江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析

2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。

南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题1. 集合A ={−1,0,1}，B ={y|y =sinx,x ∈R}则（ ）A ． A ∩B =BB ． A =BC ． A ∪B =BD ． C R A =B2. 复数z =11+i （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=A ． 725B ． 15C ． −15D ． −7254. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0∘~90∘之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tan1600∘的值为（ ）（小数点后保留2位有效数字）5. 定义在区间(0,π2)上的函数y =3cosx 与y =8tanx 的图象交点为P(x 0,y 0)，则sinx 0的值为（ ）A ． 13 B ． √33C ． 23D ． 2√236. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量，且满足12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A ． 38B ． 58C ． 78D ． 1987. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +2)=2−f(x)，f(2−3x)为偶函数，若f(0)=0，∑n k=1f(k)=123，则n 的值为（ ） A ．117B ．118C ．122D ．1238. 已知锐角ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a 2=b 2+bc ，则tanAtanB 的取值范围为（ ）A ． (1,+∞)B ． (1,√3)C ． (0,1)D ． (√3,+∞)9. 若z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）A ． |z 1−z 2|2=(z 1+z 2)2−4z 1z 2B ． z 1−z 1̅ 是纯虚数或零C ． |z 1−z 2|≤|z 1|+|z 2| 恒成立D ．存在复数 z 1 ， z 2 ，使得 |z 1z 2|<|z 1||z 2|10. 函数f(x)=tan(sinx +cosx)，则下列说法正确的是（ ）A ． f(x) 的定义域为 RB ． f(x) 是奇函数C ． f(x) 是周期函数D ． f(x) 既有最大值又有最小值11. 在ΔABC 中，AC =3,AB =5,∠A =120∘，点D 是BC 边上一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAC⃗⃗⃗⃗⃗ +yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的是（ ）A ． BC =7B ．若 x =y =0.5 ，则 AD =√192C ．若 AD =√192 ，则 x =y =0.5D ．当 AD 取得最小值时， x =519812. 已知函数f(x)={x +2x ≤0|lgx|x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）A ．函数 f(x) 的零点的个数为2B ．实数 m 的取值范围为 (−∞,32]C ．函数 f(x) 无最值D ．函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增13. 已知向量a =(4,−3)， b ⃗ =(x,6)，且a //b ⃗ ，则实数x 的值为_____ 14. 若函数f(x)=sin(ωx +π6),(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0),(x 0>0)成中心对称，则x 0的最小值为______.15. 函数f(x)=2ax 2−ax ，若命题“∃x ∈[0,1],f(x)≤3−a ”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．16. 设ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若b 2+3a 2=c 2，则tanCtanB =______，tanA 的最大值是______.17. 设α∈(0,π)，已知向量a =(√3sinα,1)，b ⃗ =(2,2cosα)，且a ⟂b⃗ ． (1)求sinα的值； (2)求cos(2α+7π12)的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2⟩的最小正周期为π，且点P(π6,2)是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式；)个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)在(2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2]上是增函数，求θ的取值范围.[0,π419.已知z是复数，z+i和z都是实数，1−i（1）求复数z；（2）设关于x的方程x2+x(1+z)−(3m−1)i=0有实根，求纯虚数m.20.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB=60∘，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P 在弧AB上，设∠POB=θ.（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA,OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⟂OA，PT⟂OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT 最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.21.ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=3√2,bsin B+C2=√52asinB．(1)求sinA；(2)如图，点M为边AC上一点，MB=MC,∠ABM=π2，求ΔABC的面积．22.已知二次函数y=f(x)的图象与直线y=−6只有一个交点，满足f(0)=−2且函数f(x−2)是偶函数．g(x)=f(x)x（1）求二次函数y=f(x)的解析式；（2）若对任意x∈[1,2],t∈[−4,4],g(x)≥−m2+tm恒成立，求实数m的范围；（3）若函数y=g(|x|+3)+k·2|x|+3−11恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．。

无锡市2023年秋学期高三期终教学质量调研测试数学2024.11. 已如集合{}1,0,1,2,3,4A 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.=−，集合{}2230B x xx =−−≤，则A B = （ ）A. {}1,0,1,2,3−B. {}1,0,1−C. {}0,1,2D. {}1,0−【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合B ，结合交集运算，可得答案. 【详解】由题意集合()(){}{}31013B x x x x x =−+≤=−≤≤，{}1,0,1,2,3A B ∩=−.故选：A. 2. 复数12i3i−+在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 笵三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算将12i3i−+化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】因为()()()()12i 3i 12i17i 17i 3i3i 3i 101010−⋅−−−===−++⋅−， 所以复数12i 3i −+在复平面内对应的点为17,1010 −，易得该点在第四象限.故选：D3. 已知a ，b 是两个不共线的向量，命题甲：向量ta b + 与2a b − 共线；命题乙：12t =−，则甲是乙的.（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】向量ta b + 与2a b −共线等价于()2ta ba b λ+=− .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以12t λλ= =− ，解得：12t =−.所以甲是乙的充要条件. 故选：C.4. 从甲地到乙地的距离约为240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q （单位：L ）与速度v （单位：km/h （0120v ≤≤）的下列数据：v0 40 60 80 120 Q0.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）A. Qav b =+ B. 32Q av bv cv =++C. 0.5v Q a =+D. log a Q k v b =+【答案】B 【解析】【分析】根据题意以及表中数据可知，函数在定义域[]0,120上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型．【详解】依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[]0,120；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.对于A 选项： Qav b =+不经过坐标原点，故A 不符合; 对于B 选项： 32Q av bv cv =++满足以上三个条件，故B 符合; 对于C 选项： 0.5v Q a =+在定义域内单调递减，故C 不符合;对于D 选项：当0v =时，log a Q k v b =+无意义，故D 不符合; 故选:B.5. 已知0a b >>，设椭圆1C ：22221x y a b +=与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e .若213e e =，则双曲线2C 的渐近线方程为（ ）A. y x =B. 45y x =±C. y x =D. y x = 【答案】A 【解析】【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得ba的值，写出双曲线的渐近线即可. 【详解】因为213e e ==，解得b a =，所以双曲线2C的渐近线方程为y x =. 故选：A.6. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D −底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=°.若M ，N 分别是侧棱1CC ，1BB 上的点，且2MC =，1NB =，则四棱锥A BCMN −的体积为（ ）A.B. 2C. D. 6【答案】A 【解析】【分析】通过分析得到AH 为四棱锥A BCMN −的高，计算体积即可. 【详解】取BC 的中点H ，连接AH ，由直四棱柱1111ABCD A B C D −的底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=°，所以60,ABC ∠=°易得AB BC AC ==，所以AH BC ⊥,又因为1BB ⊥面ABCD ，且AH ⊂面ABCD ，的所以1BB AH ⊥,又因为1,BB BC B ∩=且1,BB BC ⊂面11BB CC ， 所以AH ⊥面11BB CC ，故AH 为四棱锥A BCMN −的高.易得到AH =，四边形BCMN 的面积为()112232S =×+×=,所以四棱锥A BCMN −的体积为11333V S AH =⋅=×=,故选：A.7. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且存在k ∈N ，使得3k S +，9k S +，6k S +成等差数列.若对于任意的N m ∈，满足2532m m a a +++=，则8m a +=（ ） A. 32m + B. 16m + C. 32 D. 16【答案】D 【解析】【分析】借助等比数列知识，利用3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，求出312q =−，再利用2532m m a a +++=，求出2m a ，再计算8m a +即可.【详解】因为3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，所以9362k k k S S S +++=+ 即96930k k k k S S S S ++++−+−=， 即9879876540k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++++++++++=， 所以()98765420k k k k k k a a a a a a +++++++++++=， 因为数列{}n a 是等比数列，且0n a ≠，所以()543244444420k k k k k k a q a q a qaq a q a ++++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=， ()32242110k a q q q q q + +++++=，所以()3222110qqq q q +++++=，即()()322110q q q +++=， 所以210q q ++=（无解）或3210q +=，即312q =− 又因为2532m m a a +++=，所以()33222132m m m a a q a q ++++⋅=+=， 所以264m a +=，所以2682164162m m a a q ++ =⋅=×−=，故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()2f x x +为奇函数，()2f x x −为偶函数.令函数()()(),0,,0.f x xg x f x x ≥ = −< 若存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅<成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)(]8,31,3−− B. [)(]3,13,8−−∪ C. [)(]3,03,8− D. [)(]8,30,3−−【答案】B 【解析】【分析】先根据函数奇偶性定义求出()f x ，表示出()g x ，画出图象，分类讨论即可.【详解】令()()2h x f x x =+，()()2m x f x x =−，因为()2f x x +为奇函数，()2f x x −为偶函数.所以()()()2h x h x f x x −=−=−+，()()()2m x m x f x x −==−+， 所以()()()()22,h x f x x h x f x x =+ −=−+ 可得()()22f x f x x +−=− ①， 同理()()()()2,2mx f x x m x f x x =−=−+可得()()4f x f x x −−= ②， 由+①②得()22f x x x =−+，所以()222,02,0x x x g x x x x −+≥= −< ，要满足存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅< 成立， 而()()()()200000g x a g x g x g x a +⋅=+< ， 当0a =时，()200g x < ，显然不成立， 当a<0时，要使()()00,g x a ∈−只有一个整数解，因为()()111,3,g g =−= 所以13a <−≤，即31a −≤<−.当0a >时，要使()()0,0g x a ∈−只有一个整数解，因为()()()0,332,48g g g ==−=−, 所以83a −≤−<−，即38a <≤.综上所述：实数a 的取值范围为[)(]3,13,8−−∪. 故选: B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 第一组样本数据12,,,n x x x ，第二组样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中21i i y x =−（1,2,,i n =⋅⋅⋅），则（ ）A. 第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B. 第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D. 第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍 【答案】CD 【解析】【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.【详解】设样本数据12,,,n x x x ，的样本平均数为x ，样本中位数为m ，样本标准差为s ，极差为max min x x −，对于A,C 选项：由21i i y x =−，根据平均数和标准差的性质可知， 样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本平均数为21x −，故A 错误；样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本方差为2224a s s =，所以第二组数据的样本标准差2s ，故C 正确； 对于B 选项：根据中位数的概念可知，样本数据1y ，2y ，…,n y 的中位数为21m −，故B 错误； 对于D 选项：根据极差的概念可知, 样本数据1y ，2y ，…，n y 的极差为()()()max minmax min max min 21212y y x x x x −=−−−=−,故D 正确.故选：CD.10. 已知函数()πsin 23f x x=+，()πcos 26g x x=+，则下列说法正确的是（ ） A. ()y f x =的图象关于点π,012对称 B. ()g x 在区间π5π,26上单调递增 C. 将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到()f x 的图象 D.函数()()()h x f x g x =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项：：将π12x =代入()f x 验证即可；对于B 选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于C 选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于D 选项：借助和差角公式计算即可.【详解】对于A 选项：将π12x =代入()f x ，得ππππsin 2sin 1121232f=×+==，故()y f x =的图象不关于点π,012对称,故选项A 错误; 对于B 选项：在()πcos 26g x x =+，令π26t x =+，则cos y t =， 因为π5π,26x∈ ，所以π7π11π2,666t x =+∈， 根据余弦函数图象可知cos y t =在7π11π,66单调递增，故选项B 正确； 对于C 选项：将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度, 可得到πππππππcos 2cos 2cos 2sin 2(),6666233g x x x x x f x −−+−−+++故选项C 正确；对于D 选项：()()()ππsin 2cos 236h x f x g x x x=+=+++,()π11sin 2cos 2sin 222sin 22,322h x x x x x x x x∴=+++=+−结合余弦函数的性质可知：()2h x x =≤，故选项D 正确.故选：BCD.11. 已知过点()0,t 的直线1l 与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，且1l 与2l 的交点为(),Q m n ，则下列说法正确的是（ ） A. m 为定值 B. n 为定值C. k −<<且0k ≠ D. 22t −<<【答案】BD 【解析】【分析】由两直线位置关系设出直线1l 的方程，联立直线与抛物线方程，求出点Q 的坐标，代入4y kx =+即可判断选项A 和B ，利用已知条件找出k 与t 的关系，结合0∆>即可判断选项C 和D.【详解】由题意可知，直线1l 的斜率存在且不为0，因为直线1l 过点()0,t 且与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，所以设直线1l ：1,0y x t k k=−+≠， 联立方程214y x t kx y=−+ = ，可得2440x x t k +−=， 所以216160t k ∆=+>,121244x x k x x t+=−=− ， 所以AB 的中点坐标222,t k k−+， 由题意可知，点(),Q m n 是AB 的中点，所以2m k =−，22n t k =+， 因为(),Q m n 在直线2l ：4y kx =+上，所以4n km =+，因为2m k =−，所以242n k k=−×+=，所以n 为定值，故选项B 正确； 因为k 是变量，所以m 不是定值，故选项A 错误；因为22n t k =+，2n =，所以222t k +=，即222t k =−， 又因为216160t k ∆=+>，所以221621620k k+−>，即216320k −>，解得k >k <C 错误； 对选项D ，由选项C 可得212k >，222t k=−， 所以22122k t =>−，解得22t −<<，故选项D 正确. 故选：BD.12. 已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为()01p p <<，我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作(),X NB r p ∼，则下列说法正确的是（ ）A. 若11,2X NB ∼ ，则()12kP X k ==，1,2,3,k =⋅⋅⋅ B. 若(),X NB r p ∼，则()()1k rr P X k p p −==−，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅ C 若(),X NB r p ∼，(),Y B n p ∼，则()()P X n P Y r ≤=≥ D. 若(),X NB r p ∼，则当k 取不小于1r p−的最小正整数时，()P X k =最大 【答案】ACD 【解析】【分析】利用负二项分布的概念可判断AB 选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C 选项；分析可得()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥≥− =≥≥+，结合负二项分布的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为11,2X NB ∼，则()11111111122222kk P X k − ==−−−⋅=  个，A对；对于B 选项，因为(),X NB r p ∼，则()()()11111C 1C 1k rk rr r r rk k P X k pp p p p −−−−−−−==−=−，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅，B 错； 对于C 选项，因为从{}1,2,,n 中取出()0r j j n r +≤≤−个数12r j a a a +<<< 的取法有C r jn +种，.这些取法可按r a 的值分类，即()0r a r i i n r j =+≤≤−−时的取法有11C C r ir i n r i −−+−−种，所以，110CC C n r jr i r jr i n r i n i −−−+−+−−==∑，因为(),X NB r p ∼，(),Y B n p ∼，设1q p =−，则1p q +=， 所以，()()111100C C n rn rn r ir r ir r ir ir i i i P X n p q p q p q −−−−−−−+−+==≤==+∑∑11110000CCC C n rn r i n r i n rr r ijj n r i jr j r j n r jr in r ir i n r i i j j i p q p qp q −−−−−−−−−−−+−−−+−−−+−−=====⋅=∑∑∑∑ ()0Cn rr jr j n r jnj p q P Y r −++−−==≥∑，C 对；对于D 选项，因为(),X NB r p ∼，()P X k =最大，则()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥≥−=≥≥+， 所以，()()()()111121111C 1C 1C 1C 1k r k r r r r r k k k r k r r r r r k k p p p p p p p p −−−−−−−−−+−−− −≥− −≥− ，解得111k r k p p −−≤≤+， 所以，当k 取不小于1r p−的最小正整数时，()P X k =最大，D 对. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查负二项分布的问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线6:30l x y −−=与圆222:40C x y x y +−−=相交于,A B 两点，则||AB =______.【解析】【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可. 【详解】圆222:40C x y x y +−−=，22(1)(2)5x y −+−=，圆心(1,2)，半径r =.圆心到直线的距离dAB =【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题. 14. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为______.（用数字作答） 【答案】144 【解析】【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位中，利用插空法可得出不同的排队方法种数. 【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位的3个空位中，所以，不同的排队方法种数为3334A A 624144=×=种. 故答案为：144.15. 已知函数()()sin 3f x x ϕ=+在区间[],ϕϕ−上的值域为，则ϕ的值为______.【答案】π8【解析】【分析】先得到0ϕ>，根据[],x ϕϕ∈−得到[]32,4x ϕϕϕ+∈−，根据值域得到方程，检验后求出答案. 【详解】由题意得0ϕ>，当[],x ϕϕ∈−时，[]32,4x ϕϕϕ+∈−，由于()()sin 3f x x ϕ=+在区间[],ϕϕ−上的值域为， 故①π24π5π424ϕϕ −=− ≤≤ 或②5π44π204ϕϕ= −≤−< ，解①得π8ϕ=，满足π5π816ϕ≤≤解②得5π16ϕ=，不满足π08ϕ<≤，舍去， 综上，ϕ的值为π8. 故答案为：π816. 已知函数()2e ,0,0x x f x x x ≥= −< ，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AM BN的取值范围为______.【答案】e,2 +∞【解析】【分析】由()()12f x f x =′′可得出21e 2x x =−，利用弦长公式得出22e 2x AM BN x =，利用导数求出函数()e 2xg x x=在()0,∞+上的值域，即可为所求. 【详解】当0x <时，()2f x x =−，()2f x x ′=−，则()112f x x =−′，当0x >时，()e xf x =，()e xf x ′=，则()22e xf x ′=，因为函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x<和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行，则()()12f x f x =′′，即212e x x −=，则21e2x x =−，AM =BN = 所以，2122e 2x AMx BN x x ==−=， 令()e 2xg x x =，其中0x >，则()()2e 12x x g x x′−=， 当01x <<时，()0g x ′<，此时函数()g x 在()0,1上单调递减， 当1x >时，()0g x ′>，此时函数()g x 在()1,∞+上单调递增，所以，()()e12g x g ≥=，因此，AM BN的取值范围是e ,2∞ +.故答案为：e ,2∞ +.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x 、1x 所满足的关系式，然后将AM BN转化为含2x 的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设数列{}n a 满足11a =，22a =，214363n n n a a a n ++=−+−. （1）证明：数列{}13n n a a n +−+为等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2）()131232n n n n a −−=−−【解析】【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案； （2. 【小问1详解】由214363n n n a a a n ++=−+−，则()21131339n n n n a a n a a n +++−++=−+， 所以()2113133n n n n a a n a a n+++−++=−+，由11a =，22a =，则21321340a a −+=−+=≠ 故数列{}13n n a a n +−+为等比数列. 【小问2详解】由（1）可知数列{}13n n a a n +−+是以4为首项，以3为公比，故11343n n n a a n −+−+=×，11433n n n a a n −+−=×−，的则0214331a a −=×−×；324332a a −=×−×；()214331n n n a a n −−−=×−×−.由累加法可得：()()()()1114133311312321322n n nn n n n a a −−×− +−×−−−=−=×−−−，由11a =，则()1312312n n n n a −−=×−−.18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC)222a b c +−. （1）求sin C ；（2）若()sin B A −，求tan A .【答案】（1（2. 【解析】【分析】（1.（2）借助三角函数的相关知识求出()()tan ,tan B A A B −+，利用配凑角及二倍角公式计算即可. 【小问1详解】结合题意：ABC的面积为)2221sin 2Sab C a b c ==+−, sin C =结合余弦定理可得：sin 0C C =>，所以22sin sin cos 1C C C C = +=，解得sin 1cos 8C C = =，所以sin C =【小问2详解】 因为()sin 0B A −=>，所以B A >，易得A 为锐角， 所以()31cos 32B A −==，所以()()()sin tan cos B A B A B A −−==−，由上问可知()sin sin C A B =+=,()1cos cos 8A B C +=−=−, 所以()()()sin tan cos A B A B A B ++=−+ ()()()()()()tan tan tan 2tan 1tan tan A B B A A A B B A A B B A +−−=+−−== ++−所以22tan tan 21tan AA A==−,整理得2tan 2tan 0A A +−=,即)(tan 33tan 0A A+=，解得tan A =，或tan A =19. 如图，在四棱锥A BCDE −中，平面ABC ⊥平面BCDE ，2CD DE BE ==，BC CD ⊥，//BE CD ，F 是线段AD 的中点.（1）若BA BC =，求证：EF ⊥平面ACD ；（2）若1BE =，60ABC ∠=°，且平面ABC 与平面ADE AC 的长. 【答案】（1）证明见详解 （2【解析】【分析】（1）首先证BG ⊥平面ACD ，通过证明四边形BGFE 是平行四边形，得EF BG ，进而得证； （2）利用空间向量法求解即可 【小问1详解】取AC 的中点G ，连接BG 、FG ，因为BA BC =，所以BG AC ⊥, 又因为 平面ABC⊥平面BCDE ，平面ABC 平面BCDE BC =，BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，所以CD BG ⊥，因为AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD , 所以BG ⊥平面ACD ，又因为F 是线段AD 的中点， 所以FG CD ∥且12FG CD =，BE CD 且12BE CD =，所以FG BE 且FG BE =， 四边形BGFE 平行四边形，所以EF BG ，所以EF ⊥平面ACD 【小问2详解】 如图建系因为1BE =，又2CD DE BE ==，所以22CD DE BE ===, 又因为BC CD ⊥，//BE CD ，所以四边形BCDE 是直角梯形， 所以BC =设ABm =，所以),,0Am ，()2D ，()0,0,1E ，所以),,1EAm =−，()ED =，设平面ADE 的一个法向量()1,,n x y z=，是所以11my znz+−=⇒=+=，平面ABC的法向量()20,0,1n=，设平面ABC与平面ADE夹角为θ，所以tanθ=，cosθ，所以m=，所以32A，()C，所以AC=20. 为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望.附：()()()()22()n ad bca b c d a c b dχ−=++++，n a b c d=+++α0.100 0.050 0.010 0.001xα2.7063.841 6.635 10.828【答案】20. 药物M对预防疾病A有效果. 21. 答案见解析.【解析】【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X 服从二项分布求分布列和数学期望即可． 【小问1详解】零假设为0H :药物M 对预防疾病A 无效果， 根据列联表中的数据，经计算得到()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++2100(30101545)75254555××−×=×××100 3.030 2.70633=≈>, 根据小概率值0.1α=的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为药物M 对预防疾病A 有效果. 【小问2详解】设A 表示药物N 的治愈率，1B 表示对未服用过药物M , 2B 表示服用过药物M 由题，()1150.625P B ==，()2100.425P B ==， 且()10.5P A B =，()20.75P A B =，()()()()()1122P A P B P A B P B P A B =×+×0.60.50.40.750.6=×+×=.药物N 的治愈率30.65P ==， 则3~3,5X B ，所以()303280C 5125P X === ， ()121332361C 55125P X ===， ()212332542C 55125P X ===， ()3333273C 5125P X ===， X 的分布列如下表所示 X123()8365427901231251251251255E X =×+×+×+×=． 21. 在直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 与定点()1,0F 的距离和P 到定直线l ：4x =的距离的比是常数12，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）过动点()0,T t （0t <）的直线交x 轴于点H ，交W 于点,A M （点M 在第一象限），且2AT TH =.作点A 关于x 轴的对称点B ，连接BT 并延长交W 于点N .证明：直线MN .【答案】（1）22143x y +=;（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意列出关于动点P 的轨迹表达式，化简整理即可.（2）设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>,借助2AT TH =及韦达定理，求出,M N 的坐标，表示并化简直线MN 斜率，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】结合题意：设点P 到定直线l ：4x =的距离为d ，则12PF d =，12=，化简得22143xy +=. 故W 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：直线AM 的斜率存在，故可设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>， 设()()1122,,,,A x y M x y ,所以()11,B x y −，,0t H k− ，因为2AT TH =，所以()11,2,t x t y t k−−=−−，且()0,T t 在椭圆内部.所以22,3,,3,t t A t B t k k −联立2234120y kx t x y =+ +−=，()2223484120k x ktx t +++−=， 所以122228,34t kt x x x k k −+=+=+所以()22216634k t t x k k −−=+，22212334k t t y k−−=+， 即点()2222166123,3434k t t k t t M k k k −−−− ++ , 因为2,3t B t k − ，()0,T t ，所以422BT t k k t k−==−， 所以直线BT 的方程可设为2y kx t =−+，设()33,,N x y 联立22234120y kx t x y =−+ +−=，()222316164120k x ktx t +−+−=， 所以()2133322216166,316316t kt k t t x x x x k k k k −−+=+==++， ()223322166481522316316k t t k t t y kx t k t k k k −−+=−+=−+=++， 故()22221664815,316316k t t k t t N k k k −−+ ++, 所以直线MN 斜率为 ()()224222232224242322248151233842885414454316342,166166192721927231634MN k t t k t t y y k k k k k k k k k t t k t t x x k k k k k k k k+−−− −+++++===×=+ −−−−−++ −++ 结合题意可知0k >，即()2223833224483MN k k k k k k k + +×+≥+当且仅当324k k =，即k =时，直线MN . 故直线MN .22. 已知函数()4ln f x x ax x =+（R a ∈），()f x ′为()f x 的导函数，()()g x f x ′=. （1）若12a =−，求()y f x =在 上的最大值；（2）设()()11,P x g x ，()()22,Q x g x ，其中211x x ≤<.若直线PQ 的斜率为k ，且()()122g x g x k ′′+<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1（2）[12,)−+∞【解析】【分析】（1）若12a =−，求得()3412ln 12f x x x =−′−，得到()2(1)(1)12x x x g x x ′−++=×，结合()g x ′的符号，得到()0g x <，即()0f x ′<，进而求得函数()f x 的最大值；（2）根据题意，转化为任意12,[1,)x x ∈+∞，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +−<−′′，令12x t x =，得出314(1)(2ln )0t a t t t−+−−>对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t t ϕ=−+−−，求得()22212(1)t a t t t ϕ+=−⋅′，分类讨论，求得函数的函数()t ϕ与最值，即可求解. 【小问1详解】解：若12a =−，可得()412ln f x x x x =−，则()3412ln 12f x x x =−′−， 即()()3412ln 12g x f x x x ==−−′，可得()2212(1)(1)1212x x x g x x x x −++=−=×′，当x ∈ 时，()0g x ′>，所以()y g x =在 上单调递增，又由4e 160g −=<，所以()0g x <，即()0f x ′<，所以函数()y f x =在 上单调递减，所以()()max11f x f ==，即函数()f x 的最大值为1.【小问2详解】 解：由()()()()1122,,,P x g x Q x g x ，可得1212()()g x g x k x x −=−， 因为()()122g x g x k +′′<，所以对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +−<−′′， 因为()4ln f x x ax x =+，可得()()34ln g x f x x a x a =+′=+，则()212a g x x x=′+， 对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，令12(1)xt t x =>， 则()()()()()()1212122x x g x g x g x g x −+−⋅−′′ ()()2233121211221121224ln 4ln a x x x x x a x x a x x =−++−+−− 3322121121212212441212()2ln x x x x x x x x x a a x x x =−−++−− 332214(331)(2ln )0x t t t a t t t−+−+−−>对于2[1,),(1,)x t ∀∈+∞∀∈+∞恒成立， 由332332224(331)(1)(1)x t t t x t t −+−=−≥−则314(1)(2ln )0t a t t t −+−−>对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t tϕ=−+−−， 可得()222222(1)1212(1)(1)t t a t t a t t t ϕ−+−+⋅′⋅=−， ①若12a ≥−，则()0t ϕ′>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，符合题意；②若12a <−，则()212(1)t t ϕ′−，当t ∈时，()0t ϕ′<，()t ϕ在(1,)+∞单调递减；当)t ∈+∞时，()0t ϕ′>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以，当t ∈时，()()10t ϕϕ<=，不符合题意（舍去）， 综上可得，12a ≥−，即实数a 的取值范围为[12,)−+∞【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

2025届高三年级期初阳光调研试卷数学2024.9注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 是虚数单位，则2ii-=A.12i- B.12i-- C.12i+ D.12i-+2.已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B = A.()0,6 B.()4,6 C.[)2,4 D.()[),02,-∞+∞ 3.将函数()sin f x x =的图象先向左平移4π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则2g π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.1C.2D.－14.已知向量()1,1a =- ，()22,b x x =- ，则“2x =-”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为A.2B.12C.5D.57.已知函数()()e e 1xf x x a =+--（e 为自然对数的底数），()()ln e x g x x a =-的零点分别为1x ，2x ，则12x x 的最大值为A.eB.1eC.1D.2e8.在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为双曲线22:1C x y -=右支上两点，若6AB =，则AB 中点横坐标的最小值为A.C.3D.163二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分 选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立， 又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分 （2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍） 故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=， 即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ， 即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ， 直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ， 进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。

课时跟踪训练(十五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )[解析] 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．[答案] A2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2,0) [解析] 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．[答案] D3.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数[解析] 由图可知，当－3<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－3,0)上是减函数．故选A.[答案] A4．函数f (x )＝2ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a D ．(－∞，a )[解析] 由f ′(x )＝2x －a >0，得0<x <2a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .故选A. [答案] A5．(2018·江西临川一中期中)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x .要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x ＝0在x >0上有解，所以a <0.[答案] C6．(2017·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.[答案] B二、填空题7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2x －a ，∵f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，∴a ≤2.[答案] (－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ax －x 3，若对区间(0,1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 问题等价于函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0,1)上为增函数，即g ′(x )＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0,1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] [4，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[能力提升]11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) [解析] 由f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )是偶函数．f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π2)上为增函数．又0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.故选A. [答案] A12．(2017·湖北华北师大附中模拟)若f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，则f (x －1)<e 2＋1e 的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，得f (x )－f (－x )＝(1－a )(e x －e －x )＝0恒成立，所以a ＝1，即f (x )＝e x ＋e －x ，则f ′(x )＝e x －e －x .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且图象关于y 轴对称．由f (x－1)<e 2＋1e ＝f (1)得|x －1|<1，解得0<x <2，即f (x －1)<e 2＋1e 的解集为(0,2)，故选B.[答案] B13．(2017·福建福州质检)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6＝2x 2＋(a －6)x ＋a x(x >0)． 设g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)，因为函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，等价于函数g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零．又g (0)＝a ，g (3)＝4a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)＝a >0，0<－a －64<3，Δ＝(a －6)2－8a >0，解得0<a <2，所以实数a 的取值范围为(0,2)．[答案] (0,2)14．(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.[解析] ①因为f (x )＝2－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x 具有M 性质．②因为f (x )＝3－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故f (x )＝3－x 不具有M 性质．③因为f (x )＝x 3的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·x 3，构造函数g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0，所以e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质．④因为f (x )＝x 2＋2的定义域为R ，又e x f (x )＝e x (x 2＋2)，构造函数h (x )＝e x (x 2＋2)，则h ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，所以e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．故填①④.[答案] ①④15．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴综上当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)单调递增．当a >0时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．[解] f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．②若a >－e 2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．③若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．[延伸拓展]已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)。