a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：分段处理，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0， ＋∞)上是增函数；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在 (－∞，0)上是增函数，因为(x2＋4x)－(4x－x2)＝ 2x2≥0，所以f(x)在R上是增函数，由题意得2－ a2>a，解得－2<a<1.故选C.
答案：C
2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数， 则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常函数 是常函数
D．可能是减函数，也可能
解析：∵f(x)为偶函数，∴a2－1＝0，即a＝±1，
当a＝1时，f(x)＝1为常函数．
当a＝－1时，f(x)＝－2x2＋1，在[0，＋∞)上为 减函数．
对称性
图象关于直线 x＝－2ba成轴对称图形
1．若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)
等于( )
A．－2ba
B．－ba
C．c
4ac－b2 D. 4a
解析：由已知 f(x1)＝f(x2)且 f(x)的图象关于 x＝－2ba对称，∴x1 ＋x2＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝a·ba22－b·ba＋c＝c.
答案：C
2．(2010·安徽高考)设abc>0，二次函数f(x)＝ ax2＋bx＋c的图象可能是( )
解析：若 a>0，b<0，c<0，则对称轴 x＝－2ba>0， 图象与 y 轴的交点(c,0)在负半轴上．故选 D. 答案：D
3．(2010·四川高考)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图 象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
解析：f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于 x＝1 对称，所以－m2 ＝1， 即 m＝－2.
答案：A
(3)双根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2， 则其解析式为f(x)＝ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
解析 式
f(x)＝ax2＋bx ＋c
f(x)＝ax2＋bx ＋c
(a>0)
(a<0)
图象
定义域 值域
R [4ac4－a b2，＋∞)
R (－∞，4ac4－a b2]
＝－(x－a)2＋a2－a＋1
对称轴方程为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当 0≤a≤1 时，f(x)max＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， ∴a＝1±2 5(舍)． (3)当 a>1 时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2.
解析：令 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， ∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋(a＋b)＝2x， ∴2aa＋＝b＝2 0 得ba＝＝－1 1 ，∴f(x)＝x2－x＋1. 答案：x2－x＋1
热点之一 二次函数的解析式
利用已知条件求二次函数解析式，常用的方法是 待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式 求f(x)解析式．
[例4] (2010·全国卷Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－ |x| ＋ a 有 四 个 交 点 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ________．
[解析] 如右图所示，作出 y＝x2－|x|＋a 的图象，若要使 y
＝1 与其有四个交点，则需满足 a－14<1<a，解得 1<a<54.故填(1，54)．
∴f(x)＝a(x2－4x＋3)－2x ＝ax2－(4a＋2)x＋3a. ∵方程 f(x)＋6a＝0 有两个相等实根， ∴ax2－(4a＋2)x＋9a＝0 有两个相等实根． ∴[－(4a＋2)]2－36a2＝0，解得 a＝1(舍)，a＝－15. ∴f(x)＝－15x2－65x－35.
即时训练 已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)＝0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式． 解：依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15(a<0)， 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.
令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋1a5. 而 x13＋x23＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2) ＝23－3×2×(1＋1a5)＝2－9a0， ∴2－9a0＝17，则 a＝－6. ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.
热点之二 二次函数的图象与性质 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值． (1)当－2ba<m 时，函数在区间[m，n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)； (2)当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)，(m，n 与－2ba较远的一个为最大)； (3)当－2ba>n 时，函数在区间[m，n]上单调递减，最小值为 f(n)， 最大值为 f(m)．
(3)当 t>－32时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.
t2＋5t－1(t≤－25)， 综上可得，h(t)＝－249(－52<t≤－23)，
t2＋3t－5(t>－32).
即时训练 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在 x∈[0,1]时有最大值2，求a的值． 解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
[例2] 已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若 f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．
[思路探究] 所求二次函数图象固定，区间变动， 可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性，求 函数在区间上的最值．
[课堂记录] 如右图所示，
∵函数图象的对称轴为 x＝－32， (1)当 t＋1≤－32，即 t≤－52时， h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5， 即 h(t)＝t2＋5t－1(t≤－52)． (2)当 t≤－32<t＋1，即－52<t≤－32时， h(t)＝f(－32)＝－249.
(2)若方程f(x)＝0有一根小于1，另一根大于1， 当b>－6且b为常数时，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知方程－3x2＋a(6－a)x＋b＝0的 两根为1和2，
则11＋ ×22＝ ＝a－(6b3－ 3 a)
⇒ba＝＝－3 6 .
(2)∵－3<0，由图知，只需 f(1)>0 便可满足题意．
最值
ymin＝4ac4－a b2
ymax＝4ac4－a b2
单调性
在 x∈(－∞，－2ba]上单调递减 在 x∈[－2ba，＋∞)上单调递增
在 x∈(－∞，－2ba]上单调递增 在 x∈[－2ba，＋∞)上单调递减
奇偶性
当 b＝0 时为偶函数，b≠0 时为非奇非偶函数
顶点
(－2ba，4ac4－a b2)
1．已知三个点坐标时，宜用一般式．
2．已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最 大(小)值有关时，常使用顶点式．
3．若已知抛物线与x轴有两个交点，且横轴坐标 已知时，选用两根式求f(x)更方便．
[例1] 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足 不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)＋6a ＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式．
∴－3＋a(6－a)＋b>0⇔a2－6a＋3－b<0⇔3－ b＋6<a<3＋
b＋6.
二次函数是一种常考常新的“老函数”，特别是 二次函数的图象以及单调性是高考的常考内容， 2010年全国高考卷Ⅰ将二次函数的概念、性质、 图象与一元二次不等式的解法相结合，考查学生 灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探 索、分析与解决问题的能力，符合新课标的要求， 是一个新的考查方向．
热点之三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次不等式结合在一 起．
三个“二次”以二次函数为核心，通过二次函数 的图象贯穿为一体，因此，解题时通过画二次函 数的图象来探索解题思路是非常行之有效的方 法．
对于通过换元可转化为二次函数的问题，要注意 中间变元的取值范围，它是转化后二次函数的定 义域．
二次函数
1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性 质．
2．会求二次函数在闭区间上的最值．
3．能用二次函数、一元二次方程及一元 二次不等式之间的联系去解决有关问题．
1．二次函数的解析式
(1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0)
；
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则 其解析式为：f(x)＝ a(x－h)2＋k(a≠0)；
答案：D
3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上 是增函数，则f(1)的取值范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)>25
解析：由题意知m8 ≤－2，∴m≤－16， ∴f(1)＝9－m≥25. 答案：A
4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均 为[1，b]，则b＝( )
A．3
B．2或3
C．2
D．1或2
解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，
∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max＝f(b)， ∴f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b，
∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或b＝1(舍)．
答案：C
5．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝ 1，则f(x)＝______考查函数的图象和不等式的解法， 着重考查了数形结合的数学思想方法．把原问题 改编为：直线y＝1－a与曲线y＝x2－|x|有四个交 点，求实数a的取值范围，你会解答吗？
