在南非考察金矿
地质统计学的创始人 G.Matreron教授，于2000年8 月7 日病逝（1930.12.2~2000.8.7）。
斯坦福大学 A G Journel
20世纪60末——70年代末 地统计学发展阶段
出现了多元、非线性地统计学，如普通克里金、泛克里金、析取克里 金及条件模拟法等。
20世纪80年代初——80年代末 地统计学上升阶段
非参数和非稳态地统计学出现，非线性地统计学得到发展。
1975、1983、1988年召开的国际地统计学大会和国际地统计学协 会的成立，标志着地统计学已经开始发展成熟。
我国地统计学的发展
1977年，地统计学由美国H.M. Parker博士传入我国 1982年，侯景儒等首先将A.G. Journel等人的《采矿地统计学》译为
中文 1987年，王仁铎等出版《线性地质统计学》 1989年，孙惠文等译M.David的《矿产储量地质统计学评价》 1993年侯景儒等出版了《矿床统计预测及地质统计学的理论和应用
的变化
变差函数的套和
( h ) 0 ( h ) 1 ( h ) i( h )
γ(h)
二阶球状模型的套和
实验变差函数的计算
南 (1 )北 2 16(2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2) 1 .25
南(北 2)21 3(123232)3.17
实验变差函数的计算
北东(－ 2 ) 南 2 14 西 (3 2 0 2 1 2 1 2) 1 .38
专著
《矿产储量地统计学评价》（1977） 《采矿地统计学》（1978） 《实用地统计学》（1979） 《空间统计学》
《应用地统计学导论》（1989）
《空间数据统计学》（1991）
G.马特隆和 D.克里格、 A.玛格海特(女) 在南非考察金矿
地质统计学的创始人 G.Matreron教授，于2000年8 月7 日病逝（1930.12.2~2000.8.7）。
斯坦福大学 A G Journel
20世纪60末——70年代末 地统计学发展阶段
出现了多元、非线性地统计学，如普通克里金、泛克里金、析取克里 金及条件模拟法等。
20世纪80年代初——80年代末 地统计学上升阶段
非参数和非稳态地统计学出现，非线性地统计学得到发展。
1975、1983、1988年召开的国际地统计学大会和国际地统计学协 会的成立，标志着地统计学已经开始发展成熟。
我国地统计学的发展
1977年，地统计学由美国H.M. Parker博士传入我国 1982年，侯景儒等首先将A.G. Journel等人的《采矿地统计学》译为
中文 1987年，王仁铎等出版《线性地质统计学》 1989年，孙惠文等译M.David的《矿产储量地质统计学评价》 1993年侯景儒等出版了《矿床统计预测及地质统计学的理论和应用
的变化
变差函数的套和
( h ) 0 ( h ) 1 ( h ) i( h )
γ(h)
二阶球状模型的套和
实验变差函数的计算
南 (1 )北 2 16(2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2) 1 .25
南(北 2)21 3(123232)3.17
实验变差函数的计算
北东(－ 2 ) 南 2 14 西 (3 2 0 2 1 2 1 2) 1 .38
地质统计学(5)_变差函数及结构分析cjg2011
证：性质④
Ck’k(-h) =E[Zk’(x-h)Zk(x)]-mk’mk 令：y=x-h, 则x=y+h 代入上式得： Ck’k(-h) =E[Zk(y+h)Zk’(y)]-mk’mk= Ckk’(h) 因E[Zk(y+h)Zk’(y)]不一定等于E[Zk’(y+h)Zk(y)] ，故Ckk’(h)不一定等于 Ck’k(h) ，即交叉协方差函数Ckk’(h)对h和（-h）无对称性，这是较特殊的情 况。 因此，在两个变量出现迟后效应时，应采用交叉协方差函数进行研究。
证：性质⑤
2 k k (h ) = zk (x + h ) - z k (x )zk (x + h ) - zk (x )
= zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk = zk (x + h ) - mk z k (x + h ) - mk - z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk = zk (x + h )z k (x + h ) - mk mk - z k (x + h )z k ( x ) - mk mk = Ck k (0) - Ck k (h ) - Ckk (h ) + Ckk (0) = 2Ck k (0) - Ck k (h ) + Ckk (0) - zk ( x + h )z k (x ) - mk mk + z k (x )zk (x ) - mk mk - z k (x ) - mk z k (x + h ) - mk + z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk
变差函数
1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。
变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。
这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。
通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。
1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。
计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。
Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。
Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。
Transition曲线类型。
常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。
Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。
Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。
变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。
Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。
描述了两个不相干的样本间的差异性。
当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。
Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。
由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。
1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。
搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。
由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。
1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。
地质统计学复习资料
计算：PPT第二讲、另外一讲、还有试卷变差函数的概念：P12区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半定义为Z(x)的变差函数，它既能描述区域化变量的空间结构性变化，又能描述其随机性变化。
变差函数的作用与应用变差函数是区域化空间变异性的一种度量，反映了空间变异程度随距离变化而变化的特征。
变差函数强调三维空间上的数据构型，从而可定量的描述区域变化量的空间相关性，即地质规律所造成的储层参数在空间上的相关性。
了解区域化变量（随机场）的相关性（噪声，相关程度，相关范围）、空间场的各向异性、空间场的尺度特征、空间场的周期性特征。
模型的参数意义变程(Range)：指区域化变量在空间上具有相关性的范围。
在变程范围之内，数据具有相关性；而在变程之外，数据之间互不相关，即在变程以外的观测值不对估计结果产生影响。
变程的大小反映了变量空间的相关性。
块金值(Nugget)：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性，无论h多小，两个随机变量都不相关。
它可以由测量误差引起，也可以来自矿化现象的微观变异性。
在数学上，块金值c0相当于变量纯随机性的部分。
块金效应的尺度效应：如果品位完全是典型的随机变量，则不论观测尺度大小，所得到的实验变差函数曲线总是接近于纯块金效应模型。
当采样网格过大时，将掩盖小尺度的结构，而将采样尺度内的变化均视为块金常数。
这种现象即为块金效应的尺度效应。
基台值(Sill)：代表变量在空间上的总变异性大小。
即为变差函数在h大于变程时的值，为块金值c和拱高cc之和。
拱高：在取得有效数据的尺度上，可观测得到的变异性幅度大小。
当块金值等于0时，基台值即为拱高。
模型：P15为何要拟合：P14实验变差公式：PPT第2讲假设克里金法概念：P36克里金插值与变差函数的关系变差函数是克里金方法研究的主要工具，在克里金估计方法中，加权系数的求取是通过变差函数来获得的。
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算谷跃民编写在地质统计学随机模拟工作中，统计归纳区域变量的分布和变差函数，是用好随机模拟技术最关键的两项工作，其中区域变量分布统计比较容易理解，变差函数计算过程相对复杂，影响了解释人员对它的直观理解，为了使解释生产人员快速了解变差函数，准确使用相关工具软件，并能依据现有的资料和对工区地质情况的先验信息，统计归纳出合乎实际的变差函数，作者在学习相关知识的基础上，对学习材料进行了初步总结，试图用通俗的方式，对变差函数的概念和统计归纳方法与大家共同进行探讨。
一、变差函数的基本概念在地质统计学中，变差函数是最基本与最重要的模拟工具，它用于描述数据值的空间互相关，数据点在空间上相距越远，相关性就变得越小，变差函数就是模拟这种现象的数学函数，通常用一张图来展示，用X轴表示滞后距离，用Y轴表示方差，可以从区域变量抽取的样本值中计算归纳出来，见图1，它通过变程来反映变量的影响范围，V(h)为变差函数值，Lag(h)为滞后距。
变差函数可以用四个参数来描述：1、变差函数类型：决定了随着滞图1 变差函数图示后距的增加变差（方差）变化的快慢，在JASON STATMOD MC中，使用GAUSSIAN和EXPONENTIAL曲线类型；2、变程a：指的是在超过这个距离后，数据点之间就不再有明显的相关性，也称作影响距离；3、块金效应C0：表示在距离为0时的方差值，用来表示相距很近的两点的样品变化情况；4、先验方差：Sill=C+C0也叫基台值，它反映变量的变化幅度。
二、变差函数的估算与拟合1、变差函数的计算公式与估算变差函数的定义是：区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半，定义为Z(x)的变差函数，数学定义如下：h为滞后距。
如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：i为样本序号。
2、变差函数的估算示例为了能更直观、更深刻地体会它的具体意义，下面举两个计算实例，各具体计算两个变差函数值，通过具体计算过程，就会知道什么样的资料可以满足变差函数估算的要求，具体在资料条件会出现怎样的异常，这两个实例分别为两种区域变量类型，一个是垂向区域变量类型，可以理解为井曲线等，一个是平面区域变量类型，可以理解为孔隙度平面变化等。
地质统计学[精]
• 指示克立格法(Indicator Kriging)
•协同克里格法（Co-Kriging）
• 协同克里格法（Co-Kriging）
•协同克里格法（Co-Kriging）
• 地质统计学的发展
自70年代，地质统计学的发展突飞猛进。在此期间， 从理论突破的频度、论文发表的篇数、以及世界各地对地 质统计学所表现的极大关心程度，都说明地质统计学达到 了前所未有的发展阶段。目前条件模拟技术广泛应用于石
油、采矿、水文、和环境保护等领域中。研制出一批高水 平的地质统计学方法计算程序软件。在地质统计学的理论 及方法基础上开发了许多成熟的应用软件。如美国开发的 矿床建模软件包（Deposit Modeling System），功能上 可覆盖矿山地质设计的全过程；而MICL（英国矿业计算 机有限公司）开发的DATMINE软件包，则集地、测、采 于一体；法国巴黎高等矿院地质统计学研究中心研制出两 种大型软件系统:ISATIS系统及HERESIM系统；澳大利亚 的MICROMINE软件,SURPAC软件，加拿大的GEOSTAT 软件，CAMET软件和GLS软件系统等。
•相关关系
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
正相关 负相关
正相关 负相关
完全正线性相关
正线性相关
散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
到上世纪60年代，才认识到需要把样品值之间的相似 性作为样品间距离的函数来加以模拟，并且得出了半变异 函数。法国概率统计学家马特隆（Matheron）创立了一个 理论框架，为克立格作出的经验论点提供了精确而简明的 数学阐释。马特隆创造了一个新名词“克立格法” （Kriging），藉以表彰克立格在矿床的地质统计学评价工 作中所起到的先驱作用。即1962年，马特隆在克立格和西 奇尔研究的基础上，将他们的成果理论化、系统化，并首 先提出了区域化变量（Regionalized variable）的概念， 为了更好地研究具有随机性及结构性的自然现象，提出了 地质统计学（Geostatistics）一词，发表了《应用地质统 计学》，该著作的出版标志着地质统计学作为一门新兴边 缘学科而诞生。地质统计学开始进入了学术界。在法国枫 丹白露成立了地质统计学中心（Centre de Geostatistiques），培养了一大批学员，不仅为地质统计 学的研究而且为它的传播起到了巨大的作用。
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是指在一个给定区间上具有有限变差的函数。
它在数学分析中是一个重要的概念，用于描述函数在给定区间内的振动情况。
变差函数提供了一种度量函数的不连续性和波动性的工具，它与导数和积分一样重要，对于研究函数的特性和性质有着重要的作用。
在数学上，给定一个实函数f(x)在区间[a,b]上有定义，f(x)的变差V(f,[a,b])定义为：V(f,[a,b]) = sup{ ∑，f(xi+1) - f(xi)， }其中，{xi}是[a,b]上的任意分割，sup代表上确界。
简单来说，就是对于所有可能的分割，找出其中使得相邻两点之间的差的绝对值之和达到最大的分割，然后将差的绝对值之和定义为函数的变差。
通过变差函数的计算分析，我们可以得到一些重要的结论。
1.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则V(f,[a,b])=0。
也就是说，连续函数的变差为0。
2.如果函数f(x)在区间[a,b]上是递增函数，则V(f,[a,b])=f(b)-f(a)。
也就是说，递增函数的变差等于函数在两个端点之间的差。
3.如果函数f(x)在区间[a,b]上是递减函数，则V(f,[a,b])=f(a)-f(b)。
也就是说，递减函数的变差等于函数在两个端点之间的差的相反数。
4.对于一般的函数而言，如果我们将区间[a,b]分割成若干个子区间，分别计算每个子区间内函数的变差，然后将它们相加，得到的值一定大于等于整个区间上函数的变差。
这个结论称为变差函数的可加性。
变差函数的计算分析可以用于研究函数的不连续性和波动性质。
当变差函数的变差较大时，说明函数在给定区间上具有较大的波动，而变差较小则表示函数相对平滑。
在实际应用中，变差函数经常用于研究信号处理、波动分析以及优化问题等领域。
总之，变差函数是一种重要的数学工具，用于度量函数在给定区间上的不连续性和波动性。
通过变差函数的计算分析，可以得到函数在给定区间上的波动情况，进而揭示函数的一些重要特性。