函数的奇偶性(教案)
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3.4函数的奇偶性
教学目标：
1、理解并掌握偶函数、奇函数的概念；
2、熟悉掌握偶函数、奇函数的图像的特征；
3、会证明一些简单的函数的奇偶性。
教学重点：偶函数、奇函数的概念，判断函数的奇偶性；
教学难点：函数的奇偶性的定义的理解。
教学过程：
1、 创设情境，直观感受
（1） 请同学们欣赏图片，并根据图片说一说这些图片具有怎样的对称性。
这些图片展现了数学的对称美，他们是轴对称图形或者中心对称图形。我们熟知的函数中也有如此美的图像。函数的图像一般都是呈现在直角坐标系中的，而在我们直角坐标系中，有2条坐标轴以及一个点，今天我们所要研究的就是在坐标轴中的对称。有三种，关于y轴对称，关于原点对称，关于x轴对称。请问，一个函数图像可能关于x轴对称吗？（这个学生应该比较好回答。）那么就只有2种关于y轴对称和关于原点对称。（这里要复习一下一个点关于y轴对称和关于原点对称的点的坐标特点。）
请同桌讨论一下，举出我们所学习的函数中图像是关于y轴对称或者关于原点对称。
（请2组同学进行汇报，并且将函数的大致图像画到黑板上。）
2、 概念引入，理性分析
(1) 从函数图像上诠释研究奇偶函数的价值
根据同学举得例子，来探讨这2类函数研究的价值：因为这2类函数具有美丽的对称性，那么我们在画函数图像的时候只需要作出一半的图像，另外一半对称过去就可以；而且在研究函数性质的时候，只需要研究一半，另外一半的性质也可以相应的得出。
(2) 从符号语言、解析式来诠释奇偶函数
既然这2类函数具有特殊的对称性，那么如何证明这种对称性呢？
（此处引导学生：图像是点集，要证明图像的性质，只需要证明点的性质即可。）
第一组图像中的点)1(,1f，它关于y轴的对称点为)1(,1f，下面证明)1(,1f点在函数的图像上即可，如何证明点在函数图像上呢？只需要证明点的坐标满足函数解析式即可（带入证明）。同样的对于点)2(,2f，它关于y轴的对称点为)2(,2f，下面说明点)2(,2f在函数图像即可。依次下去，需要验证多少个点才可以？（无数个），那么这样太麻烦，我们想一个简单的方式，找一个具有一般性的点)(,afa，它关于y轴的对称点为)(,afa，下面证明点)(,afa在函数图像即可，依然是带入验证。
（归纳刚才的研究过程，得出偶函数的定义）
（1） 偶函数的定义：
如果对于函数)(xfy的定义域D内的任意实数x，都有)()(xfxf，那么就把函数)(xfy叫做偶函数。
（关键词：“任意”即“所有”、“每一个”）（可提问同学此定义的关键词是什么？）
（2） 偶函数的性质：
①定义域关于原点对称；（依据：定义域D内的任意实数x，都有)()(xfxf，也就是说)()(xfxf是恒等式，恒等式要成立的前提是有意义，Dx且Dx，得出定义域关于原点对称）
②偶函数的图像关于y轴对称。（依据：有偶函数的定义即可得到）
③偶函数中有恒等式)()(xfxf成立。
（数学中，有“偶”就有“奇”，请同学们类比得出奇函数的定义与性质）（提示同学们从下面几点进行研究：①奇函数图像的特征；②奇函数的定义；③奇函数的性质）
（3） 奇函数的定义
如果对于函数)(xfy的定义域D内的任意实数x，都有)()(xfxf，那么就把函数)(xfy叫做奇函数。
（4） 奇函数的性质：①定义域关于原点对称；
②奇函数的图像关于原点对称。
③奇函数中有恒等式)()(xfxf成立。
根据奇函数的定义，请同学们自己列举奇函数的例子。
3、 例题分析，巩固理解
例1、（根据学生列举的奇函数的例子，提问，如何求证此函数是奇函数？依据：定义。）
例2、求证函数1)(2xxf是偶函数。
例3、判断下列函数的奇偶性
（1）3,3,22xxy （2）1,1,0xy
（此处分析既奇又偶函数的特征：解析式一定是0y的形式，主要就是在定义域上做文章。）
小结：如何判断函数的奇偶性
（1） 一看：看定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则非奇非偶；
（2） 二找：找)(xf与)(xf的关系；
（3） 三判断：根据关系，下结论。
例4、（如果时间充足，可作为拓展题目）已知)(xfy是偶函数，它在y轴右边图像如图所示，画出)(xfy在y轴左边的图像。（同学做好，可以投影展示）
4、 课堂小结
（1） 函数奇偶性的定义；
（2） 判断函数奇偶性的步骤
6、布置作业
