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苏州市2019～2020学年第一学期高三上学期期中调研数学试卷(满分160分，考试时间120分钟) 2019．11一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|x ＞0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z 满足z2＋i＝i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________． 3. 已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，且a⊥b ，则实数x 的值是________． 4. 函数y ＝lg （x －1）2－x的定义域为________．5. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝8，S n 是{a n }的前n 项和，则S 5＝________．6. 已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin α的值为________．7. “x ＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知函数y ＝sin 2x 图象上的每个点向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度得到函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，则φ的值为________．9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，2x ＋1，x ＜0，则不等式f(x ＋2)＞f(x 2)的解集为________．10. 已知函数f(x)＝ln x －mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围是________．11. 在各项都为正数的等差数列{a n }中，已知a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________．12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE →＝2ED →.若AE →·EB →＝－6，则cos C ＝________． 13. 若方程cos(2x －π6)＝35在(0，π)上的解为x 1，x 2，则cos(x 1－x 2)＝________．14. 已知函数f(x)＝3x 2－x 3，g(x)＝e x －1－a －ln x ．若对于任意x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a －b ＝2. (1) 求a ，b 的值； (2) 求sin(A ＋C)的值．16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)． (1) 若a∥b ，x ∈[0，π2]，求x 的值；(2) 若f(x)＝a·b，x∈[0，π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．17. (本小题满分14分)已知等比数列{a n}满足a2＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n＝|a n－2n＋1|，求数列{b n}的前n项和T n.18. (本小题满分16分)如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O.经测量AB＝4m，BC＝33m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S.(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2) 求cos θ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x－1x .(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足(n－1)a n＋1＝na n－a1，n∈N*.(1) 求证：数列{a n}为等差数列；(2) 设数列{a n}的前n项和为S n.若a2－a1＝1，且对任意的正整数n，都有13＜1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＜43，求整数a1的值；(3) 设数列{b n }满足b n ＝a n ＋310.若a 2－a 1＝15，且存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t 是整数，求|a 1|的最小值.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三小题中选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 13b 的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3.(1) 求矩阵M ；(2) 设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2＝x ，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos α＋23sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos β，y ＝tsin β(t为参数，0＜β＜π2)．若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C. (选修45：不等式选讲)设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲、乙、丙是否击中目标相互独立． (1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.设λ＝b a.(1) 当λ＝3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2) 当平面AEF⊥平面A 1EF 时，求λ的值．数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. －13. 14. (1，2)5. 316. 257. 充分不必要8. π12 9. (－1，2)10. (－∞，－1e ) 11. 9 12. 13 13. －3514. [1，e 2－ln 3－4)15. 解：(1) 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且c ＝7，C ＝120°得a 2＋b 2＋ab ＝49.(3分)因为a －b ＝2，所以b 2＋2b －15＝0.(5分) 因为b ＞0，所以b ＝3，a ＝5. 综上：a ＝5，b ＝3.(7分)(2) 由(1)知a ＝5，b ＝3，c ＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1314.(10分)因为B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3314.(12分)因为sin(A ＋C)＝sin(π－B)＝sin B ＝3314， 所以sin(A ＋C)的值为3314.(14分)16. 解：(1) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)，a ∥b ， 所以cos xsin x ＝3cos 2x ，所以cos x(sin x －3cos x)＝0，(2分)所以cos x ＝0或sin x －3cos x ＝0，即cos x ＝0或tan x ＝ 3.(4分) 因为x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π2或x ＝π3.(6分) (2) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)， 所以f(x)＝a·b ＝cos 2x ＋3cos xsin x(8分) ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin(2x ＋π6)＋12.(10分) 因为x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以sin(2x ＋π6)∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32，(12分)所以f(x)的最大值为32，此时x ＝π6.(14分)17. 解：(1) 设等比数列{a n }的公比为q(不为0)，因为a 2 ，a 3＋1，a 4成等差数列，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4.(1分) 因为a 2＝2，所以2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝1，(3分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(5分)(2) 设c n ＝a n －2n ＋1＝2n －1－2n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝2n－2(n ＋1)＋1－(2n －1－2n ＋1)＝2n －1－2，所以n≥3，c n ＋1＞c n .(7分)因为c 4＝1＞0，所以n≥4时，c n ＞0，即n≥4时，b n ＝c n ＝2n －1－2n ＋1.因为c 1＝0，c 2＝－1，c 3＝－1，所以b 1＝0，b 2＝1，b 3＝1， 所以T 1＝0，T 2＝1，T 3＝2.(10分)当n≥4时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ＝(0＋1＋1)＋b 4＋b 5＋…＋b n ＝2＋(23＋24＋…＋2n －1)－(7＋9＋…＋2n －1)＝2＋23（1－2n －3）1－2－7＋2n －12·(n －3)＝2n －n 2＋3.(13分)综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，1，n ＝2，2，n ＝3，2n－n 2＋3，n ≥4.(14分)18. 解：(1) 如图，作OP⊥CD 分别交AB ，GH 于M ，N.由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD＝120°，所以OM⊥AB，ON⊥GH，点P，M，N分别为CD，AB，GH的中点，∠CON＝60°. 在Rt△COP中，CP＝2，∠COP＝60°，所以OC＝433，OP＝233，所以OM＝OP－PM＝OP－BC＝33.(3分)在Rt△ONG中，∠GON＝∠OGF＝θ，OG＝OC＝433，所以GN＝433sin θ，ON＝433cos θ，所以GH＝2GN＝833sin θ，GF＝MN＝ON－OM＝433cos θ－33，(6分)所以S＝GF·GH＝(433cos θ－33)·833sin θ＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，π3)，所以S关于θ的函数关系式为S＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，π3)．(8分)(2) S′＝83(4cos2θ－4sin2θ－cos θ)＝83(8cos2θ－cos θ－4)．(10分)因为θ∈(0，π3)，所以cos θ∈(12，1)，所以S′＝0，得cos θ＝1＋12916∈(12，1)．(12分)设θ0∈(0，π3)且cos θ0＝1＋12916，所以由S′＞0，得0＜θ＜θ0，即S在(0，θ0)上单调递增，由S′＜0，得θ0＜θ＜π3，即S在(θ0，π3)上单调递减，(14分)所以当θ＝θ0时，S取得最大值，所以当cos θ＝1＋12916时，矩形EFGH的面积S最大．(16分)19. 解：(1) 因为f(x)＝x－1x，所以f′(x)＝12x＋12x x，所以f′(1)＝1.(2分)因为y＝f(x)经过(1，0)，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1.(4分)(2) 因为F(x)＝x－1x－x，x＞0，所以F′(x)＝12x＋12x x－1，F′(x)在(0，＋∞)上递减．又F′(1)＝0，(5分)所以当x∈(0，1)时，F′(x)＞0，即F(x)在x∈(0，1)上递增；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，即F(x)在x∈(1，＋∞)上递减，(7分) 所以在x＝1处，F(x)的极大值为F(1)＝－1.(8分)(3) 设g(x)＝ln x－af(x)＝ln x－a(x－1x)，x∈(0，1]，所以g′(x)＝1x －a 2(1x ＋1x x )＝－a （x ）2＋2x －a2x x.①当a≤0时，g ′(x)＞0对x∈(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递增．又g(1)＝0，所以∃x 0∈(0，1)时，g(x 0)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾；(10分) ②当a≥1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2≤0，所以φ(x)≤0，x ∈(0，1]，所以g′(x)≤0对(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递减．又g(1)＝0，所以g(x)≥0对x∈(0，1]恒成立，所以a≥1成立；(12分)③当0＜a ＜1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2＞0，解φ(x)＝0得两根为x 1，x 2，其中x 2＝1＋1－a 2a ＞1，x 1＝1－1－a 2a ＝a1＋1－a2∈(0，1)，所以0＜x 1＜1，x 2＞1，所以x∈(x 1，1)，φ(x)＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在(x 1，1)上递增．又g(1)＝0，所以g(x 1)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾．(15分) 综上：a≥1.(16分)20. (1) 证明：因为(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *①， 所以(n －2)a n ＝(n －1)a n －1－a 1，n ≥2且n∈N *②.①－②，得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0，n ≥2且n∈N *，(2分) 所以a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，n ≥2且n∈N *， 所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1， 所以数列{a n }为等差数列．(4分)(2) 解：因为a 2－a 1＝1，所以{a n }的公差为1.因为对任意的正整数n ，都有13＜1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＜43，所以13＜1S 1＜43，所以34＜S 1＜3，即34＜a 1＜3，所以a 1＝1或2.(6分)当a 1＝1时，a 2＝2，S 1＝1，S 2＝3，所以1S 1＋1S 2＝1＋13＝43，这与题意矛盾，所以a 1≠1；(7分)当a 1＝2时，a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2＞0，1S 1＝12＞13，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＞13恒成立．(8分) 因为1S n ＝23(1n －1n ＋3)，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝23(1－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －2－1n ＋1＋1n －1－1n ＋2＋1n －1n ＋3)＝23(1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3)＜119＜43. 综上，a 1的值为2.(10分)(3) 解：因为a 2－a 1＝15，所以{a n }的公差为15，所以a n ＝a 1＋15(n －1)，所以b n ＝a 1＋15n ＋110.(11分)由题意，设存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t ＝l ，l ∈Z ，则a 1＋s 5－15＋a 1＋t 5＋110＝l ，即20a 1＝2(5l －s －t)＋1.因为5l －s －t∈Z ，所以2(5l －s －t)是偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120.(14分)当a 1＝120时，b 4＝1920，所以存在a 1＋b 4＝1∈Z .综上，|a 1|的最小值为120.(16分)。
江苏省苏州市2019届高三期初调研1. {1} [解析]由交集定义知A ∩B ＝{1}．2. 4 [解析]因为z 1＝2＋i ，z 2＝a －2i ，所以z 1·z 2＝(2＋i )(a －2i )＝2a ＋2＋(a －4)i ，又z 1z 2是实数，所以a －4＝0，即a ＝4.3. 2 [解析]由题知15(1＋2＋3＋4＋a)＝2，得a ＝0，所以方差s 2＝15×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(4－2)2＋(0－2)2]＝2.4. 4 [解析]初始值n ＝7，S ＝0，满足条件S<18，S ＝7，n ＝6，满足条件S<18，S ＝13，n ＝5，满足条件S<18，S ＝18，n ＝4，不满足条件S<18，结束循环，输出n ＝4.5. 35 [解析]记3个黑球为黑1，黑2，黑3，2个白球为白1，白2，从中一次摸出2个，有如下基本事件：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，黑3)，(黑2，白1)，(黑2，白2)，(黑3，白1)，(黑3，白2)，(白1，白2)，共10个，其中满足条件的有6个，故所求概率P ＝610＝35. 6. －2 [解析]当x<0时，f(－x)＝x 2－2×(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x 2－2x ，故a ＝－2.7. π3 [解析]由题知f ⎝⎛⎭⎫－5π12＝±1，即2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝k π＋4π3，k ∈Z .又0≤φ≤π，所以k ＝－1，φ＝π3.8. 2 [解析]设数列{a n }的公比为q ，则由题知2S 6＝S 2＋S 4.当q ＝1时，不符合题意；当q ≠1时，由2×a 1（1－q 6）1－q ＝a 1（1－q 2）1－q ＋a 1（1－q 4）1－q ，得2q 6－q 4－q 2＝0，即q 2(2q 2＋1)(q 2－1)＝0，得q 2＝1，q ＝－1，所以a 2＋a 4a 6＝a 2（1＋q 2）a 2q 4＝2.9. －1124 [解析]设高为2，3，4对应的三边分别为a ，b ，c ，根据面积相等，得12×2×a＝12×3×b ＝12×4×c ，故a ∶b ∶c ＝6∶4∶3，不妨设a ＝6，b ＝4，c ＝3，则由余弦定理知最大内角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1124.10.423 [解析]设四棱锥的棱长为a cm ，则由题知a 2＋32a ＝3＋1，得a ＝2，故该四棱锥的体积V ＝13×2×2×⎝⎛⎭⎫2×322－12＝423(cm 3)．11. 12 [解析]由AB ∥CD ，知△ABE ∽△CDE ，则AB CD ＝AEEC ＝2.又AC ＝310，所以AE＝2EC ＝210.由tan A ＝3，A ∈(0，π)，得sin A ＝31010，cos A ＝1010.在△ABE 中，BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE·AB·cos A ＝52，所以BE ＝213，cos ∠ABE ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB·BE ＝21313，所以BE →·CD →＝|BE →|·|CD →|·cos ∠ABE ＝213×3×21313＝12.12. 16 [解析]作出函数f(x)＝|x 2－6|的图象如图所示，由a>b>0，f(a)＝f(b)，得a 2－6＝6－b 2，0<b<6，即a 2＝12－b 2，所以a 2b ＝12b －b 3.令g(b)＝12b －b 3，0<b<6，则g′(b)＝12－3b 2，令g′(b)＝0，得b ＝2(负值舍去)．当0<b<2时，g′(b)>0，g(b)单调递增；当2<b<6时，g′(b)<0，g(b)单调递减，所以当b ＝2时，g(b)取得最大值g(2)＝16，故a 2b 的最大值为16.(第12题)13. －22 [解析]由题知cos A sin A ＋cos B sin B ＋sin C cos C ＝0，即－sin C cos C ＝cos A sin B ＋cos B sin Asin A sin B ＝sin （A ＋B ）sin A sin B ＝sin Csin A sin B ，因为sin C ≠0，所以－cos C ＝cos (A ＋B)＝cos A cos B －sin A sin B＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝12.因为A ，B 为斜三角形ABC 的两个内角，所以tan A>0，tanB>0，所以－tan C ＝1tan A ＋1tan B≥21tan A ·1tan B＝22，所以tan C ≤－2 2. 14. ⎣⎡⎭⎫41015，＋∞ [解析]由题知圆心C(3，2)，如图，设点C 到直线3x ＋y ＝3的距离为d ，则d ＝|3×3＋2－3|32＋12＝4105.当MN 为圆C 的直径时，由图知MP ＝MN ＝2r ，即CP －r＝2r ，CP ＝3r ，又CP ≥d ＝4105，所以r ≥41015.(第14题)15. (1) 因为cos α＝437，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫4372＝17，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×437＋22×17＝46＋214. (2) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)>0. 因为cos (α＋β)＝1114，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1－⎝⎛⎭⎫11142＝5314，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝1114×437＋5314×17＝32.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π6. 16. (1) 如图，连接CE ，交DF 于点G ，连接MG ，(第16题)因为在矩形CDEF 中，DF ∩EC ＝G ， 所以G 为EC 的中点． 又因为M 为AE 的中点，所以MG 为△EAC 的中位线， 所以MG ∥AC ，因为AC ⊄平面DMF ，MG ⊂平面DMF ， 所以AC ∥平面DMF.(2) 在矩形CDEF 中，CD ⊥ED ， 因为∠ADC ＝90°，所以CD ⊥AD ，因为AB ∥CD ，所以AB ⊥ED ，AB ⊥AD.因为AD ∩ED ＝D ，AD ⊂平面ADE ，ED ⊂平面ADE ，所以AB ⊥平面ADE. 因为MD ⊂平面ADE ，所以MD ⊥AB. 因为DE ＝DA ，M 为AE 中点， 所以MD ⊥AE ，因为AB ∩AE ＝A ，AB ⊂平面ABE ， AE ⊂平面ABE ，所以MD ⊥平面ABE ， 因为BE ⊂平面ABE ，所以BE ⊥DM.17. (1) 如图，过点G 作GM ⊥AB 于点M ，连接OH ， 因为∠GOB ＝60°，所以GM ＝OG·sin 60°＝32r. 又∠BOC ＝θ，所以BC ＝r sin θ，OB ＝r cos θ， 所以GF ＝GM －BC ＝32r －r sin θ. 由对称性知AB ＝2OB ＝2r cos θ， ∠HOA ＝∠GOB ＝60°， 所以∠HOG ＝60°，则△OHG 为等边三角形， 所以GH ＝OG ＝r ， 所以S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝(2r cos θ)·r sin θ＝2r 2sin θcos θ，S 矩形EFGH ＝GH·GF ＝r·⎝⎛⎭⎫32r －r sin θ＝32r 2－r 2sin θ，所以f(θ)＝S 矩形ABCD ＋S 矩形EFGH ＝2r 2sin θcos θ＋32r 2－r 2sin θ(0<θ<π3)． (2) 由(1)得f(θ)＝r 2(2sin θcos θ－sin θ＋32)， 所以f′(θ)＝r 2(2cos 2θ－2sin 2θ－cos θ)＝r 2(4cos 2θ－cos θ－2)． 令f′(θ)＝0，则4cos 2θ－cos θ－2＝0， cos θ＝1±338.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，即cos θ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 所以cos θ＝1＋338.令θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π3，cos θ0＝1＋338， 则当θ变化时，f(θ)，f′(θ)的变化情况如下表：所以f(θ)max ＝f(θ0)．答：当cos θ＝1＋338时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．(第17题)18. (1) 因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝2c.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3c ， 所以椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上， 所以14c 2＋34c 2＝1，解得c ＝1，所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 直线l ：y ＝kx ＋1(k>1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，kx －y ＋1＝0，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kx －8＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，因为k 1＝y 1x 1＋2，k 2＝y 2x 2－2，且k 1＝2k 2，所以y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 21（x 1＋2）2＝4y 22（x 2－2）2. ① 又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在椭圆上， 所以⎩⎨⎧y 21＝34（4－x 21），y 22＝34（4－x 22）.②将②代入①可得2－x 12＋x 1＝4（x 2＋2）2－x 2，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0， 所以－244k 2＋3－80k4k 2＋3＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0， 解得k ＝16或k ＝32.又因为k>1，所以k ＝32.19. (1) 由题意得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝a 1＋d ＝1＋d ，a 4＝a 2q ＝2q ， a 5＝1＋2d ，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋2＋(1＋d)＝4＋d. 因为S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以2q ＝4＋d ，1＋2d ＝3＋d ， 解得d ＝2，q ＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ， n 为奇数，2·3n 2－1， n 为偶数.(2) 1° 当m ＝2k －1(k ∈N *)时，因为a m a m ＋1＝a m ＋2，所以(2k －1)·2·3k －1＝2k ＋1， 所以2·3k －1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1，因为2·3k－1为整数，所以22k －1必为整数，所以2k －1＝1，所以k ＝1，此时2·3k －1≠3，不合题意． 2° 当m ＝2k (k ∈N *)时，因为a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2，所以2·3k －1·(2k ＋1)＝2·3k ， 即2k ＋1＝3，所以k ＝1，即m ＝2.(3) S 2m ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m＋m 2－1，S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝m 2＋3m －1－2·3m －1＝m 2＋3m －1－1，所以S 2mS 2m －1＝m 2＋3m －1m 2＋3m －1－1 ＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3.若S 2mS 2m －1为数列{a n }中的项，则只能为a 1，a 2，a 3. ①当S 2mS 2m －1＝1时，3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝1，所以3m －1＝0，m 无解．②当S 2mS 2m －1＝2时，3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝2，所以3m －1＋1－m 2＝0.当m ＝1时，等式不成立； 当m ＝2时，等式成立；当m ≥3时，令f (x )＝3x －1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2，所以f ′(x )＝ln 33·3x －2x ，f ″(x )＝ln 233·3x－2.当x ≥3时，f ″(x )>0，f ′(x )在[3，＋∞)上单调递增．又f ′(3)＝9ln 3－6>0，所以f ′(x )＞0在[3，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在[3，＋∞)上单调递增．因为f (3)＝1>0，所以当m ≥3时，方程3m －1＋1－m 2＝0无解．③当S 2mS 2m －1＝3时，3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝3，所以m 2－1＝0，即m ＝1.综上所述，存在正整数m ＝1或2，使得S 2mS 2m －1恰好为数列中的一项．20. (1) 函数f(x)＝x 2是“恒切函数”，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＋kx 0＋b ＝kx 0＋b ，f′（x 0）＋k ＝k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f′（x 0）＝0.对于函数f(x)＝x 2，f′(x)＝2x ，设切点为(x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝0，2x 0＝0，解得x 0＝0，所以f(x)＝x 2是“恒切函数”． (2) 设切点为(x 0，y 0)，因为f′(x)＝mx ＋n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ln x 0＋nx 0＝0，m x 0＋n ＝0，解得ln x 0＝1，即x 0＝e ，所以实数m ，n 满足的关系式为m ＋e n ＝0. (3) 设切点为(x 0，y 0)， 因为f′(x)＝(2e x －x －2)e x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（e x 0－x 0－1）e x 0＋m ＝0，（2e x 0－x 0－2）e x 0＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－（e x 0－x 0－1）e x 0，2e x 0＝x 0＋2.设g(x)＝2e x －x －2，令g′(x)＝2e x －1＝0，得x ＝－ln 2.当x ∈(－∞，－ln 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min ＝g(－ln 2)＝ln 2－1<0. ①当x ∈(－∞，－ln 2)时，因为g(－2)＝4e 2>0，g(－1)＝2e －1<0，所以g(x)在(－∞，－ln 2)上有唯一零点x 0∈(－2，－1)． 又m ＝－(e x 0－x 0－1)e x 0＝14x 0(x 0＋2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－14，0. ②当x ∈(－ln 2，＋∞)时，因为g(0)＝0，所以g(x)在(－ln 2，＋∞)上有唯一零点0，所以m ＝0.综上所述，m ∈⎝⎛⎦⎤－14，0.。
实用文档2018—2019学年苏州市第一学期高三期中调研试卷学（正题）数112018．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置) ．．．????3,4,5?A1,2,3,4,5U=，则，若集合1．设全集▲．?Ae U2”的否定是▲．2．命题“01≥2x?x?R,x??a?(2,m)b?(1,?2)m b?a的值是，▲．，则实数，且3．已知向量函数的定义域是x2???lg(2?x)f(x)．▲4．?6．5，圆心角为已知扇形的半径为▲．，则扇形的面积为3 SS??84a4?S?n，则，6．已知等比数列．的前▲项和为n n SS 24????????0,?)A,?,0,0?f(x)Asin(Ax??）（且的部分图象如图所示，7.设函数则为常数，?的值为▲．??2b,a3??x??2xf(x)m?f(x)的的解集的区间长度为,8．已知二次函数不等式6(规定：闭区间b?am 的值是▲．)，则实数长度为321，深度为39．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800．如果池底每mmm2的造价为120元，要使水池总造价最低，1那么水池底部的周长为▲的造价为150元，池壁每m．m sinA?2sinBcosC?0ABC △A的最大值是▲，则．在10．中，2?x?,x?1,??e????????????xfxf?fxx??xf?xxx?xf的取值范围是，则，若11．已知函数?31223113xln?1,,x≥??x．▲????????2bbaa15?an?nb?中,若将数列，的通项公式为数列的通项公式为．12已知数列，nnnn n n实用文档??cc．▲，则相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列的值为n63?2CB?CD ABCD?BCAD?CD60BCD??AB?若点，中，，. 13．如图，在平面四边形，ruuuuuuur C BCM上的动点，则的最小值为▲．为边DM?AM MBDAa x1,2)?(a?(x)?exf．在14的取值范围是▲．函数上单调递增，则实数分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明90本大题共6个小题，共二、解答题() 过程或演算步骤)分(本题满分1415．????),cos3,2sin2n)?m?(2cos2(sin?，．已知????)f(?m?f(n)?][0,?在，求，且（1）若上的取值范围；26???)tantan(????nm//y?、轴上，求，且的终边不在的值．2（）若)分(本题满分1416．????a5?ab nn36?ABA，且的前项和为，已知等差数列．数列项和为的前，??}a{b和的通项公式；）求数列（1nn??c nb?ca?S项和）设（2．，求数列的前6nn3nn1?bB?2．nnnnnnn实用文档17 ．(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴AB?2CDBDDDO，CADOC km与点，，段建设架空木栈道，不重合），其中已知线，上设计一个观景台（点y km．设建设的架空木栈道的总长为??y?(rad)?DAO?的取值范围；（1）设，将的函数关系式，并写出表示成（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18．(本题满分16分)a x?ex)?f(已知是奇函数．x e）求实数的值；（1a2x?2x?f(x2y?e??e)x?[0,??)上的值域；在）求函数（232)?3x0gg(x?1)?(1?x2)(?xg()fx?的解集．（，求不等式3）令实用文档19．(本题满分16分)*Nn?，数列满足的首项为1，定义：若对任意的，则称数列已知数列}{a{a?3a}}a?a{nnn?1nn M数列”．为“??2*M n?S2n2?的，项和满足“求数列数列”，其前为（1）已知等差数列N n?n}{aa{}S n nnn d的取值范围；公差3M数列”，记数列满足为“2）已知公比为正整数的等比数列，且数列不（a?b}{{}b}b{a nn nnn4M数列，求数列的通项公式．为“}a{n20．(本题满分16分)a xln1?x)?ax?f(为常数．，设函数a?2(1,f(1)))f(x处的切线方程；时，求1）当在点（f(x)的两个零点，为函数（2）若．xx?x,x2121a的取值范围；①求实数2的大小关系，并说明理由．与②比较x?x21a实用文档学年第一学期高三期中调研试卷—20192018数学(附加) 2018．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，并在相．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．算步骤．A．（本题满分10分）ADABCEACBCDDAABC的外接圆于点，的外角∠延长的平分线，交已知交△是△的延长线于点FFBFC.，连结，FB?FC；）求证：（1?ADABCAB6?BC的长．外接圆的直径，，（2）若，求是△120??EAC10分）B．（本题满分b?22a????1?1?A?AA已知可逆矩阵的特征值．=的逆矩阵为，求????a?773????C 10分）．（本题满分?,2?2cosx???xxOyOC为极点，（的参数方程为以点为参数）在平面直角坐标系，中，圆??2siny??轴的正半轴为极轴建立极坐标系．C的极坐标方程；1（）求圆OACAO交于点的中点所在曲线的极坐标方程．（2）过极点作直线与圆，求D分）．（本题满分10 axx14???)x?3xg6(x)(fa)?x?xf()g(的取，若存在实数，已知函数使成立，求实数实用文档值范围．分）．（本题满分10222?2ABPA?3?BC?ABP?ABCDBC?BCAD//BCAD，，，中，如图，在四棱锥⊥，，PB3?PB．A??CDP (1)求二面角的余弦值；BEPAE PCD//BE (2)若点平面在棱的长．上，且，求线段PECBDA10分）23．（本题满分xcos*的导数，．已知函数是，设Nn?0)x)(x??(f)(fx)(fx01nn?xπππ求的值；(1) )f(?2f()212222πππ*N n? (2) 证明：对于任意都成立．，等式??fnf())(n1n?4442实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档实用文档。
2019～2020学年第一学期高三期初调研试卷数学Ⅰ 2019. 9(参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的方差2211()==−∑ni i s x x n ，其中11==∑ni i x x n ．)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,3A =，{}3,9B =，则A B = ▲ ．2．如果复数2()3bib R i−∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ▲ ． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ▲ ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时， 最后输出的b 的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线方程为2y x =±， 则该双曲线的离心率为 ▲．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题 − 第14题)、解答题(第15题 − 第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．7．如图，在直三棱柱ABC A B C −111中，若四边形11AAC C 是边长 为4的正方形，且3AB =，5BC =，M 是1AA 的中点，则三 棱锥A MBC −11的体积为 ▲ ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则S 10的值为 ▲ ．9．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[),x ∈+∞0时，()[)()[)sin ,,,,,,x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨−∈+∞⎪⎩0111则(5)6f π−−＝ ▲ ．10．已知在ABC ∆中，AC ＝1，BC ＝3．若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅−=，则CO AB ⋅＝ ▲ ．11．已知sin 222cos2αα−=，则2sin sin 2αα+＝ ▲ ．12．已知点A 、B 是圆O :224x y +=上任意两点，且满足23AB =P 是圆C :22(4)(3)4x y +++=上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ▲ ．13．设实数1a ≥，若不等式||2x x a a −+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ▲ ． 14．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A A B C+=，则sin A 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．(1)求证：AB 1∥平面PBC 1； (2)求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．▲ ▲ ▲ACB PA 1B 1C 116．(本小题满分14分) 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；(2)当[0,]x π∈时，求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．▲ ▲ ▲17．(本小题满分14分) 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角 为60o 的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于A 、B 两点，在直线:30l x y +−=上存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形，求实数k 的值．▲ ▲ ▲18．(本小题满分16分) 某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，30BAC ∠=．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．(水流速度忽略不计)(1)若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；(2)若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进m (0)m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船．已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．▲ ▲ ▲ABC岸边30o19．(本小题满分16分) 已知函数()e x f x =，()ln g x x =，(1)设2()()h x g x x =−，求函数()h x 的单调增区间；(2)设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数y =()g x 的图象在点A (00,()x g x )处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；(3)求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x−−<成立． ▲ ▲ ▲20．(本小题满分16分) 等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}n b 满足：b 1＝5a 1＝5，a 5＝b 2＝9，当3n ≥ 时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +−，2n S −成等比数列，n *∈N ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；(3)将数列{}n a 、11{}+n n b b 的项按照：当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，11+n n b b 放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…记这个新数列的前n 和为T n ，试求T n 的表达式．▲ ▲ ▲。
EDCBA2019届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学(文)试题（正卷）2018．9注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中121()n x x x x n=+++.锥体体积公式：1=3V Sh 锥体(S 为锥体底面面积，h 为锥体的高).一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1}A =-，集合{|0}B x x =>，则AB = ▲ ．2．若复数12i z =+，22i z a =-(i 为虚数单位)，且12z z 为实数，则实数a = ▲ ．3．一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数据的方差等于 ▲ ． 4．如图是某一算法的伪代码，则输出值n 等于 ▲ ．5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次 摸出2只球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．6．已知函数222(0)()(0)x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥为奇函数，则实数a 的值等于 ▲ ．7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<≤)的一条对称轴是512x π=-，则ϕ= ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的前 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为 ▲ ．9．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于 ▲ ． 101(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 ▲ cm 3．11．如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB ∥CD ，AC =26AB CD ==，则当tan 3A =时，BE CD ⋅= ▲ ．(第4题)(第11题)12．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若0a b >>，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最大值是 ▲ ． 13．在斜三角形ABC 中，已知11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值等于 ▲ ． 14．已知⊙C 的方程为：222(3)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线33x y +=上存在一点P ，在⊙C 总存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则⊙C 的半径r 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知πcos (0,)2αα=∈． （1）求πsin()4α+的值；（2）若()11πcos ,(0,)142αββ+=∈，求β的值．16．（本题满分14分）如图，已知矩形CDEF 和直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，DE =DA ， M 为AE 的中点．(1)求证：AC ∥平面DMF ； (2)求证：BE ⊥DM ．MFE DCBA (第16题)17．（本题满分14分）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD 及矩形的停车场EFGH ，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O ，半径为r ，矩形的一边AB 在直径上，点C ，D ，G ，H 在圆周上，E ，F 在边CD 上，且∠BOG =60︒，设BOC θ∠=．(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为()f θ，求()f θ的表达式； (2)当cos θ为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．18．（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P (1,32)为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点(0,1)C 且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，若122k k =，求直线l 斜率的值．FEGH C DOBA(第17题)19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34S a =，523a a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (3)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.20．（本小题满分16分）若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．(1)判断函数2()f x x =是否为“恒切函数”；(2)若函数()ln f x m x nx =+(0m ≠)是“恒切函数”，求实数m ，n 满足的关系式； (3)若函数()(e 1)e x x f x x m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤．2018~2019学年第一学期期初教学质量调研卷 高三数学（正卷）参考解答与评分标准一、填空题：（每题5分，满分70分） 1．{1}2．43．24．45．356．−2 7．3π 8．2 9．1124-1011．1212．1613．-14．)+∞ 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（本题满分14分） 解：(1)由πcos (0,)2αα=∈，得1sin 7α=，············································· 2分 所以πππsin()sin cos cos sin 444ααα+=+ ·············································· 4分17=+=． ································ 6分 (2)因为π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈．又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+== 8分所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+ ·············· 10分11111472=-⨯=． ············································· 12分 因为π(0,)2β∈，所以π6β=． ······················································ 14分16．（本题满分14分）证明：(1)连接EC 交DE 于N ，连接MN ．∵矩形CDEF ，∴EC ，DF 相互平分，∴N 为EC 中点． ·· 2分 又∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ． ··································· 4分 又∵AC ⊄平面DMF ，且MN ⊂平面DMF ．∴AC ∥平面DMF ． ·················································· 7分 (2)∵矩形CDEF ，∴CD ⊥DE ．又∵AB ∥CD ，∴AB ⊥DE ． ·························································· 8分 又∵直角梯形ABCD ，AB ∥CD 且90ADC ∠=︒，∴AB ⊥AD ． ∵DEAD =D ，∴AB ⊥平面ADE ． ··············································· 10分又∵DM ⊂平面ADE ，∴AB ⊥DM ．∵AD DE =，M 为AE 的中点，∴AE ⊥DM ． ·································· 11分 又∵AB AE A =，∴MD ⊥平面A BE ． ·········································· 13分∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥MD ． ··················································· 14分 17．（本题满分14分）解：(1)∵半圆的半径为r ，BOC θ∠=，∠OBC =90°．∴在直角三角形OBC 中，cos OB r θ=，sin BC r θ=，∴2cos AB r θ=．∴22sin cos ABCD S AB BC r θθ=⋅=矩形． ················································ 2分 又∵∠BOG =60︒，由半圆的对称性可知，∠HOA =60︒，∴∠HOG =60︒． ∴△HOG 为等边三角形，∴HG =r ，HEsin r θ-=sin )r θ．∴2sin )EFGH S EF EH r θ=⋅=-矩形． ·············································· 4分 ∴()ABCD EFGH f S S θ=+=矩形矩形2(2sin cos sin r θθθ-+，其中(0,)3πθ∈． ································································································· 7分(2) ∵222()(2cos 2sin cos )f r θθθθ'=--=22(4cos cos 2)r θθ--． ··········· 9分 令()0f θ'=，即24cos cos 20θθ--=，解得：cos θ=cos θ=(舍去)． ·································· 11分令0cos θ=0(0,)3πθ∈． 1︒当0(0,)θθ∈时，()0f θ'>，()f θ单调递增；2︒当0(,)3πθθ∈时，()0f θ'<，()f θ单调递减．∴当0θθ=时，()f θ取得最大值． ···················································· 13分答：当cos θ= · 14分18．（本题满分16分）解：(1)∵椭圆的离心率为12，∴2a c =．又∵222a b c =+，∴b =．∴椭圆的标准方程为：2222143x y c c+=． ··············· 3分ABODC H GEF又∵点P (1,32)为椭圆上一点，∴22914143c c +=，解得：1c =． ··············· 5分∴椭圆的标准方程为：22143x y +=． ················································· 6分 (2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为1y kx =+． 设1122(,),(,)M x y N x y ．联列方程组：221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：22(34)880k x kx ++-=． ∴由韦达定理可知：122834k x x k +=-+，122834x x k =-+． ····················· 8分 ∵1112y k x =+，2212yk x =-，且122k k =，∴1212222y y x x =+-． ·················· 10分即221222124(2)(2)y y x x =+-．①又∵1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆上， ∴22113(4)4y x =-，22223(4)4y x =-．②将②代入①可得：121224(2)22x x x x -+=+-，即1212310()120x x x x +++=． ······· 12分 ∴22883()10()1203434k k k-+-+=++，即2122030k k -+=． ················· 14分 解得：16k =或32k =．又∵k >1，∴32k =． ······································ 16分 19．（本小题满分16分）解：(1)设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q ． ∴数列{}n a 的前5项依次为：1，2，1+d ，2q ，1+2d ．∵34523S a a a a =⎧⎨=+⎩，∴42123d q d d +=⎧⎨+=+⎩，解得：23d q =⎧⎨=⎩． ···························· 2分∴12()23()nn n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数． ······························································ 4分 (2) ∵12m m m a a a ++=．1︒若2m k =(N*k ∈)则22122k k k a a a ++=，∴123(21)23k k k -⋅⨯+=⋅，即213k +=，∴1k =，即2m =． ································································································· 6分2︒若21m k =-(N*k ∈)则21221k k k a a a -+=，∴1(21)2321k k k --⨯⋅=+，∴12122312121k k k k -+⋅==+--． ∵123k -⋅为整数，∴221k -必为整数，∴211k -=，∴1k =，此时0233⋅≠． 不合题意． ················································································· 8分 综上可知：m =2． ········································································ 9分 (3)∵21321242()()m m m S a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=(121)2m m +-+2(13)13m --=231m m +-． ································· 10分21122122312331m m m m m m S S a m m ---=-=+--⋅=+-． ··························· 11分∴221m m S S -=2123131m m m m -+-+-=2122(1)3331m m m ---+-≤． ······································ 12分 若221mm S S -为数列{}n a 中的项，则只能为123,,a a a ． 1︒2211m m S S -=，则2122(1)3131m m m ---=+-，∴130m -=，m 无解． ··················· 13分 2︒2212m m S S -=，则2122(1)3231m m m ---=+-，∴12310m m -+-=． 当1m =时，等式不成立； 当2m =时，等式成立；当3m ≥时，令1221()31313x x f x x x -=+-=⋅+-．∴ln3()323xf x x '=⋅-，2ln 3()323x f x ''=⋅-． 当3x ≥时，()0f x ''>，∴()f x '在[3,)+∞上单调递增． 又∵(3)9ln 360f '=->，∴()0f x '>在[3,)+∞上恒成立， ∴()f x 在[3,)+∞上单调递增．∵(3)10f =>，∴当3m ≥时，方程12310m m -+-=无解． ···················· 14分3︒2213m m S S -=，则2122(1)3331m m m ---=+-，∴210m -=，即1m =． ·············· 15分 综上可知：1m =或2m =． ···························································· 16分 20．（本小题满分16分）解：(1)函数()f x 为“恒切函数”，设切点为00(,)x y ．则0000()()f x kx b kx b f x k k ++=+⎧⎨'+=⎩，∴00()0()0f x f x =⎧⎨'=⎩． ······································· 2分对于函数2()f x x =，()2f x x '=．设切点为00(,)x y ，∴20020x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ······················································· 3分解得：00x =．∴2()f x x =是“恒切函数”． ······································· 4分 (2)若函数()ln f x m x nx =+(0m ≠)是“恒切函数”，设切点为00(,)x y ．∵()mf x n x '=+，∴000ln 00m x nx m n x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ·············································· 5分解得：0ln 1x =，即0x e =． ···························································· 7分 ∴实数m ，n 满足的关系式为：0m ne +=． ······································· 8分 (3) 函数()(1)x x f x e x e m =--+是“恒切函数”，设切点为00(,)x y ． ∵()(22)xxf x e x e '=--，∴000000(1)0(22)0x x x x e x e m e x e ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩， ∴0000(1)22x x x m e x e e x ⎧=---⎪⎨=+⎪⎩． ······························································· 10分考查方程22x e x =+的解，设()22x g x e x =--． ∵()21x g x e '=-，令()0g x '=，解得：ln 2x =-． ∴当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(ln 2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴min ()(ln 2)ln 210g x g =-=-<． ··················································· 12分1︒当(,ln 2)x ∈-∞-时∵24(2)0g e -=>，2(1)10g e-=-<． ∴()22x g x e x =--在(,ln 2)-∞-上有唯一零点0(2,1)x ∈--．又∵00(1)x x m e x e =---=001(2)4x x +，∴1(,0)4m ∈-． ························ 14分2︒当(ln 2,)x ∈-+∞时∵(0)0g =，∴()22x g x e x =--在(ln 2,)-+∞上有唯一零点0，∴0m =．································································································15分综上可知：14m-<≤．································································16分。
苏州市2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学I 卷 2018．11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ． 2．命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是 ．3．已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ． 4．函数()lg(2)f x x =-的定义域是 ．5．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ． 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424SS =，则84S S = ．7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数， 且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示， 则ϕ的值为 ．8．已知二次函数2()23f x x x =-++,不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是 ．9．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每12m 的造价为150元，池壁每12m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 m ．10．在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 的最大值是 ．11．已知函数()2,1,eln ,1,x x f x x x x≥+<=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是 ．12．已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =,若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为 ．13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则→→⋅DM AM 的最小值为 ．14．函数()xf x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知(2cos23,2sin 2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n ． （1）若6βπ=，且()f α=⋅m n ，求()f α在[0,]2π上的取值范围；（2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值．16．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =．数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-．（1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．CBADM17 ．(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18．(本题满分16分) 已知()x xaf x e e =-是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域； （3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集．CBA荷花DO荷花 荷花荷花19．(本题满分16分)已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”． （1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和S n 满足2S 22n n n <+()*n N ∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围；（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足34n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式．20．(本题满分16分)设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．苏州市2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加) 2018．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（本题满分10分）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.（1）求证：FB FC=；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，120EAC︒∠=，6BC=，求AD的长．B．（本题满分10分）已知可逆矩阵A=273a⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127ba--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A，求1-A的特征值．C．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为22cos,2sinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）过极点O作直线与圆C交于点A，求OA的中点所在曲线的极坐标方程．D．（本题满分10分）已知函数()f x()g x x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围． 22．（本题满分10分）如图，在四棱锥P A B C D -中， BC ⊥PB ，AB BC ⊥，//AD BC ，3AD =，22PA BC AB ===，PB =(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且//BE 平面PCD ，求线段BE 的长．23．（本题满分10分） 已知函数0cos ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n *N ∈，等式1πππ()()444n n nf f -+=EA CPBD数学参考答案与评分标准 2018．11 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. {}1,22. 2,210x R x x ∀∈-+<3. 14. [)2,2-5. 6π6. 107.3π8. 5- 9. 160 10. π611. 2(1,0)e - 12. 256 13. 21414. -1a ≤或3a ≥二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分) 解：（1）因为6βπ=，所以1(2=n ．所以3()cos22f ααα=⋅+m n =， ………………2分 即3()2sin(2)62f παα=++， ………………3分 因为[0,]2απ∈，所以72[,]666απππ+∈；所以1sin(2)[,1]62απ+∈-； ………………5分所以()f α的取值范围是17[,]22． ………………7分（2）由//m n ，所以(2cos23)cos 2sin 2sin 0αβαβ+-=， ………………9分所以2cos(2)3cos 0αββ++=， ………………10分 所以2cos()cos 2sin()sin 3cos()cos 3sin()sin 0αβααβααβααβα+-+++++=， 因为αβ+、α的终边不在y 轴上，所以cos(),cos αβα+均不为0，所以5cos()cos sin()sin 0αβααβα+++=， ………………12分 因为所以tan()tan 5αβα+=-． ………………14分 16．(本题满分14分)解：（1）因为{}n a 是等差数列,设{}n a 的公差为d ，由35a =，636A =，得1125,2512,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………2分所以11a =，2d =，所以21n a n =-； ………………4分 由21n n B b =-可知，当1n =时，11b =； ………………5分 当2n ≥时，1121n n B b --=-，所以1122n n n n B B b b ---=-，从而12(2)n n b b n -=≥， ………………7分又11b =，所以12(2)nn b n b -=≥，所以{}n b 是等比数列， ………………8分 所以12n n b -=． ………………9分（2）因为n n n c a b =⋅，所以1(21)2n n c n -=-⋅，01221123123252(23)2(21)2n n n n S c c c c n n --=++++=⋅+⋅+⋅++-+-L L ，12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+-L ， ………………11分所以01212212222222(21)212(21)212nn nn n S n n ---=⋅+⋅+⋅++⋅--=+⨯---L ，所以(23)23n n S n =-+． ………………14分 17. (本题满分14分) 解：（1）由DAO θ∠=，OC AB ⊥，1OA OB ==，则1cos DA DB θ==，tan DO θ=，所以1tan DC θ=-， ……………… 所以22sin 1tan 1cos cos y DA DB DC θθθθ-=++=+-=+,04πθ<<. ……………（注：表达式2分，θ的的取值范围1分）(2) 22sin 1cos y θθ-'=， ………… 令0y '=,得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=， ……………当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；当64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数.……………所以，当6πθ=时，min 1y =，此时tan DO θ==…………… 答：当D 位于线段AB 的中垂线上且距离AB处时,能使三段木栈道总长度最短. 18．(本题满分16分) 解：（1）函数的定义域为R ，因为()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-可知，(0)0f =， 所以10a -=，所以1a =； ………………当1a =时，11()()x xx x f x e e f x e e---=-=-+=-，此时()f x 为奇函数． ……………… （2）令1x x e t e -=（0t ≥），所以22212x x e t e+=+所以2()22h t t t λ=-+，对称轴t λ=， ……………… ①当0λ≤时，[)()(0),h t h ∈+∞，所求值域为[)2,+∞； ………………②当0λ>时，[)()(),h t h λ∈+∞，所求值域为)22,λ⎡-+∞⎣； ………………（3）因为1()x xf x e e =-为奇函数，所以()()2()()2(),g x f x x f x x g x -=---=-+=- 所以()()2g x f x x =-为奇函数，所以32(1)(13)0g x g x ++-<等价于32(1)(31)g x g x +<-， ……………… 又1()()22220x x g x f x e e''=-=+--=≥当且仅当0x =时，等号成立， 所以()()2g x f x x =-在R 上单调增，所以32131x x +<-， …………… 即32320x x -+<，又32232(1)(22)0x x x x x -+=---<，所以1x <或11x << ………………所以不等式的解集是(,1(1,1-∞U ． ……………… 19．(本题满分16分)解：（1）因为等差数列{}n a 为“M 数列”，所以3d >， ……………由 11a =，得 (1)2n n n S n d -=+， 由题意，得2(1)222n n n d n n -+<+对n N *∈均成立， 即()142n d n -<+对n N *∈均成立， ……………… 当1n =时，3d >均成立； ……………当2n ≥时，421n d n +<-恒成立，因为4264411n n n +=+>--，所以34d <≤， …………综上可得，数列{}n a 的公差d 的取值范围是34d <≤． ………………（2）设数列{}n a 的公比为q ，则111n n n a a q q --==， 因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”， 所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->，所以q 至少为大于等于2的正整数； ………………… 又112n nn n a a q a a +--=-≥，所以数列1{}n n a a --单调递增，所以在数列1{}n n a a --中，21a a -为最小项， ……………… 由{}n a 为“M 数列”，可知只需213a a ->，即 13q ->，所以4q > …… 同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， 因为{}n b 不是“M 数列”，所以存在13m m b b --≤，又“21b b -”为最小项，所以213b b -≤， 即 1(1)4a q -≤，所以5q ≤…………… 因为*q N ∈，5q 所以=，15n n a -=． ………………20．(本题满分16分)解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，得1()2f x x'=-， 所以(1)1f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =； ……………（2）①()1ln f x ax x =--（0x >）,得11()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减不满足题意； ……………… 当0a >时，1(0,)x a ∈，()0f x '<；1(,)x a∈+∞，()0f x '>； 所以()f x 在1(0,)a 上单调减，在1(,)a+∞上单调增．因为函数()f x 有两个零点，所以min 1()()0f x f a=<，得01a <<． ……… 下证：在区间1(0,)a 和1(,)a+∞内分别存在一个零点.在1(0,)a内，因为1()0a f e e =>，而1()0f a <，又()f x 在1(0,)a 上单调减，所以由零点存在性原理可知：在1(0,)a内()f x 有一个零点； ………………法一：在1(,)a+∞内，可以证明ln 1x x x ≤-<，所以<ln x <，所以211()1ln 1)1f x ax x ax a a a=-->----，取202(1)x a =+，得221111)1(1)110a a a a a a a --=+--=+>， 而1()0f a <，又()f x 在1(,)a +∞上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在1(,)a+∞内()f x 有一个零点． ………………法二:在1(,)a+∞内，因为ln 1x x x ≤-<（易证），所以即ln x <，所以()1ln 1f x ax x ax =-->--t 且2()21g t at t =--，因为01a <<，所以存在0t ，使得0()0g t >，所以0()0f t >，而1()0f a <，又()f x 在1(,)a+∞上单调增，所以由零点存在性原理可知在1(,)a+∞内，()f x 有一个零点． ………………法三:在1(,)a+∞内取20a x e =，所以2202224()1(2)2a aa f x ae e a a a =--=--，令2(2)t t a=>，2()2t g t e t t =--，可证：2t e t >， 所以22()2(1)0t g t e t t t t t t =-->-=->，所以0()0f x >，而1()0f a <，又()f x 在1(,)a+∞上单调增，所以由零点存在性原理可知在1(,)a +∞内，()f x 有一个零点． …………… ②122x x a+>． …………… 证明如下：由111ln 0ax x --=，221ln 0ax x --=，所以1122()ln x a x x x -=即1212ln x x a x x =-， 要证122x x a +>，即证1122122()ln x x x x x x ->+，即证1121222(1)ln 1x x x x x x ->+， 令12(1)x t t x =>，令2(1)()l n 1t ht t t -=-+，()()22214(1)()011t h t t t t t -'=-=>++，所以()(1)0h t h >=，所以122x x a+>． …………… 2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 参考答案与评分标准 2018．1121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC =∠FBC ，∵∠EAD =∠F AB =∠FCB ， ∴∠FBC =∠FCB ，∴FB = FC . ……………5分(2) ∵AB 是圆的直径，∴∠90ACD ︒=，∵120EAC ︒∠=，1602DAC EAC ︒∠=∠=，30D ︒∠=， 在Rt △ACB 中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC又在Rt △ACD 中，∠D =30°，AC∴AD10分B ．（本题满分10分）解：由1-⋅=A A E 可知，1221073701a b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A 所以141ab -=，7210b -=，1431a -+= …………………3分 所以5,3a b ==； …………………5分所以13275--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，232()8175f λλλλλ-==-+-， …………………8分 由()0f λ=，14λ=24λ= …………………10分C ．（本题满分10分）解：（1）由22sin cos 1αα+=，所以圆C 的普通方程22(2)4x y -+=，………………3分 又点O 为极点，Ox 为极轴，所以222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=； ………6分（2）设OA 的中点为00(,)ρθ，则00(2,)A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 的中点所在曲线的极坐标方程为2cos ρθ=． …………………10分D ．（本题满分10分）解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分 所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分22．（本题满分10分）解： (1)在△PAB 中，因为=2PA ，PB =1AB ，所以222=+PA ABPB ，所以PB ⊥AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示．…………………1分 所以(1,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D ，P ，(1,1,0)CD uu u r =，(0,2,PC u u u r =．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ．……2分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则0,0.CDPC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m 即0,2.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令=2z ，则=m ．……………………4分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>==⋅n mn m n m 即二面角P CD A --． …………………6分(2)因为点E 在棱PA ，所以AE AP uu u r uu u r λ=，[0,1]λ∈． 因为=1AP u u u r （-，所以=)AE λu u u r （-，(1)BE BA AE u u r u u r u u u r λ=+=-．又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE uur ⋅=m 1)0λ-+=，所以1=3λ． …………………9分所以2(3BE uur =，所以==BE BE uur ． …………………10分23．（本题满分10分）解：(1)法一：由已知102cos sin cos ()()()x x x f x f x x x x''===--， …………………1分 故21223sin cos cos 2sin 2cos ()()()()x x x x x f x f x x x x x x '''==--=-++， …………………2分 所以12228(),()22f f ππ=-=ππ，即12()2f π＋2()022f ππ=． …………………3分 法二：由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， …………………1分 即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 所以12()2f π+23()0222f COS πππ==． …………………3分 (2)由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， 即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 2333()()sin cos()2f x xf x x x π+==+，3444()()cos cos()2f x xf x x x π+==+． 下面用数学归纳法证明等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n Ν*∈都成立． …………………6分 ①当1n =时，由上可知等式成立；② 假设当n k =时等式成立，即1()()cos()2k k k kf x xf x x -π+=+． 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+'''+=++=++，(1)[cos()]sin()()cos[]2222k k k k x x x x πππ+π''+=-++=+， 所以1(1)(1)()()cos[]2k k k k f x xf x x ++π++=+． 因此当1n k =+时，等式成立． …………………9分 综合①，②可知等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n *∈Ν都成立． 令4x π=，可得1()()cos()()44442n n n nf f n *-πππππ+=+∈Ν．所以1()())444n n nf f n Ν*-πππ+=∈． …………………10分。
苏州市2019届上学期高三期中调研试卷2018.11.12数学（正题）一、填空题(请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上) 1.设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð__________. 【答案】{}1,2 【解析】 【分析】利用补集定义直接求解即可．【详解】∵全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}3,4,5A =，∴{}12U A =，ð， 故答案为{}1,2．【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是__________. 【答案】2210x R x x ∀∈-+<， 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定命题：2210x R x x ∀∈-+<，， 故答案为：2210x R x x ∀∈-+<，．【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3.已知向量(2,)a m =r ，(1,2)b =-r ，且a b ⊥r r，则实数m 的值是__________.【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥r r即可得出 220a b m ⋅=-=r r ，从而求出m 的值． 【详解】∵a b ⊥r r，∴ 220a b m ⋅=-=r r ；∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于基础题.4.函数()lg(2)f x x =-+__________. 【答案】[)2,2- 【解析】 【分析】由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【详解】由2020x x ->⎧⎨+≥⎩，得22x -≤<．∴函数()lg(2)f x x =-+[)2,2-． 故答案为[)2,2-．【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.5.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【答案】6π 【解析】 【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=， 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=，故答案为6π．【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．6.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，424S S =，则84SS的值是__________.【答案】10【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式，由424SS=可得23q=，通过化简可得884411S qS q-=-，代入2q的值即可得结果.【详解】∵424SS=，∴424S S=，显然1q≠，∴()()241111411a q a qq q--=--，∴214q+=，∴23q=，∴()()818484441111110111a qS qqqS qa qq---===+=---，故答案为10．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．7.设函数()sin()f x A xωϕ=+（,,Aωϕ为常数，且0,0,0Aωϕ>><<π）的部分图象如图所示，则ϕ的值是________.【答案】3π【解析】【分析】先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．【详解】根据函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ，ω，φ为常数，且A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得34•2πω=712π+6π，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×（﹣6π）+φ=0，∴φ=3π，故答案为：3π．【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．8.已知二次函数2()23f x x x =-++，不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是_______.【答案】5- 【解析】 【分析】根据题意223x x m -++≥的解集为[],a b ，分析可得x a =和x b =是方程2230x x m -+-=的两根，将二次函数根与系数的关系与6b a -=相结合，可得m 的值．【详解】根据题意223x x m -++≥的解集为[],a b ，则x a =和x b =是方程223x x m -++=即2230x x m -+-=的两根， 则2a b +=，3ab m =-，不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6，即6b a -=， 则有()()2444336a b ab m +-=--=，解可得5m =-， 故答案为5-．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为3m .如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m . 【答案】160 【解析】 【分析】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x，由题意可得水池总造价()f x ，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长． 【详解】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x， 由题意可得水池总造价()48004800150120232333f x x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭()16002400007200x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()1600720240000720240000f x x x ⎛⎫=++≥⨯ ⎪⎝⎭ 720240240000297600=⨯⨯+=，， 当且仅当1600x x=，即40x =时，()f x 有最小值297600， 此时另一边的长度为4800403m x=， 因此，当水池的底面周长为160m 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元， 故答案为160．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．10.在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 最大值是______.【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得3sin cos cos sin 0B C B C +=，即3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角，()tan tan A B C =-+展开代入利用基本不等式的性质即可得出tan A 的最大值，结合A 的范围即可得解． 【详解】∵sin 2sin cos 0A B C +=， ∴()sin 2sin cos 0B C B C ++=， ∴3sin cos cos sin 0B C B C +=， ∵cos 0C ≠，cos 0B ≠，∴3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角． ∴()()2tan 3tan tan tan tan tan 1tan tan 13tan B B B C A B C B C B --+=-+=-=-+213tan tan B B=≤=+，当且仅当tan B =时取等号， ∴tan A的最大值是3， ∵A 为锐角，∴A 的最大值是6π，故答案为6π． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数()2,1ln ,1x x ef x x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是______. 【答案】21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】求得1x ≥时()f x 的导数，可得单调性和极值，画出()y f x =的图象，可得112e x e--<<，再由二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】由ln x yx =的导数为21ln xy x-'=， 当x e ≥，函数递减；当1x e ≤<时，可得函数递增， 即有x e =处函数取得极大值1e， 作出函数()2,1ln ,1x x ef x x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的图象，可得112e x e --<<，由()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，可得()()2213111112211x f x x f x x x x e e e ⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，且在21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，即有11x e =-时，()1321x f x e =-；12x e =-时，()130x f x =，可得()13x f x 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用：求范围，考查导数的运用：求单调性和极值，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．12.已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =，若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为_______.【答案】256 【解析】 【分析】利用数列的通项公式列举数列的项，进一步利用共性求出结果． 【详解】数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列的数据符合平方的数有：16，36，81，121，169，256．数列{}n b 的通项公式为2n b n =，当4n =，6，9，11，13，16时符合上面各个数．数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ， 则6c 的值为256，故答案为256.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==.若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为_______.【答案】214【解析】 【分析】如图所示，以B 为原点，以BA 所在直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，求出A ，D ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴， 过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，23CB CD ==∴()00B ，，()20A ，，(0,23C ，(3D ， 设()0,M a ，则()2,AM a =-u u u u r，( 3,3DM a =-u u u u r ， 故(232121 63244AM DM a a a ⎛⎫=+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⋅u u u u r u u u u r ，故答案为214． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．14.函数()xf x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【答案】-1a ≤或3a ≥ 【解析】 【分析】首先根据单调性及最值可得()1,2a ∉-，分为1a ≤-和2a ≥两种情形，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出取并集即可. 【详解】由题意得()()110a f x f e-->-=≥，()()01,2f a a =⇒∉-，①1a ≤-时，()()xf x ex a =-，()()10x f x e x a -+'=≥即()1,2x ∀∈-，()()10100g x x a g a a =-+≥⇒-=-≥⇒≤， 因此1a ≤-； ②2a ≥时，()()xf x ea x =-，()()10x f x e a x --'=≥即()1,2x ∀∈-，()()102303h x x a h a a =-+-≥⇒=-≥⇔≥ 因此3a ≥，综上可得(][),13,a ∈-∞-⋃+∞， 故答案为(][),13,-∞-+∞U .【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题．二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知(2cos23,2sin2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n . （1）若6πβ=，且()f α=⋅m n ，求()f α在[0,]2π上的取值范围； （2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值. 【答案】（1）()17,22f α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）5-【解析】 【分析】（1）首先利用向量的数量积，对三角函数关系式进行变换，进一步利用函数的定义域求出值域；（2）利用向量的共线，建立等量关系，再利用角的恒等变换求出结果．【详解】（1）已知()2cos232sin 2ααm =+u r ，，() sin ,cos βn β=r ，由于6πβ=， ()()2cos23sin 2sin 2cos f αm n αβαβ=⋅=++⋅u r r3cos 222αα=++32262πsin α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以2]766[6πππα+∈，，故()17,22f α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）若 //m n u r r，且αβ+、α的终边不在y 轴上，故()2cos23cos 2sin 2sin 0αβαβ+⋅-⋅=， 即()2cos 23cos 0αββ++=，整理得()][()2cos 3cos []0αβααβα++++-=，化简为()5tan tan 0αβα++=，即()tan tan 5αβα+=-．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =. 数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）()2323nn S n =⋅-+【解析】 【分析】（1）利用已知条件建立方程组，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【详解】（1）等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =，设数列的首项为1a ，公差为d ，则316125656362a a d A a d =+=⎧⎪⎨⨯=+⋅=⎪⎩， 解得11a =，2d =，故21n a n =-． 由于数列{}n b 前n 项和为n B ，且21n n B b =-．所以当2n ≥时，1121n n B b --=-， 整理得12n n b b -=，所以数列{}n b 是以11b =为首项，2为公比的等比数列． 故12n nb -=，首项符合通项，则12=n n b -．（2）由（1）得：()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，所以()0111232212n n S n -⋅+⋅+⋅⋯+-=①，()1221232212n n S n ⋅+⋅+⋯+⋅-=②，①-②得：()()1112222212n nn S n --+⋅+⋯+⋅-=⋅-，所以()22121221n nn S n ⎛--+---⎫=⋅ ⎪⎝⎭，整理得()2323nn S n =⋅-+．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17.某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （D 与,O C 不重合），其中,,AD BD CD 段建设架空木栈道，已知2AB km =，设建设的架空木栈道的总长为ykm .（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短. 【答案】（1）21tan 0,cos 4πy θθθ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由2AB =，得1AO BO CO ===，可得1cos cos AO AD BD θθ===，进一步得到tan tan DO AO θθ==，1tan CD OC OD θ=-=-，则函数解析式可求；（2）求出原函数的导函数，得到函数的单调性，可得当6πθ=时，三段木栈道的总长度最短，由此得到观景台的位置．【详解】（1）由2AB =，则1AO BO CO ===， 由题意知：CO 为AB 的中垂线，可得1cos cos AO AD BD θθ===，tan tan DO AO θθ==， 则1tan CD OC OD θ=-=-，得21tan 0,cos 4πy θθθ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，； （2）22sin 10,cos 4θπy θθ-⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭，， ∴当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，21sin cos y θθ=+-单调递减， 当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0y '>，21sin cos y θθ=+-单调递增，∴当6πθ=时，即OD =时，三段木栈道的总长度最短． 【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题．18.已知()x x af x e e=-是奇函数，其中a 为常数. （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x xy e e f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域；（3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集.【答案】（1）1；（2）见解析；（3）{|111x x x <<< 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()f x f x -=-，代入可求a ；（2）令1x xt e e =-，然后转化为二次函数的值域求解；（3）结合()g x 为奇函数，及单调性可求不等式的解集．【详解】（1）由题意可得()()f x f x -=-，1x xx xa ae e e e =--+， 整理可得，()110xxa e e ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ∴1a =； （2）令1xxt e e =-， ∵[)0x ∈+∞，，∴[)1xe ∈+∞，， ∴0t ≥， ∴2222212222xx x x x xy ee λf x e e λe t λt e --⎛⎫=+-=+--=-+ ⎪⎝⎭（），0t ≥（），对称轴t λ=， ①0λ<时，222y t λt =-+在[)0+∞，上单调递增，∴2y ≥，值域为[)2,+∞； ②0λ≥时，222y t λt =-+在[)0+∞，上先减后增，当x λ=时函数有最小值22λ-，值域为)22,λ⎡-+∞⎣；（3）∵()()()()22g x f x x f x x g x -=-+=-+=-，x ∈R ， ∴()g x 为奇函数， ∵()()321130g x g x++-<，∴()()()32211313g x g x g x +<--=-+，∵()120xx g x e e'+-≥=， ∴()g x 单调递增，∴32113x x +<-+， 即()()322321220x x x x x -+=---<，当1x >时，2220x x --<，解可得11x <<，当1x <时，2220x x -->，解可得1x <综上可得，不等式解集{|111x x x <-<<+．【点睛】本题主要综合考查了函数单调性，奇偶性等函数性质的综合应用，解题的关键是函数知识的熟练应用，属于中档题.19.已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”.（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和n S ，满足()2*S 22n n n n N <+∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围；（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足34n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）34d <≤；（2）15n n a -=，*n N ∈【解析】 【分析】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 为“M 数列”，可得3d >，由等差数列的求和公式，解不等式可得d 的范围；（2）首先通过11(1)3n n n a a q q -+-=->得到q 至少为大于等于2的正整数，接着判断数列1{}--n n a a 单调递增，即可得213a a ->，所以4q >，同理可得213b b -≤，即5q ≤，即5q =，即可得到所求通项．【详解】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 为“M 数列”，可得3d >，()21122n S n n n d n n =++<+， 即有412d d n -<+恒成立，即为402d d -≤+，解得34d <≤； （2）设数列{}n a 的公比为q ，则111n n n a a q q --==，因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->，所以q 至少为大于等于2的正整数；又112n nn n a a q a a +--=-≥，所以数列1{}--n n a a 单调递增， 所以在数列1{}--n n a a 中，21a a -为最小项，由{}n a 为“M 数列”，可知只需213a a ->，即13q ->，所以4q > 同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， 因为{}n b 不是“M 数列”，所以存在13m m b b --≤，又“21b b -”为最小项，所以213b b -≤， 即1(1)4a q -≤，所以5q ≤因为*q N ∈，所以5q =，15n n a -=．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20.设函数()1ln f x ax x =--，其中a 为常数.（1）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，且12x x >. ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）①()0,1，②见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算()1f ，()1f '的值，求出切线方程即可；（2）①求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数确定a 的范围即可；②求出1212ln ln x x a x x -=-，得到()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）2a =时，()21ln f x x x =--，()21f xx '=-， 故()()111f f ='=，故切线方程是y x =. （2）①()1f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x <′恒成立，即()f x 单调递减，不可能有2个零点， 故0a ≤不合题意；当0a >时，令()0f x '=，解得：1x=，列表如下：故()1min f x f lna a ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵()f x 有2个零点，∴ln 0a <，解得：01a <<， 故10a f e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且 11e a <， 故存在211,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，244212ln f a aa ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设()22a t =∈+∞，，则()()24212ln 2h t f t t t a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，()220h t t'=->，故()h t 在()2,+∞递增， 故()()232ln 20h t h >=->， ∵2 41a a >，故存在1214,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =， 综上，()01a ∈，；②∵()()120f x f x ==，故11221ln 1ln ax x ax x --=--， 即1212ln ln x x a x x -=-，()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+， 则()()()22101m g m m m -'=>+，故()g m 递增，()()10g m g >=，∵120x x ->，∴()1212021x x f g m x x +⎛⎫'=> ⎪-⎝⎭， 即1212x x a +>，故122x x a+>． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属于难题． 21.如图，已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连结,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=︒，6BC =，求AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）由已知得EAD DAC ∠=∠，DAC FBC ∠=∠，从而FBC FCB ∠=∠，由此能证明FB FC =；（2）由已知得90ACB ∠=︒，从而30ABC ∠=︒，1602DAC EAC ∠=∠=︒，由此能求出AD ．【详解】证明：（1）因为AD 平分EAC ∠， 所以EAD DAC ∠=∠． 因为四边形AFBC 内接于圆，所以DAC FBC ∠=∠， 因为EAD FAB FCB ∠=∠=∠， 所以FBC FCB ∠=∠，所以FB FC =．（2）因为AB 是圆的直径，所以90ACB ∠=︒， 又120EAC ∠=︒，所以30ABC ∠=︒，1602DAC EAC ∠=∠=︒， 因为6BC =，所以tan 23AC BC ABC =∠= 所以)43cos ACAD cm DAC==∠.【点睛】本题考查两线段长相等的证明，考查线段的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用，是中档题． 22.已知可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1A -的特征值. 【答案】1415λ=2415λ= 【解析】 【分析】由110•01A A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出5a =，3b =，从而13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，进而()281f λλλ=-+，由()0f λ=，能求出1A -的特征值． 【详解】∵可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， ∴12210 73701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴14172101431ab b a -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得5a =，3b =， ∴13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，∴()2328175λf λλλλ-⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦， 由()0f λ=，得14λ=，24λ=．【点睛】本题主要考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题． 23.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2cos ρθ= 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，代入（1）中的结论即可得结果.【详解】（1）圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=， 转换为极坐标方程为：4cos ρθ=. （2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24.[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取值范围.【答案】(),8-∞ 【解析】试题分析：先将问题“ 存在实数x 使()()f x g x a +>成立”转化为“求函数()()f x g x +的最大值”,再借助柯西不等式求出()()f x g x +的最大值即可获解. 试题解析：存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为，由柯西不等式：()()2321143121464x xx x +-≤+++-=，所以()()36148f x g x x x +=+-，当且仅当10x =时取“=”， 故常数a 的取值范围是(),8-∞．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.25.如图，在四棱锥P ABCD -中， BC PB ⊥，AB BC ⊥，AD BC ∕∕，3AD =，22PA BC AB ===，3PB(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且BE ∕∕平面PCD ，求线段BE 的长. 【答案】（110（27【解析】 【分析】（1）推导出PB AB ⊥，以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P CD A --的余弦值；（2）由点E 在PA 上，得 AE λAP =u u u r u u u r，]1[0λ∈，，求出()103BE BA AE λλ+=-=u u u u u r u u u r u r ，，，再由BE P 平面PCD ，可得 0E m B ⋅=u u u r u r，求出λ，得到 BE u u u r的坐标，则答案可求．【详解】（1）∵在四棱锥P ABCD -中，由22PA AB ==，3PB 得222PB AB PA +=，则PB AB ⊥， 又BC PB ⊥，AB BC ⊥，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()000B ，，，()100A ，，，()020C ，，，()130D ，，，(003P ，， () 010CD =u u u r，，，(023PC =u u u r ，，， 由图可知，平面ABCD 的一个法向量为() 001n =r，，， 设平面PCD 的法向量为(),,x y z m =u r， 则0230m CD x y m PC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u uv v ，取2z =，得()3,3,2 m =-u r ， 设二面角P CD A --的平面角为α，则cos cos ,33140||n m n mαn m ⋅===++=⋅r u rr u r r u r ，∴二面角P CD A --的余弦值为105； （2）∵点E 在棱PA 上，∴ AE λAP =u u u r u u u r，]1[0λ∈，， ∵()103AP =-u u u r ，，，∴() 03AE λλ=-u u u r ，，，()103BE BA AE λλ+=-=u u u u u r u u u r u r ，，， 又∵BE P 平面PCD ，m u r为平面PCD 的法向量， ∴ 0E m B ⋅=u u u r u r，即()3123=0λλ--+，解得13λ=， ∴23,0,3 BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则73BE BE ==u u u r ． 【点睛】本题主要考查利用空间向量求解二面角的大小，训练了利用空间向量证明线面平行，是中档题．26.已知函数0cos ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，*n N ∈. (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意*n N ∈，等式1πππ2()()4442n n nf f -+=都成立. 【答案】（1）0；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：()0cos f x x x =，然后两边求导后，根据条件两边再求导得：()()122cos x x f xf x +=-，把2x π=代入式子求值；（2）由（1）得，()()01sin f x xf x x +=-和()()122cos x x f xf x +=-，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后把4x π=代入所给的式子求解验证．【详解】（1）∵0cos ()xf x x=，∴()0cos f x x x =， 则两边求导，()()0[]cos xf x x '='， ∵()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈， ∴()()01sin f x xf x x +=-，两边再同时求导得，()()122cos x x f xf x +=-， 将2x π=代入上式得，1222202f f πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭+=⎭；（2）证明：由（1）得，()()01sin cos 2πf x xf x x x ⎛⎫+=-=+⎪⎝⎭， 恒成立两边再同时求导得，()()()122sin cos 2πf x xf x x x π⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭，再对上式两边同时求导得()()()2333sin cos 2πf x xf x x πx ⎛⎫+=-+=+⎪⎝⎭， 同理可得，两边再同时求导得，()()()3434sin cos 22πf x xf x x x π⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭， 猜想得，()()1cos 2n n n πnf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立：当1n =时，()()01sin cos 2πf x xf x x x ⎛⎫+=-=+ ⎪⎝⎭成立，则上式成立；假设*1n k k k N =>∈（且）时等式成立， 即()()1cos 2k k k πkf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∵()()()()()11[]k k k k k kf x xf x kf x f x xf x --+'='++'()()()11k k k f x xf x +=++又()[1cos sin cos 2]22k πk πk πx x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+'=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴那么1n k =+（1k >且*k N ∈）时．等式()()()()111cos 2k k k πk f xf x x x ++⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭也成立，由①②得，()()1cos 2n n n πnf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立．令4x π=代入上式得，1444424cos sin n n n ππππn ππf f -⎛⎫+==±⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪= ⎭⎝⎭⎪⎭⎝⎝所以，对于任意*n N ∈，等式1πππ()()4442n n nf f -+=都成立． 【点睛】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。
2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2018．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，．．．．．．．在答题卡上．．．．．填涂选作标志，．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ︒∠=，6BC =，求AD 的长．B ．（本题满分10分） 已知可逆矩阵A =273a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1-A 的特征值．C ．（本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程．D ．（本题满分10分）已知函数()f x =()g x x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．22．（本题满分10分）如图，在四棱锥P A B C D -中， BC ⊥PB ，AB BC ⊥，//AD BC ，3AD =，22PA BC AB ===，PB(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且//BE 平面PCD ，求线段BE 的长．23．（本题满分10分） 已知函数0cos ()(0)x f x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值； (2) 证明：对于任意n *N ∈，等式1πππ()()4442n n nf f -+=E A C P B D2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 参考答案与评分标准 2018．1121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC =∠FBC ，∵∠EAD =∠F AB =∠FCB ， ∴∠FBC =∠FCB ，∴FB = FC . ……………5分(2) ∵AB 是圆的直径，∴∠90ACD ︒=，∵120EAC ︒∠=，1602DAC EAC ︒∠=∠=，30D ︒∠=，在Rt △ACB 中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC又在Rt △ACD 中，∠D =30°，AC ∴AD 10分B ．（本题满分10分）解：由1-⋅=A A E 可知，1221073701a b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A 所以141ab -=，7210b -=，1431a -+= …………………3分 所以5,3a b ==； …………………5分所以13275--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，232()8175f λλλλλ-==-+-， …………………8分由()0f λ=，14λ=24λ= …………………10分C ．（本题满分10分）解：（1）由22sin cos 1αα+=，所以圆C 的普通方程22(2)4x y -+=，………………3分 又点O 为极点，Ox 为极轴，所以222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=； ………6分（2）设OA 的中点为00(,)ρθ，则00(2,)A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 的中点所在曲线的极坐标方程为2cos ρθ=． …………………10分D ．（本题满分10分）解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分 所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分22．（本题满分10分）解： (1)在△PAB 中，因为=2PA，=PB =1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． …………………1分 所以(1,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D，P ，(1,1,0)CD uu u r =，(0,2,PC u u u r =．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……2分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则0,0.CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m即0,2.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令=2z，则=m ． ……………………4分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>===⋅n mn m n m 即二面角P CD A --． …………………6分 (2)因为点E 在棱PA ，所以AE AP uu u r uu u r λ=，[0,1]λ∈．因为=1AP u u u r （-，所以=)AE λu u u r （-，(1)BE BA AE u u r u u r u u u r λ=+=-．又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE uur ⋅=m1)0λ-+=，所以1=3λ． …………………9分所以2(3BE uur =，所以==BE BE uur ． …………………10分23．（本题满分10分）解：(1)法一：由已知102cos sin cos ()()()x x x f x f x x x x''===--， …………………1分 故21223sin cos cos 2sin 2cos ()()()()x x x x x f x f x x x x x x '''==--=-++， …………………2分 所以12228(),()22f f ππ=-=ππ，即12()2f π＋2()022f ππ=． …………………3分 法二：由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， …………………1分 即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 所以12()2f π+23()0222f COS πππ==． …………………3分 (2)由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， 即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 2333()()sin cos()2f x xf x x x π+==+，3444()()cos cos()2f x xf x x x π+==+． 下面用数学归纳法证明等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n Ν*∈都成立． …………………6分 ①当1n =时，由上可知等式成立；② 假设当n k =时等式成立，即1()()cos()2k k k kf x xf x x -π+=+． 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+'''+=++=++，(1)[cos()]sin()()cos[]2222k k k k x x x x πππ+π''+=-++=+， 所以1(1)(1)()()cos[]2k k k k f x xf x x ++π++=+． 因此当1n k =+时，等式成立． …………………9分 综合①，②可知等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n *∈Ν都成立． 令4x π=，可得1()()cos()()44442n n n nf f n *-πππππ+=+∈Ν．所以1()())444n n nf f n Ν*-πππ+=∈． …………………10分。
○…………外○…………内绝密★启用前 江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期初调研数学试题 试卷副标题 xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题 1．已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____. 2．如果复数2()3bi b R i -∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______. 4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________. 5．根据如图所示的伪代码，当输入的,a b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为______.…………○…………线答※※题※※…………○…………线6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线的方程为2y x=±，则该双曲线的离心率为_______．7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为_____．8．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若1530S=，71a=，则10S的值为_____.9．已知()y f x=是定义在R上的偶函数，当[0,)x∈+∞时，sin,[0,1)()(1),[1,)x xf xf x x∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56fπ⎛⎫--=⎪⎝⎭_______.10．已知在ABC∆中，1AC=，3BC=.若O是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB+⋅-=，则CO AB⋅=_____.11．已知sin222cos2αα-=，则2sin sin2αα+=__________．12．已知点A B、是圆22:4O x y+=上任意两点，且满足AB=点P是圆22:(4)(3)4C x y+++=上任意一点，则||PA PB+的取值范围是______.13．设实数1a≥，若不等式||2x x a a-+≥，对任意的实数[1,3]x∈恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是_____.14．在ABC∆中，若tan tan3tan tanA AB C+=，则sin A的最大值为_____.二、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC=，点P是棱AC的中点.………○……………○…………○……学校:________________班………○……………○…………○…… （1）求证：1AB //平面1PBC ； （2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C .16．已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间； （2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值. 17．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点. (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线上存在点P ,使得PAB △为等边三角形,求k 的值. 18．某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B 两点，30BAC ︒∠=，小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇.（水流速度忽略不计） （1）若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值； （2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值.（1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间； （2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x --＜成立． 20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a放在前面：当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式.21．设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M .（1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.22．已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P 到直线的距离的最大值为1，求实数a 的值.23．已知x 、y 、z 均为正数，求证：111xy z yz zx xy x y z ≥＋＋＋＋24．设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S .（1）求22S 和42S 的值；(2)当m n <时，求证：11322n n m n m S ++<+-.参考答案1．{}1,3,9【解析】【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =，{3,9}B =，由并集的运算可得{}1,3,9AB =， 故答案为：{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题.2．1【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b 的值.【详解】 复数2()3bi b R i-∈+， 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b b i i i i ----+==-++-， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.3．4【解析】根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差.【详解】 由表格可知，五次测试得分的均值为3330272931305++++=， 由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=， 故这五次测试成绩的方差为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题.4．56【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为24C ＝6（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56 ． 故答案为56． 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5．2【解析】【分析】根据程序代码，即可求得输出值.由程序框图可知，当输入的,a b 分别为2，3时，235a a b =+=+=，532b a b =-=-=，所以输出的2b =，故答案为：2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.6【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y ＝±2x，得b ＝2a ，从而c ==，即可求出双曲线的离心率．【详解】 ∵双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线方程是y ＝±2x，∴2b a =，即b ＝2a ，∴c =，∴c e a==．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．4【解析】【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5， ∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1，∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=4． 故答案为：4．【点睛】 本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.8．-5【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===， 则82a =，由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得151a d =-⎧⎨=⎩， 所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-， 故答案为：-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.9．12【解析】【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数，所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】 ()y f x =是定义在R 上的偶函数， 所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩， 即当1x ≥时为周期等于1的周期函数， 即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题.10．4【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OA OB =，画出几何关系图示，即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅.【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=，则()0OA OB BA +⋅=，即()()0OA OB OA OB +⋅-=，所以220OA OB -=，即OA OB =，所以O 在AB 的垂直平分线上，由题意可知1AC =，3BC =.设AB 中点为M ，如下图所示：由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅CM AB MO AB =⋅+⋅()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题.11．1或85【解析】由sin 222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=，即22sin cos 4cos 0ααα-=，所以cos 0α=或tan 2α=， 当cos 0α=时，22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=，当tan 2α=时，22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++，故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值：（1）关于sin ,cos αα的齐次分式：一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+，二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++； （2）可化为二次齐次式的代数式：22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+． 12．[]4,8【解析】【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置，进而求解.【详解】根据题意，画出图形关系如下图所：取AB 的中点D ，由两个圆的方程可知2,5CP CO ===，则1OD ===，由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=，当C P O D 、、、四点共线时，PD 取得最小值，此时5212PD CO CP OD =--=--=， 当C P O D '、、、四点共线时，PD 取得最大值，此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=，所以[]24,8PD ∈，即||PA PB +的取值范围为[]4,8，故答案为：[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档题.13．[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系，再对a 分类讨论，画出函数图像即可分析a 的取值范围. 【详解】对于实数1a ≥，不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x -=图像的上方， 当2a =时，显然成立；当12a ≤<时，2a y x-=在第四象限，若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：此时在[1,3]x ∈时恒成立，因而12a ≤<成立；当2a >时，2a y x -=在第一象限；若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x -=图像的上方，如下图所示：结合图像可知，需满足2233a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩， 解不等式可得72a ≥， 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为：[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.14【解析】【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A A B C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=， 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=， 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C +=， 所以2sin 3cos sin sin A A B C=， 由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-， 所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号， 则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin A ≤则sin A .. 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ； （2）根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥，可得PB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】（1）证明：连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，如下图所示：则OP 为1AB C 的中位线，所以1//OP AB ，因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ，所以1AB //平面1PBC ；（2）证明：在ABC 中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.所以BP AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，而PB ⊂平面ABC ，可得1AA PB ⊥又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ，且1AC AA A =∩，所以PB ⊥平面11AAC C ，而PB ⊂平面1PBC ，所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题. 16．（1）2T π=；112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=时，函数()y f x =的最大【解析】【分析】（1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】（1）将函数()y f x =的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得 7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=; 由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为[0,]x π∈， 则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当1522x ππ+=时，函数()y f x =， 解得此时12x π=.【点睛】 本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17．（1）2213x y +=；（2）0k =或1k =-． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要确定,a b 的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b ±±，因此易得,a b ；（2）本小题采取解析几何的基本解法，PAB △是等边三角形的条件是三边相等，或两内角为60°，或PO AB ⊥且PO AO ，我们采用PO AB ⊥且PO AO =，由线段AB 的中垂线与直线l 相交求得点P 的坐标，计算PO ，直线y kx =与椭圆相交求得A 点坐标，计算AO ，利用PO AO =求得k 值，由于涉及到AB 的垂线．因此对k 按0k =和0k ≠分类讨论．试题解析：(1)因为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += (2)设()11,A x y ,则()11,B x y --（i ）当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线的交点为(0,3)P ,又3AO PO ==AB PA PB ⇒===所以PAB △是等边三角形,所以0k =满足条件；(ii)当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx = 所以221{3x yy kx+==，化简得解得12331x k =+ 所以AO ==又AB 的中垂线为1y x k =-，它l 的交点记为00(,)P x y 由30{1x y y x k +-==-解得0031{31k x k y k =--=-则PO =因为PAB △为等边三角形， 所以应有PO AO=0k =（舍），1k =- 综上可知，0k =或1k =-考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．18．（1）2；（2）3.【解析】 【分析】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，结合余弦定理即可表示出2x ，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0∆≥，进而求得速度的最大值. 【详解】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯，化简可得222411644x t t ⎛=+=+ ⎝，因为01t <≤，所以11t≥，则当1t=3t =时，2x 取得最小值，此时2x =， 所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2. （2）运动员游泳时间为t m - 小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦，整理化简可得()2212840m m v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，设(),0,1mk k t=∈，则上式可化为()2212840k k v +-+-=在()0,1内有解，则()()22841240v ∆=--⨯⨯-≥，解得03v <≤，当3v =时，代入方程可解得13k =，满足()0,1k ∈，所以小船在能与运动员相遇的条件下v. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题. 19．（1）()h x 的单调增区间为（0，2]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一．（3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1xH x e ax x =---，则只要min ()0H x <即可．【详解】（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令2221()20x x h x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎝⎭'=-=≥，解得02x ≤＜． ∴函数h （x ）的单调增区间为（0]． （2）证明：设x 0＞1，1()g x x'=，可得切线斜率01k x =， 切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-．假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ． 则k=1x e ，∴11010ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1． 下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解． 令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减， 0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解． ∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切．（3）证明：()111x f x e x x x----=， 令v （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0． ∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增， ∴v （x ）＞v （0）＝0．∴()1110x f x e x x x----=＞，∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）． H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0， 解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<． ∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．20．（1）21n a n =-，41n b n =+；（2）证明见解析；（3）当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023n n n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和；根据等比中项定义，结合数列{}n a 的前n 项和，代入化简可求得数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a ，{}n b 的通项公式，即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）由数列{}n b 的通项公式，代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再对n 分类讨论，即可确定新数列的前n 和n T 的表达式. 【详解】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d ，1155b a ==，529a b ==，所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-； 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以()21212n n n S n +-==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈. 所以()212n n n n b S S S +-=⋅-，则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-，即()()212n n b n n -+=-， 化简可得41n b n =+，当1,2n n ==时也成立， 所以41n b n =+.（2）证明：由（1）可知21n a n =-，41n b n =+， 则()21412211n n b n n a +=+=+-=， 所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由（1）可知41n b n =+，则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n n B n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-， ①当2,*n k k N =∈时，()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++， ②当43,*n k k N =-∈（2k ≥）时，()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+，经检验当1n =时也成立，③当41,*n k k N =-∈时，()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++， 综上所述，当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++； 当43,*n k k N =-∈时，()()21141023nn n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027n n n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法，等比中项的性质简单应用，裂项求和法的应用，分类讨论求数列的前n 项和的综合应用，属于难题.21．（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】 【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ，可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-. 【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题. 22．1a = 【解析】 【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程，转化为普通方程，结合点与圆的位置关系及距离最值，即可求得a 的值. 【详解】直线的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为普通方程可得20x y +-=，圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），化为普通方程可得222x y a +=，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为d ==点P 是圆C 上的任意一点，且点P 1，1a =，0a >，解得1a =. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，点和圆位置关系的简单应用，属于基础题. 23．证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】∵x ，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 24．（1）24228,32S S ==；（2）见解析【解析】试题分析：（1）按照题设条件中的规定和定义进行求解计算；（2）先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-，运用从特殊到一般是数学思想进行推证，进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++，然后运用缩放法进行推证：解(1)24228,32S S ==；（2）设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，122n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，若12n x x x m +++=，即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n mm nC -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时，故1k n C ≥，所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。
