人教版八年级下册数学第十七章《勾股定理 》单元测试题(含答案)

《勾股定理 》单元测试题

一．选择题

1．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）

A．61 B．71 C．81 D．91

2．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32

3．如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米

4．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（ ）

A． B． C．1或 D．1或

5．分别以下列四组数为一个三角形的边长①6，8，10②5，12，13 ③8，15，16④4，5，6，其中能构成直角三角形的有（ ）

A．①④ B．②③ C．①② D．②④

6．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（ ）

A．5cm B． cm C．5cm或cm D． cm

7．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4.8

8．以a、b、c三边长能构成直角三角形的是（ ）

A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝32，b＝42，c＝52

C．a＝，b＝，c＝ D．a＝5，b＝6，c＝7

9．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）

A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（ ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

11．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）

A． B．

C． D．

12．课间时，学生小李看见教室里的一根长25分米的旗竿倒在墙角（如图），竿足距墙底端15分米，于是他顺手将旗竿扶正，使旗竿的顶端上升了4分米，那么竿足将移动（ ）

A．15分米 B．9分米 C．8分米 D．4分米

13．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A．8米 B．10米 C．13米 D．14米 二．填空题

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值为

．

15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，则线段DC与AB存在的等量关系是 ．

16．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．

17．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝ ．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝．分别以AB，AC，BC为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是

．

19．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于 平方厘米．

20．如图，四边形ABCD中，AD＝3，CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 ．

21．若一个直角三角形两边长为12和5，第三边为x，则x2＝ ．

22．如图是一段楼梯，∠A＝30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯

米．

三．解答题

23．如图，在钝角△ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D，求AD的长．

24．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）

（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；

（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．

25．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，D是BC中点，且DE⊥BC于D，交AB于E，求证：BE2﹣EA2＝AC2．

26．阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空

（填“正确”或“不正确”）

②若某三角形的三边长分别是2、4、，则△ABC是奇异三角形吗？

（填“是”或“不是”）；

（2）①若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的边长为 ；且此直角三角形的三边之比为 （请按从小到大排列）

②在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，且满足AE＝AD，CE＝CB．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

27．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AB，AB＝1，BC＝CD＝2．求四边形ABCD的周长和面积．

参考答案

一．选择题

1．解：由题可知：（a﹣b）2+a2＝（a+b）2，解得：a＝4b

所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b．

当b＝27时，3b＝81．

故选：C．

2．解：

要求①号正方形的面积，求①号正方形的边长即可，

题目中给出③号正方形的面积为1，即③号正方形的边长为1，

根据勾股定理4号正方形的边长为＝，

以此类推，可以求得①号正方形边长为4，

所以①号正方形面积为4×4＝16．

故选：C．

3．解：由题意知AB＝DE＝25米，BC＝7米，AD＝4米，

∵在直角△ABC中，AC为直角边，

∴AC＝＝24米，

已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边

∴CE＝＝15（米），

BE＝15米﹣7米＝8米．

故选：C．

4．解：分三种情况考虑：

当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，

∵∠BOC＞∠A，且∠BOC＝60°，

∴∠A≠90°，故此情况不存在；

当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：

∵∠BOC＝60°，

∴∠BPO＝30°，

∴OP＝2OB＝2，

∵OP＝2t，

∴t＝1；

当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，

∴OD＝OP•cos∠BOC＝t，PD＝OP•sin∠BOC＝t，

∴AD＝AO+OD＝2+t，BD＝OB﹣OD＝1﹣t，即AB＝3，

在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP2+BP2＝AB2，即（2+t）2+（t）2+（t）2+（1﹣t）2＝32，

解得：t＝﹣或（负值舍去），

综上，当t＝1或t＝时，△ABP是直角三角形．

故选：C．

5．解：①62+82＝102，能构成直角三角形；

②52+122＝132，能构成直角三角形；

③82+152≠162，不能构成直角三角形；

④42+52≠62，不能构成直角三角形；

故选：C．

6．解：当3和4是直角边时，第三边是＝5；

当4是斜边时，第三边是＝．故选C．

7．解：如右图所示，

在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，

∴BC＝＝＝10，

又∵S△ABC＝AC•AB＝BC•AD，

∴6×8＝10AD， ∴AD＝4.8．

故选：D．

8．解：A、∵12+22≠32，

∴不符合a2+b2＝c2．

∴不能构成直角三角形．

B、∵a＝32，b＝42，c＝52，

∴a＝9，b＝16．c＝25，

∵92+162≠252，不符合a2+b2＝c2，

∴不能构成直角三角形．

C、+＝，符合a2+b2＝c2，

∴能构成直角三角形．

D、52+62≠72，不符合a2+b2＝c2，

∴不能构成直角三角形．

故选：C．

9．解：此题要分两种情况：

（1）当50是直角边时，所需木棒的长是＝10；

（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．

故选：D．

10．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，CA＝6cm，

∴AB＝10cm，