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二次函数的最值问题课件

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高中数学复习课：二次函数的最值优质教学课件PPT

高中数学复习课：二次函数的最值优质教学课件PPT

解：f (x) ax2 2x 1, x 1,2, a 0,
当2
2 时，即0 a 1，此时f a
(x)max
f
(0)
1;
当a 1时，f (x)max f 2 4a 3
所以f
(
x)max
1，0 4a
a 3,
a
1
1
变式5：f (x) x2 2ax 1, x 1,2，a ,1的最大值
第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高中数学复习课 §3.4 二次函数的最值问题探究
引题： 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c
在同一坐标系中的图象大致是
（
）
√
思考：参数a,b,c对二次函数图象的影响？
例：f (x) x2 2x 1, x 1,2的最大值与最小值
轴动区间定
1 3
1 3
(－∞，－1)∪23，23
4.若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是__________________.
自主演练
3.幂函数f(x)＝x a 2－10 a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
则a等于
A.3
√ B.4 C.5 D.6
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
§3.4 幂函数
特殊探究：当 0时？
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
y＝xα 的图象特征：
（1）第一象限 （2）第二、三象限

微专题2二次函数的最值问题 课件(14张)

微专题2二次函数的最值问题 课件(14张)
第三章 函数的概念与性质
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量 x 在下列范围内 取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
t2＋1，t&1， t2－2t＋2，t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4，最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)设 f(x)＝gxx－2x，若 f(x)－kx≤0 在 x∈81，8时恒成立，求实数 k 的取值范围．
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)
＝3－4a.
(3)当 1≤a≤2 时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0) ＝－1.
图③
图④
(4)当 a>2 时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝ －1.
[解] (1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n， ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝1.又∵m>0， ∴依题意得gg13＝ ＝04， ， 即3－mm＋＋1＋1＋n＝n＝4，0， 解得mn＝＝01.， ∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝gxx－2x，∴f(x)＝x＋1x－4. ∵f(x)－kx≤0 在 x∈18，8时恒成立，即 x＋1x－4－kx≤0 在 x∈ 18，8时恒成立， ∴k≥1x2－4x＋1 在 x∈81，8时恒成立．

九年级数学下册二次函数的最值问题课件冀教版

九年级数学下册二次函数的最值问题课件冀教版
解题步骤
化为顶点式 → 求对称轴 → 判断对称轴与区间位置关系 → 代入求最小值。
约束条件下最值问题
例题3
已知$x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求$f(x,y) = x^2 + 2y^2$的最大值和最小值。
解题思路
利用约束条件$x^2 + y^2 = 4$，将$f(x,y)$转化为只含有 一个变量的函数，然后利用二次函数的性质求最值。或者 利用拉格朗日乘数法求解。
二次函数在最值问题中应用
二次函数图像与性质
01
通过二次函数的图像和性质，可以直观地理解最值的存在性和
求解方法。
二次函数与一元二次方程关系
02
利用二次函数与一元二次方程的关系，可以通过解方程来求解
最值问题。
二次函数在实际问题中建模
03
将实际问题抽象为二次函数模型，进而利用二次函数的性质求
解最值。
求解最值问题意义和方法
解题步骤
利用约束条件转化 → 求导找极值点 → 比较极值点与端 点处的函数值确定最值。
例题4
已知$x,y$满足$x + 2y = 1$，且$x > 0, y > 0$，求 $frac{1}{x} + frac{2}{y}$的最小值。
解题思路
将$frac{1}{x} + frac{2}{y}$与约束条件$x + 2y = 1$相 乘，得到$(frac{1}{x} + frac{2}{y})(x + 2y)$，展开后利 用基本不等式求最小值。
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九年级数学下册二次函数 的最值问题课件冀教版
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二次函数的最值问题课件

二次函数的最值问题课件

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。

二次函数动点的面积最值问题课件

二次函数动点的面积最值问题课件

个分支的理解和掌握。
02
掌握解题方法
解决二次函数动点面积最值问题需要掌握一定的解题技巧和方法，包括
数形结合、参数分离、极值法等。通过对这些方法的运用，可以有效地
解决各种复杂的问题。
03
理解问题本质
二次函数动点面积最值问题的本质是寻找函数在某个区间上的最大值或
最小值，以及对应的自变量取值。通过对问题本质的深入理解，可以更
矩形面积的最值
在矩形中找一点，使得该点与矩形顶点的连线将矩形划分为四个面积相等的部分 ，也可以利用二次函数动点面积最值问题求解。
在实际生活中的应用
土地规划
在土地规划中，经常需要确定土地的 分割方式以及各部分的面积，利用二 次函数动点面积最值问题可以找到最 优的分割方案，使得土地的利用率达 到最高。
局。
城市绿化
在城市绿化规划中，通过求解二 次函数动点面积最值问题，可以 确定最佳的绿化区域和分布方式 ，提高城市绿化覆盖率和环境质
量。
06
总结和展望
对二次函数动点面积最值问题的理解和总结
01
理解问题背景
二次函数动点面积最值问题是一个经典的数学问题，涉及到几何、代数
和微积分等多个领域的知识。通过对该问题的研究，可以加深对数学各
要点二
代数解法
通过几何方法（如相似三角形、勾股定理等）来求解动点 面积的最值。
利用代数公式和不等式，通过代数运算求解动点面积的最 值。
二次函数动点面积最值问题的实际应用案例
建筑规划
在建筑规划中，需要考虑土地利 用效率与美观性，动点面积最值 问题可以帮助规划者找到最佳的
建筑布局方案。
农业种植
农业种植中，为了最大化土地利 用率和产量，可以利用二次函数 动点面积最值问题来优化种植布

九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)

九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)

【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，

解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题

二次函数的最值问题(课件)


二次函数的单调性
探讨二次函数在定义域内的单调性及其应用。
递增
当二次函数在定义域内递增时，函数值随自变量的 增加而增加。
递减
当二次函数在定义域内递减时，函数值随自变量的 增加而减小。
二次函数的最值存在性定理
研究二次函数在定义域内的最值及其实际应用。
1
最大值存在
当二次函数的系数a为负时，函数在定义域内存在最大值。
2
最小值存在
当二次函数的系数a为正时，函数在定义域内存在最小值。
3
应用举例
高空抛物运动和经济生产成本最小化问题。
求解二次函数的最值
介绍三种方法求解二次函数的最值，并提供实例演示。
配方法
通过坐标变换将二次函数转化 为标准形式，再求解最值。
求导数法
求二次函数的导数，找出极值 点，进而量值。
1 常见错误
对最值问题中容易出现的错误进行梳理和解答。
2 纠正方法
针对学生常见错误，提供具体纠正方法和建议。
3 信息搜索
介绍如何搜索最值问题解题思路和方法的有效途径。
联系与拓展
探讨二次函数最值问题与其他数学知识的联系，以及应用在其他领域的延伸。 如与最优化问题的关系，以及在物理、经济等领域中的应用。
2 完全平方公式
利用完全平方公式，将二次函数转化为平方 项相加的形式，求出零点。
二次函数的图像特点
了解二次函数图像的对称轴和开口方向，以及与函数系数之间的关系。
对称轴
二次函数图像关于垂直于x轴 的直线对称。
开口方向
由二次项系数的正负确定开 口的方向。
函数系数
了解函数系数与图像形状的 关系，如变量a的变化。
二次函数的最值问题
本课件介绍了二次函数的最值问题。包括二次函数的定义和特点、求零点的 因式分解法和完全平方公式、二次函数的图像与对称轴、单调性、最值存在 性定理等。

二次函数最值公开课课件

值。
在求二次函数的最值时，需要先 确定函数的定义域，然后根据定
义域的范围来求解最值。
例如，对于函数$f(x) = x^2 2x$，其定义域为$x in [-1, 3]$ ，在这个范围内，函数的最小值
为-1，最大值为9。
极值点的判断
二次函数的极值点是其导数为0的点，这些点是函数增减性的转折点。
在求二次函数的最值时，需要先找到函数的极值点，然后根据这些点的 位置和函数增减性来判断最值的取舍。
二次函数最值的概念是数学中的一个基本概念，它是指一个 二次函数在某个区间内的最大或最小值。这个最大或最小值 可以是函数的顶点，也可以是函数的端点，或者是函数在某 个点的突变点。
二次函数最值的类型
总结词
二次函数最值的类型包括最大值、最小值和鞍点。
详细描述
二次函数最值的类型主要有三种，分别是最大值、最小值和鞍点。最大值和最 小值是指函数在某个区间内的最大和最小值，而鞍点则是指函数在某个点的左 右两侧单调性相反的点。
ห้องสมุดไป่ตู้
CHAPTER
02
二次函数最值的求法
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最值。
将二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$进行配方，得到$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为函数的顶点。根据二次函 数的性质，函数的最值出现在顶点处，因此可以直接得出最值。
对二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$ 求导得到$f'(x) = 2ax + b$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -frac{b}{2a}$。分析 导数的符号变化，确定函数的单调区 间，从而找到最值。

二次函数区间最值问题学习教育PPT课件

2
上的最大值为4，求a的值。
5.求函数y＝－x（x－a）在x － 1，a 上的最大值。
6.关于x的方程x －（k－2）x＋k ＋3k＋5＝0 有两个实根，，求 2＋ 2的最值。
2
பைடு நூலகம்
2
7.若对任意的k －1,1， 函数f(x)＝x ＋（k－4）x－2k＋4 的最小值恒为正，求x的范围。
二次函数区间最值问题
8 1.函数y= 2 的最大值为____最小值为___ x 4x 5
2
2.函数y＝ －x ＋x＋2的最小值为_______最大值为_____
1 2 3 3.函数f(x)＝ x －x＋ 的定义域和值域 2 2 都是 1,b（ b>1)，求b的值。
4.已知：函数f（x）＝x ＋2ax＋ 1在区间－ 1,2
圆的面积之和最小，求此时正方形的周长。
2
8.设对一切实数x, y＝x －4ax＋2a＋6的值均为 非负数，求函数f(a)＝2－a a＋3 的最值。
2
9.设f(x)＝x －4x－4，x t，t＋ 1（ t R)，
2
求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。
10.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成 一个正方形和一个圆形，要使正方形和

含参数的二次函数最值问题PPT课件


当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3 f(x) min=f(k)=k2-2k-3 13
评注：探究1属于“轴定区间动”的问题，
看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最 值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化，要注意开口方向及端 点情况。
14
（1）讨论对称轴x= b 与区间 [ a，b]的相对位置；
7
y = x 2∙x 3
8
6
4
2 x=1
k+2
k 15
5
2
4
6
8
10
y = x2 2∙x 3 y = x2 2∙x 3
8
6
4
x=1
2
10 5
k
15
2
k+2
5
10
10
4
6
8
10
8
6
4
x=1
2
k
5
2
k+2
15 5
4
6
8
10
10
8
6
4
2 x=1
10 5
k 1105
k+2
2
4
6
8
8
10
2019/10/30
注意数形结合和分类讨论
16
17
2019/10/30
18
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
6
当k ≤-1时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
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fmax=f(-3)=12
变式2：二次函数f(x)=x2+2x-1-a2在 [-a,a](a>0)上有最小值-2, a的值是多少？
-a
a -a -1
a
x
思考题 :已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在 [-3/2,2] 上的最大值为3, 求a的值.
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数 最值问题: (1)轴动区间定 (2)轴定区间动 核心思想仍然是判断对称轴与区间的 相对位置，从中体会到数形结合思想、分类 讨论思想。
问题1：二次函数f(x)=-x2+4ax-3在[-2,1] 上的最大值是多少？
变式：二次函数f(x)=-x2+4ax-3在[-2,1] 上的最小值是多少？
问题2：二次函数y=x2-2x-3在[a-1,a] 上的 最大值是多少？
问题2：二次函数y=x2-2x-3在[a-1,a] 上的最大值是多少？ 变式1：二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a] (a>-3)上的最值是多少？
二次函数的最值问题
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
1 ① [-3,-2]； ② [-2,1] ； ③ [0,1] ； ④[-3, ] 2
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
① [-3,-2]； ② [0,1]
y
显示 点 显示 对象 显示 文本对象 隐藏 函数图像
y
5
5
2 -3 -2 -1 O x -1
2O1Βιβλιοθήκη x练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
1 ③ [-2,1] ；④[-3, ] 2
y
显示 点 显示 对象 显示 文本对象 隐藏 函数图像
y
5
5
1 -2 -1 O 1 x
-3
1
-1
1 2
x
含参二次函数的最值求解
金山中学 李萍
y
(1)当 3 a 1时
fmin=f(a)=a2-2a-3 -3 a1 o
x
fmax=f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o
1
a5
x
-3 o
1
5a
x
(2)当 a 5时 1
(3)当a 5时
fmin=f(1)=-4
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3