二次函数实际问题拱桥问题教学设计

二次函数的应用3（拱桥问题）

苏州吴中区蓝缨学校 高崇理

【作品简介】本节内容为苏科版九年级下册第6章第4节内容，在此之前学生已经学习了二次函数概念、性质和图象，已经掌握了二次函数的一般知识，具备实际运用的能力。作为在苏州生活的同学，一定对苏州拱桥印象深刻，本节内容就是建立在身边熟悉的生活经验的基础上，研究课本中关于拱桥问题，进而巩固二次函数相关知识。本作品借助于视频、几何画板、ppt等数学教学多媒体手段，讲授了二次函数应用问题之拱桥问题。视频长8分钟左右。

【文本创作说明】

1、实用对象：

二次函数为苏科版九年级下知识，本节内容适合刚学完二次函数性质与图象的同学，用于预习新知；本节内容也可以作为中考复习同学，巩固二次函数相关知识，巩固数学方法解决实际问题的一般步骤。

2、内容分析：

本节内容是二次函数章节的结束内容，是对前面二次函数实际问题的深入。拱桥问题也是在中考中常出现内容，解决此类问题的方法具备代表性，它是用函数解决实际问题的典型例子，也和学生实际生活紧密相连，因此，学习本节内容对于巩固旧知和激发学生研究实际问题的乐趣具有十分重要的作用。

3、目标分析：

①知识与能力目标：体会二次函数拱桥问题模型，了解数学的实际应用价值，掌握用数学解决实际问题的一般方法及步骤。

②过程与方法目标：通过引导学生对实际问题的思考，培养学生善于发现实际问题，提高学生利用数学解决实际问题的兴趣。

③情感、态度、价值观目标：本节内容建立在学生家乡桥的基础上，培养学生热爱家乡的情感，同时激发学生勇于思考，善于创新，培养积极主动利用数学解决实际问题的态度。

4、重难点分析：

重点：理解二次函数解决实际问题的一般方法并能灵活运用

难点:灵活运用二次函数解决实际问题。

5、其他资源：

录屏软件，麦克风，几何画板，狸窝视频转换软件，会声会影视频编辑软件，ppt等 【教学设计】

一、 创设情景，激趣引入。

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实际问题与二次函数

【教学目标】

一、知识与技能：

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。

二、过程与方法：

应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。

三、情感态度与价值观：

在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。

【教学重难点】

1.探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。

2.如何将实际问题转化为二次函数的问题。

【教学过程】

一、复习旧知、导入新课

1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（1）y＝6x2＋12x； （2）y＝－4x2＋8x－10

以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。

二、学习新知

1.应用二次函数的性质解决生活中的实际问题

出示例1.要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？

解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。围成的矩形面积S与L的函数关系式是

S＝L(30－L)

即S＝－L2＋30L

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(有学生自己完成，老师点评)

2.练一练：

某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

请同学们完成解答；教师巡视、指导；师生共同完成解答过程：

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是：

26.3实际问题与二次函数教案

教学设计思路

本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。

一、教学目标：

1．知识与技能

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。

2．过程与方法

经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。

3．情感态度与价值观

体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。

二、教学重点难点：

1．重点

通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。

2．难点

利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。

三、教学过程：

(一)创设情境 导入新课

小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。水面下降1 m时，水面宽度增加多少?

(二)探究：

①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。怎么建立坐标系呢？

②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。即抛物线的表达式.

③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。

教师关注： （１）学生能否用函数的观点来认识问题；

（2）学生能否建立函数模型；

第1页 共5页 22.3实际问题与二次函数(3)教案

学情分析：

通过前几节课的学习，学生已经学习了二次函数定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，已接触了最大利润,最大面积等问题，体验了如何从实际问题中抽象出二次函数模型，为本节课的学习奠定了基础。在本节中，需要建立适当的直角坐标来分析和解决问题。

教学目标：

1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．

2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.

3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力, 感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.

教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．

教学难点：建立适当的平面直角坐标系,实际问题转化为数学问题.

教学过程：

一、复习回顾：

1.问题：解决前几节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意什么？

(1)由于抛物线cbxaxy2的顶点是最低（高）点，当abx2时,

二次函数cbxaxy2有最小（大）值abac442 .

(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.

(3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.

2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式.

解：设所求二次函数解析式为)0(9)8(2axay

∵ 函数图象经过点（0，1）

∴19)80(2a

解得：81a

∴所求的二次函数解析式是 9)8(812xy

即12812xxy

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O x y

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