大学物理论文_刚体转动

刚体的转动惯量的讨论方法邵亮（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011）指导教师：陈力摘要：刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，应用于刚体各种运动的动力学计算中。

一般研究均匀刚体和不规则刚体的转动惯量。

本文将从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法以及对刚体的转动惯量错误计算的分析。

从而使人们在学习刚体的转动惯量时能开阔思维，学会寻求创新途径去巧解各类刚体的转动惯量。

关键词：刚体的转动惯量，均匀刚体，不规则刚体，错误计算的分析引言转动惯量是刚体定轴转动中的一个重要概念,在表征刚体转动的定理、定中都离不开此概念。

体是指大小和形状保持不变的物体，而转动惯量则是刚体转动时惯量大小的一个量度，是表征刚体特性的一个物理量。

刚体转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量分布及转轴位置有关系。

测量刚体的转动惯量对许多研究、设计工作都具有重要意义。

一．刚体的转动惯量定义刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

二．转动惯量概念的导出及其物理意义我们首先看看刚体绕一固定轴转动的特点,如果把刚体看成是质点的集合体,当刚体以角速度w匀速转动时,则刚体上的每一个质点在做绕定轴为中心的、不同半径的园周运动,各质点具有相同的角速度w。

大学物理实验刚体转动惯量
刚体转动惯量是描述刚体转动惯性的物理量，通常用$I$表示。

在理论上，它们的计算相对简单，但在实际中，它们的测量和计算需要一定的技巧和方法。

在本实验中，我们将学习和掌握几种常见的测量刚体转动惯量的方法。

实验中使用的主要设备包括立式圆盘陀螺仪和万能转动仪。

1. 立式圆盘陀螺仪
立式圆盘陀螺仪是一种通过转动圆盘来测量转动惯量的仪器。

它由一个沿中心轴旋转的圆盘和一个竖直的固定轴组成。

通过测量旋转圆盘的角加速度和角速度，可以计算出圆盘的转动惯量。

在实验中，我们可以通过改变圆盘的旋转速度和外形（例如在圆盘上添加质量），来探究不同因素对转动惯量的影响。

2. 万能转动仪
万能转动仪是一种用于研究刚体的旋转运动的仪器。

它通常由一个旋转的主轴和一些其他测量和控制设备组成。

它可以测量刚体在不同方向上的惯性矩，并用于研究刚体的平衡和转动运动。

在本实验中，我们将使用万能转动仪来测量刚体在不同方向上的转动惯量，并比较实验结果与理论结果的差异。

通过这些实验，我们将进一步了解转动惯量及其如何影响物体的转动运动。

总之，本实验将为学生提供一个理解刚体运动的机会，并通过实际操作来掌握刚体转动惯量的计算和测量方法。

三种计算圆盘类刚体转动惯量的方法探析-力学论文-物理论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——动力学论文第四篇：三种计算圆盘类刚体转动惯量的方法探析摘要：刚体的转动惯量是大学物理刚体力学中的重点。

研究采用了三种方法计算圆盘形状物体绕中心转动对称轴的转动惯量，即微元定义求解法、量纲分析法和等边n角形极限法。

提出了后面两种巧妙的计算方法，引导学生在解决问题的时候开阔思维，激发其学习的积极性及对科研的探索精神。

关键词：圆盘; 转动惯量; 计算方法;Three methods of calculating the moment of inertia of a diskLAN Shan-quanSchool of Physical Science and Technology,Lingnan Normal UniversityAbstract：The moment of inertia of rigid body is the focus of rigid body mechanics in university physics. In this paper,three methods are used to calculate the moment of inertia of a disk-shaped object about a central rotational axis of symmetry,namely,the method of solving the definition of micro element,the method of dimensional analysis and the method of limit of n-angle with equal sides. The last two ingenious calculation methods are put forward to guide students to broaden their thinking when solving problems,stimulate their enthusiasm for learning and explore the spirit of scientific research.1 引言转动惯量度量是刚体在力矩的作用下改变转动角速度的容易程度。

力学中的刚体转动在力学中，刚体转动是一个重要且常见的现象。

刚体是指其内部各点之间相对位置不变的物体，转动则是指物体绕某个固定轴线旋转的运动。

本文将以力学中的刚体转动为主题，探讨其相关概念和特性。

一、刚体的定义和特性刚体是指在外力作用下各点之间的相对位置保持不变的物体。

与刚体相对应的是变形体，后者在外力作用下会发生形状的改变。

刚体的特性使得其在转动运动中表现出一些独特的规律和性质。

二、刚体的转动学基本量在刚体转动的研究中，有一些基本的物理量被广泛应用。

其中最重要的是角位移、角速度和角加速度。

角位移表示物体在转动过程中所走过的角度，通常用弧度制表示。

角速度则是单位时间内刚体转动的角位移量，即时间导数。

角加速度则表示单位时间内角速度的变化率。

三、转动惯量与转动轴在刚体转动中，转动惯量是一个重要的物理量，标志着刚体绕某个轴线旋转的难易程度。

转动惯量的大小与刚体的质量分布以及绕轴线的距离有关。

对于同样质量的刚体，质量分布越分散，转动惯量越大。

而对于给定的质量分布，在轴线越离刚体质心越远，转动惯量也越大。

转动轴是指刚体绕其固定旋转的轴线。

刚体可以绕不同的轴旋转，而转动的性质也因此而有所不同。

其中，主轴是指转动惯量最大或最小的轴线。

刚体绕主轴旋转时，其转动最为稳定。

转动轴的选择和刚体的几何形状以及转动条件有关。

四、刚体的转动运动在刚体转动的实际运动中，可以分为自由转动和受控转动两种情况。

自由转动是指刚体在没有外力作用下绕固定轴线旋转，其角位移和角速度受转动惯量等因素的影响。

受控转动则是在外力或外扭矩的作用下，刚体绕轴线旋转。

外力和外扭矩对角位移和角速度的影响取决于刚体的转动惯量和刚体受力的特点。

五、刚体转动的动能和动力学刚体转动的动能和动力学也是力学中的重要概念。

刚体的转动动能与其转动惯量和角速度的平方成正比。

动力学则研究刚体转动过程中的力和力矩。

根据牛顿第二定律，刚体转动的力矩等于转动惯量和角加速度的乘积。

大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究在大学物理中，研究刚体运动的转动惯量和角动量是非常重要的。

本文将深入探讨刚体运动中转动惯量和角动量的概念、计算公式以及其在物理学中的应用。

一、转动惯量的概念及计算公式刚体的转动惯量，简称为惯量，是描述刚体旋转运动惯性大小的物理量。

转动惯量的计算与刚体的形状和质量分布有关。

刚体的转动惯量用符号"I"表示，其计算公式为：I = ∑mr²其中，"m"是刚体上各个质点的质量，"r"是该质点到转轴的距离。

对于连续分布的质量，转动惯量的计算将采用积分的方式。

二、角动量的概念及计算公式角动量是描述物体旋转状态的物理量。

在刚体运动中，角动量的大小和方向都很重要。

角动量（L）的计算公式为：L = Iω其中，"I"是刚体的转动惯量，"ω"是刚体的角速度。

刚体的角速度定义为单位时间内转过的角度。

对于质点和刚体的角动量，其大小和方向可以通过力矩（τ）和时间（t）的计算得到。

L = τt三、转动惯量和角动量的应用1. 刚体平衡在研究刚体的平衡时，转动惯量和角动量是非常重要的参考量。

通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以确定平衡条件，从而解决物体受力平衡问题。

2. 陀螺原理陀螺是刚体运动转动惯量和角动量的经典应用之一。

陀螺的旋转方向不易改变，是因为陀螺具有较大的转动惯量，保持角动量守恒的特性。

3. 物体滚动在物体滚动的过程中，转动惯量和角动量的变化会影响物体的运动。

通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以理解物体滚动的物理原理，并进行相关的问题求解。

4. 自行车行驶自行车作为一种常见的运动方式，其行驶原理也涉及到转动惯量和角动量。

通过刚体运动的转动惯量和角动量，可以分析自行车的稳定性和行驶效果，为相关问题提供解答。

总结：转动惯量和角动量是刚体运动中重要的物理概念。

它们的计算公式和理论基础为我们解决刚体运动问题提供了重要的数学工具。

大学物理实验刚体转动惯量【预习要求】1．参见大学物理刚体一章，导出规则物体：圆柱、圆筒和圆球过几何轴，圆柱、圆筒和细杆对过中心、垂直于几何轴的转动惯量的计算公式。

2．根据实验内容，在预习报告上自行设计、准备好数据记录表格。

【实验目的】1．了解扭摆测量转动惯量的原理和方法。

2．用扭摆测定弹簧的扭转常数及几种不同形状刚体的转动惯量。

3．验证刚体转动的平行轴定理。

【实验原理】1．扭摆测量物体转动惯量、弹簧的扭转常数图10-1扭摆扭摆的构造如图10-1所示。

在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。

在轴的上方可以装上各种待测物体。

垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩。

3为水平仪，用来调整仪器转轴成铅直。

将物体在水平面内转过角，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。

根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度成正比，即MK（10-1）式中，K为弹簧的扭转常数，根据转动定律MI式中，I为物体绕转轴的转动惯量，为角加速度，由上式得令2M（10-2）IKI，忽略轴承的摩擦阻力矩，由（10-1）、（10-2）得ddt22KI2上述微分方程表示扭摆运动具有角谐振动的特性，即角加速度与角位移成正比，并且方向相反。

此微分方程的解为Acot式中，A为谐振动的角振幅，为角位移，为初相位角，为角频率。

此谐振动的周期为2IKT2（10-3）由式（10-3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期T，并在I和K中任何一个量已知时，即可计算出另一个量。

-1-本实验利用测量一个形状规则物体（圆柱体）在扭摆上的摆动周期来测量弹簧K值。

圆柱体的转动惯量I1'可根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，从而可算出本仪器弹簧的K值。

因圆柱是放在金属载物盘上测量，须考虑载物盘的转动惯量I盘，所以有K422I1T1T盘2'和I盘I1T盘T1T盘22'2（10-4）式中T盘和T1分别为只有金属载物盘和载有圆柱体时测出的摆动周期。

刚体转动的研究范文刚体转动是物理学中一个重要的研究领域，涉及到刚体绕轴旋转的运动和性质。

本文将重点介绍刚体转动的相关概念，以及刚体转动的基本方程和定律。

一、刚体转动的概念刚体是指它的形状和大小不会随着运动而改变的物体。

刚体转动是指刚体绕轴旋转的运动。

在刚体转动中，我们通常关注的是刚体的角位移、角速度、角加速度以及与这些量相关的力和能量。

二、刚体转动的基本方程1.角位移和角速度：角位移是指刚体旋转过程中的角度变化，用Δθ表示。

角速度是指单位时间内刚体旋转的角度变化率，用ω表示。

二者的关系可以表示为：Δθ=ωΔt，其中Δt为时间间隔。

2.角速度和角加速度：角加速度是指角速度随时间的变化率，用α表示。

二者的关系可以表示为：α=Δω/Δt，其中Δω表示角速度的变化量。

3.力和力矩：力矩是力相对于旋转轴的转动效果，用τ表示。

力和力矩的关系可以表示为：τ=Fd，其中F表示作用力的大小，d表示力施加点到旋转轴的距离。

4.力矩和角加速度：根据牛顿第二定律，力矩的大小等于角加速度乘以转动惯量（I），即τ=Iα。

转动惯量是刚体旋转惯性的量度，它与刚体的质量分布和形状有关。

三、刚体转动的定律1.转动惯量定律：刚体绕其中一轴旋转的转动惯量（I）等于刚体上每个质点的质量乘以其离轴线距离的平方之和。

转动惯量可以用于计算刚体的角加速度。

2.角动量守恒定律：当外力矩（τ）为零时，刚体的角动量（L）守恒。

即刚体在转动过程中，若没有外力矩作用，其角动量保持不变。

3.角动能定律：刚体的角动能（K）等于转动惯量乘以角速度的平方的一半。

角动能的变化等于外力矩对刚体所做的功。

四、刚体转动的应用刚体转动理论可以应用于多个领域，如机械工程、物理学、运动学等。

在机械工程中，刚体转动理论可以帮助设计和分析旋转的机械装置，如发动机、涡轮机等。

在物理学中，刚体转动理论可以用于解释行星围绕恒星的运动，以及天体运动中的守恒现象。

在运动学中，刚体转动理论可以指导运动员的训练和技术改进，帮助他们提高旋转动作的效率和稳定性。

刚体转动惯量的测量一、实验目的1.学习测量刚体转动惯量的方法。

2.用实验方法验证平行轴定理。

3.用最小二乘法处理数据，进一步熟悉各种数据处理方法。

二、实验仪器刚体转动惯量实验仪，TH-4通用电脑式毫秒计，铝环，铝板，小钢柱，牵引砝码等。

1.刚体转动惯量实验仪刚体转动惯量实验仪如图1所示。

它不但能测定质量分布均匀、断面形状规则刚体的转动惯量，而且能测定质量分布不均匀、断面形状不规则刚体的转动惯量，并可验证物理学的转动定律、平行轴定理等。

它的转动体系由十字形承物台和塔轮组成，可绕它的垂直方向对称轴进行平稳的转动。

两根对称放置的遮光细棒随刚体系统一起转动，依次通过光电门不断遮光。

光电门由发光器件和光敏器件组成，发光器件的电源由毫秒计提供，它们构成一个光电探测器，光电门将细棒每次经过时的遮光信号转变成电脉冲信号，送到通用电脑式毫秒计。

毫秒计记录并存储遮光次数和每次遮光的时刻。

塔轮上有五个不同半径的绕线轮，以提供不同的力臂，从下到上分15mm、20 mm、25 mm、30 mm、35 mm五档。

砝码钩上可以放置不同数量的砝码来改变对转动体系的拉力。

在实验仪十字形承物台每个臂上，沿半径方向等距离d有三个小孔，如图2所示。

小钢柱可以放在这些小孔上，小钢柱在不同的孔位置就改变了它对转动轴的转动惯量，因而也就改变了整个体系的转动惯量，所以可用来验证平行轴定理。

图1 图23通用电脑式毫秒计（左：前面板；右：后面板）2．通用电脑式毫秒计通用电脑式毫秒计是为测量刚体转动惯量而设计的，也可用于物理实验中各种时间测量和计数。

本仪器使用了微电脑（单片机）作为核心器件，它具有记忆功能，最多可记忆九十九组测量时间，并可随时把需要的测量结果取出来。

时间测量有几种方法，可根据需要选择一种。

计时范围0-99.9999s ，计时精度0.1ms 。

两路2.2V 直流电源输出；两路光电门信号或TTL/CMOS 信号电平输入通道；可与计算机通过标准RS232串口通信。

实验名称：刚体转动惯量实验一、实验目的1.了解多功能计数计时毫秒仪实时测量(时间)的基本方法；2.用刚体转动法测定物体的转动惯量；3.验证物体转动惯量的平行轴定理；4.验证刚体转动惯量与外力矩无关。

塔轮半径：0.015m 0.020m 0.025m 0.030m圆环：质量0.936kg 内半径0.0875m 外直径0.1075m圆柱：质量0.400kg 半径0.019m 个数 2 个四、实验内容和步骤：.1.放置仪器.滑轮1置于试验台外3~4厘米,调节仪器水平,设置毫秒仪计数技术次数；2.连接传感器与计数计时毫秒仪,调节霍尔开关与磁钢间距为0.4—0.6cm，转离磁钢。

复位毫秒仪，转动到磁钢与霍尔开关相对时，毫秒仪低电平指示灯亮，开始计时和计数；3.将质量为100g的砝码的一端打结，沿塔轮上开的细缝穿入，并整齐的绕与半径为r的塔轮；4.调节滑轮的方向和高度，是挂线与绕塔轮相切，挂线与塔轮的中间呈水平。

5．释放砝码，带动转动体系作加速度转动；6.计数计时毫秒仪自动记录系统从0π开始作1π，2π，……角位移相应的时刻。

五、数据记录及处理：我们小组的原始数据，附在报告的最后，我们一起计算分析后一致认为中间砝码脱离塔轮的那几组数据（第１０组前后）对于计算β１，β２都将带来不准确，尤其之前的７、８组，计算后发现β值发生明显波动，所以小组决定数据一致取前６组来计算β２，取后８组来计算β１，既避免了是数据不准确，有最有效的利用了实验数据。

计算β２的时候将每两组数据作为一组，直接利用实验所给的公式即可求得；计算计算β１时我们用１２组后的每一组数据减去１２组数据后再进行同计算β２时相同的工作即可。

通过计算发现第１３、１４组数据计算出的β１值相对后面几组值偏大，并且差异较大，我们小组认为其后的数据计算得β１值为一常量，根据旋转过程分析也可看到越靠后的数据显然更加稳定，所以我们决定放弃第１３、１４组数据，后来经过对圆环转动惯量的验证，发现这样处理是正确的。

刚体如果研究物体的转动就必定涉及物体的空间方位，此时，质点模型已不适用，因为一个点是无方位可言的。

若在所研究的问题中，物体的微小形变可以忽略不计时，则可以引入刚体模型。

刚体，是指在任何情况下，都没有形变的物体。

也可以把刚体看作一个各质元之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。

（附图）刚体定轴转动的描述在物体运动过程中，如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，这条直线称为转轴 (这根轴可以在物体之内，也可以在物体之外的某固定处)。

若转轴的方向或位置在物体运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置便称为该时刻的转动瞬轴。

若转动轴固定不动，即既不改变方向又不平移，则这个转轴称为固定轴，这种转动称为定轴转动。

（附图）平动和转动是刚体运动中两种基本形式．无论刚体作多么复杂的运动，总可以把它看成是平动和转动的合成运动。

例如一个车轮的滚动可以分解为车轮随着车轴的平动和整个车轮绕着车轴的转动。

定轴转动是刚体运动中最简单的运动形式之一。

为了研究刚体的定轴转动，定义：垂直于固定轴的平面为转动平面。

研究刚体的定轴转动时，可以任取一个转动平面来讨论。

以转轴与转动平面的交点为原点，则该转动平面上的所有质元都绕着这个原点作圆周运动。

在转动平面内过原点作一射线作为参考方向(或称极轴)，转动平面上任一质元P 对O 点的位矢r 与极轴的夹角θ称为角位置。

引入角速度、角加速度，由于刚体是个特殊质点组，即各质元之间没有相对移动，因此，在同一转动平面上，它们的角量(即角位移、角速度、角加速度)都相同，但由于各质元到轴的距离不同，因此各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度)不同。

dt d θω= 22dt d dt d θωβ==ωR v = βτR a = 22ωR R v a n == 刚体作定轴转动时，每个质元的转动方向只有两种可能，如果以转轴为z 轴，则质元的角速度方向要么与所选z 轴正向相同，要么与所选z 轴正向相反．因此，刚体定轴转动时所有角量的方向，都可用标量前的正负号表示。

⼤学物理教程第五章刚体的转动第五章刚体的转动§5－1 刚体的平动、转动和定轴转动⼀、刚体在外⼒作⽤下形状和⼤⼩都不变化的物体称为刚体．和这定义等价的另⼀定义是：如果物体在外⼒作⽤下它的任意两点之间的距离保持不变，则这物体称为刚体．刚体是⼀种理想模型，在⾃然界中是找不到的．实际上任何物体在外⼒作⽤下，它的形状和⼤⼩都或多或少要发⽣变化．但有许多物体，如果外⼒不甚⼤的话，它的形状和⼤⼩的改变不显著，这样的物体和刚体很接近，刚体⼒学中的结论对于这样的物体⼤致与经验符合．因此在实际问题中这样的物体可以当刚体来处理．⼆、平动和转动刚体的最简单的运动是平动和转动．在§1－3中关于参考系的平动的定义对刚体也适⽤．即如果刚体运动时，它⾥⾯任⼀直线的⽅位始终保持不变，则其运动称为平动．平动的特点是，任⼀时刻刚体中各点的速度和加速度都相等，任⼀点的运动都可以代表整个刚体的运动．刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着⼀条直线作圆周运动(如图5－1)，则这刚体的运动称为转动，这条直线称为转轴．座钟的指针、CD 光碟、涡轮发电机的叶⽚和车辆的轮⼦的运动都是转动．转动刚体的转轴可以是固定的(例如涡轮叶⽚的转轴)，也可以是运动的(例如车轮的转轴)．转轴固定的转动称为定轴转动．可以证明，刚体的⼀般运动可以当作是由⼀平动和⼀绕瞬时轴的转动组合⽽成．例如车轮在地⾯上滚动(图5－2a)，可以看成是由车轮随轮轴的平动以及车轮绕轮轴的转动组合⽽成．车轮上任⼀点P 的瞬时速度v ，等于轮轴的瞬时速度v 0与由于该点随车轮绕轮轴转动所具有的速度v r 的⽮量和，如图5－2(b)所⽰．三、定轴转动如图5－1，P 为刚体中⼀质点，当刚体绕定轴转动时，P 作圆周运动，圆⼼O 为转轴与圆平⾯的交点．由于刚体中任意两点之间的距离是固定不变的，刚体中各质点在同⼀时间Δt 内具有相同的⾓位移Δθ，因此在任⼀时刻各质点具有相同的⾓速度ω和⾓加速度α．所以我们可以⽤Δθ、ω和α作为描写刚体绕定轴转动的物理量，称为刚体的⾓位移、⾓速度和⾓加速度．我们在§1－4中讲过的⾓位移、⾓速度和⾓加速度等概念都适⽤于刚体的定轴转动．如果将⾓位移Δθ图5－1图5－2改为θ，则§1－4中公式θ = ωt ，ω = ω0 + αt 及θ = ω0t +21αt 2对刚体的定轴转动亦适⽤．⾄于刚体内各质点的速度和加速度则由于各质点到转轴的距离不同⽽各不相同，但这些线量与⾓量之间的关系仍然由(1－49)式、(1－51)式及(1－52)式表⽰．例题5－1 ⼀转速为1.80×103 r/min 的飞轮，因受制动⽽均匀地减速，经20.0s 停⽌转动．(1) 求⾓加速度和从制动开始到停⽌转动飞轮转过的转数；(2) 求制动开始后t = 10.0s 时飞轮的⾓速度；(3) 设飞轮半径为0.500m ，求在t = 10.0s 时飞轮边缘上⼀点的线速度和切向与法向加速度．解 (1) 设ω0为初⾓速度，由题意得rad/s π60rad/s 60101.80π2π230=??==n ω s 0.20 ,0==t ω因飞轮均匀减速，其转动为匀变速转动，由§1－4公式，⾓加速度为220rad/s π3rad/s 20.0π60-=-=-=t ωωα从开始制动到停⽌转动飞轮的⾓位移θ及转过的转数N 依次为rad π600rad 20.03π2120.0π6021220=??-=+=t t αωθ 300 2ππ600π2===θN (2) t = 10.0s 时飞轮的⾓速度为()rad/s π30rad/s 10.03ππ600=?-=+=t αωω(3) t = 10.0s 时，飞轮边缘上⼀点的线速度为m/s 1.47m/s 30π.5000=?==ωr v相应的切向加速度及法向加速度为22t m/s 71.4m/s 3π.5000-=?-==αr a()23222n m/s 1044.4m/s 30π.5000?=?==ωr a §5－2 ⼒矩转动定律转动惯量⼀、⼒对转轴的⼒矩根据经验，⼒可以使物体转动．但使物体转动的作⽤，不仅与⼒的⼤⼩有关，⽽且与⼒的⽅向以及⼒的作⽤线和转轴的距离有关．例如当我们⽤⼿关门时，⼒的作⽤线和门的转轴的距离越⼤，越容易把门关上．如果⼒的作⽤线通过门的转轴，或⼒的⽅向与转轴平⾏，则不论⽤多⼤的⼒也不能把门关上．⾸先讨论⼒在垂直于转轴的平⾯内的情形．图5－3为与转轴垂直的刚体的截⾯图，⼒F 在此平⾯内，⼒的作⽤线与转轴的距离为d ，d 称为⼒臂，⼒的⼤⼩F 与⼒臂d 的乘积称为⼒F 对转轴的⼒矩，⽤M 表⽰，则M = Fd （5－1）设r 为从转轴到⼒的作⽤点P 的径⽮，φ为r 与F 之间的夹⾓，由图5－3看出，d = r sin φ，故(5－1)式可写为r F Fr M ⊥==?sin （5—2）其中⊥F 为⼒F 在垂直于r ⽅向的分量．上式表⽰，只有⼒F 在垂直于r ⽅向的分量才对⼒矩有贡献．当φ = 0或φ =180°时M = 0，此时⼒的作⽤线通过转轴，0=⊥F ，d = 0．如果⼒F 不在垂直于转轴的平⾯内，则将F 分解为⼆分⼒F l 、F 2．F l 在垂直于转轴的平⾯内，F 2与转轴平⾏(图5－4)．由于平⾏分⼒F 2对物体转动不起作⽤，可以不考虑，因此在⼒矩定义式(5－1)或式(5－2)中，F 应理解为外⼒在垂直于转轴的平⾯内的分⼒．⼒对定轴的⼒矩不但有⼤⼩，⽽且有转向．⼀般规定，如果⼒矩使刚体沿反时针⽅向转动，⼒矩为正；如果⼒矩使刚体沿顺时针⽅向转动，⼒矩为负．如果同时有⼏个⼒作⽤于刚体，则刚体所受的合⼒矩等于各个⼒对转轴的⼒矩的代数和．⼒对转轴的⼒矩与⼒对⼀点的⼒矩之间的关系如上所述，如果⼒F 与转轴不垂直，可将它分解为垂直于转轴的分⼒F l 和平⾏于转轴的分⼒F 2．设O 为通过⼒F 的作⽤点P ⽽垂直于转轴的平⾯与转轴的交点．r 为从O 点到P 点的径⽮(图5－4)．则由(4－37)式得⼒F 对O 点的⼒矩为M = r × F = r × (F l + F 2) = r × F l + r × F 2将上式两边投影在转轴上．现在来看左右两边投影的意义．左边为⼒F 对O 点的⼒矩在转轴上的投影，右边r × F 2与转轴垂直，它在转轴上的投影为零．r × F l 与转轴平⾏，它在转轴上的投影等于F l r sin φ(图5－4)．⽽后者等于⼒F 对转轴的⼒矩．故得结论：⼒F 对转轴的⼒矩等于⼒F 对O 点的⼒矩M 在转轴上的投影，其中O 为通过⼒F 的作⽤点P ⽽垂直于转轴的平⾯与转轴的交点．应当注意，⼒对⼀点的⼒矩是⽮量，⼒对转轴的⼒矩是标量．这是因为后者是前者的投影之故．⼆、转动定律刚体可看成是由⽆数质点组成，当刚体绕定轴转动时，各个质点都绕定轴作圆周运动，取质点P i 来考虑，设其质量为Δm i ，与转轴的距离为r i ，图5－5为经过P i ⽽垂直于转轴的刚体的截⾯图，作⽤于P i 的⼒有外⼒F i 及内⼒F ’i ，令F i t 及F ’i t 分别表⽰F i 及F ’i 沿切线⽅向的分量，则由切向运动⽅程得F i t + F ’i t = Δm i · r i α两边乘以r i ：F i t r i + F ’i t r i = (Δm i r i 2)α将此式对刚体中⼀切质点求和得图5－3 图5－4∑∑∑='+ii i i ii i i i r m r F r F α)Δ(2t t （5－3） ∑'i ii r F t 为所有内⼒对转轴的⼒矩的代数和，即合内⼒矩．下⾯证明此合内⼒矩等于零．取刚体中两质点P i 及P j 来考虑．根据⽜顿第三定律，这两质点相互作⽤的⼒⼤⼩相等⽅向相反，且在同⼀直线上(图5－6)，此⼆⼒有相同的⼒臂d ，但因⼆⼒⽅向相反，故其对转轴的合⼒矩为零．⼜因内⼒总是成对的，每⼀对内⼒的合⼒矩既然等于零，所以所有内⼒的合⼒矩亦必等于零，即0t ='∑iii r F 因此，(5－3)式化为∑∑=ii i i i i r m r F α)Δ(2t （5－4）∑iii r F t 为所有外⼒对转轴的⼒矩的代数和，即合外⼒矩，⽤M 表⽰，则上式化为∑=ii i r m M α)Δ(2 （5－5）对于⼀定刚体及⼀定转轴来说，上式中∑ii i r m 2Δ为⼀恒量，称为刚体对该转轴的转动惯量，⽤J 表⽰，即∑=ii i r m J 2Δ （5－6）这样(5－5)式便化为αJ M = （5－7）此式表⽰，刚体的⾓加速度与它所受的合外⼒矩成正⽐，与刚体的转动惯量成反⽐，这⼀关系称为转动定律．这是刚体绕定轴转动的基本定律．刚体绕定轴转动的其他定律都可以由这条定律导出．值得注意，这条定律是从⽜顿第⼆、第三定律推出的．三、转动惯量把转动定律αJ M =与⽜顿第⼆定律F = ma ⽐较，可以看出，这两个式⼦⼗分相似，M 对应于F ，α对应于a ，J 对应于m ．我们知道，物体的质量m 是物体的平动惯性⼤⼩的量度，与此类似，物体的转动惯量J 是物体的转动惯性⼤⼩的量度．这可以从转动定律αJ M =看出．转动惯量不同的两个刚体，在相同的图5－5 图5－6外⼒矩作⽤下，转动惯量⼤的刚体⾓加速度⼩，就是它的⾓速度难于改变，也就是转动惯性⼤；反之，转动惯量⼩的刚体，它的转动惯性⼩．根据转动惯量定义：∑=ii i r m J 2Δ如果刚体是由若⼲个质量为m 1，m 2，m 3，…的质点组成，在(5－6)式中Δm i 应代以m i ，得+++=233222211r m r m r m J （5－8）如果刚体的质量连续分布在⼀体积内，(5－6)式中总和式应代以积分式，Δm 应代以d m (刚体中的质量元)，得==VV V r m r J d d 22ρ（5－9）其中d V 为刚体的体积元，ρ为体积元d V 处的质量体密度，此积分遍及于刚体的整个体积V ．(5－9)式可推求如下：将刚体划分为许许多多⼩部分，每⼀部分的线度极⼩，使它可以看成⼀质点．设各⼩部分的质量为Δm 1，Δm 2，…，Δm i ，…，与转轴的距离依次为r 1，r 2，…，r i ，…，按照(5－6)式，刚体的转动惯量J 近似地等于∑i i m r Δ2，即∑≈ii i m r J Δ2设λ为各⼩部分的线度的最⼤值，λ越⼩，每⼀⼩部分越接近于⼀质点，因此和数∑i i m r Δ2越接近于J ，所以当0→λ时，和数∑i i m r Δ2的极限值便完全等于J 了，即∑→=ii i m r J Δlim 20λ按照⾼等数学，上式中右式就是定积分?Vm r d 2，于是得 ??==VV V r m r J d d 22ρ这就是(5－9)式如果刚体的质量连续分布在⼀⾯上或⼀细线上，则需引⽤质量⾯密度或线密度概念，计算转动惯量公式与上式相同，只需将体密度换为⾯密度或线密度，将体积元换为⾯积元或线元即可．参看例题5－2及5－3．在国际单位制中转动惯量单位为千克平⽅⽶，符号为kg·m 2，转动惯量的量纲为ML 2．⼏何形状简单的刚体，其转动惯量可⽤积分法算出，见表5－1．表5－1 质量分布均匀的⼏种刚体的转动惯量a) 细棒(转轴通过中⼼与棒垂直) b) 细棒(转轴过棒的⼀端与棒垂直) 2121ml J = 231ml J =c) 圆柱体(转轴沿⼏何轴) d) 球体(转轴沿球的任⼀直径)221mR J = 252mR J =e) 薄圆筒(转轴沿⼏何轴) f ) 圆筒(转轴沿⼏何轴)2mR J = )(212221R R m J +=例题5－2 求质量为m 、板长为l 的均匀细棒对于通过棒的中点⽽与棒垂直的轴的转动惯量．解在棒上取与轴OO ’距离为x 、长为d x 的⼀⼩段来考虑(图5－7)，这⼀⼩段的质量为d m = λd x ．其中λ为棒的质量线密度．根据转动惯量定义，棒对轴OO ’的转动惯量为32222121d d l x x m x J l l -λλ===?? 棒的质量线密度lm =λ，代⼊上式得 2121ml J = 例题5－3 求质量为m 、半径为r 的匀质圆盘对于通过圆⼼⽽垂直于圆平⾯的轴的转动惯量．解在圆盘上取⼀半径为x ，宽为d x 的圆环来考虑(图5－8)，这圆环的⾯积为2πx d x ，质量为d m = 2πσx d x ，其中σ为圆盘的质量⾯密度．根据转动惯量定义，圆盘对通过圆⼼O ⽽垂直圆平⾯的轴的转动惯量为4032π21d π2d r x x m x J r σσ===?? 圆盘的质量⾯密度2πrm =σ，代⼊上式得 221mr J = 上式对匀质圆柱体对于它的⼏何轴的转动惯量亦适⽤．决定刚体的转动惯量J 的⼤⼩因素有三：①刚体的质量；②刚体质量分布情况；③刚体的转轴的位置．例如质量均匀、⼤⼩相同的铅球和铜球，由于铅球质量较⼤，所以对于位置相同的轴来说，铅球的J 较⼤．⼜如有两个圆柱体，外径相等，质量也相等，但其中⼀个为实⼼，另⼀个为空⼼(质量分布不同)，则对于它们的⼏何轴来说空⼼的圆柱体的J 较⼤．⼜如同⼀根棒对于通过棒的中⼼与棒垂直的轴与对于通过棒的⼀端与棒垂直的轴的J 不相同．例题 5－4 在半径分别为R 1、R 2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各悬挂质量为m 1、m 2的物体，如图5－9所⽰．若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，滑轮的转动惯量为J ，求滑轮的⾓加速度α及各绳中张⼒F T1、F T2．解分析各物体的受⼒情况，如图5－9右图，对于滑轮，重⼒和轴的⽀承⼒通过轴⼼，其⼒矩为零．由于是轻绳，应有F T1 = F’T1，F T2 = F ’T2．先假设物体运动⽅向为：m 1的加速度a 1向下，m 2的加速度a 2向上，滑轮沿顺时针⽅向转动．选取物体运动⽅向为坐标轴正向，根据⽜顿第⼆定律和转动定律可得111T 1a m F g m =- 2222T a m g m F =- αJ R F R F =-22T 11T 滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度：αα2211 ,R a R a == 解以上各式得 g R m R m J R m R m 2222112211++-=α g m R m R m J R R m R m J R g m F 1222211212222111T )(???? ?++++=-=α图5－7 图5－8图5－9gm R m R m J R R m R m J R g m F 2222211211211222T )(???? ?++++=+=α讨论：1) 当m 1gR 1 > m 2gR 2 时，物体运动⽅向与原假定⽅向相同．2) 当m 1gR 1 = m 2gR 2 时，α = 0，滑轮作匀速转动或静⽌，运动状态或⽅向由初时刻条件决定．3) 当m 1gR 1 < m 2gR 2时，物体运动⽅向与原假定⽅向相反，即m 1向上，m 2向下，滑轮沿反时针⽅向转动．§5－3 转动动能⼒矩的功⼀、转动动能如图5－10，设刚体绕通过O 点⽽垂直于图平⾯的定轴转动，⾓速度为ω．当刚体转动时，刚体中各质点都绕定轴作圆周运动，因⽽都有动能．刚体的转动动能等于刚体中所有质点的动能之和．设各质点的质量为Δm 1，Δm 2，Δm 3，…，与转轴的距离为r 1，r 2，r 3，…，线速度为v 1 = r 1ω，v 2 = r 2ω，v 3 = r 3ω，…，则刚体的转动动能为22223322222211k Δ21 Δ21Δ21Δ21ωωωω??=+++=∑i i i r m r m r m r m E 但J r m ii i =∑2Δ为刚体的转动惯量，故E k ⼜可写为2k 21ωJ E =（5－10）即刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与⾓速度的平⽅的乘积的⼀半，(5－10)式与平动动能公式2k 21v m E =形式相似，⽽且量纲也相同．⼆、⼒矩的功如图5－11，设绕定轴转动的刚体在外⼒F 作⽤下有⼀⾓位移d θ，⼒F 在垂直于转轴的平⾯上，从转轴到⼒的作⽤点的径⽮为r ，则⼒的作⽤点的位移d r 的⼤⼩为d s = r d θ．根据定义，⼒F 在位移d r 中的功为d W = F · d r = F cos α d s因α与φ互为余⾓，cos α = sin φ，故上式可写为d W = Fr sin φd θ⼜由(5－2)式Fr sin φ = M 为⼒F 对转轴的⼒矩，故⼜可写为图5－10 图5－11d W = M d θ（5－11）这就是⼒矩M 在微⼩⾓位移d θ中的功的公式．当刚体在⼒矩M 作⽤下产⽣⼀有限⾓位移θ时，⼒矩的功等于(5－11)式的积分：=θθ0d M W （5－12）如果⼒矩M 为常量，则θθθθθM M M W ===??00d d （5－13）如果刚体同时受到⼏个⼒作⽤，则(5－11)及(5－12)式中M 应理解为这⼏个⼒的合⼒矩．当外⼒矩对刚体作功时，刚体的转动动能就要变化，下⾯我们来求⼒矩的功与刚体转动动能的变化之间的关系．由转动定律tJ J M d d ωα== 其中M 为作⽤于刚体的合外⼒矩，在d t 时间内刚体的⾓位移为d θ = ωd t ，合外⼒矩的功为ωωωωθd d d d d d J t t J M W =??== 当刚体的⾓速度由ω1变为ω2时，合外⼒矩对刚体所作的功等于上式的积分，即21222121d 21ωωωωωωJ J J W -==? （5－14）上式指出，合外⼒矩对刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量．例题5－5 ⼀长为l 质量为m 的均匀细长杆OA ，绕通过其⼀端点O 的⽔平轴在铅垂⾯内⾃由摆动．已知另⼀端点A 过最低点时的速率为v 0，杆对通过端点O ⽽垂直于杆长的轴的转动惯量231ml J =，若空⽓阻⼒及轴上的摩擦⼒都可以忽略不计，求杆摆动时A 点升⾼的最⼤⾼度h ．解作⽤于杆的⼒有重⼒m g 及轴对杆的⽀承⼒F N ，⽀承⼒F N 通过O 点，其⼒矩为零．重⼒m g 作⽤于杆的质⼼C ，⼒矩为θsin 2l mg ，当杆沿升⾼⽅向有⾓位移d θ时，由于重⼒矩与⾓位移转向相反．其元功为θθd sin 2d l mg W -= 设θm 为杆的最⼤⾓位移，当杆从平衡位置转到最⼤⾓位移θm 位置时，重⼒矩所作的总功为)cos 1(2d sin 2d m 0m θθθθ--=-==??l mg l mg W W 由图5－12看出，h = l (1-cos θm )，代⼊上式得图5－12mgh W 21-= 杆在平衡位置时的⾓速度l00v =ω，在⾓位移最⼤时的⾓速度0m =ω．由于合外⼒矩的功等于转动动能的增量，故得 20220220613121 21021v v m l m l J m gh W -=??-=-=-=ω由此得 gh 320v = §5－4 绕定轴转动的刚体的⾓动量和⾓动量守恒定律当刚体以⾓速度ω绕定轴转动时，刚体中各质点都绕定轴作圆周运动．设质点P i 的质量为Δm i ，与轴的距离为r i ，线速度的⼤⼩为v i ，则质点P i 的动量的⼤⼩为Δm i v i (图5－13)，P i 对转轴的⾓动量为Δm i v i r i ．刚体中所有质点的⾓动量之和称为刚体对转轴的⾓动量，⽤L 表⽰，则ωωωJ r m r m r m L i i i i i i i i i i =??===∑∑∑22ΔΔΔv这样，刚体的转动定律可写为tL t J t JM d d d )d(d d ===ωω即 tJ t L M d )d(d d ω== （5－15）可以证明：(5－15)式不但适⽤于绕定轴转动的刚体，⽽且适⽤于绕定轴转动的任意物体或物体系．所不同的是，对于绕定轴转动的刚体来说，转动惯量J 是不变的，但对于绕定轴转动的任意物体或物体系来说，J 是可以变化的．在特殊情形下，如果作⽤于转动物体的合外⼒矩M = 0，则由(5－15)式，我们有L = J ω = 常量（5－16）即当物体所受的合外⼒矩等于零时，物体的⾓动量J ω保持不变，这⼀结论称为⾓动量守恒定律．⾓动量守恒有两种情形：① J 不变的情形，由(5－16)式得知ω亦不变，地球的⾃转差不多是这种情形；② J 是变化的情形，由(5－16)式得知，当J 减⼩时，ω增⼤；当J 增⼤时，ω减⼩．例如⼀⼈坐在可以绕铅直轴⾃由转动的凳⼦上，⼿中握着两个很重的哑铃．当他两臂伸开时，使凳⼦和⼈⼀起转动起来，假设轴承处的摩擦很⼩可以忽略不计，则凳⼦和⼈没有受到外⼒矩作⽤，其⾓动量J ω保持不变(图5－14a)．当⼈把两臂收缩时，转动惯量J 减⼩，⾓速度ω就增⼤，即是说⽐两臂伸开时要转得快些(图5－14b)．⼜如跳⽔运动员在空中翻筋⽃图5－13时，先把两臂伸直，当他从跳板跳起时使他⾃⼰以某⼀⾓速度绕通过腰部的⼀⽔平轴线转动，在空中时使臂和腿尽量蜷缩起来，以减⼩转动惯量，因⽽⾓速度增⼤，在空中迅速翻转，当他快要接近⽔⾯时，再伸直两臂和腿以增⼤转动惯量，减⼩⾓速度，以便竖直地进⼊⽔中．⾓动量守恒定律，与前⾯介绍过的动量守恒定律和能量守恒定律⼀样，是⾃然界中的普遍规律之⼀，不但适⽤于宏观物体的机械运动，也适⽤于原⼦、原⼦核和基本粒⼦等微观粒⼦的运动．例题5－6 ⼀⽔平放置的圆盘形转台．质量为m ’，半径为R ，可绕通过中⼼的竖直轴转动，摩擦阻⼒可以忽略不计．有⼀质量为m 的⼈站在台上距转轴为2R 处．起初⼈和转台⼀起以⾓速度ω1转动，当这⼈⾛到台边后，求⼈和转台⼀起转动的⾓速度ω2．解以⼈和转台为⼀系统，该系统没有受到外⼒矩作⽤，因此⾓动量守恒：J 1ω1 = J 2ω2 =常量即 22212221421ωω??? ??+'=???? ?+'mR R m R m R m 由此得 12422ωωmm m m +'+'= 思考题5－1 对于定轴转动刚体上的不同点来说，下⾯的物理量中哪些具有相同的值，哪些具有不同的值？线速度、法向加速度、切向加速度、⾓位移、⾓速度、⾓加速度．5－2 飞轮转动时，在任意选取的⾓位移间隔Δθ内，⾓速度的增量Δω相等，此飞轮是在作匀加速转动吗?5－3 作⽤在刚体上的合外⼒为F ，合外⼒矩为M ，举例说明在什么情况下(1) F ≠ 0⽽M = 0；(2) F = 0⽽M ≠ 0；(3) F = 0且M = 0．5－4 当刚体受到若⼲外⼒作⽤时，能否⽤平⾏四边形法先求它们的合⼒，再求合⼒的⼒矩？其结果是否等于各外⼒的⼒矩之和？5－5 在磁带录⾳机中，驱动装置将磁带匀速拉过读写磁头，于是磁带被拉出的⼀端卷带轴上剩余的磁带半径逐渐减⼩，作⽤在该卷带轴上的⼒矩随时间如何变化？该卷带轴的⾓速度随时间如何变化？5－6 如果要设计⼀个存储能量的飞盘，在质量和半径相同的情况下，应该选取质量均匀分布的圆盘形的还是质量集中在边缘的圆环形的呢？当⾓速度相同时，⼆者的转动动能之⽐为多少？图5－145－7 ⼏何形状完全相同的铁圆盘与铝圆盘，哪⼀个绕中⼼对称轴的转动惯量⼤？要使它们由静⽌开始绕轴转动并获得相同的⾓速度，对哪⼀个圆盘外⼒矩要作更多的功？5－8 恒星起源于缓慢旋转的⽓团，在重⼒作⽤下，这些⽓团的体积逐渐减⼩，在恒星尺度收缩的过程中，它的⾓速度如何变化？习题5－1 ⼀个螺丝每厘⽶长度上有20条螺纹，⽤电动螺丝起⼦驱动，在12.8s 内推进了1.37cm ，求螺丝的平均⾓速度．5－2 转盘半径为10.0cm ，以⾓加速度10.0 rad/s 2由静⽌开始转动，当t = 5.00s 时，求(1) 转盘的⾓速度；(2) 转盘边缘的切向加速度和法向加速度．5－3 ⼀个匀质圆盘由静⽌开始以恒定⾓加速度绕过中⼼⽽垂直于盘⾯的定轴转动．在某⼀时刻，转速为10.0 r/s ，再转60转后，转速变为15.0 r/s ，试计算：(1)⾓加速度；(2)由静⽌达到10.0 r/s 所需时间；(3)由静⽌到10.0 r/s 时圆盘所转的圈数．5－4 如图所⽰，半径r 1 = 30.0 cm 的A 轮通过⽪带被半径为r 2 = 75.0 cm 的B 轮带动，B 轮以π rad/s 的匀⾓加速度由静⽌起动，轮与⽪带间⽆滑动发⽣，试求A 轮⾓速度达到3.00×103 r/min 所需要的时间．5－5 在边长为b 的正⽅形的顶点上，分别有质量为m 的四个质点，求此系统绕下列转轴的转动惯量：(1)通过其中⼀质点A ，平⾏于对⾓线BD 的转轴，如图所⽰．(2)通过A 垂直于质点所在平⾯的转轴．5－6 求半径为R ，质量为m 的均匀半圆环相对于图中所⽰轴线的转动惯量．5－7 代换汽车引擎盖密封垫时要求对螺栓的扭矩达到90.0N·m(扭矩过⼤会使密封垫失效)，如果使⽤长度为45.0 cm 的扳⼿，如图所⽰，在垂直于扳⼿⼿柄⽅向⽤多⼤的作⽤⼒可以完成这⼀⼯作？5－8 ⽔井上提⽔的辘轳为圆柱形，半径为0.200m ，质量为5.00kg ，辘轳缠绕的轻绳上悬挂的⽔桶质量为3.00kg ，如图所⽰．辘轳失去控制使⽔桶⽆初速地下落，在2.00s 后达到井下⽔⾯，忽略辘轳轴上的摩擦阻⼒，求(1) ⽔桶下落的加速度；(2) 井⼝到⽔⾯的深度；(3) 辘轳的⾓加速度．题5－4图题5－5图题5－6图题5－7图5－9 圆盘形飞轮直径为1.25m ，质量为80.0kg ，飞轮上附着的滑轮半径为0.230m ，质量可以忽略，电动机通过环绕滑轮的⽪带驱动飞轮顺时针旋转，如图所⽰．当飞轮的⾓加速度为1.67rad/s 2时，上段⽪带中的张⼒为135N ，忽略轴上的摩擦阻⼒，求下段⽪带中的张⼒．5－10 制陶旋盘半径为0.500m ，转动惯量为12.0kg·m 2，以转速50.0r/min 旋转．陶⼯⽤湿抹布沿径向施加70.0N 的⼒按住旋盘的边缘，使之在6.00s 内制动，求旋盘的边缘和湿抹布之间的有效滑动摩擦系数．5－11 ⼀轻绳跨过滑轮悬有质量不等的⼆物体A 、B ，如图所⽰，滑轮半径为20.0 cm ，转动惯量等于50.0 kg·m 2，滑轮与轴间的摩擦⼒矩为98.1N·m ，绳与滑轮间⽆相对滑动，若滑轮的⾓加速度为2.36 rad/s 2，求滑轮两边绳中张⼒之差．5－12 如图所⽰的系统中，m 1 = 50.0 kg ，m 2 = 40.0 kg ，圆盘形滑轮质量m = 16.0 kg ，半径R = 0.100 m ，若斜⾯是光滑的，倾⾓为30°，绳与滑轮间⽆相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，(1)求绳中张⼒；(2)运动开始时，m 1距地⾯⾼度为1.00 m ，需多少时间m 1到达地⾯？5－13 飞轮质量为60.0 kg ，半径为0.250 m ，当转速为1.00×103 r/min 时，要在5.00 s 内令其制动，求制动⼒F ，设闸⽡与飞轮间摩擦系数µ = 0.400，飞轮的转动惯量可按匀质圆题5－8图题5－9图题5－11图题5－12图题5－13图题5－15图盘计算，闸杆尺⼨如图所⽰．5－14 ⼀个风扇转速为900 r/min ，当马达关闭后，风扇均匀减速，⽌动前它转过了75转，在此过程中制动⼒作的功为44.4 J ，求风扇的转动惯量和摩擦⼒矩．5－15 如图所⽰，质量为24.0 kg 的⿎形轮，可绕⽔平轴转动，⼀绳缠绕于轮上，另⼀端通过质量为5.00 kg 的圆盘形滑轮悬有10.0 kg 的物体，当重物由静⽌开始下降了0.500 m 时，求：(1)物体的速度；(2)绳中张⼒．设绳与滑轮间⽆相对滑动．5－16 蒸汽机的圆盘形飞轮质量为200 kg ，半径为1.00 m ，当飞轮转速为120 r/min 时关闭蒸汽阀门，若飞轮在5.00 min 内停下来，求在此期间飞轮轴上的平均摩擦⼒矩及此⼒矩所作的功．5－17 长为85.0 cm 的均匀细杆，放在倾⾓为45°的光滑斜⾯上，可以绕过上端点的轴在斜⾯上转动，如图所⽰，要使此杆实现绕轴转动⼀周，⾄少应给予它的下端多⼤的初速度？ 5－18 如图所⽰，滑轮转动惯量为0.0100 kg·m 2，半径为7.00 cm ，物体质量为5.00 kg ，由⼀绳与劲度系数k = 200 N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间⽆相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直弹簧⽆伸长时，使物体由静⽌⽽下落的最⼤距离；(2)物体速度达最⼤值的位置及最⼤速率． 5－19 圆盘形飞轮A 质量为m ，半径为r ，最初以⾓速度ω0转动，与A 共轴的圆盘形飞轮B 质量为4m ，半径为2r ，最初静⽌，如图所⽰，两飞轮啮合后，以同⼀⾓速度ω转动，求ω及啮合过程中机械能的损失． 5－20 ⼀⼈站在⼀匀质圆板状⽔平转台的边缘，转台的轴承处的摩擦可忽略不计，⼈的质量为m ’，转台的质量为10 m ’，半径为R ．最初整个系统是静⽌的，这⼈把⼀质量为m 的⽯⼦⽔平地沿转台的边缘的切线⽅向投出，⽯⼦的速率为v （相对于地⾯）．求⽯⼦投出后转台的⾓速度与⼈的线速度．5－21 ⼀⼈站⽴在转台上，两臂平举，两⼿各握⼀个m = 4.00 kg 的哑铃，哑铃距转台轴r 0 = 0.800 m ，起初，转台以ω0 = 2π rad/s 的⾓速度转动，然后此⼈放下两臂，使哑铃与轴相距r = 0.200 m ，设⼈与转台的转动惯量不变，且J = 5.00 kg·m 2，转台与轴间摩擦忽略不计，求转台⾓速度变为多⼤？整个系统的动能改变了多少？5－22 证明刚体中任意两质点相互作⽤⼒所作之功的和为零．如果绕定轴转动的刚体除受到轴的⽀承⼒外仅受重⼒作⽤，试证明它的机械能守恒．5－23 ⼀块长L = 0.500 m ，质量为m ＝3.00 kg 的均匀薄⽊板竖直悬挂，可绕通过其上端的⽔平轴⽆摩擦地⾃由转动，质量m = 0.100 kg 的球以⽔平速度v 0 = 50.0 m/s 击中⽊板中题5－17图题5－18图题5－19图⼼后⼜以速度v = 10.0 m/s 反弹回去，求⽊板摆动可达到的最⼤⾓度．⽊板对于通过其上端轴的转动惯量为231L m J '= ． 5－24 半径为R 质量为m '的匀质圆盘⽔平放置，可绕通过圆盘中⼼的竖直轴转动．圆盘边缘及R /2处设置了两条圆形轨道，质量都为m 的两个玩具⼩车分别沿⼆轨道反向运⾏，相对于圆盘的线速度值同为v ．若圆盘最初静⽌，求⼆⼩车开始转动后圆盘的⾓速度．5－25 花样滑冰运动员起初伸展⼿臂以转速1.50r/s 旋转，然后他收拢⼿臂紧靠⾝体，使他的转动惯量减少到原来的3/4，求该运动员此时的转速．5－26 旋转⽊马转盘半径为2.00m ，质量为25.0kg ，假设可视为圆盘形刚体，转速为0.200r/ s ，⼀个质量为80.0kg 的⼈站在转盘边缘．当此⼈⾛到距转轴1.00m 处时，求转盘的⾓速度和⼈和转盘组成的系统转动动能的改变量．。