2020年云师大附中高三高考适应性月考1理科数学试题及答案

文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,|A x y y x ==，(){}22,|1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ixe x i x =+，根据该三角方程，计算1ie π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调在了100位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84.已知x ，y 满足约束条件0,230,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的最小值为（ ）A．5 B．5CD5.函数()cos |ln |f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60 C ．80 D ．1007.函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．3009.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()||g x 的周期可以为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π10.若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点(),P m n ，并且在(),P m n 处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1e B ．2e C ．12e D ．32e11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k (0k >，1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ， B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．12.四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=︒，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A B C D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a r ，b r 为单位向量，且,3a b π<>=r r ，则|2|a b +=r r ．14.等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S = ．15.设1F ，2F 为椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，M 为C 上一点，且122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为 ．16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111A B C D 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_ ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某调研机构，对本地[]22, 50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值、中位数;(2)若在“低碳族”且年龄在[)30, 34，[)34, 38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.19. 如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙. （1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.20. 已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()f x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A ，B 两点之间距离的最小值.21.已知抛物线E ：22y px =（0p >），过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l ：0θθ=（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，射线2l ：02πθθ=+（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于C ，D 两点，求AOCBODS S ∆∆的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，求实数a 的值. （2）当2a =时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DBBBC 11、12：AB 二、填空题xOy14.15 15.1 16.4π 三、解答题17.解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04 + 280.08+ 320.16 + 360.44 +400.16+440.1+480.02 =35.9236x ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈，中位数为()0.50.040.080.160.113436---÷+=.（2）年龄段[30,34)，[34,38)的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 因为0.16:0.444:11=，所以人数分别为8人，22人. 18.解：（1）由正弦定理及sin cos()6b A a B π=-，得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由()0,A π∈，所以sin 0A ≠，则1sin cos()sin 622B B B B π=-=+，所以tan B = 又()0,B π∈， 所以3B π=.（2）如图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==， 又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r ， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆的面积的最大值为3.19.（1）证明：如图，∵DE EC ⊥，DE AE ⊥，∵DE ⊥平面ABCE ， 又∵BC ⊂平面ABCE ， ∴DE BC ⊥，又∵BC EC ⊥，DE EC E =I ， ∴BC ⊥平面DEC（2）解：11123323E FBCF BCE BCE BCE V V S h S DE --∆∆==⋅=⋅=. 20.（1）证明：由题意知()ln xh x e x =-，所以()1'xh x e x=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减， 所以()'h x 在()0,+∞上单调递增，又1'202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()'110h e =->，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =， 当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，所以()h x 有唯一的极值点.（2）解：由()xf x e =，则()f x 在()0,1处的切线为1y x =+，又()ln g x x =，则()g x 在点()1,0处的切线为1y x =-.由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图，故而A ，B 两点间的距离即为()0,1与()1,0之间的距离， 所以A ，B.21.解：（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-， 解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程有2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1111123y y k x my ==++，2222223y y k x my ==++， 所以1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121222122212122484269269416y y y y m y y mm m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅-2952m =+，所以当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 22.解：（1）由曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=；又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+. （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=， 12BOD S OB OD ∆=⋅222200001442cos 4sin cos 4sin 22ππθθθθ=⋅⋅+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220008cos 4sin sin 4cos θθθθ=++，所以()()222220000995225cos 4sin sin 4cos 1616264AOC BOD S S θθθθ∆∆⎛⎫=++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04πθ=时，不等式取等号，所以AOC BOD S S ∆∆的最大值为22564.23.解：（1）由绝对值的几何意义知，()|||1|f x x a x =-+-表示在数轴上，动点x 到定点a 和1的距离之和，当且仅当2a =时，()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤， 所以2a =.（2）当2a =时，()|2||1||21|1f x x x x x =-+-≥--+=恒成立， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2nt =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为2(,log 3]-∞.。

云南师大附中2020届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =I ð{5,6}.则选B. 【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i=+，则12z z =A.－2iB.2iC.－2D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-则选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法则进行计算.【题文】3、已知向量,a b r r 满足6a b -=r r 1a b •=r r，则a b +r r =6210【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即10.+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】4、曲线11ax y e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，则a=A.1B.2C.3D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =则选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.则选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A.1 B.13+ C.32 D.13【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.则选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的取值范围是A.[1,9]B.[2,9]C.[3,7]D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部分．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点(0,3)M和(2,0)N位置时，max 0339z=+⨯=，min 230 2.z=+⨯=则选B.【思路点拨】本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.3 10B.510 C.710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为4cmr=，高为3cmh=，则母线长5cml=，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r=+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S=+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、若任取x,y∈[0,1]，则点P(x,y)满足2y x>的概率为A.23 B.13 C.12 D.34【知识点】定积分几何概型K3 B13【答案解析】A解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y满足2y x>的面积为123112(1)33x dx x x⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．则选A.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是 A.3 B.22 C.13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =u u u r u u u r ，则12,2,2OA OF a c e ===∴∴．则选D. 【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，则AC 与DM 所成角的余弦值为A.23B.24C.3D.3【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C11,,0,(0,0,0),2211(0,1,3),,,0,222cos ,M D AC DM AC DM AC DM AC DM⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅〈〉==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u u r ∴∴则AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 本题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，若作其平面角不方便时，可采取向量法求解.【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1, ＋∞)D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A. 【思路点拨】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，若无性质特征，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6．解析：1C C 17n n nnn -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6．【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，则a b c b a ++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 基本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a ≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b ta =(1)t >，则问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题满分12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.(1)若有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1) 54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．(2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 310()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题满分12分) 如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===.(1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：（1）证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A ABC C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，1112A B AB ==,∴11AA B S △7=217d =，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217．方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．（1）证明：∵OE =u u u r 130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =u u u u r，∴112OE AC =-u u u r u u u u r ，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =u u u u r ，11(2,2,0)A B =u u u u r，1(0,1,3)A A =u u u r.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =r，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u u r r u u u r r 则即 不妨令1x =，可得31,1,n ⎛=- ⎝⎭r ， ∴1121sin cos ,723AC n θ=〈〉==⋅u u u u r r，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为21．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，若直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-.(1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n nb S =为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1)11n a n =-．(2)略 解析：（1）解：将112n na a +=-代入11111n na a +---可得111111n na a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故所以11n a n =-．（2）证明：由（Ⅰ）得n b ===1111nnn k k k S b ====-=-<∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2)211e b -≤解析：（1）11()ax f x a x x -'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点； 当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a >，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值． ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1x g x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值.【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．② ①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC, ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P 的坐标为(5，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)32(2)32解析：（1）由5ρθ=，可得22250x y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +-=． 由23,25,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 0553322+--．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。

云南省师范大学附属中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理（扫描版）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．2{|230}{|3A x x x x x=-->=>或1}x<-，{|lg(3)}{|3}Bx y x x x ==+=>-，AB ={|31x x -<<-或3}x >，故选C ．2．12i i(2i)i 2i 2iz -++===++，z 的虚部为1 ，故选A ． 3．依题意，双曲线的焦点在x 轴上时，设它的方程为22221(00)x y a b a b -=>>，；焦点在y 轴上时，设它的方程为22221(00)y x a b a b -=>>，，依题意可知，双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =或a b，所以22213b e a =+=或32，即e =，故选B ．4．由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体得3n =，15M =，此时150(mod 5)≡，不满足第一个条件，1526M =<不满足第二条件；第二次执行循环体得5n =，20M =，此时200(mod 5)≡，不满足第一个条件，2026M =<不满足第二个条件；第三次执行循环体得7n =，27M =，此时272(mod 5)≡且2726M =>，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，故选C ．5．根据表中的数据画出散点图如图1所示，由图象可知，回归直线方程为ˆˆybx a =+的斜率0b <，又当0x =时，ˆˆ0ya =>，由表中数据得1(23456)45x =++++=，1(4.0 2.50.50.52)5y =+-+- 0.9=，所以样本中心为(40.9)，，因为回归直线ˆˆybx a =+过样本中心，所以ˆ40.9b a +=，故选D ． 6．因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+，又12AD DC =，23CD CA =∴，12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选A ． 7．由实数x y ，满足约束条件0301x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≤，≥，作出可行域如图2，则22x y z -+=的图1最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩，，解得(11)A ，，化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为12，故选C ． 8．二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)C 2(1)C 25-+⨯-=-，故选B ．9．令sin ln ||()||x x x f x x =，则()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，因为()f x -=()sin()ln |()|sin ln ||()|()|||x x x x x x f x x x ---==-，所以()f x 为偶函数，则选项C ，D 错误；当x =π2时，πππsin ln π222()ln 0π22f x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪⎝⎭，所以选项B 错误，故选A ． 10．设直线l 与x 轴交于点N ，连接MF ，因为直线l '的倾斜角为π3，所以π3MAF ∠=，又||||AF AM =，所以AMF △为等边三角形，即π3AFM ∠=，则π3M F N ∠=，在Rt MNF △中，||MF =，所以||FN，即p =，所以抛物线的方程为2y =，故选D ．11．因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为66612log 0.32log 2log 1.2a b+=+⨯= 6log 61<=，即21b aab+<，又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选A ．12．如图3，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b，则BC ，取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为2O 1O 的中点，连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径．设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=．在2Rt OO B△中，图322222221()4424b cR BC OO+⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭⎝⎭，所以2=4πS R=球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b cb c bc⎛⎫++=+++=+=⎪⎝⎭≥，当且仅当b c=时取“=”，所以球O的表面积的最小值是28π，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为12<，所以2(1)(11)(2)24f f f=+===．14．设等比数列{}na的公比为q，43532S S S=+∵，435422S S S S-=-∴，得452a a=，54aqa= 2=，又24a=，得464264a=⨯=．15．因为()2sin cos2f x x x=-，所以()2cos2sin22cos(12sin)f x x x x x'=+=+，令()0f x'>，则cos012sin0π0xxx>⎧⎪+>⎨⎪-⎩，，≤≤或cos012sin0π0xxx<⎧⎪+<⎨⎪-⎩，，≤≤，所以π6x-<≤或5ππ62x-<<-，所以函数()f x=2sin cos2x x-，[π0]x∈-，的单调递增区间为5ππ62⎛⎫--⎪⎝⎭，和π6⎛⎥-⎤⎝⎦，．16．因为3211()32f x ax bx cx=++，所以2()f x ax bx c'=++，()2f x ax b''=+，即()2g x ax b=+.因为对任意x∈R，不等式()()f xg x'≥恒成立，所以22ax bx c ax b+++≥恒成立，即2(2)0ax b a x c b+-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b a ac b∆=---≤且0a>，即2244b ac a-≤，所以2440ac a-≥，所以0c a>≥，所以1ca≥，令cta=，则1t≥．①当1t=时，0a c b==，，222ba c=+；②当1t>时，222222244441cb ac a aa c a c ca--++⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤224(1)4(1)4221(1)2(1)2(1)2(1)t tt t t tt--====+-+-+-++-，当且仅当t=1时，取得最大值为2．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）因为在ABD△中，1cos7ABD∠=-，所以sin ABD∠==，在CBD△中，11cos14CBD∠=，所以sin CBD∠…………………………………………………（3分）cos cos()cos cos sin sinABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD∠=∠-∠=∠∠+∠∠11604919898982=-+==，(0π)ABC∠∈又，，π3ABC∠=∴．……………………………………………………（6分）（2）设ABC△的外接圆的半径为R，2π3πR R=⇒=则由（1）知π3ABC∠=，23AC R==∴，又92BC BA=，得9cos92BC BA ABC BC BA∠=⇒=，………………………………………………………………………（9分）2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-∠∴222()39AB BC AB BC AB BC AB BC=+-=+-=，6AB BC+=∴，联立69AB BCAB BC+=⎧⎨=⎩，，解得3AB BC==，ABC△∴的周长为9．………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）设“从这100箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则201()1005P A==．………………………………………………………………（2分）现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的个数为ξ， 则145B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以恰好抽到2箱是一级品的概率为22241496(2)C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………………………（4分）（2）设方案二的单价为η，则单价η的期望为4312294()3630241829.41010101010E η=⨯+⨯+⨯+⨯==，…………………………………………………………………………（6分）因为()29.427E η=>，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一．（3）用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱， 则现从中抽取3箱，则珍品等级的数量X 服从超几何分布， 则X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，36310C 1(0)C 6P X ===，2164310C C 1(1)C 2P X ===，1264310C C 3(2)C 10P X ===，34310C 1(3)C 30P X ===，………………………………………………………………………（10分）X 的分布列为11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，在ACD △中，因为M ，N 分别为棱AC ，CD 的中点，连接MN ，所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以//AD 平面BMN ．……………………………………（4分） （2）解：取BD 的中点O ，连接AO ，因为AB AD =，所以AO BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD ，所以AO BC ⊥． 又AB BC ⊥，AOAB A =，AO AB ⊂，平面ABO ，所以BC ⊥平面ABO ，BO ⊂平面ABO ，所以BC BO ⊥． 连接ON ，所以//ON BC ，所以ON BO ⊥．如图5建系， ……………………………………………（6分） 设2AB AD BC BD ====，则AO 因为2AM MC =，所以23AM AC =，(00A ，，(010)B -，，，(210)C -，，， (100)N ，，，所以(21AC =-，，，则4233AM ⎛=- ⎝⎭，，，所以4233M ⎛- ⎝⎭，，则4133BM ⎛= ⎝⎭，，(110)BN =，，． 设BMN 平面的一个法向量为()n x y z =，，，则00BM n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即410330x y x y ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，z y x ⎧=⎪⇒⎨=-⎪⎩，， 令1x =，则(11n =-，，． …………………………………………………（10分）设直线AC 与BMN 平面所成的角为θ，则sin |cos |52AC n θ====<，>， 又π02θ≤≤，所以cos θ=所以直线AC 与BMN 平面．……………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）图4图5解：（1）由题意得2222c ab a bc ⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，，解得a =2b =，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=． ……………………………………………（4分）（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(40)，． 证明如下：因为0AE DE =， 所以AE DE ⊥， 因为直线l 过点(20)，．①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设22A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，，，则6E ⎛ ⎝⎭， 此时，直线BE的方程为4)y x -， 所以直线BE 过定点(40)，； ………………………………………………………（6分）②直线l 的斜率存在且不为零时， 设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠， 11()A x y ，，22()B x y ，，所以1(6)E y ，，直线BE ：2112(6)6y y y y x x --=--，令=0y ，得1221(6)6y x x y y --=--， 即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+，所以12121(2)66y my y x y y -++=+-，即证12121(2)664y my y y y -+++=-，即证12122()0y y my y +-=，（*）…………………………………………………（9分）联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消x 得22(3)480m y my ++-=，因为点(20)，在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得12243m y y m +=-+，12283y y m =-+， 代入（*）中得121222882()033m my y my y m m -+-=--=++， 所以直线BE 过定点(40)，，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(40)，． …………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当12a =时，因为()2e 2(122e 2(11x x f x x a x =+-=+-，所以()2e 2(1x f x '=+，所以0(0)2e 2(14f '=+=-又(0)1f =，所以函数()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1(40)y x -=--，即(410x y --+=．………………………………………………………（4分）（2）令2()()h x g x x =-，因为2()()2g x g x x +-=，所以222()()()()()()()20h x h x g x x g x x g x g x x +-=-+---=+--=， 所以()h x 为奇函数．……………………………………………………………（6分）当0x ≥时，()g ()20h x x x ''=-<， 所以()h x 在[0)+∞，上单调递减， 所以()h x 在R 上单调递减，又0x 满足不等式()1g(1)2g x x x +-+≥，即000()1g(1)2g x x x +-+≥，所以2200000()1(1)(1)2h x x h x x x ++-+-+≥， 化简得00()(1)h x h x -≥，所以001x x -≤，即012x ≤． ……………………（8分）令1()()22e 2(1222e 22x x x f x x x a x a x ϕ⎛⎫=-=+--=-- ⎪⎝⎭≤，因为0x 是函数()2y f x x =-的一个零点， 所以()x ϕ在12x ≤时有一个零点；当12x ≤时，12()2e 2e 0xx ϕ'=--=，所以()x ϕ在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，又0a >，102<<，又因为2e 22e 0a ϕ⎛=--=> ⎝，所以要使()x ϕ在12x ≤时有一个零点，只需1212e 202a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，解得a ，所以实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． …………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）将曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，，β（为参数），消参得2216x y +=，经过伸缩变换12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，，后得曲线2C ：22143x y +=，化为极坐标方程为22123sin ρθ=+，将直线l 的极坐标方程为3πsin 3ρθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭60y -+=．………………………………………………………………………（5分）（2）由题意知(0)M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3， 所以直线l的参数方程为12()x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，设A B ，对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2216x y +=中，得240t --=．………………………………………………………………………（8分）因为M 在1C 内，所以0∆>恒成立， 由韦达定理得124t t =-， 所以12||||||4MA MB t t ==．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由题意得22()|2||2|42222x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-<⎨⎪⎩，，，≤，，≥，………………………………………………………………………（2分）不等式()6f x <等价于三个不等式组226x x <-⎧⎨-<⎩，或2246x -<⎧⎨<⎩≤，或226x x ⎧⎨<⎩≥，，解得33x -<<，所以不等式()6f x <的解集为(33)M =-，． ……………………………………（5分）（2）由（1）可知(33)M =-，，因为a b M ∈，，所以33a -<<，33b -<<， 所以290a -<，290b -<， 所以22(9)(9)0a b -->， 所以22228199a b a b +>+，所以222218819(2)a b ab a b ab ++>++， ………………………………………（8分） 所以22(9)9()ab a b +>+， 所以|9|3||ab a b +>+， 即3|||9|a b ab +<+． ………………………………………………………（10分）。

2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。

2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。

2020届云南师大附中高三适应性月考（一）数学（理）试题一、单选题1．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，PA PB=Q ，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且3OP =-，因此，(22223236PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.2．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】令3t x =，()u g t =，先由图象知方程()0g u =有三个根，再根据u 的值确定t 个数，最后根据t 的值与个数确定结果. 【详解】令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1(3,0)u ∈-，20u =，3(0,3)u ∈，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，由图象知有9个不同的t 符合方程，而3t x =为单调递增函数，所以相应x 的根的个数为9个，故选C. 【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.3．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）ABCD ．【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan θ∴=22tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径2R ==，所求外接球的体积为243V π=⋅=⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题4．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.5．设12,F F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点。

云南省师范大学附属中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理（扫描版）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．2{|230}{|3A x x x x x=-->=>或1}x<-，{|lg(3)}{|3}Bx y x x x ==+=>-，AB ={|31x x -<<-或3}x >，故选C ．2．12i i(2i)i 2i 2iz -++===++，z 的虚部为1 ，故选A ． 3．依题意，双曲线的焦点在x 轴上时，设它的方程为22221(00)x y a b a b -=>>，；焦点在y 轴上时，设它的方程为22221(00)y x a b a b -=>>，，依题意可知，双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =或a b，所以22213b e a =+=或32，即e =，故选B ．4．由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体得3n =，15M =，此时150(mod 5)≡，不满足第一个条件，1526M =<不满足第二条件；第二次执行循环体得5n =，20M =，此时200(mod 5)≡，不满足第一个条件，2026M =<不满足第二个条件；第三次执行循环体得7n =，27M =，此时272(mod 5)≡且2726M =>，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，故选C ．5．根据表中的数据画出散点图如图1所示，由图象可知，回归直线方程为ˆˆybx a =+的斜率0b <，又当0x =时，ˆˆ0ya =>，由表中数据得1(23456)45x =++++=，1(4.0 2.50.50.52)5y =+-+- 0.9=，所以样本中心为(40.9)，，因为回归直线ˆˆybx a =+过样本中心，所以ˆ40.9b a +=，故选D ． 6．因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+，又12AD DC =，23CD CA =∴，12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选A ． 7．由实数x y ，满足约束条件0301x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≤，≥，作出可行域如图2，则22x y z -+=的图1最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩，，解得(11)A ，，化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为12，故选C ． 8．二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)C 2(1)C 25-+⨯-=-，故选B ．9．令sin ln ||()||x x x f x x =，则()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，因为()f x -=()sin()ln |()|sin ln ||()|()|||x x x x x x f x x x ---==-，所以()f x 为偶函数，则选项C ，D 错误；当x =π2时，πππsin ln π222()ln 0π22f x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪⎝⎭，所以选项B 错误，故选A ． 10．设直线l 与x 轴交于点N ，连接MF ，因为直线l '的倾斜角为π3，所以π3MAF ∠=，又||||AF AM =，所以AMF △为等边三角形，即π3AFM ∠=，则π3M F N ∠=，在Rt MNF △中，||MF =，所以||FN，即p =，所以抛物线的方程为2y =，故选D ．11．因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为66612log 0.32log 2log 1.2a b+=+⨯= 6log 61<=，即21b aab+<，又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选A ．12．如图3，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b，则BC ，取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为2O 1O 的中点，连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径．设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=．在2Rt OO B△中，图322222221()4424b cR BC OO+⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭⎝⎭，所以2=4πS R=球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b cb c bc⎛⎫++=+++=+=⎪⎝⎭≥，当且仅当b c=时取“=”，所以球O的表面积的最小值是28π，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为12<，所以2(1)(11)(2)24f f f=+===．14．设等比数列{}na的公比为q，43532S S S=+∵，435422S S S S-=-∴，得452a a=，54aqa= 2=，又24a=，得464264a=⨯=．15．因为()2sin cos2f x x x=-，所以()2cos2sin22cos(12sin)f x x x x x'=+=+，令()0f x'>，则cos012sin0π0xxx>⎧⎪+>⎨⎪-⎩，，≤≤或cos012sin0π0xxx<⎧⎪+<⎨⎪-⎩，，≤≤，所以π6x-<≤或5ππ62x-<<-，所以函数()f x=2sin cos2x x-，[π0]x∈-，的单调递增区间为5ππ62⎛⎫--⎪⎝⎭，和π6⎛⎥-⎤⎝⎦，．16．因为3211()32f x ax bx cx=++，所以2()f x ax bx c'=++，()2f x ax b''=+，即()2g x ax b=+.因为对任意x∈R，不等式()()f xg x'≥恒成立，所以22ax bx c ax b+++≥恒成立，即2(2)0ax b a x c b+-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b a ac b∆=---≤且0a>，即2244b ac a-≤，所以2440ac a-≥，所以0c a>≥，所以1ca≥，令cta=，则1t≥．①当1t=时，0a c b==，，222ba c=+；②当1t>时，222222244441cb ac a aa c a c ca--++⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤224(1)4(1)4221(1)2(1)2(1)2(1)t tt t t tt--====+-+-+-++-，当且仅当t=1时，取得最大值为2-．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）因为在ABD△中，1cos7ABD∠=-，所以sin ABD∠==，在CBD△中，11cos14CBD∠=，所以sin CBD∠…………………………………………………（3分）cos cos()cos cos sin sinABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD∠=∠-∠=∠∠+∠∠11604919898982=-+==，(0π)ABC∠∈又，，π3ABC∠=∴．……………………………………………………（6分）（2）设ABC△的外接圆的半径为R，2π3πR R=⇒=则由（1）知π3ABC∠=，23AC R==∴，又92BC BA=，得9cos92BC BA ABC BC BA∠=⇒=，………………………………………………………………………（9分）2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-∠∴222()39AB BC AB BC AB BC AB BC=+-=+-=，6AB BC+=∴，联立69AB BCAB BC+=⎧⎨=⎩，，解得3AB BC==，ABC△∴的周长为9．………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）设“从这100箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则201()1005P A ==． ………………………………………………………………（2分）现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的个数为ξ， 则145B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以恰好抽到2箱是一级品的概率为22241496(2)C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………………………（4分）（2）设方案二的单价为η，则单价η的期望为4312294()3630241829.41010101010E η=⨯+⨯+⨯+⨯==，…………………………………………………………………………（6分）因为()29.427E η=>，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一．（3）用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱， 则现从中抽取3箱，则珍品等级的数量X 服从超几何分布， 则X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，36310C 1(0)C 6P X ===，2164310C C 1(1)C 2P X ===，1264310C C 3(2)C 10P X ===，34310C 1(3)C 30P X ===，………………………………………………………………………（10分）X 的分布列为11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，在ACD △中，因为M ，N 分别为棱AC ，CD 的中点，连接MN ，所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ， 所以//AD 平面BMN ．……………………………………（4分） （2）解：取BD 的中点O ，连接AO ，因为AB AD =，所以AO BD ⊥， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD ，所以AO BC ⊥． 又AB BC ⊥，AOAB A =，AO AB ⊂，平面ABO ，所以BC ⊥平面ABO ，BO ⊂平面ABO ，所以BC BO ⊥． 连接ON ，所以//ON BC ，所以ON BO ⊥．如图5建系， ……………………………………………（6分） 设2AB AD BC BD ====，则AO 因为2AM MC =，所以23AM AC =，(00A ，，(010)B -，，，(210)C -，，， (100)N ，，，所以(21AC =-，，，则4233AM ⎛=- ⎝⎭，，，所以4233M ⎛- ⎝⎭，，则4133BM ⎛= ⎝⎭，，(110)BN =，，． 设BMN 平面的一个法向量为()n x y z =，，，则00BM n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即410330x y x y ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，z y x ⎧=⎪⇒⎨=-⎪⎩，， 令1x =，则(11n =-，，． …………………………………………………（10分）设直线AC 与BMN 平面所成的角为θ，则sin |cos |52AC n θ====<，>， 又π02θ≤≤，所以cos θ=所以直线AC 与BMN 平面．……………………………………………………………………………（12分）图4图520．（本小题满分12分）解：（1）由题意得2222c ab a bc ⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，，解得a =，2b =，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=． ……………………………………………（4分）（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(40)，． 证明如下：因为0AE DE =， 所以AE DE ⊥， 因为直线l 过点(20)，．①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设22A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，，，则6E ⎛ ⎝⎭， 此时，直线BE的方程为4)y x -， 所以直线BE 过定点(40)，； ………………………………………………………（6分）②直线l 的斜率存在且不为零时， 设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠， 11()A x y ，，22()B x y ，，所以1(6)E y ，，直线BE ：2112(6)6y y y y x x --=--，令=0y ，得1221(6)6y x x y y --=--， 即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+，所以12121(2)66y my y x y y -++=+-，即证12121(2)664y my y y y -+++=-，即证12122()0y y my y +-=，（*）…………………………………………………（9分）联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消x 得22(3)480m y my ++-=，因为点(20)，在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得12243m y y m +=-+，12283y y m =-+， 代入（*）中得121222882()033m my y my y m m -+-=--=++， 所以直线BE 过定点(40)，，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(40)，． …………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当12a =时，因为()2e 2(122e 2(11x x f x x a x =+-=+-，所以()2e 2(1x f x '=+，所以0(0)2e 2(14f '=+=-又(0)1f =，所以函数()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1(40)y x -=--，即(410x y --+=．………………………………………………………（4分）（2）令2()()h x g x x =-，因为2()()2g x g x x +-=，所以222()()()()()()()20h x h x g x x g x x g x g x x +-=-+---=+--=， 所以()h x 为奇函数．……………………………………………………………（6分）当0x ≥时，()g ()20h x x x ''=-<， 所以()h x 在[0)+∞，上单调递减， 所以()h x 在R 上单调递减，又0x 满足不等式()1g(1)2g x x x +-+≥，即000()1g(1)2g x x x +-+≥，所以2200000()1(1)(1)2h x x h x x x ++-+-+≥， 化简得00()(1)h x h x -≥，所以001x x -≤，即012x ≤． ……………………（8分）令1()()22e 2(1222e 22x x x f x x x a x a x ϕ⎛⎫=-=+--=-- ⎪⎝⎭≤，因为0x 是函数()2y f x x =-的一个零点， 所以()x ϕ在12x ≤时有一个零点；当12x ≤时，12()2e 2e 0xx ϕ'=--=，所以()x ϕ在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，又0a >，102<<，又因为2e 22e 0a ϕ⎛=--=> ⎝，所以要使()x ϕ在12x ≤时有一个零点，只需1212e 202a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，解得a ，所以实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． …………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）将曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，，β（为参数），消参得2216x y +=，经过伸缩变换12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，，后得曲线2C ：22143x y +=，化为极坐标方程为22123sin ρθ=+，将直线l 的极坐标方程为3πsin 3ρθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭60y -+=．………………………………………………………………………（5分）（2）由题意知(0)M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3， 所以直线l的参数方程为12()x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，设A B ，对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2216x y +=中，得240t --=．………………………………………………………………………（8分）因为M 在1C 内，所以0∆>恒成立， 由韦达定理得124t t =-， 所以12||||||4MA MB t t ==．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由题意得22()|2||2|42222x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-<⎨⎪⎩，，，≤，，≥，………………………………………………………………………（2分）不等式()6f x <等价于三个不等式组226x x <-⎧⎨-<⎩，或2246x -<⎧⎨<⎩≤，或226x x ⎧⎨<⎩≥，，解得33x -<<，所以不等式()6f x <的解集为(33)M =-，． ……………………………………（5分）（2）由（1）可知(33)M =-，，因为a b M ∈，，所以33a -<<，33b -<<， 所以290a -<，290b -<， 所以22(9)(9)0a b -->， 所以22228199a b a b +>+，所以222218819(2)a b ab a b ab ++>++， ………………………………………（8分） 所以22(9)9()ab a b +>+， 所以|9|3||ab a b +>+， 即3|||9|a b ab +<+． ………………………………………………………（10分）。

2020届云师大附中高三高考适应性月考（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，集合(){}lg 3B x y x ==+，则AB =（）A ．{}31x x -<<- B ．{}3x x >C ．{}313x x x -<-或 D ．{}13x x -<<【答案】C【解析】根据一元二次不等式以及对数函数的定义域化简集合A 、B ，根据交集的定义写出AB 即可.【详解】2{|230}{|3A x x x x x =-->=>或1}x <-，{|lg(3)}{|3}B x y x x x ==+=>-，A B ={|31x x -<<-或3}x >，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的化简与运算问题，属于基础题． 2．设122iz i-+=+，则z 的虚部是（） A ．1 B ．iC ．-1D ．-i【答案】A【解析】根据复数的性质化简z ，结合虚部即可得到结果. 【详解】12i i(2i)i 2i 2iz -++===++，z 的虚部为1，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算性质以及复数的分类，属于基础题.3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是（）A B CD【解析】分为焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形，由渐近线的方程得ba的值，结合2221b e a=+可得离心率的值.【详解】依题意，双曲线的焦点在x 轴上时，设它的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，；由渐近线方程为2y x =，得2b a=，故22213b e a =+=，即3e =，焦点在y 轴上时，设它的方程为22221(00)y xa b ab-=>>，，由渐近线方程为2y x =，得2a b =，故222312b e a =+=，即6e =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握2221b e a=+是解题的关键，属于中档题.4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后得余数r ，则记为()mod N r m =，如：()82mod3=，则执行该程序框图输出的n 等于（）A ．7B ．6C ．5D ．8【答案】A【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．根据给定的程序框图，可知：第一次执行循环体得3n =，15M =，此时150(mod 5)=，不满足第一个条件； 第二次执行循环体得5n =，20M =，此时200(mod 5)=，不满足第一个条件； 第三次执行循环体得7n =，27M =，此时272(mod 5)=且2726M =>，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．根据如下样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，则下列判断正确的是（ ）A ．ˆˆˆ0,0.94b b a <+=B ．ˆˆˆ0,40.9b b a >+=C ．ˆˆˆ0,0.94a b a <+=D ．ˆˆˆ0,40.9a b a >+=【答案】D【解析】先根据增减性得ˆ0,b<再求,x y 代入验证选项． 【详解】因为随着x 增加，y 大体减少，所以ˆ0,b< 因为234564 2.50.50.524,0.955x y +++++-+-====，所以0.94b a =+，0,a ∴> 故选D 【点睛】本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（） A ．5163BA BC - B ．1536BA BC - C ．1536BA BC + D ．5163BA BC +【答案】B【解析】根据E 为中点，首先易得1122CE CB CD =+，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC =即可得到结果. 【详解】 如图所示：因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+，又12AD DC =，23CD CA =∴， 12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题．7．已知实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值是（）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -⎧⎪+-≤⎨⎪⎩，作出可行域如图，则212x z -+=的最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩,解得(1,1)A .化目标函数2t x y=-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为12，故选C .【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8．()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（） A ．-40 B ．-25 C ．25 D ．55【答案】B【解析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x+中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。