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2018年云南省高中毕业生复习统一检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)己知集合S={x|x+9>0}，T={x| x 2 <5 x}，则S ∩Y=A.（-9，5）B.（一∞，5）C.（-9，0）D. (0，5)（2)已知i 为虚数单位，设z=3- 1i ，则复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（3）已知平面向量 =(1，x)， =（一2，1），若，则A ．．3 C ．10(4）已知直线y=mx+2 与圆x 2+y 2 -2x 一4y -4=0相交于A 、B 两点，若=6，则m=A.4 B ．5 C ．6 D ．7(5)已知函数f(x)的定义域为（-∞，0]，若g （x ）=是奇函数，则f （一2）=A ．一7B ．一3C ．3D ．7(6)执行右面的程序框图，若输入的a=2，b=l ， 则输出的n=A ．7B ．6C ．5D ．4(7)由圆锥与半球组合而成的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是直径为6的圆．若该几何体的体积为30π，则其表面积为A.30πB.（π C ．33ππ(8)已知=2, =2，与的夹角等于则A. -6B. -4C.4D.6（9)己知x l、x2是关于x的方程x2+ ax+ 2b=O的实数根，若-l<x1<1，1<x2<2，设c=a-4b+3，则c的取值范围为A.(-4,5)B.(-4,6) C．[-4,5] D. [-4,6](10)己知正三棱柱ABC – A1B1C1的底面边长为2，P、M、N分别是三侧棱AA1、BB1、CC1上的点，它们到平面ABC的距离分别是1、2、3，正三棱柱ABC - A1B l C1被平面PMN分成两个几何体，则其中以A、B、C、P、M、N为顶点的几何体的体积为A． B. C． D．(11)《九章算术>是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．第九章“勾股”中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是，“今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”我们知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，若往该直角三角形中随机投掷一个点，则该点落在此三角形内切圆内的概率为A． B． C． D．(12)已知A，B，C是锐角AABC的三个内角，B的对边为b，若数列A，B，C是等差数列，b=，则△ABC面积的取值范围是A．．．．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）(13)在的二项展开式中，x3的系数为____(14)若，则sin 2α=(15)已知双曲线M: 的渐近线与圆x2 +(y一2b)2 =a2相切，则双曲线M 的离心率为____．(16)下列结论：①设命题p：a=2：命题q：f(x)=sinax的最小正周期为π，则p是q的充要条件；②设f(x)=sin|x|，则f(x)的最小正周期为2π；⑨设f(x)：cos|x|，则f(x)的最小正周期为2π；④已知f（x）的定义域为实数集R，若，f(x+1）=f(x+6）+f(x—4），则30 是f(x)的一个周期;⑤己知f(x)的定义域为实数集R，若，f(x+1）=f(x+6）+f(x—4），则120是f(x)的一个周期;其中正确的结论是（填写所有正确结论的编号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）已知数列{}n a的前n项和为Sn，,设.（Ⅰ）求数列{}n b的通项公式；（Ⅱ）求证：(18)（本小题满分12分）某共享单车公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两个小区分别随机调查了20个用户，得到用户对其产品满意度评分的茎叶图如下：(I)从满意度评分在65分以下的用户中，随机抽取3个用户，求这3个用户来自同一小区的概率尸；（Ⅱ）本次调查还统计了40人一星期使用共享单车的次数X，具体情况如下：该公司将一星期使用共享单车次数超过6次的称为稳定消费者，不超过6次的称为潜在消费者，为了鼓励消费者使用该公司的共享单车，公司对稳定消费者每人发放10元代金券，对潜在消费者每人发放15元代金券．为进一步研究，有关部门根据上述一星期使用共享单车次数统计情况，按稳定消费者和潜在消费者分层，采用分层抽样方法从上述40人中随机抽取8人，并在这8人中再随机抽取3人进行回访，求这三人获得代金券总和Y(单位：元)的分布列与均值．(19)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，APBD为等边三角形，AC=2，PA= (I)求证：平面PBD上平面ABCD：(II)若E为线段PD上一点，DE =2PE，求二面角B-AE-C的余弦值．(20)（本小题满分12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，抛物线y2=-4x的准线被椭圆E截得的线段长为3．(I)求椭圆E的方程：(II)设m、n是经过E的右焦点且互相垂直的两条直线，m与E交于A、B两点，n与E交于C、D两点，求的最小值．(21)（本小题满分12分）已知f(x)：a（x2-x）+lnx+b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x- y-3=0,(I)求a，b的值：(II)如果对任何x>0，都有f(x)≤kx·[f'(x)-3]，求所有k的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.(22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点E的直角坐标为(2，，直线，与曲线C交于A、B两点．(I)写出点E的极坐标和曲线C的普通方程；( II)当时，求点E到A，B两点的距离之积．(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|，g(x)=f(x)+|x-l|，b≥ -l．(I)解不等式f(x≥|2x-3|+1；(II)若函数g(x)的最小值是a，求证：。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题（本大题共18小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}U 1,3,5,7,9=，{}1,5,7A =，则U A =ð（ ）A ．{}1,3B ．{}3,7,9C ．{}3,5,9D ．{}3,92、复数3223i i+=-（ ）A ．iB ．i -C ．1213i -D ．1213i +3、函数sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数4、给定下列两个命题：①“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件②“0R x ∃∈，使0sin 0x >”的否定是“R x ∀∈，使sin 0x ≤”其中说法正确的是（ ）A ．①真②假B ．①假②真C ．①和②都为假D ．①和②都为真 5、在图1所示的程序中，若5N =时，则输出的S 等于（ ） A ．54B ．45C ．65D ．566、已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．()10613--- B ．()101139-- C ．()10313--D ．()10313-+7、若已知向量()cos 25,sin 25a =，()sin 20,cos 20b =，u a tb =+，R t ∈，则u 的最小值是（ ）A ．B ．2C ．1D ．128、如图2所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的表面积为（ ）A ．64+ B ．()968π+C ．64+ D ．()968π+9、过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．18、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），若过右焦点F 且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．1,3⎛⎝⎭C ．[)2,+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭18、已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为2的正三角形，C S 为球O 的直径，且C 4S =，则此棱锥的体积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．18、()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()(){}1max ,f x g x H =，()()(){}2min ,x f x g x H =（{}max ,p q 表示p ，q 中的较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中的较小值）．记()1x H 的最小值为A ，()2x H 的最大值为B ，则A -B =（ ）A ．16B ．16-C ．2216a a --D ．2216a a +-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 18、()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a = ． 18、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和．若1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S = ．18、若x ，y 满足1x y +≤，则3yz x =-的取值范围是 ． 18、设x，Ry ∈，且满足()()()()2015201512013sin 1201412013sin 12012x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩，则x y += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18、（本小题满分18分）已知向量()sin ,1m x =，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅．()I 求函数()f x 的最小正周期；()II若a ，b ，c 分别是C ∆AB的三边，a =c =()f A 是函数()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的最大值，求角A 、角C ．18、（本小题满分18分）为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取180名学生，测得其身高情况如下表所示．()I求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；()II若按身高分层抽样，抽取20人参加2018年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于180cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19、（本小题满分18分）如图4，已知菱形C S A B 中，60S ∠AB =．沿着对角线S A 将菱形C S A B 折成三棱锥C S -AB ，且在三棱锥C S -AB 中，C 90∠BA =，O 为C B 中点．()I 求证：S O ⊥平面C AB ；()II 求平面C S A 与平面C S B 夹角的余弦值．20、（本小题满分18分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．()I 求椭圆的方程；()II 若以k （0k ≠）为斜率的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为116，求k 的取值范围．21、（本小题满分18分）已知函数()1ln 1a x f x x x -=-+．()I 若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； ()II 设0m n >>，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分18分）选修4-1：几何证明选讲如图5，圆O 的直径10AB =，弦D E ⊥AB 于点H ，2BH =．()I 求D E 的长；()II 延长D E 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若C P =D P 的长．23、（本小题满分18分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos 24πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． ()I 把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；()II 求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 24、（本小题满分18分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-，()3g x x m =-++．()I 解关于x 的不等式()10f x a +->（R a ∈）； ()II 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围．云南师大附中2018届高考适应性月考卷（六）理科数学参考答案一、选择题（本小题共18小题，每小题5分，共60分） 1、D 2、A 3、B 4、D 5、D 6、C 7、B 8、D 9、B 18、B 18、A 18、B 【解析】1．由{13579}U =，，，，，{157}A =，，，则{39}UA =，ð，故选D ．2．由32i (32i)(23i)i 23i(23i)(23i)+++==--+，故选A ．3．由πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则函数为周期为π的偶函数，故选B ．4．（1）当“p q ∨”为真时，可以是p 假q 真，故而p ⌝为假不成立；当p ⌝为假时，p 为真，则“p q ∨”为真，故①正确； （2）由特称命题的否定为全称命题，故②正确，综上所述，①②均正确，故选D ． 5．由程序框图可知，输出的1111111111511223344556223566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故选D ． 6．因为124303n n a a a ++==-，，所以11143n n a a a +=-=，，所以数列{}n a 是公比为 13-的等比数列，所以{}na 的前18项和等于103(13)--，故选C ．7．由题意(cos 25sin 20sin 25cos 20)u a tb t t =+=︒+︒︒+︒，，则2||1u t=+，当t = 时，min 2||u =，故选B ．8．由题意可知：该几何体为边长为4的正方体上下各挖去底面半径为2，高为2的圆锥，故而其表面积是1642(164π)24π968)π2+-+⨯⨯=+-，故选D ．9．由于y =221(0)xy y +=≥，直线l 与221(0)xy y +=≥交于A ，B 两点，如图1所示，11sin 22AOBSAOB =∠△≤， 且当90AOB ∠=︒时，AOBS△取得最大值，此时AB =O 到直线l，则30OCB ∠=︒，所以直线l的倾斜角为180°，则斜率为，故选B ．18．ABC △外接圆的半径r =，点O 到平面ABC的距离d ==，SC 为球O 的直径⇒点S 到平面ABC的距离为2d =，此棱锥的体积为123ABCV Sd=⨯△13==故选A ．18．由()()f x g x =，得2()4x a -=，所以当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等，()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()(2)()()(22)()(2)f x x a H x g x a x a f x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩≤，，≥，2()(2)()()(22)()(2)g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩≤，，≥，所以1min ()A H x =图1(2)44f a a =+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 18．由题意知，3334315C (2)80TT x x +==-=-，故而380a =-．18．因为13a a ，是方程2540xx -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以13142a a q ===，，，所以66126312S -==-． 18．如图2，由033y y z x x -==--，由斜率公式可知，其几何意义是点()x y ，与点(30)，所在直线的斜率，故而 由图可知，min13AI zk ==-，max 13BI z k ==，故而z 的 取值范围是1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 18．令2015()2013sin f t tt t =++，则函数()f t 为单调递增的奇函数，由题意知：(1)f x -=2015(1)2013(1)sin(1)1x x x -+-+-=，2015(1)(1)2013(1)sin(1)1f y y y y -=-+-+-=-，故而(1)(1)0x y -+-=，所以2x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（本小题满分18分） 解：（Ⅰ）3sin 2m n x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，，图2233()(sin )sinsin sin 22f x x x x x x x =++=++ 1cos 23122cos 22222x x x x -=+=-+， π()sin 226f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期πT =．………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ5π022666x x <-<-∵≤，∴≤，∴当ππ262x -=，即π3x =时，max()3f x =，π3A =∴，由正弦定理sin sin a cA C=， 得sin C =π4C =∴．……………………………………………………（18分）18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是182.5cm ， 补全频率分布直方图如图3所示．…………………………………………………………………………（4分）图3（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于180cm ”的有5人，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，则315320C 91(0)C 228P ξ===；21155320C C 35(1)C 76P ξ===；12155320C C 5(2)C 38P ξ===；35320C 1(3)C 114P ξ===， 则ξ的分布列如下：3()4E ξ=∴．……………………………………………………………………（18分）19．（本小题满分18分）（Ⅰ）证明：由题设AB AC SB SC SA ====，如图4，连接OA ，因为ABC △为等腰直角三角形， 所以OA OB OC ===，且AO BC ⊥， 又SBC △为等腰三角形， 故SO BC ⊥，且SO =， 从而222OASO SA +=，所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥，图4又AO BC O=，所以SO ⊥平面ABC．………………………………………（6分）（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系O xyz -． 设(100)B ，，，则(100)C -，，，(010)A ，，，(001)S ，，，(011)SA =-，，，(101)SC =--，，.设平面SAC 的法向量1()x y z =，，n，由1100SA y z y x z x SC x z ⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=-=--=⎩⎪⎩，，，n n 令1x =，得1(111)=--，，n．由（Ⅰ）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量2(010)OA ==，，n .………………………………………………………………………………（18分）设平面ASC 与平面SCB 的夹角为θ，则1212||3cos ||||θ==nn n n …………………………………………………………………………………（18分） 20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）1c =，设M N ，为短轴的两个三等分点，F 为焦点， 因为MNF △为正三角形，图53，解得b=，2214a b=+=，因此，椭圆方程为22143x y+=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线的方程为(0)y kx m k=+≠．点1122()()A x yB x y，，，的坐标满足方程组22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，①，②将①式代入②式，得2234()12x kx m++=，整理得222(43)84120k x kmx m+++-=，此方程有两个不等实根，于是222(8)4(43)(412)0km k m∆=-+->，整理得22430k m-+>，③由根与系数的关系，可知线段AB的中点坐标00()x y，满足12024243x x kmxk+-==+，002343my kx mk=+=+，从而线段AB的垂直平分线方程为223144343m kmy xk k k⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭，此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为22004343km mk k--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，，，．由题设可得22112434316km mk k--=++，整理得222(43)8||km kk+=≠，，将上式代入③式得222(43)4308||kkk+-+>，整理得22(43)(48||3)00k k k k+-+<≠，，解得13||22k <<，所以k的取值范围是31132222⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，．………………（18分）21．（本小题满分18分） （Ⅰ）解：222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++， 因为()(0)f x +∞在，上为单调增函数， 所以()0f x '≥在(0)+∞，上恒成立， 即2(22)10xa x +-+≥在(0)+∞，上恒成立．当(0)x ∈+∞，时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-+≤．设1()(0)g x x x x=+∈+∞，，，1()2g x x xxx=+=≥， 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2，所以222a -≤，所以2a ≤， 所以a的取值范围是(2]-∞，．………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：要证ln ln 2m n m nm n -+<-，0m n >>∵，ln0mn>∴，只需证112ln m m n n m n-+<， 即证21ln 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，只需证21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+．设2(1)()ln 1x h x x x -=-+，由（Ⅰ）知()h x 在(1)+∞，上是单调增函数，又1m n>，所以(1)0m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+成立， 所以ln ln 2m n m nm n -+<-．……………………………………………………（18分） 22．（本小题满分18分）【选修4−1：几何证明选讲】 解：（Ⅰ）AB ∵为圆O 的直径，AB DE ⊥，DH HE =，22(102)16DH AH BH ==-=∴，48DH DE ==∴，．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）PC ∵切圆O 于点C ，2PCPD PE =∴，2(8)2PD PD PD =+=∴，∴．…………………………………………（18分）23．（本小题满分18分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，则圆1O 的直角坐标方程为224xy +=，圆2O 的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=．…………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆1O 与圆2O 的交点所在的直线方程为1x y +=，其极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=．…………………………………………（18分）24．（本小题满分18分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）不等式()10f x a +->，即|2|10x a -+->． 当1a =时，不等式的解集是(2)(2)-∞+∞，，；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即|2|1x a ->-，即21x a -<-或21x a ->-，即1x a <+或3x a >-，不等式解集为(1)(3)a a -∞+-+∞，，．………………………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方， 即|2||3|x x m ->-++对任意实数x 恒成立， 即|2||3|x x m -++>对任意实数x 恒成立．由于|2||3||(2)(3)|5x x x x -++--+=≥，当且仅当32x -≤≤时取等，故只要5m <， 所以m的取值范围是(5)-∞，．………………………………………………（18分）。
理科数学参考答案·第1页（共10页）云南师大附中2018届高考适应性月考卷（六）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题有{|0}M y y =>，{|}N y y =∈R ，∴{|0}MN y y =>，故选C ．2．∵向量a ，b 的夹角θ的取值范围为[0π]，，故选A ． 3．由2018i(1i)i z ++=-有(1i)1i z +=-，∴1i 1iz -=+2(1i)2i i (1i)(1i)2--===-+-，故选D ． 4．∵3222()(0)a f x x x x x-'=+-≠，∴函数()f x 在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)4f a '=-+，∴45a -+=，得9a =，故选B ． 5．抛物线22x py =(0)p >的标准方程为212y x p=，故选C ． 6．令0x =得70(2)128a =-=-，令1x =得012345671a a a a a a a a +++++++=-，∴12a a ++345671128127a a a a a ++++=-+=，故选B ．7．∵0k ≠，由22sin 1k x k =+有21sin 2k x k+=，而212||k k +≥，|sin |1x ≤，∴1k =±，故选D.8．∵()A a b ，，(e )B c ，在()ln f x x =的图象上，∴ln b a =，ln e 1c ==，∴1b b c +=+=ln ln e ln e a a +=，∴(e 1)a b +，一定在()f x 的图象上，故选A ．9．2{log 1}0=，2{log 2}1=，22{log 3}{log 4}2==，2222{log 5}{log 6}{log 7}{log 8}3====， 22{log 9}{log 10}4==，∴122432425S =+⨯+⨯+⨯=，故选A ．理科数学参考答案·第2页（共10页）10．由题有22222214c y a b y c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，而222a b c =+，∴222ac a c =-，得221e e =-，由01e <<得1e =，故选B ．11．如图1，该几何体是一个正方体截去两个三棱锥后余下的部分，故该几何体的体积为32V =-11212232⨯⨯⨯⨯⨯320cm 3=，故选C ．12．由题有0k ≠，且1a b k +=，22221a b k k +=-， 故2221[()()]2ab a b a b =+-+2211212k k k ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦211kk =-，∴221111124z ab k k k ⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭， 由22210R k k =->得102k<<，又圆心到直线的距离不大于圆的半径，故2221k k -⎝⎭≤，即1403k <≤，故1403k <≤，于是1449z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．∵3100a b m =+=，∴97m =． 14．原式1132216⎛⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 15．球A 的表面积为4π，球B 的表面积为8π，球C 的表面积为12π，∴三个球的表图1理科数学参考答案·第3页（共10页）面积之和为24π． 16．由题有(1)(())ln(ln )(1)x x f f x x x ⎧=⎨>⎩≤，，函数()g x 有且仅有唯一的零点，即关于x的方程22(())2f f x kt k t =+有且仅有唯一解，∴只要221k k +≥，得1k -≤或12k ≥，由于k 为正实数，∴k 的最小值为12． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵1357915a a a a a ++++=，24681025a a a a a ++++=，∴5515a =，6525a =，得53a =，65a =，∴2d =，………………………………（2分）∴5(5)n a a n d =+-32(5)n =+-27n =-，……………………………………………（4分）得15a =-，∴1(1)2n n n S na d -=+26n n =-．…………………………………………（6分）（Ⅱ）∵141b a ==，13n n n b b +-=， ∴112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+⋅⋅⋅+-+123331n n --=++⋅⋅⋅++31(2)2n n -=≥，………………………………………………（10分）又13112b -==，∴31(*)2n n b n -=∈N ，故由6n n b S n +≤得2312n n -≤，∴1n =或2n =．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）理科数学参考答案·第4页（共10页）解：（Ⅰ）设1A 表示事件“第1支飞镖，击中第Ⅰ部分”， 1B 表示事件“第2支飞镖，击中第Ⅰ部分”， A 2表示事件“第1支飞镖，击中第Ⅱ部分”， B 2表示事件“第2支飞镖，击中第Ⅱ部分”，设A 表示事件“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”， 则有11()()0.1P A P B ==，221122()()0.3()()P A P B A A B A B ===，， 由互斥事件和相互独立事件的概率公式有：1122()()()P A P A B P A B =+1122()()()()P A P B P A P B =+0.10.10.30.30.1=⨯+⨯=．……（6分）（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知143B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，， ∴04041116(0)C 13381P ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，13141132(1)C 13381P ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222411248(2)C 1338127P ξ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3134118(3)C 13381P ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 444111(4)C 13381P ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为：故ξ的数学期望为：163288140123481812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（12分）19．（本小题满分12分）理科数学参考答案·第5页（共10页）（Ⅰ）证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，60ABC ∠=︒，2CD =，4AB =，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，60DAE ∠=︒， 如图2，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ， ∵由题得BEC △和DEC △均为正三角形， ∴EC BF ⊥，EC DF ⊥， 又BFDF F =，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD BD ⊥．……………………………………（5分） （Ⅱ）解：以F 为坐标原点，建立如图3的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，有z 轴在平面BFD 内， 在（Ⅰ）中，∵BF EC ⊥，DF EC ⊥，∴BFD ∠为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角，∴120BFD ∠=︒，…………………………………………………………………………（7分）而BF DF ==3BD =且30BFz ∠=︒， 得点B的横坐标为，点B 的竖坐标为32，则00)D ，，(010)E ，，，20)A ，，302B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 图2图3理科数学参考答案·第6页（共10页）故(10)AE =-，，3302BD ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，(020)AD =-，，， 设平面ABD 的一个法向量为()n x y z =，，，∴3330()02(020)()0BD n x y zAD n x y z ⎧⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-=⎩，，，，，，，，，，得30220x z y -=⎪-=⎩，， 令1x =，得0y =，z =ABD 的一个法向量为(10n =，， ∴cos ||||AE nAE nAE n 〈〉=，0)(103)2=，，=∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角或直角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵12x x ≠，有0m ≠，又点M 不在抛物线C 上，有4m ≠-，而2118y x =，2228y x =，∴线段AB 的斜率为2121AB y y k x x -=-21222188y y y y -=-218y y =+4m =， ∴线段AB 的垂直平分线方程为(2)4my m x -=--，即(6)4m y x =--，由6(6)4y x my x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，，得6(6)4mx x -=--， 即(6)104m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得6x =，0y =， ∴点Q的坐标(Q ，. …………………………………………………………………（4分）理科数学参考答案·第7页（共10页）（Ⅱ）直线AB 的方程为4(2)y m x m-=-， 由284(2)y x y m x m ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，，得2222160y my m -+-=， ∵12y y ≠，∴22(2)4(216)0m m ∆=--->，结合（Ⅰ）得4004m m -<<<<或， 又122y y m +=，212216y y m =-，∴||AB=又点(60)Q ，到直线AB的距离||d QM ==∴1||2AQB S AB d ==△= 设2(016)m t =∈，，23()2561625616h t t t t =⨯+--， 则2()256323h t t t '=--(316)(16)t t =-++， 令()0h t '=得16t =-(舍去)，163t =， 由于1603t <<时，()0h t '>，()h t 单调递增，16163t <≤时，()0h t '≤，()h t 单调递减， ∴当2163m t ==时，()h t 取得最大值，即AQB △的面积取得最大值， 故AQB △．……（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1k =时，2()2e (1)x g x x -=-，22()2e (1)2e x x g x x --'=-+22e x x -=，理科数学参考答案·第8页（共10页）由于2e 0x ->，故当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x ≥时，()0g x '≥，()g x 单调递增．………………………………………………（4分）（Ⅱ）令()()()h x g x f x =-222e (1)2x k x x -=--+， 则2()2(e 1)x h x x k -'=-，∵当0x ≥时，()()g x f x ≥恒成立，①若0k ≤，则x >2()20f x x =->，2()2e (1)0x g x k x -=-≤， 此时()()g x f x ≥不恒成立；②若0k >，由0x ≥时，()()g x f x ≥恒成立， 则2(0)2e 20h k -=-+≥，则2e k ≤，令2()2(e 1)0x h x x k -'=-=，得10x =或22ln x k =-， （ⅰ）若01k <<，则2ln 2k ->，当22ln x k <-≤时，()0h x '<，()h x 单调递减，而(2)220h k =-<，∴当22ln x k <-≤时，()0h x <，此时()()g x f x ≥不恒成立； （ⅱ）若21e k <≤，则02ln 2k <-≤， 当02ln x k <-≤时，()0h x '≤，()h x 单调递减， 当2ln k x -<+∞≤时，()0h x '≥，()h x 单调递增，∴2min 22222()()()2(2)0h x h x h x x x x x ==-=--≥≥，此时()()g x f x ≥恒成立；（ⅲ）若2e k =，当0x ≥时，()2(e 1)0x h x x '=-≥，()h x 单调递增， 有min ()()(0)0h x h x h ==≥，此时()()g x f x ≥恒成立， 综上所述，理科数学参考答案·第9页（共10页）21e k ≤≤．…………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由2cos cos ρρθθ=，得222cos cos ρρθρθ=， 得曲线E的直角坐标方程为2y (0)a >， 又直线l 的斜率为1-，且过点A ， 故直线l的直角坐标方程为y x =-5分）（Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， (t 为参数)，代入2y 得22(4)4160t a t a ++++=， ∴122(4)t t a +=-+，12416t t a =+，∵2||||||BC AB AC =，∴21212()t t t t -=，即21212()5t t t t +=，∴24(4)5(416)a a +=+，得2340a a +-=，由0a >，得1a =．…………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）∵()f x 在[2)+∞，上单调递增，且||32m +>， |4|22m -+≥， 故要使(||3)(|4|2)f m f m +>-+，只需||3|4|2m m +>-+，即只需|||4|1m m -->-， 当0m <时，有41->-，不成立，可知m ∈∅， 当04m ≤≤时，有32m >，故342m <≤， 当4m >时，有41>-，故4m >， 综上得实数m的取值范围为理科数学参考答案·第10页（共10页）32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵()(12][12)f x ∈-∞-+∞，，，令()(12][12)y f x k y k k =+∈-∞-++∞，∴，，， 如果存在0x <使0y >，即12k >，则不能满足()4g x >对定义域内的所有x 恒成立， 故有12k ≤，且函数定义域为(0)+∞，，则要使()4g x >对定义域内的所有x 恒成立，这时1216k +>，即4k >，∴412k <≤．………………………………………………………………（10分）。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[1)A =+∞，，(1]B =-∞，，故选B ． 2．1ii ||11i z z +===-，故，故选D ．3．222()25+=++=a b a ab b ，所以||+=a b D ． 4．π6πππ2πsin 2sin 2sin 23633y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭向左平移个单位，故选C ．5．285213a a a +==，所以5132a =，又17747()7352aa S a +===，所以45a =，32d =， 8a =11，故选D ．6．当22x y ==，时，z 取得最大值4，故选A ．7．由表中数据可得16555.4x y ==，，因为回归直线必过()x y ，，代入回归方程得ˆ43.6a=-,故选B ．8．直线平分圆周，则直线过圆心(11)，，所以有2a b +=，11111()222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥2112⎫=⎪⎪⎝⎭（当且仅当b =时取“=”），故选D ．9．作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图1，由图象知有4个零点，故选C ．图110．由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，又::cos :cos :cos a b c A B C =，所以有tan tan tan A B C ==，即A B C ==，所以ABC △是等边三角形，故选B ．11．由三视图知：三棱锥S ABC -是底面边长为半径为R，则有：22)4R R =+，解得：R ，故选D ．12．由题意知：32()e ln(1)x f x x x =+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x +>在(1)x ∈-+∞，上恒成立，必有2t ≥，则(21)f x t +=的根有2个，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．36122112121C C rr r rr r T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，3602r -=，解得：4r =，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc b FM MN a a a ==-，，由||||F M M N =知：22bc b a a =，2c b e ==∴，∴．16．2211()3322b c AH AO AB AC AO ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r g ，又22240b b c -+=，代入得：AH AO =uuu r uuu r g 2221421(4)3226b b b b b ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，又22240c b b =-+>，所以02b <<，代入得AH AOuuu r uuu r g 的取值范围为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+，而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．……………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲，5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3，3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N ACA D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ， 又因为CD ⊥平面11A ADD ，所以MN ⊥平面11A ADD ．…………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA∠=︒， 所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A=AC =如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -， ∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD uu u r是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，uu u r . 设平面1ACD 的法向量为()n x y z =，，r，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，∴0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1ACD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A ACD --的大小为α，则|cos |23α==.∴36sin =α．…………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k ka =-=-联立两个方程有，c e a ==解得：．………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.图2设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=， 设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-==△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有OMNS t t ==+△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立，所以OMN △的面积的最大值为．…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =，易知，()f x在0⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 由题意有，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥， 整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. ………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=，直线l0y -．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为参数，，代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，， 所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图3所示．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥， 解之得[31]a ∈-，．………………………………………………………………………（10分） 图3。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（九）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．3i 443i1z -==--，故选A ． 2．{|22}{|1}[2)A x x B y y AB =-=>=-+∞≤≤，，，，故选D ．3．设和双曲线2221169x y C -=：有共同的渐近线的双曲线C1的方程为221169x y C λ-=：，代入点 A 解得：2λ=-，故选D.4．由算法框图知水仙花数的定义是：它的各位数字的立方和等于该数，例如153是一个水仙花数，因为333371371=++，故选B ．5．设2+1+21()()n n n n b n b b b *=∈=N ，则，易知数列{}n b 是等比数列，把1219==44a a ，代入即可求出{}n b 的通项公式2nn b =，进而求出{}n a 的通项公式2(21)4n n a -=，故选B ．6．由正态分布对称性知，随机抽取一名学生数学成绩及格的概率为(10.6826)10.84132--=，随机抽取3名学生，则恰有2名学生的数学成绩及格的概率为223C (0.8413)(10.8413)0.337-≈，故选C ．7．由已知()f x 是定义在()-∞+∞，上的偶函数，且对于任意的实数x ，都有(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以当[20172018]x ∈，时，()(2018)(2018)f x f x f x =-=- 201821x -=-，故选A ．8．设()y f x =上任意一点00()P x y ，，P 关于点π28A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称的点()Q x y ''，，由中点坐标公式有，00π44x x y y ''=-=-，，代入sin 2y x =得：004cos2y x =-，代入余弦函数的单调递减区间解得：πππ()2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，故选C ．9．易知该三棱锥三条侧棱均为1且互相垂直，设该三棱锥内切球半径为r ，由等体积得：111313232V S r r =⨯⨯=⨯⨯⨯表，解得：r =，故选D ．10．3sin ()(11)t x f x t t t ==--令，则≤≤，2()130f x t t '=-=⇒=，易知当t =时，max ()f x =，故选B.（注：该题还可以用均值不等式求最大值）11．由题意知：第n 层圆弹的个数为2(1)1222n n n n n a n ++=+++==，所以圆弹的总数为22211(1)(2)(12)(12)226n n n n S n n ++=+++++++=，故选A ．222x x x x B p ⎛+⎫ ⎪⎝⎭点，注：该题还可以用组合数公式求和，32331111223(1)C C 222n S n n =⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅++=++223223414412(1)(2)C C C C C C 6n n n n n n +++++⎫+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅==⎪⎭12．曲线()y f x =在点(())A tf t ，处的切线方程为23(31)2y t x t =--，又切线经过点)m ，则有：23(32m t t =-，于是若过点)m 可作曲线()y f x =的三条切线⇔关于t 的3次方程3220t m -=有三个相异的实数根⇔3次曲线32()2g t t m =-与横轴(即t 轴)有三个不同的交点⇔()0()0g t m g t m ⎧=+>⎪⎨=⎪⎩极大值极小值，，故m ，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．画出可行域如图1阴影所示，易知在(02)，处取得最小值−2． 14．由椭圆的定义知，()P x y ，的轨迹是以(34)(34)A B --，，，为焦点，105a c ==，的椭圆，所以离心率12e =．15．由题意只需考虑20192018被7除后的余数即可，又20192018=2019(28872)⨯+，201967367328(71)==+，所以余数是1，所以20192018天后是星期二．16．11221212122111()()22b c x m y n x m y n x x y y x y x y =++=+++，故（1）错；若b c ⊥，则有11221212122111()()22b c x m y n x m y n x x y y x y x y =++=+++=0，故（2）对；2||b b == =3）错（4）对；根据共线向量定理易知（5）对；根据向量线性运算图1性质，易知（6）对；1212122121()cos ||||x x y y x y x y b cb c x θ+++==+7）对．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得：sin sin sin cos sin B C C B A +=， 在ABC △中，sin sin(π)sin()A B C B C =--=+． 又sin()sin cos cos sin B C B C B C +=+，故sin sin sin cos sin cos cos sin B C C B B C B C +=+， sin sin sin cos B C B C =所以．在ABC△中，sin 0B ≠，得sin cos C C =， 故tan 1C =，又(0π)C ∈，，所以π4C =．………………………………………………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：222π424cos34a a +-⨯=，化简得：270a-+=，解得：1a =或1a =．当1a =时，141)42ABC S =⨯⨯=-△当1a =时，141)42ABC S =⨯⨯=△12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图甲可知变量y 和x 不呈线性相关关系，由散点图乙可知z 和x 呈线性相关关系．………………………………………………（4分） （Ⅱ）因为变量z 和x 呈线性相关关系，由题设中所给的相关统计量和计算公式求得z 关 于x 的线性回归方程为：ˆ0.272 3.849zx =-， 又ln z y=，所以植物生长数量y 关于气温x 的回归方程为：0.272 3.849ˆe x y -=，故当38x =时，由参考数据：ln 656.55 6.487=，得 6.487ˆe656.55y ==， 由此可估计当气温在38℃时该水域的这种水生植物的生长数量为656.55万株．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，取BC 的中点M ，连接AM ，DM ， 因为AB =AC ，DB =DC ，所以BC DM BC AM ⊥⊥，， 所以BC ADM ⊥平面，又因为AD ADM ⊂平面，所以AD BC ⊥．…………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）解：由二面角的平面角的定义知：AMD ∠为二面角D BC A --的平面角，即AMD ∠=30︒， 如图，过D 作DH AM ⊥于点H ，则有1sin302DH DM =︒=， 所以133D ABC ABC V S DH -==△，又1sin 2ADC S AD AC DAC =∠=△，设点B 到平面ADC 的距离为d ，由D ABC B ADCV V --==13ADC S d△，得d =，所以直线BD 与平面ADC 所成角的正弦值sin d BD θ==．……………………（12分）（注：第二问也可用向量法解答）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：抛物线212(0)C x py p =>：的方程化为2112C y x p=：，则由导数的几何意义知：切线1l 的斜率1111x x k y x p='==，所以切线1l 的方程为：1111()y y x x x p-=-，①………………………………………（2分）同理切线23l l ，的方程分别为：2221()y y x x x p-=-，②3331()y y x x x p-=-．③…………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：联立方程①、②及22112222x py x py ==,，可得1212122x x x x B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点，， 同理得2323222x x x x B p ⎛+⎫ ⎪⎝⎭点，，3131322x x x x B p ⎛+⎫⎪⎝⎭点，，由题设12B B 点，在抛物线2C 上，故有：21212222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，④ 22323222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⑤ 等式④、⑤相除得：21122323x x x x x x +=+，故31231x x x x x =-+，⑥将⑥式代入④式整理得：23131222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3B 点的坐标满足抛物线2C 的方程，故3B 点在抛物线2C 上．…………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：当1a =且1x ≥时，()e ln xf x x x =-，()e ln 1x f x x '=--所以，令()()F x f x '=，则1()e x F x x '=-，1()0x F x '>由≥，得， 所以函数()f x '在[1+)∞，上是增函数，因而()(1)e 10f x f ''=->≥，故函数()f x 在[1+)∞，上是增函数．……………………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：函数()f x 在[1+)∞，上有零点ln [1)e x x xx a ⇔=+∞关于的方程 在，上有根ln ()[1)e x x xy a g x ⇔==+∞直线与曲线 在，上有公共点． (1)ln 1()()(1)ln 1e x x x g x I x x x -+'==-+，令， 11()ln ln 1x I x x x x x -'=-=--，易知()I x '[1)+∞在，上是减函数， ()(1)0I x I ''=所以≤，()[1)I x +∞从而在，上是减函数， (2)1ln 20(e)2e 0I I =->=-<又，，所以由零点存在定理知：存在唯一0000(2e)()ln (1)10x I x x x ∈=-+=，，使， 所以当00[1)()0()[1)x x g x g x x '∈>，时，，在，上是增函数； 00()()0()()x x g x g x x '∈+∞<+∞，时，，在，上是减函数，所以000max 0ln ()()e x x x g x g x ==， 则ln ()[1)e x x xy a g x ==+∞直线与曲线 在，上有公共点时，max ()a g x 应有≤，故a 的最大值0()m g x =，又022ln 2()(2)e g x g >=，所以22ln 2e m >，由000()ln (1)10I x x x =-+=，知：001ln 1x x =-，所以000max 0011()11(1)e e x x x g x x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭．令11()11e xh x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()h x 在(2e)，上是减函数，又0(2e)x ∈，， 所以0(2)()h h x >，即000max 0202()()()e (1)e x x h x g x g x m x >====-，故222ln 22ee m <<．………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）椭圆C 的极坐标方程化为：22224sin cos 16ρθρθ+=，①因为cos sin x y ρθρθ==，，将之代入①，整理得椭圆C 的直角坐标方程为：221164x y +=．②…………………（5分）（Ⅱ）将直线l 的参数方程：2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入②整理得：222(4sin cos )(8sin 4cos )80t t αααα+++-=，设点A B ，对应的参数为12t t ，，则由点(21)P ，为弦AB 的中点得：122218sin 4cos =0224sin cos t t αααα++-=+，可得：8sin 4cos 0αα+=，再由222214sin cos1sin cos 55αααα+===，得，， 2||44sin AB α+故10分）11页 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：如图3，由函数()|2||+3|f x x x =-+与函数()g x ax =的图象知：当523a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，在R 上函数()|2||f x x x =-+的图象恒在函数()g x ax =的图象的上方，故实数a 的取值范围是523⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．…………（5分） （Ⅱ）证明：2222222()()a b ab a b a b +++∵≥，∴≥，)a b +（当且仅当a b =时取=“”号），))b c b c c a +==+（当且仅当时取“”（当且 仅当c a =时取“=”号），)a b c ++（当且仅当a b c ==时取“=”号）．……………………………………………………………………………………（10分）图3。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（一） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[1)A =+∞，，(1]B =-∞，，故选B ． 2．1ii ||11i z z +===-，故，故选D ．3．222()25+=++=a b a ab b ，所以||+=a b D ． 4．π6πππ2πsin 2sin 2sin 23633y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭向左平移个单位，故选C ．5．285213a a a +==，所以5132a =，又17747()7352a a S a +===，所以45a =，32d =， 8a =11，故选D ．6．当22x y ==，时，z 取得最大值4，故选A ．7．由表中数据可得16555.4x y ==，，因为回归直线必过()x y ，，代入回归方程得ˆ43.6a=-,故选B ．8．直线平分圆周，则直线过圆心(11)，，所以有2a b +=，11111()222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥2112⎫+=⎪⎪⎝⎭（当且仅当b =时取“=”），故选D ．9．作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图1，由图象知有4个零点，故选C ．图110．由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，又::cos :cos :cos a b c A B C =，所以有tan tan tan A B C ==，即A B C ==，所以ABC △是等边三角形，故选B ．11．由三视图知：三棱锥S ABC -是底面边长为径为R，则有：22)4R R =+，解得：R =，故选D ．12．由题意知：32()e ln(1)x f x x x =+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x +>在(1)x ∈-+∞，上恒成立，必有2t ≥，则(21)f x t +=的根有2个，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．36122112121C C rr r rr r T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，3602r -=，解得：4r =，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S ⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc b FM MN a a a ==-，，由||||F M M N =知：22bc b a a =，2c b e ==∴，∴． 16．2211()3322b c AH AO AB AC AO ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r g ，又22240b b c -+=，代入得：AH AO =uuu r uuu r g 2221421(4)3226b b b b b ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，又22240c b b =-+>，所以02b <<，代入得AH AO uuu r uuu r g 的取值范围为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+，而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ123P435 1835 1235 135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N ACA D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ， 又因为CD ⊥平面11A ADD ，所以MN ⊥平面11A ADD ．…………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA∠=︒， 所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A=AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -， ∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD uu u r是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，uu u r . 设平面1ACD 的法向量为()n x y z =，，r，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，图 2∴0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1ACD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A ACD --的大小为α，则|cos |23α=.∴36sin =α．…………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b kk a =-=-联立两个方程有，c e a ==解得：．………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有OMNS t t ===+△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立，所以OMN △的面积的最大值为．…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x ，易知，()f x在0⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，由题意有，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立， 所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. ………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=，直线l0y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，， 所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图3所示．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥， 解之得[31]a ∈-，．………………………………………………………………………（10分） 图3。
【数学】云南师大附中2018届适应性月考卷(4)试题(理)(解析版)云南师大附中2018届适应性月考卷（4）数学试题（理）一、选择题 1.已知集合{}{}2|230,|04A x xx B x x =-->=<≤，则CA BR为（ ） A ．[]1,4- B ．(]0,3 C ．(](]1,01,4-D ．[](]1,01,4-2.已知复数23451i +i+i +i +i z =+，则z = （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3. 在ABC ∆中，若原点到直线sin sin sin 0x A y B C ++=的距离为1，则此三角形为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ． 不能确定4. 已知点O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且30OA OB OC ++=，则（ ）A ．12AO OD =B ．23AO OD = C.12AO OD=- D ．23AO OD =- 5. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x +=-，当()2,0x ∈-时，()2xf x =-，则()()14f f +等于（ ）A ．12-B ．12C. -1 D ．1 6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别7，3，则输出的n =（ ） A ． 6 B ． 5 C. 4 D ．3 7. 已知0x 是函数()33log xf x x=+的零点，若00m x <<，则()f m 的值满足（ ）A ．()0f m =B ．()0f m < C.()0f m > D ．()f m 的符号不确定8. 如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．462+B ．642+ C. 682+D ．862+ 9. 若将函数()()()()3sin 2cos 20f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移π4个单位，平移后所得图象的对称中心为点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()cos g x x ϕ=+在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A．2- B．2 C.12-D ．1210. 已知一个几何体下面是正三棱柱111ABC A B C -，其所有棱长都为a ；上面是正三棱锥111S A B C -，它的高为a ，若点,,,S A B C都在一个体积为43π的球面上，则a 的值为（ ） A ．1213 B ． 1 C. 1413 D ．151311. 已知数列{}na 满足()()()()121112,n n nn n aa n n S +-+=-+≥是其前n 项和，若20171007Sb=--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是（ ） A．5- B ． 5 C.D．5+12. 设过曲线()2xf x ex a=++（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()()122sin 2a g x x x =--上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2- C. []1,2- D ．[]2,1-第Ⅱ卷二、填空题 13.圆()2215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为 ．14.二项式82mx ⎛ ⎝⎭的展开式中x项的系数为m =．15.已知实数,x y 满足约束条件42010350x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则()221z x y =-+的取值范围是 ．16.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面,,αβγ两两互相垂直，点A α∈，点A 到,βγ的距离都是2，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是P 到点A距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最大值是 ． 三、解答题17.在各项均为正数的等比数列{}na 中，1334,a aa =是22a-与4a 的等差中项，若12nb n a+=.（1）求数列{}nb 的通项公式； （2）若数列{}nc 满足121211nn n n ca b b +-+=+，求数列{}nc 的前n 项和nS .18.如图，在平面四边形ABEF，ABE∆和AFE∆都是等腰直角三角形且090AFE EAB∠=∠=，正方形ABCD的边AD AF⊥.（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）求二面角F BD A--的余弦值.3 5，乙在每局中获胜的概率为25，且各局胜负相互独立.（1）求没下满5局甲就获胜的概率；（2）设比赛结束时已下局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20.已知函数()1ln 1f x a x bx x=+++. （1）若24a b +=，则当2a >时，讨论()f x 的单调性；（2）若()()21,F b x f x x==-，且当2a ≥-时，不等式()2F x ≥在区间(]0,2上有解，求实数a 的取值范围. 21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，其离心率e =E 为椭圆上的一个动点，12EF F ∆面积的最大值为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()52,1,,02A D ⎛⎫⎪⎝⎭，过点()3,0B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，直线AP ，AQ 与x 轴分别相交于,M N 两点，试问DMDN是否为定值？如果，求出这个定值；如果不是，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于,A B 两点，若点P的坐标为(，求PA PB +．23.选修4-5：不等式选讲已知()3f x x t =+，若不等式()2f x ≥的解集为1|13x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. （1）求实数t 的值；（2）若()()11f x f x m +--<对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题【解析】 1．{|13}A x x =-R≤≤，故[14]A B =-R，，故选A ．2．因为1i 1i 1i 1i ||z z =+--++=+∴=，C ．3．2222221sin sin sin C A B c a b =∴=+∴=+，，，故三角形为直角三角形，故选A ． 因为D 为BC 边的中点，2233OB OC OD OA AO OD∴+==-∴=，，故选B ．5．由(2)(2)f x f x +=-知()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，故11(4)(0)0(1)(1)(1)(4)22f f f f f f ===--=∴+=，，，故选B ．6．1n =时2162a b ==，，不满足a b ≤；2n =时63124a b ==，，不满足a b ≤；3n =时189248a b ==，，满足a b ≤，输出3n =，故选D ．7．函数3()3log xf x x=+在(0)+∞，是增函数，故零点是唯一的，又0m x <<，则0()()0f m f x <=，故选B ．8．由三视图知，该几何体下面是三棱柱，上面是三棱锥，故其表面积为：11112221211222282222S =⨯⨯+⨯+⨯++⨯⨯+⨯+⨯=+D ．9．π())cos(2)2sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移π4个单位后，得到πππ()2sin 22cos 2466h x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，其对称中心为点π02⎛⎫⎪⎝⎭，，πππ2cos 200π263ϕϕϕ⎛⎫∴⨯++=<<∴=⎪⎝⎭，又，，ππ23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，π2π63x ϕ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，，()g x ∴的最小值是12-，故选C ．10．设外接球O 的半径为R ，下底面ABC △外接圆1O 的半径为r，则344ππ133V R R==∴=，，2sin 60a r r =∴=︒，，又11221SO a OOa =∴=-，，22212(21)113a a ⎫∴+-=∴=⎪⎪⎝⎭，，故选A ．11．由题意，325420172016462018a a a a aa +=+=-+=-，，，，以上各式相加得：201711008S a -=-，又20171110071(0)S b a b a b =--∴+=>，，11111323232()55ab a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭≥当且仅当1132a b a b=时等号成立，故选D ．12．设()y f x =的切点为11()x y ，，()y g x =的切点为22()()e 1()2cos x x y f x g x a x''=+=--，，，，由题意，对任意1x ∈R 存在2x 使得11221(e 1)(2cos )12cos e 1x x a x x a +--=-∴=-+，对任意1x ∈R均有解2x ，故1122e 1x a --+≤≤对任意1x ∈R 恒成立，则1122e 1x a a -++≤≤对任意1x ∈R 恒成立．又11(01)202112e 1x a a a ∈∴-+∴-+，，≤且≥，≤≤，故选C ．二、填空题【解析】13．由题意所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=．14．288163188(1)C ()(1)C (2)rr r r r r rr rr T mx m x ---+=-=-⎝⎭，令1631r-=，得5r =，55538(1)C (2)2241m m ∴-==-．15．由不等式组所表示的平面区域知：点(10)P ，到点(21)-，的距离最大，故22max(21)(10)10z =--+-=；点(10)P ，到直线420x y --=的距离最小，即2min417z ⎛⎫==，所以22(1)z x y =-+的取值范围是41017⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．16．条件等价于在平面直角坐标系中有点(22)A ，，存在点P 到y 轴的距离为该点到A 点距离的2倍，求该点到x 轴的距离的最大值. 设()P x y ，，由题意得：x =2y =±2+．三、解答题17． 解：（Ⅰ）设等比数列{}na 的公比为q ，且0q >，由1304naa a >=，得22a=，又3a 是22a-与4a 的等差中项，故232422222222a a a q q q =-+∴=-+∴=，，或=0q （舍）． 所以2122n n n a a q --==，122.n b n n n a b n +∴==∴=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，121211111122(21)(21)22121n n n n n n c a b b n n n n +-+⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列{}nc 的前n 项和2111111222123352121n n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12(12)11122.1222121n n n n n +-⎛⎫=+-=-+ ⎪-++⎝⎭18．（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，AD AB ⊥，又AD AF ⊥，且AB AF A=，所以AD ABEF ⊥平面，又AD BC BC ABEF BC EF ∴⊥∴⊥∥，平面，，因为ABE △和AFE △都是等腰直角三角形， 所以4590AEF AEB BEF ∠=∠=︒∴∠=︒，， 即EF BE ⊥，且BCBE B=，所以EF BCE ⊥平面．（Ⅱ）解：因为△ABE 是等腰直角三角形，所以AE AB ⊥， 又因为AD ABEF ⊥平面，所以AE AD ⊥，即AD ，AB ，AE 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系，设AB=1，则AE=1，(010)(100)(001)(110)B D EC ，，，，，，，，，，，，11022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，设平面BDF 的一个法向量为1()n x y z =，，，110031(110)031220022x y n BD BD BF y z n BF -=⎧⎧=⎪⎪⎛⎫=-=-⇒⎨⎨ ⎪-+=⎝⎭=⎪⎪⎩⎩，，，，，，，，，可得1(113)n =，，， 取平面ABD 的一个法向量为2(001)n=，，，则121212311cos ||||11n n n n n n 〈〉===，，故二面角F BD A --的余弦值为311．19． 解：（Ⅰ）没下满5局甲就获胜有两种情况： ①两局后甲获胜，此时13395525P =⨯=，②四局后甲获胜，此时1223233108C 5555625P ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以，没下满5局甲就获胜的概率129108333.25625625P P P =+=+=（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为245，，，则332213(2)555525P ξ==⨯+⨯=，112232333222156(4)C C 55555555625P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11223232144(5)C C 5555625P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ的分布列为13156144199424525625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．20． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，由24a b +=得1()ln (42)1f x a x a x x=++-+，所以221[(2)1](21)()(42)a a x x f x a x x x ----'=-+-=．当4a =时，()0f x '≤，()f x 在(0)+∞，内单调递减； 当24a <<时，111()0()00222f x x f x x a ''>⇒<<<⇒<<-；或12x a >-，所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，111()0()00222f x x f x x a a ''>⇒<<<⇒<<--；或12x >，所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫⎪-⎝⎭，上单调递增．（Ⅱ）由题意，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max()2F x ≥．当1b =时，121()ln 1ln 1F x a x x a x x x x x=+++-=-++，则221()(02)x ax F x x x++'=<≤.①当22a -≤≤时，222124()0a a x F x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>， 故()F x 在(02]，上单调递增，max()(2)F x F =；②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，，则1212120100x x a x x x x +=-<=∴<<，，，，所以在(02]，上221()0x ax F x x++'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max()(2)F x F =．综上，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max 1()(2)ln 22122F x F a ==-++≥，解得12ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．21． 解：（Ⅰ）由题意知，当点E 是椭圆的上、下顶点时，12EF F △的面积最大，此时12EF F △的面积221232S c b c ac ==-=，①又椭圆的离心率c e a ==，② 由①②得：222633ac b ===，，，所以，椭圆C 的标准方程为22163x y +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为11223()()x my P x y Q x y =+，，，，，则直线AP 的方程为1111(2)2y y x x --=--，则111201y x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，即11(2)301m y M y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，，同理可得22(2)301m y N y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，．由22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，，得22(2)630m ymy +++=，由223612(2)0m m ∆=-+>得21m>且1212226322m y y y y m m +=-=++，，所以1212(2)3(2)355||||2121m y m y DM DN y y ----=----2222121212122236(12)(12)1(12)(12)()1122364[()1]44122m m m m y y m y y m m m y y y y m m ⎛⎫+++-+ ⎪+++++++⎝⎭===-++⎛⎫++⎪++⎝⎭，故||||DM DN 为定值14．22．【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程：2xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得直线l 的普通方程为20x y+-=，由ρθ=得220x y +-=，配方得22(3x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3xy +=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得2223⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即210t-+=，因为0∆>，所以可设12t t ，是点A B，所对应的参数，则12121t t t t +==．又直线过点(2P，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．23．【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由()2f x ≥得|3|2x t +≥，解得23t x -≥或23t x --≤，由题意2132133tt -⎧=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩，，所以1t =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()|31|f x x =-， 所以(1)(1)|32||34||(32)(34)|6f x f x x x x x +--=+--+--=≤，当且仅当43x ≥时等号成立，所以6m >， 故实数m 的取值范围为(6)+∞，．。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C A C C A D D D A【解析】1．22{|3}{|30}[33]B x yx x x ≥，，所以={101}A B ，，，故选B ．2．由题意知53i 22i 2i z，z 的共轭复数等于22i ，故选C ．3．q ：A B ，在同高处的截面积恒相等，p A B ：，的体积相等，故q 是p 的必要不充分条件，故选B ．4．5211x 的展开式的通项为51521C (1)0r rr r T r x ，，1，2，3，4，5．当因式2(3)x中提供2x 时，则取4r；当因式2(3)x 中提供3时，则取5r ，所以5221(3)1x x 的展开式的常数项是2，故选C ．5．双曲线22221(00)xy a b ab ，的渐近线方程为b y x a ，所以32b a ，双曲线的一个焦点在抛物线247y x 准线方程7x 上，所以7c ，由此可解得23a b ，，所以双曲线方程为22143xy ，故选A ．6．因为3131π()sin 2cos2sin 23sin 2cos23sin 222226f x x x x x x x ，所以π()23cos 26f x x ，故A 错误，当π2x 时，π5π2=66x ，故B 错误，对于D ，应向右平移π12个单位，故选C ．7．4n 时，31Q ，此时P Q ，则输入的a 的值可以为3，故选C ．8．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意有：3242(2)a a a ，23428a a a得38a ，故31123120=8a qa q a a q ，，解之得122a q ，或13212a q ，，又{}n a 单调递减，所以663S ，故选A ．9．由题意知，球O 的半径5R ，直三棱柱111ABC A B C -的底面外接圆半径为4，则直三棱柱111ABC A B C -的高为6，则该三棱柱的体积为243，故选D ．10．由题意，2225233b c b A c b a B a a ，，，，，代入到椭圆方程整理得222225199c b a a ，联立22b a ，解得3a ，故选D ．11．17115()()()48228AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC ≥，当且仅当122，即1时取等号，故选D ．12．22()3()30f x x f x x ∵，设2()()3g x f x x ，则()()0g x g x ，∴()g x 为奇函数，又1()()62g x f x x ，∴()g x 在(0)x ，上是减函数，从而在R 上是减函数，又2(2)(2)12129f mf m m m ≤等价于22(2)3(2)(2)3(2)f m m f m m ≤，即(2)(2)g m g m ≤，22m m ∴≥，解得23m ≥，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16 答案[3)，21163π27862【解析】13．作出约束条件对应的平面区域，当目标函数2y x z 经过点(1，1)时，z 取得最小值3，故取值范围是[3)，．14．因为{bn}是等差数列，且16b ，1012b ，故公差2d ．于是*=28()n b n n N ，即128n n a a n ，所以87651646246(6)(4)(2)a a a a a …02463．98811a a ，1091021a a ．15．因为球与各面相切，所以直径为4，且11AC AB CB ，，的中点在所求的截面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为22的正三角形的外接圆，由正弦定理知263R ，所以面积8π3S ，以O 为顶点，以平面1A C B截此球所得的截面为底面的圆锥体积为18π116343π33627V ．16．2()2f x ax bx c ，由题意，()0f x ≥在R 上恒成立，∴00.a，≤即0a ，2.b ac ≤222221232323231b b b a ba b c a ab b a aa b b a b a ab a a ∴≥，令1bt a ，则221233(1)8(1)663(1)862+8111t tt t t t t t ≥，当且仅当12t 时，等号成立．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由3c ，且(3)(sin sin )()sin a C A b a B ，又根据正弦定理，得()()()c a c a b a b ，化简得，222ab c ab ，故2221cos 22b a c C ba ，所以60C ．……………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由3c ，4sin 5A ，sin sin ac A C 得85a ，由a c ，得A C ，从而3cos 5A ，故433sin sin()sin cos cos sin 10B A C A CA C ，所以ABC △的面积为18318sin 225S ac B ．……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为23x x x ，，，则23(0.0370.013)51x x x ，解得0.125x，∵第2小组的频数为15，频率为20.25x，∴该校报考飞行员的总人数为：150.25=60（人）．…………………………………（6分）（Ⅱ）体重超过65公斤的学生的频率为(0.0370.013)50.25，∴X 的可能取值为0，1，2，3，且1~34X B ，，303327(0)C 464P X ，21133127(1)C 4464P X ，1223319(2)C 4464P X ，33311(3)C 464P X ，∴X 的分布列为：X0 1 2 3 P27642764964164由于1~34X B ，，13()344E X ．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知得113AM AD ，如图，取BP 上靠近P 的四等分点T ，连接AT TN ，，由3NC PN 知//TN BC ，114TN BC ．……………………………………………（3分）又//AD BC ，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT ．因为AT 平面PAB ，MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．…………………（6分）（Ⅱ）解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．由AB AC 得AE BC ，从而AE AD ，且222252BCAE AB BE AB ．以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ．由题意知，(004)P ，，，(520)B ，，，(010)M ，，，(520)C ，，，51342N ，，，(524)PB ，，，(010)AM ，，，51342AN ，，．设()n x y z ，，为平面AMN 的一个法向量，则00n AM n AN ，，即0513042y x y z，，……………………………………………（10分）可取5403n ，，．于是||16745|cos |745||||n PB n PB n PB ，，所以直线PB 与平面AMN 所成角的正弦值为16745745．……………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设M N ，为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以3||||2OF MN ，321323bb ，解得，2214a b ，因此，椭圆C 的方程为22143x y ．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，()P x y ，，AB 的方程为(3)y k x ，由22(3)143y k x x y ，，整理得2222(34)2436120k x k x k ，由24222448(34)(31)0k k k ，得235k ，221212222436123434k k x x x x k k ，，1212()()OA OB x x y y t x y ，，，则2121222124118()()(34)(34)k kx x x y y y t t k t t k ，，由点P 在椭圆上，得222222222(24)(18)+14(34)3(34)k k t k t k ，化简得22236(34)k t k ，………………………………………………………………（8分）因为||3PAPB ，所以2121||3k x x ，即221212(1)[()4]3k x x x x ，即2222222(24)4(3612)(1)3(34)34k k k k k ，即429656390k k，所以2283724k ，………………………………………（10分）即228373245k ，因为22236(34)k t k ，所以2222362793434kt kk ，所以2202834t ，即2t 的取值范围为(202834)，．………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2211()(0)a ax f x x x xx ，当0a ≤时，()0(0)f x x ，()f x 在(0)，上单调递减．当0a 时，由()0f x ，得1x a ，10x a ，时，()0f x ，()f x 在10a ，上单调递减，1x a ，时，()0f x ，()f x 在1a ，上单调递增．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：要证4222(1)ln 1ln 2ln (2)4n n n n n n n n *≥，N ，即证42223(1)ln 1ln 2ln (2)4n n n n n *≥，N ．由（Ⅰ）知，当1a 时，()f x 在(01)，上单调递减，在(1)，上单调递增．1()ln 1(1)0f x x f x ≥，∴1ln 1x x ≥，∴221ln 1x x ≥，∴222222111ln1ln 2ln 11112n n ≥，∴2221112ln12ln 22ln 12n nn ≥．又2221111111+++121223(1)n n n ，∴2221111111+++121223(1)n n n n n 211111(1)11+++2231n n n n n ，∴2(1)ln1ln 2ln 2n n n ．………………………………………………………（9分）由柯西不等式，2222222(ln 1ln 2ln )(111)(ln1ln 2ln )n n ≥．∴4222231(1)ln 1ln 2ln (ln1ln 2ln )4n n n n n ≥+．∴42223(1)ln 1ln 2ln 4n n n ，∴4222(1)ln 1ln 2+ln (2*)4n n n n n n n n N ≥，．…………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程1(3)l y k x ：，①21(3)3l y x k ：，②①×②消k 可得：2213x y．即P 的轨迹方程为221(0)3x y y ．1C 的普通方程为221(0)3x y y ．1C 的参数方程为3cos sin x y ，，（为参数πk k Z ，）．………………………（5分）（Ⅱ）由曲线2C ：πsin 424得：2(sin cos )422，即曲线2C 的直角坐标方程为：80x y ，由（Ⅰ）知曲线1C 与直线2C 无公共点，曲线1C 上的点(3cos sin )Q ，到直线80xy 的距离为π2sin 83|3cos sin 8|22d ，所以当πsin13时，d 的最小值为32．………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由题意可得10()130111x x g x x x x x ，≤，，，，≥，因为()4g x ，由图象可得不等式的解为53x ，所以不等式的解集为{|53}x x ．……………………………………………………（5分）（Ⅱ）因为存在1x R ，也存在2x R ，使得12()()f x g x 成立，所以{|()}{|()}y yf x x y yg x x R R ，，，又()|2||25||(2)(25)||5|f x x a x x a x a ≥，当且仅当(2)(25)0x a x ≤时等号成立.由（Ⅰ）知，max ()1g x ，所以|5|1a ≤，解得64a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[64]，．…………………………………………………（10分）。
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
