2014届高三数学(理)一轮专题复习课件数列的综合应用(精)
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§6.5数列的综合应用
I高考调研明确考向I
考纲解读 考情分析
•能在具体的问题情境中识别数列的
等圣关系或等比关系，并能用相关 知识解决相应的问题. •数列的综合应用常以递推关系为背 娥，考含乎左数列、等比数列的通 项公式和前“项和公式.
•常与其他知识交汇命题,考仟学生 的转化化归能力,如与函数、不等 式、解析儿何等交汇羽金.
•各种遡那都育町能出现. 知识梳理
1. 等差、等比交汇，考查数列的综合问题
2. 以递推关系为背景，考查数列的通项与前〃项和
3. 数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用
4. 以实际问题为背景，考查数列的应用
(1) 解答数列应川题的步骤：
① 审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
② 建模——将己知条件翻译成数学(数列)语書，将实际 问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么.
③ 求解——求出该问题的数学解.
④ 还原 将所求结杲还原到原实际问题中.(2) 数列应川题帘见模型：
① 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型足等差模型，增加(或减少)的暈就足公差.
② 等比模型：如果后一个量与前一个呆的比是一个固定 的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比.
(3) 与银行利率相关的儿类模型：
① 银行储涪单利公式：
利息按单利计算,本金为。元，每期利率为门 存期为
X,则本利和〉，=LB ___________ ，属于等差模型.
② 银行储蒂复利公式；
按复利计算利息的一种储蒂，本金为°元，每期利率为
厂，存期为厂则本利和卩=回 ______________ ，属于等比模世.③ 产值模型：
原來产值的堆础数为2，平均增长率为〃 对于时间x的
总产值y= S _______________
(4) 递推数列模型：如杲题LI中给出的前后两项之间的关 系不固定，足随项的变化而变化时，应考虑足％与心“的递 推关系，还是前方项和与间的递推关系.
(5) 分期付款模型,
设贷款总额为“，年利率为厂，等额还款数为b分n期还
完，则〃=叵1 _______________ .答案；E a( I +xr) {2] a( 1 + r)' ③ N(l+/?)'
名师微博
•一条主线
数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式
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等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解
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必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有 所了解.
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•两种方法
（“对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有 些数列题目条件已指明是等差（或等比）数列,但有的数列并 没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然
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后应用等差、等比数列的相关知识解决问题.
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(2上攵列是一种特殊的函效，故数列冇着许多函数的性 质.等差数列和等比数列是两种最基本、最常乩的数列，它 们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三 角形等内容有若广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生
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活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增 加，这一部分内容也将受到越来越多的关注.
•三种思想
(1)数列与函数、方程相结合时主要考查函数的思想及函 数的性质(多为单调性).
(2徵列与不等式结合时需注意放缩.
(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.
基础自测
1•已知等差数列｛如｝的公差心0,它的第I,第5,第17
项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比足( )
A. 4 B. 3 C. 2 D2 2
4
答案：B
2.己知°, b, c,"成等比数列，且曲线y=.p —2x+3的 顶点是(6
c),则久/等于( )
A. 3 B. 2
D. -2解析：设数25
C. 1
解析：由于a, b, c, d成等比数列,所以有bc=ad.^\线
y=x2-2x+3 = (x-\)2+2的顶点为(1,2),所以b=l, c=2, 所以 ad=bc = 2.
答案：B
3 •数列(6｝的通项公式是关丁H的不等式疋一必V’u" G
N")的解集中的幣数个数，则数列｛⑷｝的前刃项和S” =( )
A. n2 B. n(n + 1)
D. (/?+!)(/?+ 2) 解析：由兀2—xV/zx,得OVxV〃+1(/£N), 因此门“=刀，S“ =玳叮 '). 2
答案：C
4•某种产品三次调价，单价由原來的每克512元降到 216元，则这种产品平均毎次降价的白分率为
解析：设平均每次降价百分率为“贝IJ512.(1-X)3 = 216,
•"•x^0.25.
答案：25%
5.《菜因徳纸门书》是壯界上垠古老的数学著作之 一•书中有一道这样的题冃：把100个而包分给5个人，使毎 人所得成等差数列，且使最大的三份之和的\足较少的两份 之和，最小的一份的量为 ・
解析：设公差为d(d>0),则5份分别为20 — 2〃,20 —
么20.2()+d20+加，贝 1」7(2()—2d+2()-d) = 2() + (2O+d) + (2O + 2d),
解得宀普，最小的一份为20-y=|.
答案：1
考点一等差数列与等比数列的综合应用
［例1］已知各项均为正数的数列｛ajiwn项和为S“，酋项 为血，H.2,如，£成等差数列.
(1) 求数列｛〜｝的通项公式;
(2) 若bn = log2«n, °=2，求数列｛"｝的前项和
解析：（1）由题意知，2G” = S“ + 2,如＞0.
当兀=1 时,2口] =4]+2, /.«|=2.
当兀M2时，S“ = 2q —2, S“_|=2o“_|—2,
两式相减,得an=2an-2an^9整理，得—=2.
划一1
・•・数列｛6｝是以2为首项,2为公比的等比数列・ ・•・
a/f=ar2/,_, =2 X =2”.
(2)山(1)知，。” =2", /.bf=n, 5=歩、
I 2 3 /I
7^ = 2+4+8"1 列①
1 1.2,3, . n 厂、
2^,=4 + 8+16^ F77,②
①一②，得扯=舟+扌+£+壽
・・・7； = 2—守.
方法点睛 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重 点分析等差.等比数列的通项及前〃项和，分析等差、等比 数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思想方法.
变式训练1 数列｛an｝的前死项和记为弘 6 = 1,如“= 2S”+l(d)・
⑴求｛4｝的通项公式；
(2)等差数列｛九｝的各项为正，其前71项和为几，且门=
15, 乂a\ +b\, °2十6，如+①成等比数列，求几・
解析：（1）由如+i = 2S”+l,可得cj=2S”-] + l（〃N2）, 两式相减得如+1 — 6 = ,则4+ ] = 3a“（"M2）・
乂 £12 = + 1=3, = •
故｛⑷｝是首项为1,公比为3的等比数列，・・・如=3”=
(2)设血｝的公差为d,由巧=15,切+亠+幻=15,可得 b? = 5,
故可设b\=5_d, ® = 5 + d,又°]=1, “2 = 3，。3 = 9, 由题意可得(5—d+l)(5+〃+9) = (5 + 3)2,解得〃]=2, d2= — 1()・
・・•等差数列｛””｝的各项为止，・・・d>o,
:• d=2、b| = 3,
n(n—1) °
••• Tn = 3H+―- X2 = rr + 2n ・考点二F数列与函数的综合应用
[例2] (2012南昌模拟)等比数列｛©｝的询舁项和为S“，B
知对任意的weN*,点、S“)均在函数y=b”+r(b>0且方工1, b, /•均为常数)的图像上.
(1) 求厂的值;
(2) 当b = 2时，记加=宏5丘1<),求数列｛%｝的前帀项和
Tn.
解析：(1)由题意，S” = b“ + m 为“M2吋，S—=b“T + 门所以an = Sn~Sn^\=bn '・(b— I).
山于b>0且bHl,所以〃M2时，｛q｝是以b为公比的等比
数列，又«i=/? + r> a2=b(b—\). 步=方，即
