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二次函数面积最值问题PPT

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初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数 二次函数中的面积最值问题—铅锤法PPT

初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数 二次函数中的面积最值问题—铅锤法PPT

，并求此时E点的坐标。 （2）过点E作X轴的垂线交BC与点F，交x轴与点N,作CM⊥EF
∵直线BC经过点B（-3,0），C（0,3） ∴yBC=x+3
（m,-m2-2m+3）E
设E点坐标为（m,-m2-2m+3）,F点为（m,m+3）
M
3
∴EF=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m ∴ S △ BCE=S △BEF +S △CEF= EF ·BN+ EF·CM
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条 直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）” ，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂 高（h）”。
我们可以得出一种计算三角形面积的新方法 ： 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
A
铅垂高
S △ ABC=S △ ABD+S △ ACD
M
C
= AD ·BN+ AD ·CM
Dh
B
N
水平宽
a= AD(BN+源自M) = ah例、如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0),与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于
点C;
(1)求抛物线的解析式；y=-x2-2x+3
(2)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值
F（m,m+3 ）
= EF·(BN+CM)= EF·BO
-3
N
= （ -m2-3m ） × 3
= （-3m2-9m）
=- (m+ )2+ ∴当m=- 时，SMAX=
此时，E（- ， ）

2020年 二次函数中图形面积最值问题 (22张PPT)

2020年 二次函数中图形面积最值问题 (22张PPT)

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例：如图，抛物线 yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为G
（2）若D点在直线CB下方抛物线上运动，求△BCD面积的最大值。 （变式1）在（2）条件下，求四边形ACDB面积最大值。 （变式2）在（2）条件下，过D点作DE∥y轴交BC边于点E，求DE的最大值。
（变式3）在（2）条件下，过D点作DF⊥BC于点F，当DF最大时，求D点坐标。
割补—铅锤法
转化—化斜为直
S△BCD=S△CDH+S△BDH
1 DH •CN 1 DH • BK
2
2
1 DH(CN BK) 2
1 2
( yH
yD )(xB
xK
)
新中问考题复剖习析指，南合·数作学探（究宜昌）
返回目录
例：如图，抛物线 yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴 交于点C，抛物线的顶点为G．
（变式4）在变式（2）,（3）条件下，求△DEF周长的最大值。
C△BCD DFFEED
2 DE 2 DEDE
2
2
( 2 1)DE
转化为△BCD面积最值问题
新中考复习指南 ·数学（宜昌）
返回目录
通过对上述四个变式的探究，你有什么收获？
新中考拓复展习指探南究·，数能学力（宜提昌升）
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例：如图，抛物线 yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为G
新变中式考练复习习一指南 ·数学（宜昌）
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例：如图，抛物线 yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴 交于点C，抛物线的顶点为G． （2）若D点在直线CB下方抛物线上运动，求△BCD面积的最大值。
（变式1）在（2）条件下，求四边形ACDB面积最大值。

二次函数的最值问题课件

二次函数的最值问题课件

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。

二次函数动点的面积最值问题课件

二次函数动点的面积最值问题课件

个分支的理解和掌握。
02
掌握解题方法
解决二次函数动点面积最值问题需要掌握一定的解题技巧和方法，包括
数形结合、参数分离、极值法等。通过对这些方法的运用，可以有效地
解决各种复杂的问题。
03
理解问题本质
二次函数动点面积最值问题的本质是寻找函数在某个区间上的最大值或
最小值，以及对应的自变量取值。通过对问题本质的深入理解，可以更
矩形面积的最值
在矩形中找一点，使得该点与矩形顶点的连线将矩形划分为四个面积相等的部分 ，也可以利用二次函数动点面积最值问题求解。
在实际生活中的应用
土地规划
在土地规划中，经常需要确定土地的 分割方式以及各部分的面积，利用二 次函数动点面积最值问题可以找到最 优的分割方案，使得土地的利用率达 到最高。
局。
城市绿化
在城市绿化规划中，通过求解二 次函数动点面积最值问题，可以 确定最佳的绿化区域和分布方式 ，提高城市绿化覆盖率和环境质
量。
06
总结和展望
对二次函数动点面积最值问题的理解和总结
01
理解问题背景
二次函数动点面积最值问题是一个经典的数学问题，涉及到几何、代数
和微积分等多个领域的知识。通过对该问题的研究，可以加深对数学各
要点二
代数解法
通过几何方法（如相似三角形、勾股定理等）来求解动点 面积的最值。
利用代数公式和不等式，通过代数运算求解动点面积的最 值。
二次函数动点面积最值问题的实际应用案例
建筑规划
在建筑规划中，需要考虑土地利 用效率与美观性，动点面积最值 问题可以帮助规划者找到最佳的
建筑布局方案。
农业种植
农业种植中，为了最大化土地利 用率和产量，可以利用二次函数 动点面积最值问题来优化种植布

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)
使销售利润最大？
请同学们完成这个 问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框 的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题 意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？ 如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围； 例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2） 有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件

二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
根据几何图形的特性，选择合 适的二次函数模型来表示面积 。
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所

二次函数的应用ppt课件


②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m

二次函数动点的面积最值问题(课堂PPT)

2
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)， B(－3，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
• (2)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在 一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐 标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。
3
知识总结
“二次函数中动点图形的面积最值”试题 解析一般规律： 这类问题的特征是要以静代动解题，首先 找面积关系的函数解析式，关键是用含x的 代数式表示出相关的线段的长度，若是规 则图形则套用公式或用割补法，若为不规 则图形则用割补法.
4
这类问题的特征是要以静代动解题首先找面积关系的函数解析式关键是用含x的代数式表示出相关的线段的长度若是规则图形则套用公式或用割补法若为不规则图形则用割补法
二次函数动点的面积最值问题
教学目标：1.会用代数法表示几来自 图形的面积最值问题。 2.能用函数图象的性质解决相关问题。
教学重点：二次函数中动点图形的面积最值的解法（割补 法）。
教学难点：点的坐标的求法及最值问题的解决。
1
22．（12分）（2016•安徽）如图，二次函数 y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动 点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面 积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大 值．

二次函数应用几何图形的最大面积问题课件


对未来学习的思考和展望
深入学习二次函数和几何图形的基础知识，掌握更多解 决实际问题的技巧和方法。
拓展学习领域，了解更多与数学相关的学科知识，如线 性代数、微积分等，为解决更复杂的问题提供支持。
关注数学在实际生活中的应用，了解数学与其他学科的 交叉点，培养跨学科解决问题的能力。
THANKS
的最大面积。
03
几何图形面积的最大值问 题
几何图形面积最大值的求解方法
03
代数法
几何法
参数法
通过代数运算和不等式性质，求出几何图 形面积的最大值。
利用几何图形的性质和特点，通过作图和 观察，求出面积最大值。
引入参数表示几何图形，通过参数的变化 和约束条件，求出面积的最大值。
面积最大值在二次函数中的应用
二次函数应用几何图形的最 大面积问题课件
目录
• 二次函数与几何图形的关系 • 二次函数的最值问题 • 几何图形面积的最大值问题 • 实际应用案例分析 • 总结与思考
01
二次函数与几何图形的关 系
二次函数图像的几何意义
01
二次函数图像是抛物线，其 顶点是函数的极值点。
02
二次函数图像的对称轴是x=h ，顶点的纵坐标是k。
二次函数与几何图形面积最大值问题 紧密相关，通过合理设定函数参数， 可以找到几何图形面积的最大值。
在解决实际问题时，需要综合考虑多 种因素，如几何图形的形状、大小和 位置等，以及二次函数的参数和约束 条件。
二次函数开口方向和顶点位置对几何 图形面积的影响是关键，需要根据实 际情况调整函数表达式，以获得最佳 效果。
01
总结词
02
详细描述
矩形面积最大化
在给定长和宽的条件下，利用二次函数求矩形的最大面积。通过设定 长和宽为二次函数的形式，并利用求导数的方法找到面积的最大值。

《利用二次函数求几何面积的最值问题》PPT课件


夯实基础
5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x ＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5， 最小值1，则m的取值范围是 __－__4_≤_m_≤_－__2____．
夯实基础
6．已知一个直角三角形两直角边边长之和为20 cm， 则这个直角三角形的最大面积为( B ) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
整合方法
解：如图： 设裁掉的正方形边长为x dm， 由题意可得 (10－2x)(6－2x)＝12， 即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)． 答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
整合方法 (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并 将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元， 底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大 时，总费用最低，最低为多少？
夯实基础
7．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的 长方形，a的值不可能为( D ) A．20 B．40 C．100 D．120
夯实基础
8．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边 AD 上找一点
E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是 AE，DE 的长，当
剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选在( A )
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
探究培优
14．【中考·南宁】如图①，为美化校园环境，某校 计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地 上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的 空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m. (1)用含a的式子表示花圃的面积．
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设窗户的透光面积为Sm2,则
S= 1πx2+2x(6-2x-0.5πx)
2
1
当
x
=-( 2
π+4)x2+12x
12
2(1 π 4)
12 π 8 ≈1.1时,s的值最大.
即当矩形窗框宽2约2.2m,高约2.1m时，透光面积最1大0 。
做一做P62 5
何时窗户通过的光线最多
驶向胜利 的彼岸
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
x
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
B
1. 对于面积最值问题应该设图形一 边长为自变量，所求面积为函数建立 二次函数的模型，利用二 次函数有关 知识求得最值，要注意函数的定义域。
2. 用函数知识求解实际问题，需要把 实际问题转化为数学问题再建立函数 模型求解，解要符合实际题意，要注 意数与形结合。
16
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
A
几秒后ΔPBQ的面积最大？
2cm/秒
最大面积是多少？
P
C
Q
B
5
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大 A
AP=2x cm PB=（8-2x ） cm 2cm/秒
问题：用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩 形面积s随矩形一边长L的变化而变化. 当L是多少时，场地的面积S最大？
y X=8
128
x
O
16
x
2
例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的 围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一 个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃 的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能 使花圃的面积最大？ (各边取整数）
QB=x cm
则 y= x（8-2x） （0<x<4）
P
=-x2 +4x =-（x2 -4x +4 -4）
= -（x - 2）2 + 4 C
1cm/秒
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
最大面积是 4 cm2
6
练习1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔
有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方
复习引入
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、 对称轴和最值 2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值.
（2）求函数y＝x2+2x－3的最值.（0≤x ≤ 3） 3.抛物线在什么位值取最值？
注：1.自变量X的取值范围为一切实数，顶点处取最值. 2.有取值范围的在端点和顶点处取最值.
1
xx
y
11
想一想P62 1
何时面积最大
驶向胜利 的彼岸
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm,那么
M
30cm
AD边的长度如何表示？
D
C(2).设矩形的面积为y Nhomakorabea2,当x取何
值时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40cm
12
（四）师生小结
可使花园面积最大？
D
Gx C x 解：设花园的面积为y
H
x
6-x
F
则
6
y=60-x2
-（10-x）（6-x）
A x E 10-x
=-2x2 + 16x （0<x<6）
B
=-2（x-4）2 + 32
10
所以当x=4时 花园的最大面积为382
练习 4：
室内通风和
采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光
面积.如果计划用一段长12m的铝合金材料,制
作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框,那么当
矩形的长、宽分别为多少时,才能使该窗户的透
光面积最大(精确到0.1m)?
9
窗户的透光面积= 半圆的面积+ 矩形的面积 解: 设矩形窗框的宽为__2_xm,
则半圆形窗框的半径为___x__m, 2x
矩形窗框的高为_(_6_-_2_x_-0__.5_π__x_)m.
D
C
A
B
3
10米 D
x
A
B
32-2x
解：设AD=x米， 则AB=（32-2x）米，设矩形面积为y米2，得到： Y=x（32-2x）=-2x2+32x ［错解］由顶点公式得：
x=8米时，y最大=128米2
而实际上定义域为11 ≤ x ﹤16，由图象或 增减性可知x=11米时， y最大=110米2
4
例2：如图在ΔABC中，AB=8cm,BC=6cm，∠B＝90°
C
(2)当x＝
b 2a
3 时，S最大值＝
4ac b2 4a
24－4x
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
7
2：在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四
边上分别选取E、F、G、H四点，且
AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，