分式方程1

15.3分式方程教学设计----耿丽丽 【学习目标】【知识技能】：1.理解分式方程的意义2.理解解分式方程的基本思路和解法【过程与方法】：经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的水平，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

【情感态度与价值观】：在活动中培养学生乐于探究合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

【教学重点】：解分式方程的基本思路和解法。

【教学难点】：理解解分式方程时可能无解的原因。

【教学方法】：本节应突出类比一元一次方程，通过自主探究，合作交流，教师引导的方式，鼓励学生从多角度思考问题建立分式方程的模型和解分式方程。

【教学过程】（一）创设情景，引入新课[活动1]问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教师提出问题，学生分组探究】：1.这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？2.设江水的流速为V 千米/时轮船顺流航行速度为______千米/时,逆流航行速度为______千米/时,顺流航行100千米所用时间为______小时,逆流航行60千米所用时间为______小时,列方程_____【师生行为】：教师提出问题，学生思考回答，在活动中教师注重：（1）学生能否将实际问题转化为数学问题（2）不同层次学生对实际问题抽象出数学模型的掌握情况【设计意图】通过实际中的行程问题，引导学生从分析入手，列出含未知数的式子表示相关量，并列出方程，引发学生学习兴趣，提出问题引发思考，为探索分式方程及分式方程的解法作准备，自然引出学习课题。

（二）引导自学、合作探究[活动2]1.问题:(1)方程 与以前所学的整式方程有何不同？(2)满足什么特点的方程叫分式方程？板书：像这样分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。

师生共同归纳：确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程的分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程。

7.4分式方程（1）桐乡十中 刘绵福【教材内容分析】本节的主要内容是分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。

【教学目标】知识技能：了解分式方程的概念，掌握分式方程的解法；了解增根的概念，会对分式方程进行根的检验。

过程方法：引导学生将分式方程转化为整式方程，体现了转化的数学思想。

情感态度：渗透关注社会、关爱他人的情感教育。

【教学重点】会解可化为一元一次方程的分式方程。

【教学难点】增根的产生和运用【教学过程】（一）创设情景，引入新课1、播放一段近期长江流域干旱视频。

2、[军民同心，抗旱救灾]近期我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打300口水井的任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，马上增派机械车辆，争分夺秒，结果每天比原计划多打30口井，提前5天完成任务.如果设原计划每天打 x 口井,则可列方程为____________________ [引出分式方程]〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗（二）师生共同归纳得出分式方程的概念：概念明析：下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？ 〖设计说明：通过让学生自己判断哪些方程是分式方程，及时巩固所学知识。

〗（三）精讲例题，掌握分式方程的解法例1、 解分式方程[引导学生总结出分式方程的解法：一化二解三检验]例2、解分式方程[教师指出解分式方程的五个注意事项]例3、解分式方程 2－x x －3 =13－x－2 [通过本例了解增根的产生，强调分式方程必须要验根]72323=-+x x 231042x x x -=--〖设计说明：通过例题教学，引导学生学会问题解决的策略，通过与学生一起进行解后小结，培养学生的归纳能力，为学生以后的学习提供方法。

5.4.1 分式方程（一）教学设计
2、甲、乙两班参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种3棵树，甲班种62棵树所用的时间与乙班种68棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
课堂小结 1.利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解
决问题
2. 列分式方程的一般步骤小节由同学们
讨论，教师只
是顺势把学生
的话进行一个
归纳总结。

关注学生从现实
生活中发现并提
出数学问题的能
力，关注学生能
否尝试用不同方
法寻求问题中数
量关系，并用分
式方程表示，能
否表达自己解决
问题的过程。

板书
5.4.1 分式方程(一)
1、利用分式方程模型解决实际问题
2、列分式方程的一般步骤
例题
变式。

第十五章分式15.3分式方程第1课时一、教学目标（一）学习目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．（二）学习重点解分式方程的基本思路和解法．（三）学习难点解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）分母中含__未知数____的方程叫做分式方程．（2）解分式方程的基本思路：利用“__去分母_”法将分式方程化为整式方程．2．预习自测（1）在下列方程中，关于x的分式方程有()①215x＝3＋216x，②xp＝xp，③2(1)1xx--＝1，④xm－nm＝xn(m，n为非零常数)，⑤7x＋+19x，⑥xm＋yn＝1(m，n为非零常数)．A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】分式方程的定义【解题过程】解：①④⑥分母中没有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，所以不是分式方程；②③是方式方程．故选B．【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程【答案】B．（2）若x＝3是分式方程2ax-－12x-＝0的根，则a的值是()A．5 B．－5 C．3 D．－3【知识点】分式方程的有关概念【解题过程】解：把x＝3代入分式方程求得a=5．故选A．【思路点拨】利用分式方程的解求a．【答案】A．（3）把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)【知识点】分式方程的解法．【数学思想】化归思想【解题过程】解：方程两边同乘以x(x＋4)，可以转化为一元一次方程．故选D．【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母．【答案】D．（4）方程211xx-+＝0的解是()A．x＝1或－1 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝1【知识点】分式方程的解法．【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解.【思路点拨】先去分母，化为整式求解.【答案】D．（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．（2）解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．如何解一元一次方程：211 3332x xx-++=-.解：去分母，得18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)．去括号，得18x＋4x－2＝18－3x－3移项，得18x＋4x＋3x＝18－3＋2.合并同类项，得25x＝17.系数化为1，得x ＝1725.2．问题探究探究一 分式方程的概念.●活动① 整合旧知，探究分式方程的概念.问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度为v 千米/时.(1)轮船顺流航行速度为________千米/时，逆流航行速度为________千米/时；(2)顺流航行100千米的时间为________小时；逆流航行60千米的时间为________小时；(3)根据题意可列方程为______________________________.师生活动: (1) 20+v 20-v ；(2) v +20100 v -2060；(3)v +20100=v -2060 追问1：所列方程与方程2157146x x ---=相比有什么不同？ 归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_____的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是____方程.师生活动：分母、整式.追问3：你能再写出几个分式方程吗？【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数.探究二 探索分式方程的解法●活动① 大胆操作，探究新知识问题2：你能尝试解分式方程：100602020v v =+- 吗？师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法．【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程．●活动② 集思广益，得出分式方程的解法问题3：这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程．教师再次提问：思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.●活动③追问 你得到的解v =5 是分式方程的100602020v v=+-解吗？ 【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-----将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等.探究三 分析增根产生的原因 ●活动① 增根产生的原因例1 解分式方程：2110525x x =-- 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)，转化为整式方程．【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)得x ＋5 ＝10解得x ＝5，问题：x =5是原分式方程2110525x x =--的解吗？该如何验证呢？ 小结：x ＝5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根．产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．检验：当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，因此x ＝5不是原分式方程的解，原分式方程无解． 师生总结：基本思路：将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 练习：解分式方程：233x x=-． 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母x (x －3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：两边都乘x (x －3)，得2x ＝3x －9解得x ＝9检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝9【答案】x ＝9【设计意图】让学生了解分式方程增根的原因，明白解分式方程必须检验.●活动2例2 解分式方程：()()31112x x x x -=--+ 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x －1)(x ＋2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1， 检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解.【答案】无解练习：解方程：-2++2x x 24=14x - 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．【解题过程】解： 方程的两边同乘x 2－4，得(x －2)2＋4＝x 2－4，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x 2－4≠0，所以x ＝3是原方程的解．【答案】x ＝3.【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.●活动3例3 当m 为何值时，关于x 的方程223+242mx x x x =--+的解小于零． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，整理，得(1－m )x ＝10，解得x ＝101-m. ∵方程的解小于零，∴101-m <0且101-m ≠－2. 解得m >1且m ≠6.【答案】m >1且m ≠6.练习： 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是___________． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：去分母，得(x－1)(x＋k)－k(x＋1)＝x2－1.整理，得x＝1－2k.依题意，得12121kk＜0ì-ïí-贡ïî, 解得k＞12且k≠1.【答案】k＞12且k≠1.【设计意图】解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件.3. 课堂总结知识梳理（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解. （3）解分式方程的方法及一般步骤：①去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；——化整②解这个整式方程；——解整③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．——验根重难点归纳（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步骤；（3）解分式方程过程中产生增根的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．（三）课后作业基础型自主突破1．下列方程是分式方程的是()A. x－15＋34＝1 B.3p＋2x＝3 C.1x－1＝2 D.x＋2x－x＋33【知识点】分式方程的定义【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C是分式方程．故选C．【答案】C．2．解分式方程1101x+=-，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：1+x﹣1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，故选A【答案】A.3．将分式方程231-11xx x=--去分母，得到正确的整式方程是()A.1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C.1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以(x－1)．【解题过程】解：去分母得：x－1－2x＝3，故选B【答案】B.4．当a＝________时，关于x的方程12325x ax a+-=-+的解为x＝0.【知识点】分式方程的解【思路点拨】把x＝0代入分式方程可求解．【解题过程】解：把x＝0代入分式方程得0123025aa+-=-+，则a+5= -2(2a-3), 得a＝15【答案】1 5 .5．若式子12x-和32+1x的值相等，则x＝________．【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得．【解题过程】解：12x-=32+1x，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.【答案】76．解分式方程413x x-= -【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x﹣3)进行检验即可．【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：4x﹣(x﹣3)=0，解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解故答案为：x=﹣1．【答案】x=﹣1．能力型师生共研7．若关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m ≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【知识点】分式方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想.【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解题过程】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，∵关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，∴﹣2m+9＞0，解得：m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，故m的取值范围是：m＜92且m≠32．故选B．【答案】B．8．若关于x的方程2222x mx x++=--无解，则m的值是______.【知识点】分式方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案．【解题过程】解：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.∵方程无解，∴x＝2.把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.【答案】0．探究型多维突破9．小明解方程121xx x--=的过程如下：解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1，①去括号得1－x－2＝1，②合并同类项得－x－1＝1，③移项得－x＝2，④解得x＝－2，⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案．【解题过程】解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x，移项，得－x－x＝－2－1，合并同类项，得－2x＝－3，两边同除以－2，得x＝3 2.经检验，x＝32是原方程的解．所以原方程的解是x＝3 2.10．请你仔细观察下述材料：方程1111123x x x x-=-+--的解为x＝1；方程1111134x x x x-=----的解为x＝2；方程11111245x x x x-=-----的解为x＝3；….(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论．【解题过程】解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，即1111(2)(1)(1)(2)x n x n x n x n-=------+-+，方程的解是x＝n(n为整数)．方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：1111(1)(3)(4)x n x n x n x n-=---+-+-+，此时，方程的解应为x＝n＋2(n为整数)．(2)将x＝－5代入上式，可得所求分式方程为11117+6+4+3 x x x x-=-+.自助餐1．下列关于x 的方程中,是分式方程的是( ) A. 23356x x ++-= B. 137x x a -=-+ C. x a b x a b a b-=- D. 2(1)11x x -=- 【知识点】 分式方程的定义【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a ，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x ，是分式方程.故选D.【答案】D ．2．分式方程21221-93+3x x x -=-的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得．【解题过程】去分母得12－2(x ＋3)＝x －3，解得x ＝3.经检验，当x ＝3时，x 2－9＝0，即x ＝3不是原分式方程的解，故原方程无解．故选C .【答案】C .3．当a ＝________时，关于x 的方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同． 【知识点】方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想 【思路点拨】先解分式方程43x x -=，再把它的解代入另一个分式方程可得结果． 【解题过程】解：由方程43x x -=得x －4＝3x ，解得x ＝－2.当x ＝－2时，x ≠0，所以x ＝－2是方程43x x -=的解．又因为方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同，因此x ＝－2也是方程2111ax a x -=--的解．这时221121a a --=---，解得a ＝17. 当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件． 【答案】17. 4．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为_______. 【知识点】方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果．【解题过程】解：方程两边都乘x －3，得x －2(x －3)＝m 2.∵原方程无解，∴x ＝3.把x ＝3代入x －2(x －3)＝m 2，得m ＝±3.【答案】±3.5. 解分式方程：21344-12142x x x x +=-+- 【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】方程两边同时乘以（2x +1）（2x -1），即可化成整式方程，解方程求得x 的值，然后进行检验，确定方程的解． 【解题过程】解：原方程即132(21)(21)2121x x x x x +=-+-+-， 两边同时乘以(2x +1)(2x −1)得：x +1=3(2x −1)−2(2x +1)，x+1=6x −3−4x −2，解得：x =6.经检验：x =6是原分式方程的解。

§12. 11.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）教学目标：知道分式方程的意义，并会运用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程教学过程：一、类比引入：1、观察下列方程说一说方程⑴与方程⑵有何不同？ ⑴13121=++-x x ⑵1111=+-+xx x 2、解方程⑴思考：能用类似的方法解方程⑵吗？你会想到什么吗？二、新知识：三、1、分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程有理方程：分式方程和整式方程统称为有理方程即：有理方程⎩⎨⎧分式方程整式方程判断：下列哪些是分式方程？哪些是整式方程？⑴0121=-x ⑵11=x ⑶13121=-+-x x ⑷1111=+-+x x x ⑸213=+y x2、例题讲解例1 解方程(1) 112=-x (2)25237=-x x (3)123+=x x (4) 01111=-++x x可化为一元一次方程的分式方程的解法（与解整式方程类似）⑴、去分母：方程的每一项都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程 ⑵解整式方程⑶将整式方程的解代入原方程中验根例2 解下列方程(1) 1121=+--x x x (2) x-3+0362=+-x x x (3)22464222-+=--+-x x x x x课堂检测（1）3144+=-x x （2）1311-=+x x（3）11231=--+-x x x （4）xx x 211=-- （5）05162=-+--x x x x(6) ※33962-++=-X B X A x x 求A 和,B (7) ※分式方程 122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围四、小结：1、解分式方程的基本思想：分式方程转化为整式方程2、分式方程的解法——去分母——验根（代入原方程验根）3、去分母时要注意：⑴勿漏乘（特别是常数项）⑵分子是多项式加括号五、作业：P28 基础2§13. 11.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）教学目标：1、明确解分式方程的步骤，并会解可化为一元一次方程的简单的分式方程2、知道产生增根的原因，并会代入最简公分母进行验根教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法教学难点：对方程无解的理解教学方法：讲练结合教学过程：一、复习：1、什么叫分式方程？如何解分式方程？解分式方程的基本思想是什么？2、解方程1113+=-x x 思考：验根有没有简单方法？二、例题讲解：3、例题讲解例1 解方程(1)x x x -=-+5651 (2)x x x --=-3323 (3))3)(2(10312+-=+---x x x x x x(4) ※1637222-=-++x x x x x说明：代入原方程验根太麻烦。

15．3 分式方程 ( 一)一、教课目的：知识与技术：能将实质问题中的等量关系用分式方程表示，领会分式方程的模型思想过程与方法：经历研究分式方程观点的过程，研究“实质问题”成立模型的方法感情、态度与价值观：培育从实质问题抽象、归纳分式方程的数学化思想，领会数学的应用价值二、要点、难点1．要点： 会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是否是原方程的解 .2．难点： 会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是否是原方程的解 .3．学习方法： 采纳先回首已学过的一元一次方程观点、解法、建模，而后利用本章前言中的问题引入，理解分式方程化归整式方程这一实质思想三、教课互动设计 1、情境导入提出本册书封面上的一道方程100 60 . 比较剖析新方程和整式方程的差别，揭露 20 v20v新方程的实质特点 .像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程 .追踪训练：以下方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?(1)x2x(2)43 7 (3) 1 3(4)x( x1)1 (5)3 x x23x yx 2 xx2（6）2x x 110 （7）x1(8)2x 13x125xx2、充足裸露学生的思想过程，研究解分式方程（1）学生独立研究100 60 的解法20 v20 v（2）全班沟通分式方程的解法(3) 师生共同小结解分式方程的基本思想是一致的，马上分式方程转变为整式方程。

3、剖析无解的原由，突出验根的必需，完美求解的步骤（ 1）学生独立解方程：110.x 5x 2 25x=5 这个数会使原分式方程分母为零。

（ 2）全班沟通，学生会发现解出的整式方程的指引学生思虑为何会出现这一状况？怎么办理？14师生共同总结解分式方程的步骤（1）去分母。

确立最简公分母，方程两边乘以最简公分母，化成整式方程。

（2）解这个整式方程。

（ 3）查验。

即把整式方程的解代入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；不然，这个解不是原分式方程的解，一定舍去.（4）写出分式方程的解。

第六课时●课 题§3.4.1 分式方程（一） ●教学目标（一）教学知识点1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.2.通过观察，归纳分式方程的概念. （二）能力训练要求1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.●教学重点能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义. ●教学难点能根据实际问题中的等量关系列出分式方程. ●教学方法尝试——归纳相结合教科书中提供了多个实际问题，教师鼓励学生尝试，利用具体情境中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.●教具准备 投影片三张第一张：小麦试验田问题，（记作 §3.4.1 A ） 第二张：电脑网络培训问题，（记作§3.4.1 B ） 第三张：几何问题，（记作§3.4.1 C ） ●教学过程Ⅰ.创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月.根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4.（1）我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.接下来，我们再来看几个这样的例子. Ⅱ.讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程. ［师］（出示投影片§3.4.1 A ）［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. （a ）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量 （b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少 kg 呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000） kg.［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x .（2） ［师］x 9000,300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000（3）［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍. （c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. （d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？ ［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.y 300人；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y 人，根据题意，利用等量关系（c ），得方程：2×y 300=4480-y .（5）［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们.（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型.（出示投影片§3.4.1 C ）ED =SR =正方形SPQR 的边长，△ASR 的高AE 可表示为AD 与正方形边长的差.由SR ∥BC ，可得△ASR ∽△ABC ，于是有：BC SR =ADAE （相似三角形对应高的比等于相似比）.所以可设正方形的边长为x ，由BC SR = AD AE 得：a x 2=hx h -.（其中a 、h 为常数）（6）［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流.［生］从上图中可知SPQ R 是正方形，所以R Q ⊥BC ，又因为AD ⊥BC ，所以AD ∥R Q ，△ADC ∽△R QC.可得RQ AD =CQCD.即RQ AD =RQ CD BC2121-.所以，设内接正方形的边长为2x ，根据题意，得x h 2=xa a -.（a 、h 为常数）.（7） ［师］你们表现得真棒！ 观察方程：x 2400－302400+x =4（1） x 9000=300015000+x（2） x 9000+3000=x15000（3） x 300－4=x2480（4） 2×y 300=4480-y（5）x h 2=xa a -（其中a 、h 是常数）（7）上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.［师］是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程. Ⅲ.随堂练习1.已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x+102000元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程.分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元.解：x 满足的方程是：101×x+102000=200.2.补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，则x x +-8040=41.Ⅳ.课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程.Ⅴ.课后作业 1.习题3.62.预习下一部分——分式方程的解法. Ⅵ.活动与探究如右图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120 mm,高AD =80 mm ，要把它加工成矩形零件PQMN ，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，并求PN =2PQ 时，PN 的长是多少？［过程］由于PQMN 是矩形，所以AE ⊥PN ，这样△APN 的高可写成AD —ED =AD －PQ ，又PN ∥BC ，因此△APN ∽△ABC ，于是可找到PN 与已知条件的关系. 图3－3［结果］设PQ =x mm ，则PN =2x mm.PN ∥BC →△APN ∽△ABC →BC PN =ADAE， 即1202x =8080x - 160x =9600－120x , x =7240=3472所以PN =2x =6874（mm ）。