高考数学(理)一轮复习课件：5-5数列的综合应用(人教A版)

专题7.5数列的综合应用

练基础

1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列

na

和正项等比数列

nb

}，

111ab

，

3b

是

2a

，

6a

的

等差中项，

8a

是

3b

，

5b

的等比中项，则下列关系成立的是（）

A．

100100abB．

102411ab

C．

105abD．

999ab

2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃

至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求

和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，

要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是

（）

A．5B．6C．7D．8

3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息

贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，

据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作

为资金全部用于再进货，如此继续.设第n

月月底小王手中有现款为

na

，则下列论述正确的有（）(参考

数据：11121.27.5,1.29)

A．

112000a

B．

11.21000

nnaa



C．2020年小王的年利润为40000元

D．两年后，小王手中现款达41万

4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列

na

的部分项

1ka

，

2ka

，

3ka

，……构成等

比数列

na

，且

11k

，

22k

，

35k

，则

nk

___________.

5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列

na

满足：

11a

，点

1,

nnnaa



在函数1ykx的图像上，其中k为常数，且0k

专题内容概要

本专题所涉及的内容课时不多，但综合性较强，能力要求较高，意义重大，是进一步学习高等数学的基础，在历年高考中占有超课时比例的显赫地位．1996～2001年全国高考数学试题中该部分内容出现的题型、题量、分值统计如下：

题型 1996年 1997年 1998年 1999年 2000年 2001年

题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值 题量 分值

选择题 2 9 1 5 1 5 1 5

填空题 1 4 1 4

解答题 1 11 1 12 2 26 1 12 2 16

综观近六年的全国高考数学试题，数列与数学归纳法约占总分的10%以上，近三年考查的分值呈上升趋势，2001年占总分的16%．考查的重点是等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的灵活运用，以及数学归纳法的综合应用，数列模型的实际应用问题也成为考查的热点．主要考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，其中思维是支柱，运算是主体，应用是归宿．在选择题中，突出了“小、巧、活”的特点，解答题以中等以上难度的综合题为主，常与函数、不等式等知识交叉、综合、渗透，作为高考数学试题的把关题或压轴题．试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论、正难则反和特殊化等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、变形转化法、换元法、消去法、“归纳—猜想—证明”及反证法等基本的数学方法．

根据以上对高考试题的分析，我们确定本专题以“数列”、“数列问题的综合应用”、“数学归纳法”为主要内容进行第二轮复习是必要的．通过本轮复习，旨在深化对基础知识、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解题的灵活性和综合运用知识的能力．并通过适当的练习，增强应试能力．

展望新世纪的全国数学高考试题，数列、数学归纳法仍将以等差、等比数列的基本问题和数学归纳法的综合应用为主，突出“归纳—猜想—证明”这种由特殊到一般的思维方法以及数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用．以等差、等比数列为载体的代数推理题和数列的实际应用问题将是近年高考的热点，应引起重视．用数学归纳法证明整除性问题，在恢复全国高考后的二十多年中尚未涉及．

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一、选择题

1．由公差为d的等差数列ａ１，ａ２，ａ３，…重新组成的数列ａ１＋ａ４，a２＋ａ５，ａ３＋ａ６，…是（ ）．

Ａ．公差为ｄ的等差数列

Ｂ．公差为2d的等差数列

Ｃ．公差为3ｄ的等差数列

Ｄ．非等差数列

2．在直角坐标系内，设P１（x１,y１）,P２（x２,y２）是第一象限内的点.若1，x１，x２,2依次成等差数列，1，y１,y２,2依次成等比数列，则点P１、P２与射线l:y=x（x≥0）的关系是（ ）．

A．点P１、P２都在l的上方

B．点P１、P２都在l的下方

C．点P１、P２都在l上

D．点P１在l的上方，P２在l的下方 3设｛ａｎ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）．

Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．4

Ｄ．6

4．若ａ，ｂ，ｃ成等比数列，其中0＜ａ＜ｂ＜ｃ，n是大于1的整数，那么ｌｏｇａｎ，ｌｏｇｂｎ，ｌｏｇｃｎ所组成的数列是（ ）．

Ａ．等差数列

B．等比数列

C．第二项与第三项分别是第一项与第二项的n次幂

Ｄ．每项的倒数成等差数列

5．已知等差数列{aｎ}满足a１+a２+a３+…+a１０１＝0，则有（ ）．

A．a１+a１０１＞0

B．a２+a１００＜0

C．a３+a９９＝0 Ｄ．a５１＝51

6．若数列｛ａｎ｝的前8项的值各异，且ａｎ＋8＝ａｎ，对任意的ｎ∈Ｎ都成立，则下列数列中可取遍｛ａｎ｝前8项值的数列为（ ）．

Ａ．｛a２ｋ＋１｝

Ｂ．｛ａ３ｋ＋１｝

Ｃ．｛ａ４ｋ＋１｝

Ｄ．｛ａ６ｋ＋１｝

7．已知ｆ（ｘ）＝，则函数ｆ（ｘ）的值域是（ ）．

Ａ．｛0｝

Ｂ．｛0，1｝

Ｃ．｛0，（1／2），1｝

第5讲 数列的综合应用

数列与数学文化

(1)(2020·贵阳市四校联考)中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是( )

A．丙分34文，丁分31文

B．丙分37文，丁分40文

C．丙分40文，丁分37文

D．丙分31文，丁分34文

(2)(2020·广州市调研检测)1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：

星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星

与太阳的距离 4 7 10 16 52 100

除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某数列规律)．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星.1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是( )

A．388 B．772

C．1 540 D．3 076

【解析】 (1)方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，且成等差数列，设公差为d，根据题意可得a1＋a2＝77，a5＋a6＋a7＝75，即a1＋a1＋d＝77，a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝75，解得a1＝40，d＝－3，所以丙分得a3＝a1＋2d＝34(文)，丁分得a4＝a1＋3d＝31(文)，故选A.

方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，则a－3d＋a－2d＝77，a＋d＋a＋2d＋a＋3d＝75，解得a＝31，d＝－3，所以丙分得a－d＝34(文)，丁分得a＝31(文)，故选A.