2020届 云师大附中 高三适应性月考(九)数学(理)试题(解析版)

2020届云师大附中高三适应性月考（九）数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,1,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】B【解析】根据集合A ，得出表示圆221x y +=上及其内部的整数点，结合图象，即可求解. 【详解】 由题意，集合(){}22,1,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈表示如图所示的圆221x y +=上及其内部的整数点,共5个. 故选： B .【点睛】本题主要考查了集合表示，其中解答中正确理解集合表示表示方法是解答的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题.2．111i i +=+（ ）A ．1322i - B ．1322i +C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】A【解析】由复数的四则运算公式，求得答案. 【详解】1111131+2222i i i i i +=-+-=-， 故选：A 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3．已知双曲线的焦点()0c -，到它的一条渐近线:2l y x =的距离是1,则该双曲线的方程为( )A ．22142x y -=B ．22142-=y xC ．2212x y -=D ．2212y x -=【答案】C【解析】由焦点()0c -，到直线:2l y x =的距离为1，求得c =再结合双曲线的几何性质，求得,a b 的值，得到双曲线的方程. 【详解】由焦点()0c -，到直线:2l y x =的距离为11=，解得c =, 又由焦点在x 轴上,且渐近线的方程为:2l y x =，所以2b a =，即a = 因为222+=a b c ,即22)3b +=，解得a =1b =，所以双曲线的方程为：2212x y -=.故选 ：C . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．已知函数()121xf x a =++为奇函数,则()1f =( ) A ．-1 B ．23- C ．16-D ．13【答案】C【解析】根据()1002f a =+=,解得12a =-，得到()11221x f x =-++，即可求解. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++的定义域为x ∈R ,且()f x 为奇函数,可得()1002f a =+=,解得12a =-，所以()11221x f x =-++， 所以()116f =-. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中函数的奇偶性，合理应用求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 5．棱长为2的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A ．4B ．203C ．223D ．8【答案】B【解析】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为2的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为2，结合体积公式，即可求解. 【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为2的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形,高为2, 则该几何体的体积112022242323V =⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6．为计算121001222S =+++⋅⋅⋅+,设计了如图所示的程序框图,则在空白框内应填入( )A ．12n S S +=+B ．21n S S =+-C ．2S S =D ．21S S =+【答案】D【解析】根据给定的程序框图，逐项验证，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当空白框填入12n S S +=+时,执行程序框图,得121001012222S =++⋅⋅⋅++； 当空白框填入21n S S =+-时,执行程序框图,得12100222100S =++⋅⋅⋅+-； 当空白框填入2S S =时,执行程序框图,得0S =；空白框填入21S S =+,第1次循环:1S =,1n =,不满足条件100n >； 第2次循环:121S =⨯+,2n =,不满足条件100n >；第3次循环:()22211122S =⨯++=++,3n =,不满足条件100n >；由此可知,第101次循环:121001222S =+++⋅⋅⋅+,101n =,满足条件100n >. 故选:D . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算功能，其中解答中认真审题，根据给定的程序框图，逐项验证是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7．某校上午7:40开始上课,学生甲､乙两人均在早上7:15至7:40之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则甲比乙至少早5分钟到校的概率为( ) A ．825B ．25C ．1625D ．45【答案】A【解析】设学生甲､乙两人到校时间为x 分钟,y 分钟, 得到(){}025,025,5x y x y y x Ω=≤≤≤≤-≥，，再求得A 为甲比乙至少早5分钟到校所表示的集合A ，结合面积比的几何概型，即可求解. 【详解】由题意，设学生甲､乙两人到校时间分别为x 分钟,y 分钟, 则(){}025,025,5x y x y y x Ω=≤≤≤≤-≥，，设事件A 为甲比乙至少早5分钟到校,则(){}025,025,5A x y x y y x =≤≤≤≤-≥，，如图所示,可得2525625S Ω=⨯=,阴影部分面积为120202002A S =⨯⨯=, 所以()200862525P A ==. 故选：A .【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．在朱世杰所著的《四元玉鉴》中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意是“官府陆续派遣1864人前往筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人比前一天多7个,修筑堤坝每人每天发大米3升,”在该问题中,设第n 天派出的人为n a ,则36912a a a a +++=( )A ．238B ．354C ．438D ．834【答案】C【解析】得到每天派出的人数构成首项为64,公差为7的等差数列，即可求解36912a a a a +++的值，得到答案.【详解】由题意，每天派出的人数构成首项为164a =,公差7d =的等差数列{}n a ， 所以()3691239113238438a a a a a a a d a d +++=+=+++=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，其中解答中认真审题，得到每天派出的人数构成首项为64,公差为7的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．已知函数()()()sin 300f x x ωϕωφπ=++><<，为偶函数,()3A a ，,()3B b ，是其图象上两点,若a b -的最小值是1,则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．B ．72-C D ．72【答案】D【解析】由函数()f x 为偶函数,求得2ϕπ=，得到()3cos f x x ω=+,再根据a b -的最小值是1，求得ωπ=,得到函数的解析式，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()()sin 3f x x ωϕ=++为偶函数,所以,2k k Z πϕπ=+∈,因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=，所以()3cos f x x ω=+, 由于a b -的最小值是1,可得1212πω⋅=,所以ωπ=,即()3cos f x x π=+, 则173cos 332f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()0F c -，关于直线b y x c =的对称点P 在椭圆上,则椭圆的离心率是( ) A ．3 B ．22C ．3 D ．12【答案】B【解析】连接FP ,依题意得到2bcFP a=，设椭圆的右焦点为F ',则2F P OM '=，得出22c F P a'=，再利用椭圆的定义，求得2a c =，即可求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】如图所示,连接FP ,交直线by x c=于M 点， 依题意,FP 等于()0F c -，到直线by x c =的距离FM 的2倍，即2bc FP a=，设椭圆的右焦点为F ',则2F P OM '=，因为FMb OMc =,所以2c OM a =,于是22c F P a'=，由椭圆定义,可得2222bc c a a a+=，又由222a b c =+,化简整理得b c =,即2a c =，故离心率22c a =. 故选：B .【点睛】本题考查了椭圆的定义及椭圆的几何性质——离心率的求解，其中椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．11．设M N P ，，分别是长方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,1CC ,11C D 的中点,且2AB =,11BC CC ==,Q 是底面ABCD 内一个动点,若直线1D Q 与平面MNP 没有公共点,则三角形1BB Q 的面积的最小值是( ) A ．6 B ．3 C ．3 D ．6 【答案】A【解析】作出过M N P ，，三点的截面与底面ABCD 的交线1MM ,得到Q 点在AC 上,得出当线段QB 最短时,1BB Q ∆面积的最小,在Rt ABC ∆中,6QB =,利用面积公式，即可求解. 【详解】如图甲,作出过M N P ，，三点的截面与底面ABCD 的交线1MM , 则平面1ACD P 截面1MM NP ,故Q 点在AC 上, 由于1BB D ∆是Rt ∆,且直角边11BB =,故当线段QB 最短时,1BB Q ∆面积的最小,此时QB AC ⊥, 如图乙,在Rt ABC ∆中,2163AB BC QB AC ⋅⨯===, 所以1BB Q ∆面积的最小值为16612⨯⨯=. 故选：A .【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，得出截面的形状，结合面积公式求解是解题关键，着重考查了数形结合思想，属于中档试题.12．如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 是正方形，点O 为正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ；下部的形状是长方体ABCD A B C D ''''-.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为()0k k >，下部主体造价与高度成正比，比例系数为8k .若欲造一个上、下总高度为10m ,8AB =m 的仓库，则当总造价最低时，PO =（ ）A 45mB 43mC ．4mD ．45m【答案】B【解析】取BC 的中点为E ，表示OE ，由于PO ⊥平面ABCD ，在Rt POE ∆中，设PEO θ∠=，表示PO ，PE ，从而分别表示上部屋顶面积，下部主体的高度，进而表示仓库的总造价的函数关系，利用求导分析单调性，再求得最小值，即为答案. 【详解】如图，设BC 的中点为E ，连接PE OE ，，则4OE =. 由于PO ⊥平面ABCD ，则有PO OE ⊥；在Rt POE ∆中，设PEO θ∠=，则有4tan PO θ=，4cos PE θ=， 所以上部屋顶面积为644cos PBC S S θ∆==，下部主体的高度为104tan h θ=-， 所以仓库的总造价为2sin 83280cos y S k h k k k θθ-⎛⎫=⋅+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭. 设()2sin 0cos 2f θπθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，所以()22sin 1cos f θθθ-'=.令()0f θ'=，得1sin 2θ=，所以6πθ=； 则当06πθ<<时，()0f θ'<，()fθ在06π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当62ππθ<<时，()0f θ'>，()f θ在62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增；所以当6πθ=时，()fθ有最小值，此时43PO m =，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解决实际生活中的造价最低问题，还考查了立体几何的图形关系，属于难题.二、填空题13．若6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-160，则a =______． 【答案】2【解析】表示展开式中的第1r +项，由常数项的未知数的指数为零构建当方程，求得第几项，代入即可. 【详解】6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第1r +项为()616rr r r a T C x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()62661rrr r C a x --=?鬃 当3r =时，常数项3346160T C a =-⋅=-，所以2a =.故答案为：2 【点睛】本题考查由二项式展开项中指定项的值求参数，属于简单题.14．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为7，AO AB AC u u u r u u u r u u u r+=，且AO AB =u u u r u u u r ，则CA u u u r 在u u rCB 方向上的投影为______．【解析】由AO AB AC u u u r u u u r u u u r +=得OB AC u u u r u u u r=-，则四边形OBAC 是平行四边形，由O 是ABC ∆的外心,又AO AB =u u u r u u u r，所以OAB ∆是正三角形，则四边形OBAC 是菱形，由投影的运算公式即可求得答案. 【详解】由AO AB AC u u u r u u u r u u u r +=，得OB AC u u u r u u u r=-，所以四边形OBAC 是平行四边形，因为O 是ABC ∆的外心,又AO AB =u u u r u u u r，所以OAB ∆是正三角形，则四边形OBAC 是菱形，所以CA u u u r 在u u r CB方向上的投影为cos 6CA u u u rπ=.【点睛】本题考查平面向量的投影的运算，属于中档题. 15．在锐角ABC ∆中，3B π=，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，cos cos A C a c +=，则a c +的取值范围是______．【答案】32⎛ ⎝【解析】由已知关系结合余弦定理化简整理可得b ，再由正弦定理表示外接圆半径以及a ，c 边，并由辅助角公式整理为一个角的三角函数，又由三角形为锐角三角形构建不等式关系求得角A 的取值范围，从而可求得a +c 的范围. 【详解】由cos cos A C a c +=结合余弦定理得22222222b c a a b c bc ab a c +-+-+=，化简得b =， 由正弦定理，得ABC ∆的外接圆直径21sin bR B==，则2sin sin sin sin 36a c A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ABC ∆为锐角三角形，则有0,220,32A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩解得62A ππ<<，故2363A πππ<+<，所以362a c A π⎛⎫⎛+=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝.故答案为：32⎛ ⎝ 【点睛】本题考查求三角形两边和的取值范围，常由正弦定理转化为角的关系，由锐角或钝角三角形求得角的范围，进而解决问题，属于较难题.16．函数()f x 的定义域为[)t +∞，，若存在一次函数()g x kx b =+，使得对于任意的[)x t ∈+∞，，都有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 在[)t +∞，上的弱渐进函数.下列结论正确的是______．（写出所有正确命题的序号） ①()g x x =是()f x =[)1+∞，上的弱渐进函数； ②()21g x x =+是()13f x x x=+在[)1+∞，上的弱渐进函数； ③()34g x x =-是()ln f x x x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ④()1g x x =+是()xxf x x e=+在[)1+∞，上的弱渐进函数. 【答案】①④【解析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建()()f x g x - ①构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误；③构建关系，取特值()G e ，其绝对值大于1，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】①由于()())1f x g x x x -==≥，1x ≥，所以01<≤，所以①正确；②设()()113211F x x x x x x=+-+=+-，当1x ≥时，()1F x ≥，不符合()1F x ≤，所以②错误；③设()ln 34G x x x x =-+，()421G e e =-<-，()1G e >，不符合()1G x ≤，所以③错误；④设()1x x H x e =-，()1x x H x e ='-，当1x ≥时，()10x x H x e -'=≤，()1xxH x e =-在[)1+∞，上单调递减，所以()()111H x H e ≤=-；又1x ≥时，0x xe>，()11x x H x e =->-，即()1110H x e-<≤-<，所以()1H x <，④正确，综上，①④正确. 故答案为：①④ 【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足246n n S S +=+. (1)求数列{}n a 的首项1a 及公比q ;(2)若{}n a 的前n 项积为n T ,1121log n n b T +=,求数列{}n b 的前n 项和n P .【答案】(1)11a =,12q =.(2)21n n P n =+【解析】(1)由246n n S S +=+,得到3146S S =+,4246S S =+,两式相减得4214a a =,求得12q =，再由3146S S =+，求得1a 的值； (2)由(1)知112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,求得()1212n n n T -⎛⎫= ⎪⎝⎭,进而得到1121n b n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭,再结合裂项法，即可求解. 【详解】(1)由题意，正项等比数列{}n a 的满足246n n S S +=+, 可得3146S S =+,4246S S =+,两式相减得4214a a =,所以24214a q a ==,解得12q =±，又0q >,所以12q =， 又由3146S S =+，可得()123146a a a a ++=+,解得11a =. (2)由(1)知11112n n n a a q--⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以()1011211112222n n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()11212112log 11nn b T n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭,则11111122121223111n n P n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n 项和公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于常考题.18．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==.（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°，求平面CPB 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（27【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ，由中位线定理，和空间中平行的传递性可证四边形OFED 为平行四边形，即//OD EF ，由已知线面垂直和菱形证得OD ⊥平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理得证；（2）由直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°求得AP ，分别以AM AD AP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系A xyz -，有空间坐标表示法表示点P,C,E,D,B ,进而求得平面CPB 和平面CDE 的法向量，由向量的数量积求夹角的公式求得，法向量的夹角，观察已知图形为锐二面角，作答即可. 【详解】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ， ∵O F ，分别是AC PC ，的中点， ∴//OF PA ，且12OF PA =， ∵//DE PA ，且12DE PA =， ∴//OF DE ,且OF DE =，∴四边形OFED 为平行四边形，∴//OD EF . ∵PA ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ， ∴PA OD ⊥，又ABCD 是菱形，AC OD ⊥，PA AC A =I ， ∴OD ⊥平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ， 又EF ⊂平面PCE ， ∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）由直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°知，45PCA ∠=o ，∴2AC PA ==， ∴ABC ∆为等边三角形.设BC 的中点为M ，则AM BC ⊥.如图，分别以AM AD AP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()002P ，，，)0C ，，()021E ，，，()020D ，，，)10B -，，)2PC =-u u u v ，，()CE =u u u v ，，()001DE =u u u v ，，，()020CB =-u u u v ，，， 设()m x y z =r，，为平面CPB 的法向量，则0,0,m PC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r即20,20,y z y +-=-=⎪⎩令2x =，可得2,x z =⎧⎪⎨=⎪⎩即(20m =r . 设()111n x y z =r，，为平面CDE 的法向量，则0,0,n DE n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即11110,0,z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令11x =，可得()n =r ，所以7cos ,27m nm n m n ⋅===r rr r r r， 故平面CPB 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为7. 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明，还考查了求空间中二面角的余弦值，属于较难题. 19．在平面直角坐标系xOy 中，A B ，为抛物线()2:20C y px p =>上不同的两点，且OA OB ⊥，点D ()12，且⊥OD AB 于点D . （1）求p 的值；（2）过x 轴上一点 ()()00T t t ≠，的直线l 交C 于()11y x M ，，()22N x y ，两点，M N，在C 的准线上的射影分别为P Q ，，F 为C 的焦点，若2PQF MNF S S ∆∆=，求MN 中点E 的轨迹方程.【答案】（1）52；（2）252524y x =-【解析】（1）由点()12D ，且OD AB ⊥于点D ，可求得直线AB 的方程，联立直线方程与抛物线方程由韦达定理可表示A B y y ×，进而表示A B x x ⋅，再由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=u u u r u u u r构建方程，解得p 值；（2）分别表示PQF S ∆与MNF S ∆，由已知2PQF MNF S S ∆∆=构建方程，解得t 的值，设MN 的中点E 的坐标为()x y ，，当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =构建等式，整理得中点轨迹方程；当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合，综上可得答案. 【详解】（1）由OD AB ⊥及()12D ，，得直线AB 的斜率112OD k k =-=-， 则AB 的方程为()1212y x -=--，即25x y =-+，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，联立22,25,y px x y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得24100y py p +-=，216400p p ∆=+>，由韦达定理，得10A B y y p =-，于是222210025224A B A B y y p x x p p p =⋅==， 由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=u u u r uu u r，即0A B A B x x y y +=，则25100p -=， 解得52p =. （2）由（1）得抛物线的焦点504F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设C 的准线与x 轴的交点为G ， 则12115222PQF S FG PQ y y ∆==⨯-，12115224MNF S FT PQ t y y ∆==--，由2PQF MNF S S ∆∆=，得5544t -=，且0t ≠，得52t =. 设MN 的中点E 的坐标为()x y ，， 则当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =，可得21212221212105555552222255y y y y y y y yy y x x y y y x x x x ---=⇒=⇒=⇒=-+-----， 25255242y x x ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭； 当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合， 所以MN 的中点的轨迹方程为252524y x =-.【点睛】本题考查由已知关系求抛物线的标准方程，还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的轨迹方程问题，属于难题.20．某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm ）在正常环境下服从正态分布()6836N ，. （1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm 的概率； （2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额x （单位：万元）与年利润增量y （单位：万元）的散点图：该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： 2.5020ˆ.5yx =-； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：ln y b x a =+的附近，对投资金额x 做交换，令ln t x =，则y b t a =⋅+，且有10122.00ii t==∑，101230i i y ==∑，101569.00i ii t y==∑，102150.92i i t ==∑.（I ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；（II ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）. 回归模型模型①模型②回归方程2.5020ˆ.5yx =- l ˆn yb x a =+()1021ˆiii y y=-∑ 102.28 36.19附：若随机变量()2X N μσ:，，则()220.9544P X μσμσ-≤≤+=，()330.9974P X μσμσ-≤≤+=；样本()(),12i i t y i n =⋅⋅⋅，，，的最小乘估计公式为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-； 相关指数()()22121ˆ1ni i nii y yR y y ==-=--∑∑.参考数据：200.97720.6305≈，200.99870.9743≈，ln 20.6931≈，ln5 1.6094≈.【答案】（1）0.3695；（2）（I ）25l 32ˆn yx =-,（II ）模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，当20x =时，模型②的年利润增量的预测值为ˆ=42.89y （万元），【解析】（1）由已知满足正态分布，则可知μ，σ的值，由正态分布的对称性可知，可求得买一个苹果，其果径小于56mm 的概率()()1561222P X P μσξμσ⎡⎤<=--≤≤+⎣⎦，由独立重复试验概率的运算方式，求得购买20个“糖心苹果”中有果径小于56mm 的苹果概率； （2）（I ）由最小二乘法求得模型②中y 关于x 的回归方程；（II ）分别计算两种模型的相关系数的平方，得模型②的相关系数的平方更大其拟合程度越好，再代20x =进行计算，求得预测值. 【详解】（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径()2X N μσ~，，则68μ=，6σ=. 由正态分布的对称性可知， ()()()()1115616812681212210.95440.0228222P X P X P μσξμσ⎡⎤⎡⎤<=--≤≤+=--≤≤+=⨯-=⎣⎦⎣⎦设一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56mm 的有ξ个，则()20,0.0228B ξ~，故()()()2020110110.022810.97720.3695P P ξξ≥=-==--=-=，所以这名顾客所购买20个“糖心苹果”中有果径小于56mm 的苹果概率为0.3695. （2）（I ）由10122.00ii t==∑，101230i i y ==∑，可得 2.20t =，23y =，又由题，得()()()112221110569.0010 2.20232550.9210ˆ 2.20 2.2010n ni i i i i i n n i i i i t t y y t y t y b t t t t====---⋅-⨯⨯====-⨯⨯--∑∑∑∑， 则23252ˆ.2032ˆa y bt=-=-⨯=- 所以，模型②中y 关于x 的回归方程25l 32ˆn yx =-. （II ）由表格中的数据，有102.2836.19>，即()()10102211102.2836.19i i i i y y y y ==>--∑∑，所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 当20x =时，模型②的年利润增量的预测值为()()25ln2032252ln2ln5322520.6931 1.60943242.8ˆ9y=⨯-=⨯+-≈⨯⨯+-=（万元），这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠. 【点睛】本题考查统计案例的综合问题，涉及正态分布求概率、独立重复试验的概率运算以及利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了由相关系数的平方比较模型的拟合程度，属于难题.21．已知函数()()()()21212xf x ex a x e a R =---+∈. （1）若1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围； （2）若a e =，证明：当2m ≥时，()()2ln 21xf x m x x x x ⋅>-+-. 【答案】（1）()a e ∈-∞，；（2）证明见解析【解析】（1）求得()f x 的定义域，并求导，利用分类讨论当0a ≤时，分析单调性显然成立；当0a >时，令()0f x '=，得1x =或ln x a =，再利用分类讨论两根的大小，分别分析单调性讨论是否成立，得到当0a e <<时成立，当a e =时与当a e >时，都不成立，最后综上得参数的取值范围；（2）由（1）可知当a e =时，得()f x 的单调性，从而表示()01f x x >-；将所证不等式等价转化为不等式()ln 21f x x m x x x ⎛⎫>-+ ⎪-⎝⎭对任意的()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立，构建()()ln 0x g x x x x=->，利用导数求得值域()()11g x g ≤=-，最后由不等式的性质即可得证原不等式成立.【详解】（1）()f x 的定义域为x R ∈，()()()1x f x x e a =--' ①当0a ≤时，x R ∈，则0x e a ->，令()0f x '=，得1x =，当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在(),1-∞上单调递减；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增；此时1x =是()f x 的极小值点，符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，得1x =或ln x a =.（i ）当0a e <<时，则ln 1a <，所以当ln x a <时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递增；当ln 1a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()ln ,1a 上单调递减；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，此时1x =是()f x 的极小值点，符合题意；（ii ）当a e =时，()()()1x f x x e e =--'， 当x R ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，1x =不是()f x 的极值点. （iii ）当a e >时，则ln 1a >，所以当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(),1-∞上单调递增；当1ln x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()1,ln a 上单调递减；当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，此时1x =是()f x 的极大值点，不符合题意.综合①②，得(),a e ∈-∞.（2）证明：由（1）可知当a e =时，()f x 在()0,+∞上单调递增；又()10f =，所以当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >；所以当01x <<或1x >时，都有()01f x x >-. 要证不等式()()2ln 21x f x m x x x x ⋅>-+-对任意的()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立， 即证不等式()ln 21f x x m x x x ⎛⎫>-+ ⎪-⎝⎭对任意的()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立， 设()()ln 0x g x x x x =->，则()221ln x x g x x--'=. 设()21ln h x x x =--，()10h =且()h x 在()0,+∞上单调递减； 所以方程()0g x '=的唯一解为1x =，所以当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减；所以当0x >时，()()11g x g ≤=-.当2m ≥时，()ln 2220x mg x m x m x ⎛⎫+=-+<-+≤⎪⎝⎭对任意()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立.所以当2m ≥时，不等式()ln 21f x x m x x x ⎛⎫>-+ ⎪-⎝⎭对任意()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立. 【点睛】本题考查含参函数利用导数解决由极值点讨论参数取值范围问题，还考查了利用导数解决不等式证明问题，属于难题. 22．在直角坐标系中,曲线1C的参数方程为1,232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2223cos 3sin ρθθ=+. (1)写出1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程;(2)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时点Q 的直角坐标.【答案】(1)1:40C x y +-=,222:13x C y +=.(2) ,3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】(1)由曲线1C 的参数方程消去t ，即可得到直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线2C 的直角坐标方程；(2)设2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α为参数),得到)sin Q αα，，结合点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解.【详解】 (1)由曲线1C的参数方程1,232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),消去t ，可得1:40C x y +-=， 由2223cos 3sin ρθθ=+,即2222cos 3sin 3ρθρθ+=, 又由cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程,可得222:13x C y +=， 即曲线2C 的直角坐标方程2213x y +=. (2)设2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α为参数),[)02απ∈，,则)sin Q αα，. 因为1C 是直线,所以PQ 的最小值即为Q 到1C 距离d 的最小值,23d πα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭, 当6πα=时,d, 此时Q 为3122⎛⎫⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．已知函数()12f x x x a =--+,0a >.(1)当3a =时,求不等式()3f x >的解集;(2)若()()g x f x =-,且()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.【答案】(1)843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；(2)()2+∞，. 【解析】(1)由3a =时,不等式()3f x >化为1233x x --+>，分类讨论，即可求解；(2)由()()12,1312,112,x a x g x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=-=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，求得函数()g x 的图象与x 轴围成三角形的三个顶点坐标，利用三角形的面积公式和题设条件，列出不等式，即可求解.【详解】(1)当3a =时,不等式()3f x >化为1233x x --+>，当3x <-时，可得()()1233x x --++>,4x >-,解得43x -<<-；当31x -≤≤时,可得()()1233x x ---+>,83x <-,解得833x -≤<-；当1x >时，可得()1233x x --+>,10x <-,此时无解, 综上可得，不等式()3f x >的解集为843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. (2)因为()()12,112312,112,x a x g x f x x x a x a x a x a x a --<-⎧⎪=-=+--=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，则函数()g x 的图象与x 轴围成三角形的三个顶点分别为2103a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭，,()210B a +，,()1C a a +，, 可得()221213ABC C A y S B a ∆=⋅=+，又由()22163a +>,解得2a >, 所以a 的取值范围为()2+∞，. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及应用，其中解答中熟记含有绝对值的不等式的解法，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算求解能力，属于基础题.。