案例：函数的奇偶性

案例：函数的奇偶性1

说明 本文可以认为是师范生教育实习的一个成果汇报，也可以认为是信息技术与数学内容整合的一个有益尝试．教案所使用的教材版本见人民教育出版社B版高中数学（必修一）第二章第一节第四小节，教学环境是多媒体教室．整个教学过程分为四个阶段：创设情境，提出课题；任务驱动，操作探究；合作交流，归纳发现；应用巩固，深化提高．

（一）创设情境，提出课题

教师：同学们，上一节课我们学习了函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？

学生（众）：数形结合？

教师：对，我们“利用函数的图像来理解函数的性质”，是先从图像看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后用函数的解析式（从数的角度）表示为“当210xxx时，有210yfxfx（增函数）或210yfxfx（减函数）”．这一节课我们继续学习函数的更多性质，首先，请大家观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？（教师先做出立正姿势，然后两手平伸，微笑状）

学生1：男的？

教师：不错，是男老师，但性别不属于数学特征，数学是从空间形式和数量关系上来看事物的，请再从数学上看看老师有什么样的特征？

学生2：身高1米76．

教师：这个说法有“数感”，估算眼力也不错．

学生3：是个轴对称图形．

教师：说得很好，把老师画下来是个“轴对称图形”．老师的左耳与右耳是

1 该案例获教育部第一届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第四名（主讲人：陕西师范大学数学与信息科学学院2005级高原同学；指导教师：罗增儒老师）。

对称的，左眼与右眼是对称的，左手与右手也是对称的，这是我们初中学过的图形对称图性知识．那么，大家还记得什么叫做轴对称图形？什么叫做中心对称图形吗？

定义：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．绕某一点旋转180后的图形能和原图形完全重合的图形叫中心对称图形．

教师：大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽．

图1 大自然中的图形

教师：这一章我们学习的是函数，函数的图像也是一种图形，当函数的图像也是轴对称或中心对称时，我们如何利用函数的解析式来刻画函数图像的几何特征呢？这就是本节课我们要共同探究的课题——函数的奇偶性．（板书§2．1．4函数的奇偶性）

（二）任务驱动，操作探究

教师：同学们，大家一定已经发现了，在每个人的桌面上有一个大信封，信封里装的是什么呢？（引发好奇心）让我们打开来看看．（参见本案例后附录1）

教师：哦，原来是一张《函数的奇偶性》数学试验单，试验单内有A类、B类“任务函数”各一组，每类“任务函数”各有三个具体的函数，接下来我们要借助Microsoft Math软件完成三项任务（见试验单）：

任务1：在同一坐标系上分别作出两类任务函数的图像,并在实验单对应项下方绘制出函数图像．

任务2：利用Create Table（制表）功能，在每类函数中任取一个具体的函数，取定自变量范围为9到9的10个点，填写对应的数据表．

任务3：分析函数的图像和数据表，从对称性的角度找出共同的几何特征，再找出自变量x和函数值y之间的本质关系．

下面大家就分小组，利用Microsoft Math软件完成数学试验．

（同学们小组合作，用Microsoft Math软件完成三个实验任务，教师巡视各小组任务进展情况，对存在困难的小组给予适当的帮助，待全班都完成任务后，交流共享各小组的发现成果）

（三）合作交流，归纳发现

教师：大家都已完成了实验任务，下面我们进行交流，通过具体操作和图像观察，各个小组都有什么发现？哪个小组首先将自己的成果与大家共享交流？

小组1：（通过计算机报告A类函数的图像，屏幕5打出图2）我们小组通过观察发现：

●A类任务函数的定义域关于原点对称，图像关于y轴对称．

小组2：（通过计算机报告B类函数的图像，屏幕6打出图3）我们小组通过观察发现：

●B类任务函数的定义域是关于原点对称的，图像是关于原点对称的．

图2 A类任务函数图像 图3 B类任务函数图像

教师：非常好！大家通过函数图像的观察发现了：

●A类函数和B类函数的定义域都是关于原点对称的；

●A类任务函数的图像是关于y轴对称的，B类任务函数的图像是关于原点对称的．

我们知道，“关于y轴对称”就是对应点111(,),(,)PxyPxy的连线（线段）以y

轴为垂直平分线，这时， 1,PP的横坐标之间有什么关系？1,PP的纵坐标之间有什么关系？

小组3：（通过计算机报告A类函数中2fxx的图像及其数据表，屏幕7打出图4）我们小组通过图像和数据表的观察发现：

●对应点1,PP的横坐标成相反数时纵坐标相等．或者说

●A类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值相等．

图4 函数2yx的图像及其数据表

教师：对，（屏幕7继续打出）

●关于y轴对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标相等；或自变量互为相反数时函数值相等．

那么，这个数值特征怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？

学生4：1xx时1yy． ①

教师：对，这是轴对称的一个数值表示． 同样，“关于原点对称”就是对应点111(,),(,)QxyQxy的连线（线段）以原点为中点，这时1,QQ的横坐标之间有什么关系？1,QQ的纵坐标之间有什么关系？

小组4：（通过计算机报告B类函数中2fxx的图像及其数据表，屏幕8打出图6）我们小组通过图像和数据表的观察发现：

●对应点1,QQ的横坐标成相反数时纵坐标也成相反数．或者说B类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值也互为相反数．

图5 函数2yx的图像及其数据表

教师：对，（屏幕8继续打出）

●关于原点对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标也成相反数． 或自变量互为相反数时函数值也互为相反数．

那么，怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？

学生5：1xx时1yy． ②

教师：现在我们已经从函数图像的图形特征得出了函数图像的数值特征，下面，我们分别验证A类任务函数中的()2fxx和B类任务函数中的()2fxx，看看如何用函数的表达式来刻画“自变量互为相反数时，其函数值相等或互为相反数”．

学生6：我通过验证A类任务函数()2fxx，有()22()fxxxxf，确实是自变量互为相反数时，函数值相等．（学生叙述，教师板书）

教师：就是说A类任务函数满足fxfx，这正是用函数解析式表达的本质特征．

学生7：我通过验证B类任务函数()2fxx，有()2()2()fxxxfx，确实是自变量互为相反数时，函数值也互为相反数．（学生叙述，教师板书），

教师：这样一来，就把上面的①式“1xx时1yy”改写为

fxfx， ③

把②式“1xx时1yy”改写为

fxfx． ④

同学们，我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应（屏幕9打出对照表）：

形的特征 数的特征

图像横坐标成相反数 函数自变量成相反数

图像纵坐标相等（成相反数） 函数值相等（成相反数）

横坐标成相反数时纵坐标相等（成相反数） 1xx时1yy

（1xx时1yy）

图像性质：关于y轴对称（关于原点对称） 函数性质：

fxfx（fxfx）

教师：同学们，如果称A类这样的函数为偶函数，称B类这样的函数为奇函数，你们能给偶函数和奇函数下个定义吗？ （学生通过独立思考和合作交流，得出定义． 屏幕10打出偶函数和奇函数的定义）

定义1 设函数()yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD且()()fxxf，则这个函数叫偶函数．

定义2 设函数()yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD且()()fxxf，则这个函数叫奇函数．

教师：对于偶函数的定义需要强调三点（屏幕11打出三点解释）：

一是对“任意一个x”都成立，是整体性质而非局部性质；

二是“都有xD”，即fx是存在的；

三是“()()fxxf”，这是偶函数的本质属性，是它的标志．

同学们，对于奇函数的定义你们认为需要强调什么呢？

（同样，同学们得出奇函数的定义需要强调的三点认识，屏幕12打出）：

一是对“任意一个x”都成立，是整体性质而非局部性质；

二是“都有xD”，即fx是存在的；

三是“()()fxxf”，这也是奇函数的本质属性，是它的标志.

教师：记忆这个定义，可借助函数nfxx（n为正整数），当n为奇数时，nfxx为奇函数；当n为偶数时，nfxx为偶函数．

（四）应用巩固，深化提高

教师：下面我们利用奇函数和偶函数的定义来做练习．（屏幕13打出题目）

例1 用定义来判断下列函数的奇偶性．

（1）2()1fxx（见A类函数）； （2）3()fxx（见B类函数）；

（3）()21fxx； （4）()fxa．

教师：首先，我们一起来分析第（1）题．（屏幕14打出分析）

分析：第1步，先看2()1fxx的定义域，易知定义域为R，是关于原点对称的；

第2步，计算()fx，看()fx与()fx之间的关系，通过计算，有

22()()11()fxxxfx，

第3步，下结论：2()1fxx是偶函数．

具体的解题过程如下．（屏幕14继续打出）

解：函数2()1fxx的定义域为R，当xR时xR，因为

22()()11()fxxxfx，

所以2()1fxx是偶函数．

下面请同学们继续做第（2）、（3）、（4）题．

学生8：（通过计算机报告第（2）题的解法，由屏幕15打出）

教师：很好，判断正确，书写规范.我们再来看看第（3）题．

学生9：（通过计算机报告第（3）题的解法，由屏幕16打出）

教师：这个解法的两个判断都正确，但是还没有给出结论．到底这是个什么