2014高考数学一轮复习训练数列的综合应用.
- 格式：doc
- 大小：174.50 KB
- 文档页数：11
第5讲数列的综合应用
04浴 限时规范训练
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1 •已知｛an｝为等比数列•下面结论中正确的是 ( ).
2 2 2
A. ai + a3> 2a2 B. ai+ a2> 2a2
C.若 ai = a3,贝U ai = a2 D .若 a3>ai，贝U a4>a2
解析 设公比为q,对于选项A，当ai<0, qM 1时不正确；选项C,当q=—
2 1时不正确；选项 D，当ai = 1, q= — 2时不正确；选项 B正确，因为ai +
2 2 a2> 2aia3= 2a2.
答案 B
2. 满足 ai= 1, log2an+1= log2an+ 1(n€ N ),它的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn>1 025
的最小n值是 ( ).
A . 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析 因为 ai= 1, log2an+ i = log2an+ 1(n® )，所以 an +1 = 2an, an = 2 -,
Sn= 2n- 1,则满足Sn>1 025的最小n值是11.
答案C
3. (2013威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批
1 同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n年的累计产量为f(n)=2n(n+
1)(2n+ 1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，
环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ().
A . 5年 B . 6年 C. 7年 D . 8年
解析 由已知可得第n年的产量an = f(n)-f(n—1) = 3n2当n= 1时也适合，据
题意令an> 150? n》5.2,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多
生产7年. 阶梯训练能力提升 答案 C
4. (2013福州模拟)在等差数列｛an｝中，满足3a4= 7a?,且ai>0, Sn是数列｛an｝
前n项的和，若Sn取得最大值，则n= ( ).
A . 7 B . 8 C. 9 D . 10
解析 设公差为d,由题设3(a1 + 3d) = 7(a1 + 6d),
4
所以 d= — 33a1<0.
(±
解不等式 an>0,即 a1 + (n— 1) — 33a1 >0,
37
所以*4，则nW 9,
当nW 9时，an>0，同理可得n》10时，an<0.
故当n = 9时，Sn取得最大值.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5. (2012赣州模拟)设关于x的不等式x2 — xv2nx(n€ N )的解集中整数的个数为
an,数列｛an｝的前n项和为S，则S100的值为 _________ .
解析 由 x2 — xv2nx(n €N ),得 0vxv2n+1,因此知 an= 2n.
100 2+ 200
.S00= 2 = 10 100.
答案 10 100
6. (2013南通模拟)已知a, b, c成等比数列，如果a, x, b和b, y, c都成等
a c
差数列，贝U x + y= _____ .
a+ b b+c
解析 赋值法.如令a, b, c分别为2,4,8，可求出x= 2 = 3, y= 2 = 6,
x + y= 2.
答案2 三、解答题(共25分)
7. (12分)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn, S5= 35, a5和az的等差中项为13.
⑴求an及Sn；
4
⑵令bn = (n
€ N )，求数列｛bn｝的前n项和Tn.
解(1)设等差数列｛an｝的公差为d,
因为 85= 5a3= 35, a5 + az = 26,
：ai + 2d = 7,
所以 2ai+ 10d= 26,解得 ai= 3, d=2,
所以 an= 3 + 2(n— 1) = 2n + 1,
nn-h 2
Sn= 3n+ 2 x 2= n + 2n.
(2)由(1)知 an= 2n + 1,
4 1 1 1
所以 bn= a2- 1= n n+ 1 = n-n+ 1,
=1 — n+ 1 = n+ 1.
8. (13分)(2012广东)设数列｛an｝的前n项和为S,满足2Sn = an+1 — 2n+1 + 1, n € N*，且a1, a2 + 5, a3成等差数列.
(1) 求a1的值；
(2) 求数列｛an｝的通项公式；
丄丄 1 3 ⑶证明：对一切正整数n,有a1 + a?+…+
an<2.
(1)解 当 n= 1 时，2a1 = a2 — 4+ 1 = a2 — 3,
当 n= 2 时，2(a1+ a2)= a3 — 8+ 1 = a3 — 7, 又a1, a2 + 5, a3成等差数列，所以 ◎ + a3= 2(a2 + 5), 由①②③解得a1= 1.
⑵解 T 2Sn= an + i - 2^ i + 1 ,
当 n》2 时，有 2Sn-1 — an— 2 + 1,
an+1 3 an
两式相减整理得an+1 — 3an— 2n,则于 —2尹一1,
an+1 3 an a1
即+ 2— 2 尹 + 2 .又尹+ 2— 3,知
即 an — 3n— 2n, n— 1 时也适合此式，二 an— 3n — 2n.
丄 _J_
⑶证明由（2）得an—3^^.
丄丄 111 1 1 1 3
•-a1+ 82+-+ an<1 + 2 2+ 2 3+-+ 2 n— 1+ 2 1 — 2n—1 <2.
B级 能力突破（时间：30分钟 满分：45分）
一、选择题(每小题5分，共10分)
1. (2012济南质检)设y—f(x)是一次函数，若f(0)— 1, 且 f(1), f(4), f(13)成等比 数列，贝U f(2) + f(4) + …+ f(2n)等于 ( ).
A . n(2n + 3) B. n(n + 4)
C. 2n(2n+ 3) D. 2n(n + 4)
解析 由题意可设f(x) — kx+ 1(kM 0),
2
则(4k+ 1) — (k+ 1) x (13k+ 1),解得 k— 2,
2 f(2) + f(4)+…+ f(2n) — (2x 2+ 1)+ (2x 4+ 1)+…+ (2x 2n+ 1) — 2n2+ 3n. + 2是首项为3,公比为2的等比数列,
当n》2时, 即 3n
—
2n>2n答案 A—2.
n
2. (20i2四川)设函数f(x)= 2x— cos x, {an}是公差为8的等差数列，f(ai) + f@) 2
+ •••+ f(a5) = 5n,则[f(a3)] — aia5 =
1 i c 2 2 B.16n C.8 n
0,则必有 a3—2=0,即 a3=2(否则若 a3 — 2>0,则有 a1—~2 + a5—2 = a2—~2
n 2 2
—cos2= n, [f(a3)] — aia5= 16冗，选 D.
答案 D
、填空题(每小题5分，共10分)
3. 设曲线y= xn+1( n€ N *)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an
=lg Xn,贝u ai + a2 + aa+-+ a99的值为 ____________ .
解析 由y' = (n+ 1)x (xON )，所以在点(1,1)处的切线斜率k= n+1,故切线
n
方程为 y= (n+ 1)(x—1)+ 1,令 y= 0 得 xn = n+1，所以 ai + a2 + a3+ • + a99
1 2 99 1
=lg xi + lg x2 +••• + lg X99 = lg(xi •…x 99) = lg2X 3X — X 99*〔 = lg 99*〔= D.^fn2
解析 设g(x) = 2x+ sin X,由已知等式得g ai — g a2— + ga5—n =
+ a4 — n= 2 a3— n >0,注意到g(x)是递增的奇函数，g
a3 — 2 >0，g ai—
a5— -ga5—n,g ai — 0,同理 g a2— 2 + g a4—~2
…+ ga5—n >0,这与 “g
+ g(5-訂=o”相矛盾，因此 a3 —2>0不可能；同理a3 — 2< 0也不可能);
n
又｛an｝是公差为8的等差数列, n n ai + 2X 8= 2, 3 n n
ai = 4, a5= 4 , f(a3) = f 2 = n
13
>0, g^ai— n)+ g
冗 ga2 —n + … —2.
答案 —24. (2012江西九校联考)数列｛an｝的前n项和为Sn，若数列｛an｝的各项按如下规
律排列：
1121231234 1 2 n-1 斤
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5，…，n, n，…， n，…，有如下运算和
结论：
3
① a24= 8；
② 数列 a1, a2 + a3, d+ as + a6, a? + as+ a? + a® …是等比数列；
n2+ n
③ 数列 a1, a2 + a3, a4 + a5 + a6, a7 + as+ a9 + a10,…的前 n 项和为 Tn= 4 ;
5
④ 若存在正整数k,使Sk<10, Sk+1> 10,则ak= 7.
其中正确的结论有 _________.(将你认为正确的结论序号都填上)
解析 依题意，将数列｛an｝中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的
数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n+1,分子由
1 + 2 + 3+…+ n n
1依次增大到n,第n组中的各数和等于 n+1 = 2.
6(6+ 1) 7(7+ 1)
对于①，注意到21 = —2 — <24<—厂 =28,因此数列｛an｝中的第24项应
3
是第7组中的第3个数，即a24= 8,因此①正确.
对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，贝U bn =
2 1 n n+ 1 n + n
等于2X 2 = 4 ，因此②不正确，③正确.
62 + 6 1
对于④，注意到数列的前 6组的所有项的和等于~~T = 102,因此满足条件 5
5
的ak应是第6组中的第5个数，即ak= 7,因此④正确. n+ 1 显然该数列是等差数列, 而不是等比数列，其前
n项和
