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函数的奇偶性

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第 1 页 共 5 页 高中数学：函数的奇偶性

角度1 函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝xlg(x＋x2＋1)；

(2)f(x)＝(1－x) 1＋x1－x；

(3)f(x)＝ －x2＋2x＋1，x＞0，x2＋2x－1，x＜0；

(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.

解：(1)∵x2＋1＞|x|≥0，

∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)lg(－x＋－x2＋1)＝－xlg(x2＋1－x)＝xlg(x2＋1＋x)＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)当且仅当1＋x1－x≥0时函数有意义，

∴－1≤x＜1，由于定义域关于原点不对称，

∴函数f(x)是非奇非偶函数．

(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，

当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，

∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．

(4)∵ 4－x2≥0，|x＋3|≠3，解得－2≤x≤2且x≠0，

∴函数的定义域关于原点对称，

∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.

又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x， 第 2 页 共 5 页 ∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．

角度2 函数奇偶性的应用

(1)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝( A )

A.12 B.23

C.34 D．1

解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

因为f(x)＝x2x＋1x－a＝x2x2＋1－2ax－a，

所以－x2x2－1－2ax－a＝－x2x2＋1－2ax－a，

所以－(1－2a)＝1－2a，

所以1－2a＝0，所以a＝12.

(2)若关于x的函数f(x)＝2tx2＋2tsinx＋π4＋x2x2＋cosx(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝1__.

解析：f(x)＝2tx2＋2tsinx＋π4＋x2x2＋cosx

＝t＋tsinx＋x2x2＋cosx，

设g(x)＝tsinx＋x2x2＋cosx，

则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.

∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，

即2－2t＝0，解得t＝1.

1.判断函数的奇偶性的两种方法

(1)定义法： 第 3 页 共 5 页

(2)图象法：

拓展：(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．

(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断．

2．函数奇偶性的应用

(1)求函数解析式

①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．

(2)求参数值

在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．

(1)(2019·广东深圳一模)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是( D )

A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数 第 4 页 共 5 页 B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数

C．h(x)＝gx·fx2－x是偶函数

D．h(x)＝fx2－gx是奇函数

解析：A.h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．

h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．

B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．

h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．

C．h(x)＝gx·fx2－x＝4－x2，x∈[－2,2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．

D．h(x)＝fx2－gx＝4－x2x，x∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．

(2)(2019·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝( C )

A．－2x B．2－x

C．－2－x D．2x

解析：当x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，

∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.

∵f(x)是R上的奇函数，

∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.

(3)(2019·淄博诊断)已知奇函数f(x)＝ 3x－ax≥0，gxx＜0，则f(－2)的值等于－8 .

解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，则30－a＝0，∴a＝1.∴当x≥0时，f(x)＝3x－1，则f(2)＝32－1＝8，因此f(－2)＝－f(2) 第 5 页 共 5 页 ＝－8.

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奇偶函数的概念

奇偶函数的概念

函数的奇偶性概念

1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意

一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．例如：函数，等都是偶函数．

2、奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意

一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．例如：函

数

f(x)=x，都是奇函数．

3、奇偶性的定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们

就说函数f(x)具有奇偶性．

说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2）f(－x)=f(x)或f(－x)=－f(x)必有一成立．

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原

点对称，若对称，再计算f(－x)，看是等于f(x)还是等于－f(x)，然

后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数．

（4）函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于

原点对称且既满足f(－x)=f(x)也满足f(－x)=－f(x)．

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一

个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．偶函数的图

象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那

么这个函数是偶函数．

（6）奇函数若在x=0时有定义，则f(0)=0．

函数的性质之奇偶性

函数的性质之奇偶性

函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义1．偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质：1定义域关于原点对称；2()fx为偶函数()(||)fxfx3若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0fxfx，()1()fxfx

7设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

题型体系

一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）42xxf（2）5xxf（3）xxxf1总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

函数的奇偶性

函数的奇偶性

函数的奇偶性

一函数奇偶性知识点：

1．定义 一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x,y）→（-x,-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数。 (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。(4) .

两个偶函数相乘所得的积为偶函数。(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

奇偶性的判断方法

奇偶性的判断方法

奇偶性的判断方法

1、定义法。用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

2、用必要条件。具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

3、用对称性。若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

4、用函数运算。如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数.简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。