函数奇偶性的典型例题

函数奇偶性的典型例题

[例1]设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x)，当-1≤x≤0时，

f (x)=-21x，则f (8.6) = _________.

[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴x = 0是y =f(x)对称轴.

又∵f(1+x)=f(1-x)，∴x=1也是y=f(x)对称轴.

故y=f(x)是以2为周期的周期函数，

∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.

[答案]0.3苏州进步网: szjjedu 整理

[例2]定义在(-1，1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(-1，1)上f(x)是减函数，求满足条件f(1-a)+f(1-a2)＜0的a取值范围.

[解析]∵f(x)的定义域是(-1，1)，∴-1＜1-a＜1①，-1＜1-a2＜1 ②.

又∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a2)=f[-(1-a2)]=f(a2-1).

又∵f(1-a)+f(1-a2)＜0，有f(1-a)＜-f(1-a2)=f(a2-1).

∵f(x)在(-1，1)是减函数，∴1-a＞a2-1③

由①②③组成不等式组：221111110111aaaaa得

∴所求a的范围为：0＜a＜1.

[答案]0＜a＜1

[例3]定义在区间(-∞，+∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在[0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是( )

①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

[解析]本题可采用三种解法：

解法一：直接根据奇、偶函数的定义：由f(x)是奇函数得：f(-a)=-f(a)，

f(-b)=-f(b)，g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，g(-a)=g(a)，g(-b)=g(b)

∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)＞0；②f(b)＜0；③f(a)＞0；④f(a)＜0苏州进步网:

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又∵f(x)既是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f(a)＞f(b)＞f(0)=0，从而以上不等式中①③成立.故选C.

解法二：结合函数图象由如图(下图)，分析得：

f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a)，f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b)，从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C.

解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数：f(x)=x，g(x)=x，取特殊值a，b.如：a=2，b=1，可验证正确的是①与③，故选C.

[答案]C

[点拨](1)本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.

[例4]设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.

[解析](1)当x≤-1时，设f(x)=x+b，则∵射线过点(-2，0)，

∴0=-2+b即b=2.∴f(x)=x+2.

(2)当-1

∴1=a·(-1)2+2，即a=-1，∴f(x)=-x2+2.

(3)当x≥1时，f(x)=-x+2.

综上可知：f(x)=1,211,21,12xxxxxx作图由读者自己完成.

[答案]见解析

[例5]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，

f (x)=x，则f (7.5) =( ) 苏州进步网: szjjedu 整理

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

[解析]∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心.

又∵f (x+2 )=-f(x)=f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，

∴直线x = 1是y = f (x)的对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数. ∴f (7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f (0.5) =-0.5.

[答案]B

[例6]已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)＜f(m)成立，求实数m的取值范围.

[解析]∵f(x)在[0，2]上是减函数，在[-2，0]上是增函数，故分类可得：

(1)当023102012mmmm解得m∈，故此情况不存在；

(2)当201120210mmmm解得0≤m≤1；

∵f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(1-m)＜f(m)可转化为1-m＞m.∴m＜21.

∴0≤m＜21.苏州进步网: szjjedu 整理

(3)当021102210mmmm解得-1≤m≤0；

∵f(1-m)=f(m-1)，∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m).

∵f(x)在[-2，0]上是增函数，∴m-1＜m .∴-1≤m≤0.

(4)当203120012mmmm解得1≤m≤2.

∴0≤m-1≤1.∴f(1-m)=f(m-1).∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m).

∵f(x)在[0，2]上是减函数，∴m-1＞m无解.

综上所述，满足条件的实数m的取值范围为-1≤m＜21.

[答案]-1≤m＜21

[例7]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(-∞，0)内单调递增，f(2a2+a+1)

∴f(-x2)

∵f(x)为偶函数，∴f(-x2)=f(x2)，f(-x1)=f(x1). ∴f(x2)

∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

.032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又

由f(2a2+a+1)3a2-2a+1.解得0

又a2-3a+1=(a-23)2-45.

∴函数y=(21)132aa的单调减区间是[23，+∞].

结合0

[答案][23，3] 苏州进步网: szjjedu 整理

[例8]已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0；

(2)试求y=f(x)，x∈[1，4]的解析式；

(3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.

[解析](1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4-5)=f(-1)，又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=-f(-1)=-f(4).∴f(1)+f(4)=0.

(2)当x∈[1，4]时，由题意，可设f(x)=a(x-2)2-5(a≠0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0，解得a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).

(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，∴f(0)=0，又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1)，∵f(1)=2(1-2)2-5=-3，又f(1)=k·1=k，∴k=-3.∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x，当-1≤x＜0时，f(x)=-3x，当4≤x≤6时，

-1≤x-5≤1，∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15，当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，f(x)=

f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.∴f(x)=)96( 5)7(2)64( 1532xxxx.

[答案]见解析苏州进步网:

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[例9])(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，,0)()()()(xgxfxgxf且,0)3(g则不等式0)()(xgxf的解集是( )

A.),3()0,3( B.)3,0()0,3(

C.),3()3,( D.)3,0()3,(

[解析]结合新知识导数的应用与函数的性质在其交汇处知识重构，画出函数草图.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数.由题设可知当x<0时，f(x)g(x)的导数值大于0，故此时函数f(x)g(x)为增函数，结合已知条件及奇函数的图象关于原点对称，可画出函数草图，选出正确答案为D.

[答案]D

[例10]设奇函数f(x)的定义域为[-5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为_________.苏州进步网: szjjedu

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[解析]根椐函数的奇偶性作出图象.由图象易知不等式的解集是(-2，0)∪(2，5]

[答案](-2，0)∪(2，5]

[例11]已知函数y= f (x)在(0，2)上是增函数，y= f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是(

)

A.)27()25()1(fff B.)25()1()27(fff

C.)1()25()27(fff D.)27()1()25(fff

[解析]y= f(x+2)是偶函数，f(x)关于x=2对称，f(x)在(0，2)上是增函数，如图所示，由图可知距x=2越近，函数值越大，所以答案选B.

[答案]B

[例12]若奇函数f(x)在区间[3，7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[-7，-3]上( ).

A.最小值是5 B.最小值是-５

C.最大值是-５ D.最大值是5

[解析]用定义去求，可设x为[-7，-3]上任意一个值，则-x∈[3，7]，由题意f(-x)≥５，由于f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)，则-f(x)≥５，得f(x)≤-５，故，-５为f(x)在[-7，-3]上的最大值，故选C.