思考： 已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上最大值3, 最小值2，求a的范围。
y
3 2 o
1
2
x
例5：已知 f x x 3x 5, x t , t 1,
2
若f(x)的最小值为h(t),求h(t)的表达式。
二次函数区间上最值gsp.gsp
已知 f x x 4 x 4, x t , t 1, 变式：
1 ① [-3,-2]； ② [-2,1] ； ③ [0,1] ； ④[-3, ] 2
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
① [-3,-2]； ② [0,1]
y
显示 点 显示 对象 显示 文本对象 隐藏 函数图像
y
5
5
2 -3 -2 -1 O x -1
2
O1 x
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
2
若f(x)的最小值为g(t),求g(t)的表达式。
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数 最值问题: (1)轴动区间定 (2)轴定区间动 核心思想仍然是判断对称轴与区间的 相对位置，从中体会到数形结合思想、分类 讨论思想。
一般来说，讨论二次函数在闭区间[m,n]上的 最值，主要是看区间[m,n]与对称轴的位置 关系，从而应用单调性来解决。
例1：分别求函数 y x 2 x 3 x 0 , 3 在（1） x 2,0 （2） x 2,3 上的值域. （ 3）
2
对称轴x=-
o 1 a
2
x
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 对称轴：x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时 ,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3 1 x o 2 3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 a 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax= a2-2a+3
y
y
-3 o
1
a5
x
-3 o
1
5a
x
(2)当 1 a 5时
(3)当a 5时
fmin=f(1)=-4
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3
fmax=f(-3)=12
例4：
求y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值。
解: 对称轴 x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3
3 2 o 1 a x
例4： 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
值，并求此时x的值。 解: 对称轴： x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3
二次函数的最值问题
f(x)=ax2+bx+c 判别式 △>0 a>0
( x∈R ) a<0
函 数 的 图 像
最值
△=0 △ <0
4ac b 4a
2
当x= 2 a 时,y最小值=
b
当x=
b 2a
2 4 ac b 时,y最大值= 4a
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
第2类:函数对称轴固定，动区间
例3：二次函数f(x)=x2-2x-3在[3,a] (a>-3)上的最值是多少？
y
(1)当 3 a 1时
f min ( x) =f(a)=a2-2a-3
-3 o a1
x
f max x =f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
a 2
0 m
对 称 轴
1
n
m
n
图（3）
图（1）
对称轴x=-
a 2
m0
1 n
对 称 轴
m
图（2）
n
图（4）
含参的二次函数的间固定
例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间 [0,2]上的最小值？
二次函数闭区间上最值.gsp
变式：求二次函数f(x)=-x2+4ax-3在区间 [-2,1]上的最大值？
1 ③ [-2,1] ；④[-3, ] 2 y
显 示点 显 示对 象 显 示文 本 对 象 隐 藏函 数 图 像
y
5
5
1 -2 -1 O 1 x
-3
1
-1
1 2
x
你知道二次函数在闭区间[m,n] 上的最值在什么地方产生吗
二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值， 它只能在区间的端点或抛物线的顶点处取得， 不能误认为函数的最值就是在顶点处取得。
