九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数(第4课时)作业课件 (新版)新人教版

2 A＝___4___．
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知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
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解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
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知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
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解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
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技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
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2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan

2.学习特殊（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值，并能熟练运用这些值进行相关计算。
3.通过实际例题，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示范、练习等环节，帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值，并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力：通过解决实际例题，让学生运用锐角三角函数进行计算和分析，提高数学运算与数据分析能力，为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求，关注学生核心素养的培养，帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识，再开篇直接输出。
2.逻辑推理：通过特殊角的锐角三角函数值的推导，提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析：培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容，引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义，强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答：检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况：评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材：人教版数学九年级下册。
2.课件：包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题：针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解，但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中，我尝试通过一些记忆方法，如编口诀、画图等，帮助学生记忆。从学生的反馈来看，这些方法还是有一定效果的，但还需在后续教学中继续巩固。

知识再构建
如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与 邻边的比便随之确定.此时，其它边之间的比值也确定 吗? 结论： 在Rt△ABC中，如果锐角A确定 时，那么∠ A的对边与斜边的比，斜边 邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正 弦，记作sinA，即 sinA= A的对边
倾斜程度.
如图，正切也经常用来描述山坡的坡度.例如， 有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m， 那么山坡的坡度i(即tanα)就是：
60 3 i tan . 100 5
温馨提示： 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角，坡面的铅直高度与水平 宽度的比称为坡度i(或坡比)， 即坡度等于坡角的正切.
A
1
B 2
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常见 的物体.
你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
小明的问题： 如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
A
E
5 5 m m B 2.5 C F 2 D m m
小亮的问题： 如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
A
E 4 m 3.5 m F 1.3 D m
4.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同 B 时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 5.已知∠A，∠B为锐角 (1)若∠A=∠B，则tanA tanB; (2)若tanA=tanB，则∠A ∠B.
A
┌ C
6.如图， ∠C=90°，CD⊥AB. tan B = ( )
B 1.5 C m

28.1 锐角三角函数一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. cos30°的相反数是( )A. －B. －C. －D. －2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sin A=，那么sin B的值是（）A. B. C. D.3. 已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A. B. C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 以上都不对5. 点（－sin 30°，cos 30°）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （，）B. （，－）C. （－，－）D. （－，）6. 在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值A. 扩大2倍B. 缩小C. 不变D. 无法确定7. 如图，是的外接圆，AD是的直径，若的半径为则的值是A. B. C. D.二、填空题8. 计算：sin 45°+tan 60°•tan 30°﹣cos 60°=_____．9. 在锐角△ABC中，如果∠A，∠B满足|tan A－1|＋＝0，那么∠C＝________．10. 如图，若点A的坐标为，则sin∠1=_____．11. 观察下列等式根据上述规律，计算 ______ ．12. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠AFG的值是________．三、解答题13. 计算+|-2|-2tan 60°+（）-1．14. 计算：（1）﹣2sin 45°+（2﹣π）0﹣tan 30°；（2）2cos 60°﹣（）﹣1+tan 600+|﹣2|.15. 先化简，再求值：，其中．参考答案1.C 【解析】∵cos30°=，∴cos30°的相反数是－.故选C.2.A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，∴cos A=，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A=．故选A．3.A 【解析】根据直角三角形的性质可知最小的内角的度数为0°至45°之间，则，即，故选A．4.B 【解析】根据直角三角形的三角函数可得：sin A=，cos A=，tan A=，故选B．5.A 【解析】点即为关于y轴对称的点的坐标是故选A.6.C7.B 【解析】如图，连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D.在Rt△ACD 中，AD=5×2=10，AC=8，∴CD=6，∴cos D===，∴cos B=cos D=.故选B．8.【解析】原式＝＝1＋1－＝．9.75°【解析】∵|tan A－1|＋2＝0，∴tanA=1，cosB= .∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．10.故答案：.11.1 【解析】∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°-α）=1.12.【解析】∵等边△ABC，∴AC=AB，∠B=∠CAD=60°.∵在△ADC和△BEA中，，∴△ADC≌△BEA，∴∠CDA=∠AEB，∴∠CEA=∠CDB，∴∠CFE=∠B=60°，∴∠AFG=60°，∴sin∠AFG=.13.解：+|-2|-2tan 60°+（）-1＝2＝5-.14.解：（1）原式=2﹣+1﹣1=.（2）原式=1﹣2+1+2﹣=2﹣．15.解：－=－==－．当x=tan 60°－1即x=－1时，原式=－=－=－．28.2.1 解直角三角形知识点 1 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( ) A.3sin40° B ．3sin50°C.3tan40° D ．3tan50°3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．4.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝8 3，∠A ＝60°，则a ＝________，b ＝________.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形.(1)已知∠A ＝60°，b ＝4； (2)已知a ＝13，c ＝23；(3)已知c ＝28 2，∠B ＝30°.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，AB ＝6，求BC 的长．知识点 2 解直角三角形的应用7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB＝50°，则A，B间的距离应为( )A.15sin50° 米 B ．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D ．15cos50° 米 8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米 9.如图，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E .若sin B ＝23，AD ＝6，则菱形ABCD 的面积为( )A.12 B ．12 5 C ．24 D ．5410.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E .设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD的长为( )A.3B.163C.203D.22311.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．能力提升12.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是( )A.R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin36°C.a ＝2r tan36° D ．r ＝R cos36°13.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D .已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A.1B.203 C ．3 D.16314.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.hsin α B.h cos α C.h tan αD ．h ·cos α 15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos ∠ABC ＝45，点D 在BC 边上，BD ＝6，CD ＝AB ，则AD的长为__________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB 上的高CD ＝3，BD ＝1，解这个直角三角形．17.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 3，求△ABC 的面积．18.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，并且CD ＝2.(1)求BD 的长；(2)求cos∠DAC的值．参考答案1．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝BC AB ＝35，BC ＝6，∴AB ＝BC sin A ＝635＝10.2.D [解析] 已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝50°.∵tan B ＝AC BC ，即tan50°＝AC3，∴AC ＝3tan50°.故选D.3.30° [解析] ∵tan B ＝b a ，b ＝2 3，a ＝6，∴tan B ＝2 36＝33，∴∠B ＝30°.4.12 4 3 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A ＝ac，得a ＝c ·sin A ＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b ＝4 3. 5.解：(1)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝30°. ∵tan A ＝a b，∴a ＝b tan A ＝4tan60°＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.即∠B ＝30°，a ＝4 3，c ＝8.(2)由勾股定理，知b ＝c 2－a 2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b ， ∴∠A ＝∠B ＝45°. 即∠A ＝∠B ＝45°，b ＝13.(3)∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，b ＝12c ＝12×28 2＝14 2.又∵cos B ＝a c，∴a ＝c ·cos B ＝28 2×cos30°＝14 6. 即∠A ＝60°，a ＝14 6，b ＝14 2.6.解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝BCAB. ∵AB ＝6，sin A ＝23，∴BC 6＝23，∴BC ＝4.7.B [解析] 由tan ∠ACB ＝ABAC知AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝15tan50°.故选B. 8.D9.C [解析]∵四边形ABCD 是菱形，AD ＝6，∴AB ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB. ∵sin B ＝23，∴AE 6＝23，解得AE ＝4，∴菱形ABCD 的面积是6×4＝24.故选C.10.B [解析] 由已知可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt △DEC 中，cos α＝CE CD＝35，即CE 4＝35，∴CE ＝125.根据勾股定理，得DE ＝165.在Rt △AED 中，cos α＝DE AD ＝35，即165AD ＝35，∴AD ＝163.故选B.11.解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝2 3，则EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.12.A[解析]∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BOC ＝15×360°＝72°.∵OB ＝OC ，OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝12∠BOC ＝36°，BH ＝12BC ＝12a .在Rt △BOH 中，OB 2－OH 2＝BH 2，∴R 2－r 2＝(12a )2＝14a 2，则选项A 错误．∵sin36°＝BH OB ，∴BH ＝OB ·sin36°，即12a ＝R sin36°，∴a ＝2R sin36°，则选项B 正确．∵tan36°＝BH OH ，∴BH ＝OH ·tan36°，即12a ＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，则选项C 正确．∵cos36°＝OH OB，∴OH ＝OB ·cos36°，∴r ＝R cos36°，则选项D 正确．故选A.13. D [解析]∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos ∠ACD ＝BC AB ＝35，BC ＝4，∴AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（203）2－42＝163.故选D. 14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCD ，由cos ∠BCD ＝CDBC，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α.故选B.15.2 10 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .设DE ＝x ，则BE ＝6＋x ，CD ＝6＋2x .∵cos ∠ABC ＝45，AB ＝CD ＝6＋2x ，∴BE AB ＝6＋x 6＋2x ＝45，解得x ＝2.∴AB＝10，BE ＝8，∴AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝210.16.解：在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝12＋（3）2＝2，∴sin B ＝CD BC ＝32， ∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.在Rt △ABC 中，AB ＝BCcos B ＝2cos60°＝212＝4， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝42－22＝16－4＝12＝2 3. 即∠A ＝30°，∠B ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝2 3. 17.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝12－3＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3，∴△ABC 的面积为12CD ·AB ＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32.18.解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.∵AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4. (2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝82＋22＝217，∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形知识点 1 利用直角三角形解决一般的实际问题1. 如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地．已知AC ＝120 km ，∠A ＝30°， ∠B ＝135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米．2.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据求出河宽．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)知识点 2 利用仰角、俯角解决实际问题3.如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A.100 3m B ．50 2mC.50 3m D.100 33m4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为( )A.160 3m B．120 3mC.300 m D．160 2m5.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)6.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB ＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.7.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)能力提升8．为解决停车难的问题，在如图的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位(2≈1.4)．9.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE 观景，然后在E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处．已知AC⊥BC于点C，DE∥BC，BC＝110 m，DE＝9 m，BD＝60 m，α＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)10.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．11.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．参考答案1．解：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.∵∠A＝30°，AC＝120 km，∴EC＝60 km，AE＝120×cos30°＝60 3(km)．∵∠ABC＝135°，∴∠CBE＝45°，∴BE＝EC＝60 km，∴AB＝AE－BE＝60 3－60＝60(3－1)km.答：隧道开通后汽车从A地到B地需行驶60(3－1)km.2.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，设CE＝x米．在Rt △AEC 中，∠CAE ＝45°，AE ＝CE ＝x 米． 在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x （米）． ∴3x ＝x ＋50，解得x ＝253＋25≈68.30. 答：河宽约为68.30米．3.A [解析] 因为tan ∠ABC ＝tan30°＝AC BC ＝100BC ＝33，所以BC ＝100 3m ．故选A.4.A5.182 [解析] 如图，仰角∠A ＝20°，AC ＝500米.在Rt △ABC 中，tan A ＝BCAC，所以塔高BC ＝AC ·tan A ≈500×0.3640＝182(米).故答案为182.6.解：(1)根据题意，在Rt△ABD中，∠BDA＝α＝60°，AB＝30米，∴AD＝ABtan60°＝303＝10 3(米)．答：甲、乙两建筑物之间的距离AD为10 3米．(2)过点C作CE⊥AB于点E.根据题意，得∠BCE＝β＝30°，CE＝AD＝10 3米，CD＝AE.在Rt△BEC中，tan∠BCE＝BECE，即tan30°＝BE10 3，∴BE＝10(米)，∴CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20(米)．答：乙建筑物的高CD为20米．7.解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. ∵∠BCD＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDC ， ∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则ED ＝BE ＝2EC ＝2x (m)，DC ＝EC ＋ED ＝x ＋2x ＝3x (m)， ∴BC ＝BE 2－EC 2＝3x (m).由题意可知∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC ＝DC ， 即3x ＋60＝3x ， 解得x ＝30＋10 3. ∴ED ＝2x ＝(60＋20 3)m. 答：塔ED 的高度为(60＋20 3)m.8. 17 [解析] 设这个路段可以划出x 个这样的停车位，根据题意，水平距离为2.22＋2.2×2(x －1)＋52≤56，解得x 的最大整数值为17.故答案为17.9.过点D 作DH ⊥BC 于点H ，延长DE 交AC 于点F ，则DF ＝CH ，DH ＝CF .∵在Rt △BDH 中，α＝32°，∴DH ＝BD ·sin32°≈60×0.53＝31.8，BH ＝BD ·cos32°≈60×0.85＝51，∴CF ＝DH ≈31.8，CH ＝BC －BH ≈110－51＝59， ∴DF ＝CH ≈59，∴EF ＝DF －DE ≈59－9＝50. ∵在Rt △AEF 中，β＝68°， ∴AF ＝EF ·tan68°≈50×2.48＝124， ∴AC ＝AF ＋CF ≈124＋31.8＝155.8(m)． 答：AC 的高度约为155.8 m.10.(1)∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，AC ＝60 m ，∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC cos ∠BAC ＝60cos60°＝120(m)．(2)过点D 作DE ⊥AA ′于点E ，连接A ′D .∵∠DAC ＝90°－60°＝30°，AC ＝60 m ， ∴在Rt △ADC 中，CD ＝AC ·tan ∠DAC ＝60×tan30°＝20 3(m)．∵∠AED ＝∠EAC ＝∠C ＝90°， ∴四边形ACDE 是矩形．∵ED ＝AC ＝60 m ，EA ＝CD ＝20 3 m ，∴在Rt △A ′ED 中，tan ∠EA ′D ＝ED EA ′＝ED EA ＋AA ′＝6020 3＋30 3＝2 35. 即从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值为2 35.11.(1)在Rt △DCE 中，∠DCE ＝30°， sin ∠DCE ＝DE CD， ∴DE ＝CD ·sin ∠DCE ， ∴DE ＝4×12＝2(米)．(2)如图，延长BD 交AE 的延长线于点F .由题意知∠BDG ＝45°， ∴∠F ＝∠BDG ＝45°. ∵∠DEF ＝90°， ∴∠EDF ＝∠F ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2米．设AC ＝x 米，则AB ＝AC ·tan ∠ACB ， ∴AB ＝x ·tan60°＝3x 米．在Rt △DCE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝2 3(米)， ∴AF ＝EF ＋CE ＋AC ＝(2＋2 3＋x )米． 在Rt △ABF 中，tan F ＝AB AF，即tan45°＝3x2＋2 3＋x ，解得x ＝(3＋1)2＝4＋2 3， ∴AB ＝3x ＝(6＋4 3)米．答：大楼AB的高度为(6＋4 3)米．第2课时坡角、方向角与解直角三角形知识点 1 方向角问题1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB是( )A.2海里 B．2sin55°海里C.2cos55°海里 D．2tan55°海里2.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上．航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )A.22.48海里 B．41.68海里C.43.16海里 D．55.63海里3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为( )A.4 km B．2 3kmC.2 2km D．(3＋1)km4.如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？知识点 2 坡角问题5.如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．6.如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.7.如图，小华站在河岸上的点G，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m，BG＝0.7 m，BG 平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8 m，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________m．(结果保留根号)8.如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)9.某地一天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．10. 如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈43，计算结果用根号表示)11.如图，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α，其中tan α＝2 3，无人机的飞行高度AH ＝500 3米，桥的长为1255米．(1)求H 到桥的左端点P 的距离；(2)无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度．参考答案1.C [解析] 由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°.∵AB∥NP，∴∠A＝∠NPA＝55°.在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，∴AB＝AP·cos A＝2cos55°（海里）．故选C.2.B [解析] 如图，过点P作PA⊥MN于点A.由题意，得MN＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°，∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°，∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°，∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠MNP＝22°，∴∠PMN＝∠MPN，∴MN＝PN＝60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°，∴PA＝PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)．3.C [解析] 由题意知OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∠BAC ＝75°，则∠B ＝45°.过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H .在Rt △OAH 中，∠AHO ＝90°，OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∴AH ＝12OA＝2（km ）.在Rt △BAH 中，∠AHB ＝90°，∠B ＝45°，AH ＝2 km ，∴AB ＝2AH ＝2 2（km ）.故选C.4.解：如图，作AC ⊥BD 于点C .由题意知∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°.设AC ＝x 海里，则BC ＝3x 海里，DC ＝33x 海里．因为BC －DC ＝3x －33x ＝12，所以x ＝6 3.因为6 3＝108>64＝8，所以渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．5.100 [解析] 根据题意，得tan A ＝BC AC ＝13＝33，所以∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×200＝100(米)． 6.30 [解析] 因为sin A ＝h AB ＝24＝12，所以∠A ＝30°. 7.(8 3－112) [解析] 如图所示，延长DG 交CA 的延长线于点H ，则DH ⊥CH ，过点B 作BE ⊥AH ，垂足为E .在Rt △ABE 中，i AB ＝4∶3，即BE AE ＝43.设BE ＝4x ，AE ＝3x (x >0).由勾股定理，得AB ＝5x .由AB ＝8，得x ＝85，从而BE ＝325＝GH ，AE ＝245.∴DH ＝DG ＋GH ＝1.6＋325＝8，AH ＝245＋0.7＝112.∵∠FDC ＝30°，∴∠C ＝30°.在Rt △CDH 中，DH CH ＝tan30°，即8CH ＝33，∴CH ＝8 3，∴CA ＝CH －AH ＝8 3－112（m ）.8.解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE中，AB＝25米，∠ABC＝62°，∴AE＝AB·sin∠ABC＝25sin62°≈25×0.88＝22(米)，BE＝AB·cos∠ABC＝25cos62°≈25×0.47＝11.75(米)．在Rt△ADE中，AE≈22米，tan50°≈1.19，∴DE＝AEtan50°≈221.19≈18.49(米)，∴DB＝DE－BE≈18.49－11.75＝6.74≈6.7(米)．答：应将坝底向外拓宽约6.7米．9.解：(1)由tanα＝13＝33，得α＝30°.(2)文化墙PM不需要拆除．理由：作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝6米，∴AD＝CDtanα＝6 3（米），BD＝6米，∴AB＝AD－BD＝6 3－6（米）<8米，∴文化墙PM不需要拆除．10.解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，则四边形CEBF是矩形．∵斜坡的斜面DB的坡度i＝1∶3，∴∠BDE＝30°.在Rt△BDE中，BD＝30米，∴BE＝BD·sin30°＝15（米），ED＝BD·cos30°＝15 3（米），∴BF＝CE＝CD－ED＝45 3（米）．在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∵tan ∠ABF ＝AF BF ，∴AF ＝BF ·tan53°≈45 3×43＝60 3(米)， ∴AC ＝AF ＋CF ＝AF ＋BE ≈60 3＋15（米）．答：楼房AC 的高度约是(60 3＋15)米．11.解：(1)在Rt △AHP 中，∵∠APH ＝α，AH ＝500 3米，∴tan ∠APH ＝AH HP ＝tan α， 即500 3HP＝2 3，解得HP ＝250(米)． 答：H 到桥的左端点P 的距离为250米．(2)过点Q 作QM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，则可得AM ＝HQ ＝HP ＋PQ ＝1255＋250＝1505(米)，QM ＝AH ＝500 3米．∵在Rt △QMB 中，∠QMB ＝90°，∠QBM ＝30°，QM ＝500 3米，∴BM ＝QMtan ∠QBM ＝500 333＝1500(米)， ∴AB ＝AM －BM ＝1505－1500＝5(米)．答：这架无人机的长度为5米．。