2011届高考数学复习好题精选 正弦定理和余弦定理

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。

4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=b a c c ab c b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 2 9. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________.解析：根据正弦定理，asin A ＝csin C， 由3a ＝2c sin A ，得asin A ＝c32， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3.答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得 x ＋2＋y 2＝ 2 x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2. 答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B的值是________． 解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 法一 如图(1)，图(1) a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3 ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎨⎧ a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解析 (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B＝1 4得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲考向预测掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.命题趋势以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.核心素养逻辑推理、数学运算1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；(2)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(3)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S△ABC＝12a·h(h表示边a上的高)．(2)S△ABC＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解[注意]上表中A为锐角时，a<b sin A，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．常用结论1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C.(2)cos(A＋B)＝－cos C.(3)sin A＋B2＝cosC2.(4)cos A＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.常见误区1．在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注意根据“大边对大角”来取舍．2．在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，a 2＝bc ，则sin B sin C ＝( )A.12 B.32 C.35D.34解析：选D.因为a 2＝bc ，所以sin 2A ＝sin B sin C ．因为A ＝60°，所以sin B sin C ＝sin 2A ＝34.故选D.3．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sin A ＝45，cos C ＝210，则下列结论正确的是( )A ．cos A ＝±35 B ．B ＝π4C ．b ＝522D ．△ABC 的面积为7 2解析：选BC.由sin A ＝45，得cos A ＝±35，由cos C ＝210，得sin C ＝7210，若cos A ＝－35，则sin B ＝sin(A ＋C )＝－17250＜0，与sin B ＞0矛盾，故cos A ＝35，A 错误，则sin(A ＋C )＝22，由sin A ＝45，cos C ＝210，得A ＞π4，C ＞π4，所以A ＋C ＞π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π4，B 正确．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝522，C 正确，所以△ABC 的面积为12×4×522×7210＝7，D 错误．4．(易错题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．解析：由题意得，b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°利用正、余弦定理解三角形(2020·高考天津卷节选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝22，b ＝5，c ＝13，有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由正弦定理及C ＝π4，a ＝22，c ＝13，可得sin A ＝a sin Cc ＝21313.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ， 所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab ＝( )A.32 B. 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B sin A cos A ＝3sin A sin B ．由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°，判断三角形的形状(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________． 【解析】 (1)方法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形【引申探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ， 故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(多选)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是( )A ．若a cos A ＝b cosB ＝ccos C ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形 D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形解析：选AC.由a cos A ＝b cos B ＝c cos C 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形，A 正确．由a cos A ＝b cos B 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ，解得sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确．由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，所以sin A ＝sin B ，则A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形，C 正确．由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以角C 为锐角．而角A ，B 不一定是锐角，故D 不正确．故选AC.与三角形面积有关的问题 角度一 计算三角形的面积(1)(2020·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°.若a ＝3c ，b ＝27，则△ABC 的面积为________．(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为________．【解析】 (1)由题设及余弦定理得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°. 解得c ＝－2(舍去)，c ＝2，从而a ＝2 3. △ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32.【答案】 (1)3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0.(1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值． 【解】 (1)因为c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0， 所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0.因为sin C >0，所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6， 所以a 2＝(6－a )2－12， 所以a ＝2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·福州市质量检测)在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝7，b ＝1，若△ABC 的面积为62，则a 的长为________．解析：因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ，所以62＝12×1×7sin A ，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：102．(2020·合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0.(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为5，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C，且a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0，所以sin A cos C＋sin C cos A＋2sin B cos B＝0，所以sin B·(1＋2cos B)＝0，又sin B≠0，所以cos B＝－2 2.因为B是三角形的内角，所以B＝3π4.(2)在△ABM中，BM＝1，AM＝5，B＝3π4，AB＝c，由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋2c－4＝0，因为c＞0，所以c＝ 2.在△ABC中，a＝2，c＝2，B＝3π4，所以△ABC的面积S＝12ac sin B＝1.高考新声音系列4解三角形中的结构不良型开放型问题新高考卷Ⅰ第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补充已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的结论，难度也会有区别．(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解】 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．在①sin B＝32，②cos B＝34，③cos C＝－79这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解．若有解，求出a的值；若无解，请说明理由．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝2B，b ＋c＝10，________．解：若选择①sin B＝32，则B＝60°或B＝120°，因为C＝2B，所以C＝120°或C＝240°，显然矛盾，此时三角形无解．若选择②cos B＝3 4，则由正弦定理可得cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2sin B cos Bsin B＝2cos B＝2×34＝32，又b＋c＝10，所以c＝6，b＝4.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得16＝a2＋36－9a，解得a＝4或a＝5.若a＝4，则由b＝4知A＝B，又C＝2B，所以B＋B＋2B＝180°，解得B＝45°，这与cos B＝34矛盾，舍去．经检验知，当a＝5时适合题意．故a的值为5.若选择③cos C＝－7 9，因为C＝2B，所以cos 2B＝－7 9，即2cos2B－1＝－79，得cos B＝13，此时cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2cos B＝23＜1，所以c＜b，这与C＝2B矛盾，此时三角形无解．[A 级 基础练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos A ＝74，则△ABC 的面积为( )A ．37B ．372C ．9D ．92解析：选B.因为cos A ＝74，则sin A ＝34，所以S △ABC ＝12×bc sin A ＝372，故选B.3．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝( )A.5π6B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为A ＋C ＝π－B ，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，因为sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，所以cos A sin C －sin A sin C ＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，所以cos A ＝sin A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4，由正弦定理得a sin π4＝c sin C ，又a ＝2，c ＝2，所以sin C ＝12，因为a ＞c ，所以C ＝π6，故选B.4．(多选)在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝4，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝33，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°解析：选BC.对于A ，因为b ＝7，c ＝3，C ＝30°，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin C c ＝7×123＝76＞1，无解；对于B ，b ＝5，c ＝4，B ＝45°，所以由正弦定理可得sin C ＝c sin Bb ＝4×225＝225＜1，且c ＜b ，有一解；对于C ，因为a ＝6，b ＝33，B ＝60°，所以由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝6×3233＝1，A ＝90°，此时C ＝30°，有一解； 对于D ，因为a ＝20，b ＝30，A ＝30°，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin Aa ＝30×1220＝34＜1，且b ＞a ，所以B 有两解，故选BC.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝π4，a ＝4，S △ABC＝2，则2a ＋3c －b2sin A ＋3sin C －sin B＝( )A ． 5B ．2 5C ．27D ．213解析：选B.因为C ＝π4，a ＝4，S △ABC ＝2，所以S △ABC ＝12ab sin π4＝12×4×b ×22＝2，解得b ＝ 2.由余弦定理可得c 2＝b 2＋a 2－2ba cos π4＝10，c ＝10.由正弦定理可得2a ＋3c －b 2sin A ＋3sin C －sin B ＝c sin C ＝1022＝25，故选B.6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________． 解析：因为23sin 60°＝4sin B ， 所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3. 答案：2 37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________，C ＝________．解析：因为a ＝4，c ＝2，B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝16＋4－2×4×2×12＝20－8＝12，则b ＝2 3.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得sin C ＝c sin Bb ＝2×3223＝12，因为c ＜b ，故C 为锐角，所以C ＝30°. 答案：23 30°8．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝π3，c ＝2，且sin A ＝3sin C ．AC 的中点为D ，则BD ＝________．解析：sin A ＝3sin C ．由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6. 由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28， 所以b ＝27.所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝13.所以BD ＝13. 答案：139．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54， 即cos 2A －cos A ＋14＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A . 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．10．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－a 2＝423bc .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长． 解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 所以2bc cos A ＝423bc ， 所以cos A ＝223，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2 A ＝13.(2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝16bc ＝2， 所以bc ＝6 2.因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得2b ＝3c ， 所以b ＝32，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6.[B 级 综合练]11．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△ABC 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ， 所以－12[]cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cos C )＝1－12cos C ， 所以－12(－cos C －1)(2－cos C )＝1－12cos C ， 即(cos C ＋1)(2－cos C )＝2－cos C ，整理得cos 2C －2cos C ＝0，即cos C (cos C －2)＝0，所以cos C ＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形，故选B.12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝c cos A ，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos A ＝18，则以下结论正确的是( )A ．AC ＝34 B ．AB ＝8C ．CD BD ＝18D ．△ABD 的面积为374解析：选ACD.在△ABC 中，根据余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，即b 2＋a 2＝c 2，所以C ＝π2，由二倍角公式得cos ∠BAC ＝2cos 2∠CAD －1＝18，解得cos ∠CAD ＝34.在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝34，故选项A 正确；在Rt △ABC 中，cos ∠BAC ＝AC AB ＝18，解得AB ＝6，故选项B 错误；S △ACD S △ADB ＝12CD ·AC 12BD ·AC ＝12AC ·AD ·sin ∠CAD 12AB ·AD ·sin ∠BAD ，则CD BD ＝AC AB ＝18，故选项C 正确； 在△ABD 中，由cos ∠BAD ＝34得，sin ∠BAD ＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin ∠BAD ＝12×1×6×74＝374，故选项D 正确．13．(2020·沈阳市教学质量监测(一))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ＋b cos A ＝77ac ，sin 2A ＝sin A . (1)求A 及a ；(2)若b －c ＝2，求BC 边上的高． 解：(1)因为a cos B ＋b cos A ＝77ac ，所以由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝77a sin C ，所以sin(A ＋B )＝77a sin C ，又A ＋B ＝π－C ，所以sin C ＝77a sin C ，又sin C ＞0，所以a ＝7.因为sin 2A ＝sin A ，所以2sin A cos A ＝sin A ，又sin A ＞0，所以cos A ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝7.将b ＝c ＋2，代入b 2＋c 2－bc ＝7，得c 2＋2c －3＝0， 解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以b ＝3. 因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝2114， 设BC 边上的高为h ，则h ＝b sin C ＝32114.14．在①(2a ＋b )sin A ＋(2b ＋a )sin B ＝2c sin C ，②a ＝3c sin A －a cos C ，③△ABC 的面积S △ABC ＝34(a 2＋b 2－c 2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝3，且________，探究三角形ABC 的周长l 是否存在最大值？若存在，求出l 的最大值；若不存在，说明理由．解：若选①，因为(2a ＋b )sin A ＋(2b ＋a )sin B ＝2c sin C ， 所以由正弦定理可得(2a ＋b )a ＋(2b ＋a )b ＝2c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.又c ＝3，所以由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝sin A ＋3cos A ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3， 因为0＜A ＜π3，所以23＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3≤2＋3，即△ABC 的周长l 存在最大值，且最大值为2＋ 3. 若选②，因为a ＝3c sin A －a cos C ，所以由正弦定理可得sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C ， 因为sin A ≠0，所以3sin C －cos C ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，又0＜C ＜π，故C ＝π3，又c ＝3，所以由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3，因为0＜A ＜2π3，所以23＜23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3≤33，即△ABC 的周长l 存在最大值，且最大值为3 3. 若选③，因为△ABC 的面积S △ABC ＝34(a 2＋b 2－c 2)，所以12ab sin C ＝34(a 2＋b 2－c 2)，所以sin C ＝3×a 2＋b 2－c 22ab ，由余弦定理可得sin C ＝3cos C ，即tan C ＝3， 又因为0＜C ＜π，故C ＝π3，又c ＝3，所以由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3＝2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， 因为0＜A ＜2π3，所以23＜23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3≤33，即△ABC 的周长l 存在最大值，且最大值为3 3.[C 级 创新练]15．(2020·河南豫南九校联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC 的面积为( )A ． 3B ．1C ．32D ．12解析：选C.因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a .又a ＞0，所以ac ＝2. 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2.所以△ABC 的面积为S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32.故选C. 16．(2020·山东潍坊月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列 B.a ，b ，c 依次成等差数列 C ．a 2，b 2，c 2依次成等差数列 D ．a 3，b 3，c 3依次成等差数列解析：选ABD.在△ABC 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则2tan B ＝1tan A ＋1tan C .所以2cos B sin B ＝cos A sin A ＋cos Csin C .利用正弦定理和余弦定理得，2·a 2＋c 2－b 22abc ＝b 2＋c 2－a 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ，整理得2b 2＝a 2＋c 2，即a 2，b 2，c 2依次成等差数列．此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或a，b，c或a3，b3，c3，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a＝b ＝c.故都不一定成立．故选ABD.第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲考向预测掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.命题趋势以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.核心素养逻辑推理、数学运算1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；(2)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(3)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S△ABC＝12a·h(h表示边a上的高)．(2)S△ABC＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解[注意]上表中A为锐角时，a<b sin A，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．常用结论1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C.(2)cos(A＋B)＝－cos C.(3)sin A＋B2＝cosC2.(4)cos A＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.常见误区1．在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注意根据“大边对大角”来取舍．2．在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，a 2＝bc ，则sin B sin C ＝( )A.12 B.32 C.35D.34解析：选D.因为a 2＝bc ，所以sin 2A ＝sin B sin C ．因为A ＝60°，所以sin B sin C ＝sin 2A ＝34.故选D.3．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sin A ＝45，cos C ＝210，则下列结论正确的是( )A ．cos A ＝±35 B ．B ＝π4C ．b ＝522D ．△ABC 的面积为7 2解析：选BC.由sin A ＝45，得cos A ＝±35，由cos C ＝210，得sin C ＝7210，若cos A ＝－35，则sin B ＝sin(A ＋C )＝－17250＜0，与sin B ＞0矛盾，故cos A ＝35，A 错误，则sin(A ＋C )＝22，由sin A ＝45，cos C ＝210，得A ＞π4，C ＞π4，所以A ＋C ＞π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π4，B 正确．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝522，C 正确，所以△ABC 的面积为12×4×522×7210＝7，D 错误．4．(易错题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．解析：由题意得，b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°利用正、余弦定理解三角形(2020·高考天津卷节选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝22，b ＝5，c ＝13，有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由正弦定理及C ＝π4，a ＝22，c ＝13，可得sin A ＝a sin Cc ＝21313.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ， 所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab ＝( )A.32 B. 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B sin A cos A ＝3sin A sin B ．由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°，判断三角形的形状(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________． 【解析】 (1)方法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形【引申探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ， 故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(多选)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是( )A ．若a cos A ＝b cosB ＝ccos C ，则△ABC 一定是等边三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形 D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形解析：选AC.由a cos A ＝b cos B ＝c cos C 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形，A 正确．由a cos A ＝b cos B 及正弦定理得，sin A cos A ＝sin B cos B ，解得sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确．由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，所以sin A ＝sin B ，则A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形，C 正确．由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以角C 为锐角．而角A ，B 不一定是锐角，故D 不正确．故选AC.与三角形面积有关的问题 角度一 计算三角形的面积(1)(2020·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°.若a ＝3c ，b ＝27，则△ABC 的面积为________．(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为________．【解析】 (1)由题设及余弦定理得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°. 解得c ＝－2(舍去)，c ＝2，从而a ＝2 3. △ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32.【答案】 (1)3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0.(1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值． 【解】 (1)因为c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0， 所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0.因为sin C >0，所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6， 所以a 2＝(6－a )2－12， 所以a ＝2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·福州市质量检测)在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝7，b ＝1，若△ABC 的面积为62，则a 的长为________．解析：因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ，所以62＝12×1×7sin A ，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：102．(2020·合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0.(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为5，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C，且a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0，所以sin A cos C＋sin C cos A＋2sin B cos B＝0，所以sin B·(1＋2cos B)＝0，又sin B≠0，所以cos B＝－2 2.因为B是三角形的内角，所以B＝3π4.(2)在△ABM中，BM＝1，AM＝5，B＝3π4，AB＝c，由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋2c－4＝0，因为c＞0，所以c＝ 2.在△ABC中，a＝2，c＝2，B＝3π4，所以△ABC的面积S＝12ac sin B＝1.高考新声音系列4解三角形中的结构不良型开放型问题新高考卷Ⅰ第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补充已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的结论，难度也会有区别．(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解】 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3. 由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．在①sin B＝32，②cos B＝34，③cos C＝－79这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解．若有解，求出a的值；若无解，请说明理由．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝2B，b ＋c＝10，________．解：若选择①sin B＝32，则B＝60°或B＝120°，因为C＝2B，所以C＝120°或C＝240°，显然矛盾，此时三角形无解．若选择②cos B＝3 4，则由正弦定理可得cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2sin B cos Bsin B＝2cos B＝2×34＝32，又b＋c＝10，所以c＝6，b＝4.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得16＝a2＋36－9a，解得a＝4或a＝5.若a＝4，则由b＝4知A＝B，又C＝2B，所以B＋B＋2B＝180°，解得B＝45°，这与cos B＝34矛盾，舍去．经检验知，当a＝5时适合题意．故a的值为5.若选择③cos C＝－7 9，因为C＝2B，所以cos 2B＝－7 9，即2cos2B－1＝－79，得cos B＝13，此时cb＝sin Csin B＝sin 2Bsin B＝2cos B＝23＜1，所以c＜b，这与C＝2B矛盾，。

第6节 正弦定理和余弦定理课标要求：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.知 识 梳 理1．正弦定理____＝____＝____＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．2．余弦定理a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝________________.3.在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝__________，c ＝__________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)4．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .5．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：[1.由正弦定理可以变形为：(1)a ：b ：c ＝_______：_______：_______；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝__________；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝______等形式，以解决不同的三角形问题． 2.余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝______________，cos C ＝______________. 3. S △ABC ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .基 础 自 测1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B . ( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2>a 2，则△ABC 为锐角三角形． ( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B ＝45°或∠B ＝135°. ( )(4)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，则实数a 的取值范围是(3，2)．( )(5)在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形． ( )(6)在△ABC 中，若tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，则△ABC 是等腰三角形． ( )2．在△ABC 中中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos .3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）． A. 2 B. 3 C ．2 D ．34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为（ ）．A.12B.14C ．1D ．2 5．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若bc a c b c b a 3))((=-+++,则=A .6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.考点1应用正弦、余弦定理解三角形【例1】已知△ABC 的面积为S ，且22BC CA CB S =⋅+． （1）求B 的大小； （2）若12S =，且1BC BA -=，试求△ABC 最长边的长度.[规律方法]破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.【训练1】（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.（2）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ). A ．42 B.30 C.29 D ．25考点2三角形解得个数问题【例2】在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝______个解．[规律方法]解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，也不可能无解；对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况. 验证解的情况可用数形结合法.【训练2】在△ABC 中, c b a ,,分别是△ABC 中角C B A ,,的对边，若︒===45,2,B b x a ，且此三角形有两解，则x 的取值范围（ ）．A ．2B ．52C ．1D ．考点3利用正弦、余弦定理判定三角形的【例3】1.若△ABC 中，满足222sin sin sin C A B =+，则该三角形的形状是 三角形.2在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且3B π=，则△ABC的形状为 三角形．[规律方法]常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形考点4与三角形面积有关的问题【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠A ＝π3，c ＝37a . (1)求sin C 的值； (2)若a ＝7，求△ABC 的面积．[规律方法]高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.【训练4】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．[思维升华](1)在解三角形中，如果表达式中含有角的余弦或边的二次式时，则优先考虑使用余弦定理。

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。

高考数学专题复习：余弦定理与正弦定理一、单选题1．在ABC 中，若3sin 5A =，120C =︒，BC =AB =（ ）A ．5B C ．D ．32．在ABC 中，AB =BC ，2CA =，则ABC 外接圆的面积为（ ） A ．23π16B ．23π24C ．24π23D ．16π233．在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 分别所对的边，若::1:2:3A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，a =b =B =（ ）．A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上都不对5．在ABC 中，2,3,6a c C π==∠=，那么等于sin A =（ ）A B C ．13D ．236．在ABC 中，2,1,3a b C π===，那么的面积等于（ ）A ．12B C D ．17．在ABC 中，若ABC 的面积()22214S a b c =+-，则C =（ ） A ．4πB ．6πC ．3π D ．2π 8．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c -的取值范围是（ ）A ．()3,3-B ．()3,5-C ．)⎡-⎣D ．(3,9．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 向量()2,sin ,b c p C =+向量()sin ,21)B c b q =+，且满足2sin ,p A q a =⋅则角A =（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，则cos cos b C c B +=（ ）A ．1B C ．2D ．411．在ABC 中，已知1,45b c B ==，则a =（ ）A ．2B C D12．在ABC 中，若60,1,B a b ===，则ABCS 等于（ ）A B C D ．2二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，CD ，则cos A =________.14．在ABC 中，60A =，4AC =，BC =ABC 的面积为________.15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若5a =，b =cos C =，则sin B =________.16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =2b =，3c =，则sin sin sin a b cA B C________.三、解答题17．在ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a =c =60A =︒. （1）求B 、C ∠的值；（2）求ABC 的面积.18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ． （1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．19．如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长； （2）求sin BAD ∠的值.20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B 2c =，求ABC 的面积.21．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2c A b a =-． （1）求角C ；（2）若4c =，ABC 的面积为ABC 的周长．22．如图，在平面四边形ABCD 中，90DAB CBD ∠=∠=︒，BC ．（1）若22BD AB ==，求AC 的长；（2）若1BD =，30BAC ∠=︒，求四边形ABCD 的面积．参考答案1．A 【分析】使用正弦定理求解即可． 【详解】 由正弦定理得：sin sin a cA C =，即sin sin BC AB A C=，5=5AB =．故选：A ． 【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键． 2．C 【分析】首先根据余弦定理求cos B ，再求sin B ，再根据正弦定理求ABC 外接圆的半径，即可求得圆的面积. 【详解】由余弦定理可知222cos 2AB BC CA B AB BC +-===⋅所以sin B =，根据正弦定理，2sin CA R B ==，即R 所以ABC 外接圆的面积22423S R ππ==.故选：C 3．C 【分析】先求出角,,A B C ，再利用正弦定理求解 【详解】由题::1:2:3A B C =且,,632A B C A B C ππππ++=∴===由正弦定理得1::sin :sin :sin 2a b c A B C ===2 故选：C 4．C 【分析】由正弦定理求出sin B 的值，再根据b a <，得B A <，求得B 的取值． 【详解】根据题意，由于正弦定理可知sin sin a bA B=，所以sin sin a B b A ===故可知sin B由于b =a =b a <，可知角B A <，因此B 为锐角，故45B ︒= 故选：C ． 5．C 【分析】利用正弦定理求得sin A . 【详解】由正弦定理得s sin sin 12in 12sin 33a a C A c c A C ⨯=⇒===. 故选：C 6．C 【分析】由三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由三角形的面积公式可知，三角形的面积121sin 23S π=⨯⨯⨯=故选：C. 7．A【分析】由已知三角形的面积公式，余弦定理和同角三角函数的基本关系式，求得tan 1C =，即可求解答案． 【详解】由题意可知，在ABC 中，满足2221()4S a b c =+-，即22211sin ()24ab C a b c =+-，又由222cos 2a b c C ab+-=，所以11sin cos 22ab C ab C =，即sin cos C C =，因为(0,)C π∈，所以当cos 0C =即2C π=时显然不成立.所以tan 1C =，又由(0,)C π∈，所以4C π.故选:A 8．A 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理求出内角A ，再根据正弦定理，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，所以由正弦定理可得：222222()()()a b a b c b c a b c bc a b c bc -+=-⇒-=-⇒=+-， 由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-⋅，所以1cos 2A =，因为三角形ABC 是锐角三角形，所以3A π=，因此有2sin sin sin sin 3a b c A B C =====， 所以2sin ,2sin b B c C ==，因此22221cos 21cos 24sin 4sin 442cos 22cos 222b c B CB C C B --=-=⋅-⋅=-- 因为3A π=，所以233B C C πππ=--=-， 因此2222cos 22cos[2()]2cos 22cos(2)33C C b C c C ππ=--=+--2cos 22(coscos 2sinsin 2)3cos 22)333C C C C C C πππ=++==+， 因为三角形ABC 是锐角三角形，由220023263B C C πππππ<<⇒<-<⇒<<，而02C <<π，所以62C ππ<<，因此242333C πππ<+<，所以sin(2)3)366C C ππ<+<⇒-<+<，即 2233b c -<-<， 故选：A 9．D 【分析】利用向量数量积的坐标表示及已知条件，并应用正弦边角关系可得222b c a +=，再由余弦定理有222cos 2b c a A bc+-=，即可求角A .【详解】由题意，(2)sin 2sin 1)sin 2sin ,b c B c C b C a A p q =+++=⋅∴22(2)21)2b c b c bc a +++=，即222b c a +=，∴222cos 2b c a A bc +-==，又(0,)A π∈， ∴56A π=.故选：D 10．D 【分析】利用余弦定理对cos cos b C c B +化简可得答案 【详解】解：由余弦定理得，222222cos cos 22b a c a c b b C c B b c ab ac +-+-+=⋅+⋅2222222b a c a c b a+-++-=2242a a a===， 故选：D 11．B 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在ABC 中，因1,45b c B ===，于是由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：221a =+，即210a -=，而0a >，解得a =，所以a =. 故选：B 12．C 【分析】根据给定条件，先利用正弦定理求出角A ，进而求得角C ，再利用三角形面积定理求解即得. 【详解】在ABC 中，因60,1,B a b ==sin sin a bA B=得： sin 1sin2a B A b ===，而a b <，即A B <，则30A =，于是得90C =，所以113sin 1sin 90222ABCSab C ==⋅=故选：C 13．0 【分析】设BD x =，则3AD x =，23AC x =-，2BC x =-，利用余弦定理计算cos ADC ∠、cos BDC ∠，由cos cos BDC ADC ∠=-∠可得x 的值，进而可得AD 、AC 的长，在ADC 中求角A ，进而可得cos A 的值. 【详解】设BD x =，则3AD x =，23AC x =-，2BC x =-，在ADC 中，由余弦定理得：222229223cos2x x AD CD ACADC AD CD +--+-∠==⋅ 在BDC 中，由余弦定理得：2222222cos2x x BD CD BCBDC BD CD +--+-∠=⋅ 因为πBDC ADC ∠+∠=，所以cos cos BDC ADC ∠=-∠， 2222=整理可得：212423x x --=，解得：13x =，所以1AD =，1AC =，在ADC 中，222AD AC CD +=，所以AD AC ⊥，所以π2A =， 所以cos 0A =， 故答案为：0.14．【分析】先由余弦定理求出AB 的长，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，由余弦定理可得： 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，代入数据可得：211216242AB AB =+-⨯⨯，即2440AB AB -+=，解得：2AB =，由三角形的面积公式可得ABC 的面积为：11sin 2422AB AC A ⋅⋅⋅=⨯⨯=故答案为：15【分析】根据余弦定理求得c ，再由正弦定理可求得答案. 【详解】由余弦定理知：222+2cos c a b ab C =-，即(2225+25c =-⨯⨯解得c =又1sin 3C =，由正弦定理得sin sin c b C B =3，解得sin B =16【分析】由余弦定理求得cos A 再得sin A ，然后由正弦定理计算．【详解】由题意可知，在△ABC 中，由余弦定理可得cos A ＝2222b c a bc+-＝497223+-⨯⨯＝12， 因为A ∈(0，π)，所以sin Asin sin sin a b c A B C ==== 所以aA ，bB ，cC ， 所以sin sin sin a b c A B C ++++＝sin sin )3sin sin sin A B C A B C++++17．（1）45C =︒，75B =︒；（2）3S =【分析】（1）由正弦定理求得C ，再由三角形内角和得出B ；（2）由面积公式计算．【详解】（1）由正弦定理得sin sin a c A C =，所以sin sin c A C a = 又a c >，所以A C >，所以C 是锐角，45C =︒，180604575B =︒-︒-︒=︒；（2）11sin 7530)22ABC S ac B ==⨯︒=︒+︒145cos30cos5sin 30))32=︒︒+︒︒== 18．（1）3A π=；（2【分析】 （1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得sin A A =，进而求角A ． （2）由余弦定理得2230b b --=求b ，再利用三角形面积公式求△ABC 的面积．【详解】（1）由正弦定理，sin sin cos A C C A ，又sin 0C ≠，sin A A ∴，即tan A (0,)A π∈，得3A π=.（2）由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，∴2230b b --=，解得3b =，1sin 2ABC S bc A ∴==19．（1）3（2【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解．（2）利用=BAD ADC B ∠∠-∠，结合两角差的正弦公式即可得解．【详解】（1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴ （2）1cos 3ADC ∠=，所以sin ADC ∠==BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠13=-=20．（1）6C π=；（2）1【分析】(1)根据所给条件，利用正弦定理角化边，再用余弦定理即可得解；(2)借助正弦定理用角A ，B 分别表示边a ，b ，再用三角形面积定理求解即得.【详解】（1）ABC中，由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得22()a a b c +=，即222a b c +-由余弦定理得222cos 2a b c C ab -=＋，而0πC <<，6C π=， 所以角C 的值是6π；（2）设ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 于是得2sin 4sin a R A A ==，2sin 4sin b R B B ==，即16sin sin 4(1ab A B ==，111sin 4(11222ABC a S b C ==⋅⋅=所以ABC 的面积是121．（1）3C π=；（2）12．【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求出cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得ab 的值，利用余弦定理可求得a b +的值，进而可求得ABC 的周长.【详解】（1）2cos 2c A b a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，即()2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin sin C A A C A A C A C A =+-=+-，整理可得sin 2cos sin A C A =，()0,A π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2C =， 又()0,C π∈，故3C π=；（2）ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ===△16ab =， 由余弦定理得()()22222162cos 3483c a b ab a b ab a b π==+-=+-=+-，解得8a b +=， 所以ABC 的周长为12a b c ++=.22．（1）AC （2 【分析】（1）根据题意，可得60ABD ∠=︒，根据余弦定理，即可求得答案.（2）设ABD θ∠=，可得60ACB θ∠=︒-，cos AB θ=，根据正弦定理，结合同角三角函数的关系，可求得sin θ，cos θ的值，进而可得AB 、AD ，代入面积公式，即可得答案.【详解】解：（1）如图所示：在Rt △ABD 中，22BD AB ==，所以1cos 2AB ABD AD ∠==，所以60ABD ∠=︒， 又90DAB CBD ∠=∠=︒，所以150ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠，1321cos15013217⎛=+-⨯︒=+-⨯= ⎝⎭．所以AC ．（2）设ABD θ∠=，则60ACB θ∠=︒-，cos AB θ=， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，所以()cos sin 60θθ=︒-()1cos 602θθ=︒-化简得cos θθ=， 代入22sin cos 1θθ+=，得24sin 7θ=，又θ为锐角，所以sin θ=cos θ=所以cos AB θ==，sin AD θ=，∴ABCD 的面积11122ABD BCD S S S =+=⨯⨯．。

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。