空间中垂直关系的判定与性质教案

课题：空间中直线、平面垂直的性质（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本节课为人教版A版必修2第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》第3课时，主要内容为直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理，是一节性质的新授课。

新课标教材对“立体几何初步”的内容设计，“垂直”在描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要的作用，集中体现为：空间中垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。

教材将本节内容置于“平行关系”的判定与性质以及“垂直关系”的判定之后，目的是使学生在明确“什么是图形位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想，学生经历直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，获得“垂直关系”的性质。

本节中，几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养，增进学生对空间几何本质的理解，体会蕴含在其中的数学思想方法。

基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：类比直线、平面“平行关系”的性质，探究直线与平面垂直的性质定理。

2．学生学情诊断经过前面的学习，学生已具备一定的空间想象力与思维能力，能准确使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系，已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及“垂直关系”的判定方法。

然而，在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系尚不明确；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来。

基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：直线与平面垂直性质定理的探究和论证。

3．教学目标设置（1）通过生活实例和类比推理，学生能从定义出发探究性质，观察、论证得到线面垂直性质定理，能独立探究发现面面垂直的性质定理；（2）通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，图形、符号语言的表达与交流，发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力，培养学生的数学核心素养；（3）通过将现实空间问题抽象为数学图形，自主探究的实践与展示，帮助学生认识现实空间，激发学生的创新精神和应用意识。

《直线与平面垂直的判定》教学设计使用教材：人教社B版教材必修2【教学目标】1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；【教学重点】1.直线与平面垂直的定义；2.直线与平面垂直的判定定理．【教学难点】1.直线与平面垂直的判定定理的探究;2.定义和定理中转化思想的挖掘．【教学方式】启发探究式【教学手段】计算机、自制课件、实物模型【教学过程】一、创设情境，引出新知1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。

然后引出：问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．3.线面垂直定义的辨析（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。

（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。

（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.二、群策群力，探知循规任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.图形语言：符号语言：，，，，．设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知，再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．三、迁移拓展，学以致用1.基础练习，规范格式(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？(2)变式：已知：，, 求证：．分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，根据直线与平面垂直的定义知．又因为，所以，．又因为，，，是两条相交直线，所以．方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．2.深化认识，提升能力如图，在直四棱柱ABCD—A?B?C?D?中，已知底面ABCD为正方形，(1)试判断直线BD与平面A?AC是否垂直？(2)试判断直线BD与A?C是否垂直？解析：（2）由（1）的结论知：BD与A?C垂直.变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。

βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。

2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。

第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCD ­EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心．求：（1）BE 与CG 所成的角；（2）FO 与BD 所成的角．【解】（1）如图，因为CG ∥BF ．所以∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°．（2）连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF ∥BD ，所以∠HFO （或其补角）为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P 是平面EFGH 的中心，其他条件不变，求OP 和CD 所成的角．解：连接EG ，HF ，则P 为HF 的中点，连接AF ，AH ，OP ∥AF ，又CD ∥AB ，所以∠BAF （或其补角）为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39．2°，求AM 和BN 所成的角．解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF═∥ CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥ NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM （或其补角）是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG （或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥ 12CD ，又AE ═∥ 12CD ，所以GF ═∥ AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b 平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC 的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言Error!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN ⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1．因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1．又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ．又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C ．（2）如图，连接B 1A ，AD 1．因为B 1C 1═∥ AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1，因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1．又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1．由（1）知A 1C ⊥B 1D 1．同理可得A 1C ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1．所以A 1C ∥MN ． [规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l ⊥α于A ，AP ⊥l ，则AP ⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ­ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：选A ．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°．2．已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BDD ．PA ⊥BD解析：选C ．PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥BD ，D 正确；Error!⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．3．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB 和B 1C 1都垂直的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：选A ．显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB ．又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1．又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1．同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1．又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4．如图，已知AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AE ⊥BC 交BC 于点E ，D 是FG 的中点，AF ＝AG ，EF ＝EG ．求证：BC ∥FG ．证明：连接DE ．因为AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，所以AD ⊥平面ABC ．又BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角α­AB­β或二面角α­l­β或二面角P­AB­Q或二面角P­l­Q．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：Error!⇒∠AOB是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直Error!⇒α⊥β名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言Error!⇒a ⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1­BD ­A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 的中点，因为A 1D ＝A 1B ，所以在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD ．又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1­BD ­A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22．所以tan ∠A 1OA ＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CD ，C 1D 1的中点，二面角D ­AA 1­E 与二面角B 1­AB ­C 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C （2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB 为二面角α­a ­β的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A­BC ­D 的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角α­l ­β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22a ，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A ­BD ­C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A ­BD ­C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ­ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ． [反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2 D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P­AB­C的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生将能够：1.掌握空间直线和平面的基本概念和相关性质；2.理解垂直关系的定义和特性；3.熟练掌握垂直关系的判定方法，并能在实际问题中运用；4.培养学生的空间想象和几何证明能力。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下三个部分：1. 空间直线和平面的基本概念和相关性质1.直线的定义及其特点；2.平面的定义及其特点；3.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定方法；4.直线和平面的交、垂足、投影等概念。

2. 垂直关系的定义和特性1.垂直关系的定义；2.垂直关系的性质；3.正交坐标系的建立及其应用。

3. 垂直关系的判定方法和实际应用1.垂直关系的判定方法；2.垂线的性质；3.垂直关系在直线、平面交角和空间角中的应用；4.垂足、投影的实际应用。

三、教学过程1. 导入（15分钟）介绍本课程的教学目标和内容，并通过展示直线、平面和正交坐标系等教具，激发学生的学习兴趣和想象力。

2. 知识点讲解（80分钟）根据教学大纲，系统地讲解课程中的相关知识点，包括各种概念、定理、性质、判定方法和应用等，同时通过具体的几何图形和实际问题进行讲解和解题指导。

3. 课堂练习（50分钟）组织学生进行课堂练习，加强对知识点的理解和掌握，同时培养学生的几何想象和证明能力。

4. 课后作业（15分钟）布置课后作业，要求学生巩固和扩展课堂所学知识点，同时要求学生归纳总结本课程的学习内容。

四、教学方法本课程采用多种教学方法相结合，包括讲授法、演示法、问答式教学、小组讨论和课堂练习等，旨在提高学生的学习兴趣和参与度，加强知识点的记忆和理解，培养学生的科学思维和解决问题的能力。

五、教学评估本课程采用多项评估方法，包括课堂表现评估、课堂练习成绩评估和课后作业评估等，旨在全面评估学生对本课程所学内容的掌握和应用能力。

同时，也为调整和优化教学过程提供参考和依据。

空间中的平行与垂直教案第一章：认识平行与垂直1.1 学习目标：让学生理解平行与垂直的概念，并能识别和判断空间中的平行与垂直关系。

1.2 教学内容：平行：两条直线在同一平面内，永不相交的现象称为平行。

垂直：两条直线相交成直角的关系称为垂直。

1.3 教学活动：教师通过PPT展示图片，引导学生观察并识别平行与垂直的关系。

学生分组讨论，分享各自对平行与垂直的理解。

教师进行讲解，明确平行与垂直的定义和特点。

1.4 练习与巩固：教师设计一些练习题，让学生判断给定的直线关系是平行还是垂直。

学生独立完成练习题，教师进行解答和反馈。

第二章：平行与垂直的性质与判定2.1 学习目标：让学生掌握平行与垂直的性质与判定方法，并能够运用到实际问题中。

2.2 教学内容：平行性质：同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

垂直性质：如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。

2.3 教学活动：教师通过PPT展示图片和实例，引导学生理解和掌握平行与垂直的性质。

学生进行小组讨论，通过实际操作验证平行与垂直的性质。

2.4 练习与巩固：教师设计一些练习题，让学生运用平行与垂直的性质进行解答。

学生独立完成练习题，教师进行解答和反馈。

第三章：平行与垂直的应用3.1 学习目标：让学生能够运用平行与垂直的知识解决实际问题，提高空间想象力。

3.2 教学内容：应用场景：在日常生活中，平行与垂直关系广泛应用于建筑设计、绘画、交通规划等领域。

3.3 教学活动：教师展示一些实际问题，如建筑设计中的平行与垂直应用，引导学生思考和解答。

学生分组讨论，分享各自的应用实例和解决方案。

教师进行讲解，强调平行与垂直在实际问题中的重要性。

3.4 练习与巩固：教师设计一些应用题，让学生运用平行与垂直的知识进行解答。

学生独立完成练习题，教师进行解答和反馈。

第四章：平行与垂直的综合练习4.1 学习目标：让学生综合运用平行与垂直的知识，提高解决问题的能力。

1.6空间中的垂直关系（优质课）教案教学目标：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．教学过程：一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.解析：由于D 是AC 中点，SA ＝SC ，∴SD 是△SAC 的高，连接BD ，可证△SDB ≌△SDA .由AB ＝BC ，则Rt △ABC 是等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可得证． 答案：(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点， ∴SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，连接BD ，则AD ＝DC ＝BD ，又∵SB ＝SA ，SD ＝SD ， ∴△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥面ABC .(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 中点，∴BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD .于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面SAC . 练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， P A ＝AD .求证：EF ⊥平面PCD .答案：如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH12CD ， ∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,OP D 1C 1B 1A 1D CA由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥ 又∵AEEC E = ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D .①E ABCD∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D .②由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二 平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BDCE E = ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC . 答案：如图所示：(1)取AC 的中点D ，连接PD 、BD ， ∵PA ＝PC ，∴PD ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴PD ⊥平面ABC ，D 为垂足． ∵PA ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ，∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故AB ⊥BC . (2)∵PA ＝PC ，AB ＝BC ，PB ＝PB ， ∴△ABP ≌△CBP .ABCDE∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交答案：A5．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．a 在平面α内D ．不确定 答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D13. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案：215. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________________时，平面MBD ⊥平面PCD .(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM ⊥PC （其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ；(3)求证：平面DEA ⊥平面ECA .答案：(1)取EC 的中点F ，连接DF .∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF .∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。

空间中的垂直关系教案空间中的垂直关系一. 教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理： .② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（a⊥α，b⊥α&#8658;a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（简称：面面垂直，线面垂直。

）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

8.5空间中的垂直关系1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误． [试一试]1．“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M 垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．【解析】根据直线与平面垂直的定义知“直线a 与平面M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．【答案】必要不充分2．(2014·盐城摸底)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；(2)若m⊥α，n∥m，则n⊥α；(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.其中真命题是________(填序号)．【解析】对于(1)，n⊂α，n与α相交，n⊥α都有可能；对于(3)，n与m异面，n∥m都有可能；对于(4)，m与n相交，平行，异面都有可能．【答案】(2)3．(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号为________．【解析】由判定定理可知(1)正确；(2)中没有明确这两条直线是否相交，故(2)错误；由等角定理可知(3)正确；(4)中若与交线不垂直的直线与另一个平面垂直，可在该平面内作一条与交线垂直的线，则该直线必定垂直于另一个平面，这样与交线垂直的直线和不垂直的直线相互平行，这在同一平面内相互矛盾，故(4)正确．【答案】(1)(3)(4)1．转化与化归思想——垂直关系2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法：(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. [练一练]1．(2014·南通期末)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.给出下列命题： (1)α∥β⇒l ⊥m ；(2)α⊥β⇒l ∥m ；(3)l ∥m ⇒α⊥β；(4)l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)．【解析】(1)正确；(2)中l 与m 还可以是异面或相交的位置关系，(2)不正确；(3)正确；(4)中α与β可能相交，(4)不正确．【答案】(1)(3)2．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号)【解析】若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.故填②④. 【答案】②④考点一垂直关系的基本问题1．(2014·，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．【解析】依题意，由l ⊥β，l ⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l ⊂α不能推出l ⊥β.因此“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．【答案】充分不必要2．(2014·合肥模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α 其中正确的命题是________(填写序号)．【解析】对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．【答案】①③3．如图，P A ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．【解析】①AE ⊂平面P AC ，BC ⊥AC ，BC ⊥P A ⇒AE ⊥BC ，故①正确，②AE ⊥PB ，AF ⊥PB ⇒EF ⊥PB ，故②正确，③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．【答案】①②④[备课札记] [类题通法]解决此类问题常用的方法有(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．考点二线面垂直的判定与性质[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P ­BDF 的体积． [解] (1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形． 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC . 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P ­BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P ­BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F ­BCD 的高为18P A ，故V F­BCD＝13·S△BCD·18P A＝13×3×18×23＝14.所以V P­BDF＝V P­BCD－V F­BCD＝2－14＝74.[备课札记][类题通法]1．解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．2．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．[针对训练]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：直线AE⊥直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.【解】(1)证明：连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)所示G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DF A1，即AE⊥平面DFG.考点三面面垂直的判定与性质[典例](2014·连云港期末)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点，E为BD的中点，F在AC1上，且AC1＝4AF.求证：(1)平面ADF⊥平面BCC1B1；(2)EF∥平面ABB1A1.[证明](1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1.(2)连结CF并延长交AA1于点G，连结GB.因为AC1＝4AF，AA1∥CC1，所以CF＝3FG.因为D为BC的中点，E为BD的中点，所以CE＝3EB，所以EF∥GB.又EF⊄平面ABB1A1，GB⊂平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1.[备课札记][类题通法]1．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．2．由平面和平面垂直的判定定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．3．平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．[针对训练](2013·徐州、宿迁三检)如图，AB，CD均为圆O的直径，CE垂直圆O所在的平面，BF∥CE.求证：(1)平面BCEF⊥平面ACE；(2)直线DF∥平面ACE.证明：(1)因为CE垂直圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以CE⊥BC.因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC.因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BC⊥平面ACE.因为BC⊂平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE.(2)由(1)知AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，所以BD⊥BC.因为AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD.因为BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以BD∥平面ACE.因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE.因为BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF，所以平面BDF∥平面ACE.因为DF⊂平面BDF，所以直线DF∥平面ACE.考点四平行与垂直的综合问题空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题角度有：1平行与垂直关系的证明.2探索性问题中的平行与垂直关系.3折叠问题中的平行与垂直关系.角度一平行与垂直关系的证明1．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：CF⊥B1E.证明：(1)如图，连结BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，∴EF为△DD1B的中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.(2)在等腰直角三角形BCD中，∵F为BD的中点，∴CF⊥BD，①在正方体ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∵CF⊂平面ABCD，∴DD1⊥CF，②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，∴CF⊥平面BDD1B1，而B1E⊂平面BDD1B1，∴CF⊥B1E.角度二探索性问题中的平行与垂直关系2.如图，在四棱锥S­ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点，M为BC的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3)若SA＝SD，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．【解】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2)证明：连结PM，QM.因为Q，P，M分别为SB，AD，BC的中点．所以QM∥SC，PM∥DC.因为QM∩PM＝M，QM，PM⊂平面PQM，SC∩DC＝C，所以平面PQM∥平面SCD，又PQ⊂平面PQM，所以PQ∥平面SCD.(3)存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD.连结PC，DM交于点O，连结SP.因为SA＝SD，P为AD的中点，所以SP⊥AD.因为平面SAD⊥平面ABCD，所以SP⊥平面ABCD，SP⊥PC.在△SPC中，过O点作NO⊥PC交SC于点N，此时N为SC的中点则SP∥NO，则NO⊥平面ABCD，因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD，所以存在满足条件的点N.角度三折叠问题中的平行与垂直关系3．如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝2，EF＝2＋2，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥E­ABCD(E，F重合)．(1)求证：BE⊥DE；(2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【解】(1)证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB.又∵AB∩AE＝A，∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE.由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝2，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE.又∵AE∩AD＝A，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.(2)取EC的中点G，BE的中点P，连结PM，PG，MG.则MP∥AE，GP∥CB∥DA，∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE.∵MP∩GP＝P，∴平面MPG∥平面DAE.∵MG⊂平面MPG，∴MG∥平面DAE，即存在点N与G重合满足条件．[备课札记][类题通法]平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系．[课堂练通考点]1．(2014·扬州期末)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：(1)若a⊥b，a⊥α，则b∥α；(2)若a⊥β，α⊥β，则a∥α；(3)若a∥α，a⊥β，则α⊥β；(4)若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号是________．【解析】(1)中，b可能在平面α内；(2)中，a可能在平面α内；(3)中，因为a∥α，a ⊥β，所以α内必存在一条直线b与a平行，从而得到b⊥β，故(3)正确；(4)中，因为a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b⊂α，故α内必有一条直线c与b平行，又b⊥β，所以c⊥β，故α⊥β，所以(4)正确．【答案】(3)(4)2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是________．【解析】∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.【答案】n∥α3．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若a∥α且b∥α，则a∥b；(2)若a⊥α且a⊥β，则α∥β；(3)若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；(4)若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．【解析】(1)中a与b可能相交或异面，故不正确．(2)垂直于同一直线的两平面平行，正确．(3)中存在γ，使得γ与α，β都垂直．(4)中只需直线l⊥α且lβ就可以．【答案】(2)(3)(4)4．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：(1)AM∥平面BDC1；(2)DC1⊥平面BDC.证明：(1)取BC 1的中点N ，连结DN ，MN ，则MN 綊12CC 1. 又AD 綊12CC 1， ∴AD ∥MN ，且AD ＝MN ，∴四边形ADNM 为平行四边形， ∴DN ∥AM ，又DN ⊂平面BDC 1，AM ⊄平面BDC 1， ∴AM ∥平面BDC 1.(2)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，又CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ， 又由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， ∴∠CDC 1＝90°，∴DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BDC .。

空间元素的位置关系(2)-----垂直【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质定理，并能运用这些知识解决与垂直有关的问题。

【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。

【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。

【教学过程】 一.课前预习1．（05天津）设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 ( )。

(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,2．（05浙江）设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么（ ）。

(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 3．（05重庆）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l αβαβαβ2)(22+=x x x fB 222)(x x x f -= C. 2)(22-=x x x f D. =)(x f x 33 6．设x,y,z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，那么下列条件中，能保证“x ⊥z,且y ⊥z,则x ∥y ”为真命题的是___________（填上所有正确的代号）。

(1)x 为直线，y,z 为平面；(2)x,y,z 均为平面；(3)x,y 为直线，z 为平面； (4)x,y 为平面，z 为直线；(5)x,y,z 均为直线。

二.梳理知识直线与平面的垂直是联系直线与直线垂直，平面与平面垂直的纽带，更是求有关角，距离的重要方法。

重要判定定理(1)一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直(线面垂直判定定理) (2)平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这个平面互相垂直(面面垂直判定定理) (3)三垂线定理及其逆定理 三．典型例题选讲例1．（05江西）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动。

任务检查线面垂直的判定与性质问题定位1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（ ）①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④答案A解答线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直，①三角形的两边交于一点，根据线面垂直判定定理能保证线面垂直，①正确；②梯形两边有可能是平行的上下底边，不能保证线面垂直，②错误；③圆的两条直径必交于圆心，故能保证线面垂直，③正确；④正六边形的两条有可能是互相平行的对边，故不能保证线面垂直，④错误；综合上述，①③正确，故选．2如果直线与平面不垂直，那么平面内与直线垂直的直线有（）A．条B．条C．无数条D．任意条答案C如图所示，平面内有无数条直线与垂直，故选．3将图中的等腰直角三角形沿斜边上的中线折起得到空间四面体（如图），则在空间四面体中，与的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案C解答是等腰直角三角形，且为中点，，在图中，，，平面，平面，，平面，平面，，故与的位置关系为异面且垂直，选项正确．4如图，已知圆所在平面，为圆的直径，是圆周上的任意一点，过作于．求证：平面．答案详见解答过程．解答在里，为直径，，即，，，、平面，，平面，平面，，，、平面，，平面．原因分析精准突破一、线面角1.直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．特别提醒：直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线；直线与平面垂直时射影是点；斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上．2.直线与平面所成的角的范围：直线和平面相交：，当直线与平面垂直时，；直线和平面平行或直线在平面内，．二、线面垂直的判定定理特别提醒：判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视；要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要．文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言图形语言作用证明线面垂直三、线面垂直的性质定理直线与平面垂直的其他性质和结论：一条直线与一个平面垂直，这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．文字语言垂直于同一平面的两条直线平行．符号语言图形语言作用通过判定直线与平面垂直来判定两条直线平行如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直．四、证明线线垂直的方法利用定义：同一平面内两直线相交成直角时，两直线互相垂直；异面直线所成的角为直角时，两条异面直线互相垂直．利用线面垂直的性质：一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任一直线．勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、菱形，正方形的对角线互相垂直、圆的直径所对的圆周角是、在上底高下底为的直角梯形中，较短的对角线与梯形的斜边垂直．五、证明线面垂直的方法线面垂直的定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．线面垂直的判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．线面垂直的性质：两平行线中一条垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．5如图所示，在正方形中，，分别是、的中点，沿、及把、和折起，使、、三点重合，设重合后的点为，则四面体中必有（ ）A．平面B．平面C．平面D．平面答案A解答，分别是、的中点，四边形是正方形；折叠前，，，折叠后，，平面，故选：．6如图，和所在平面互相垂直，且，，，，分别为，，的中点，证明：平面．答案详见解答过程．解答因为，，所以≌，易得，为等腰三角形，，亦为等腰三角形，又为中点，，，又、分别为、中点，，，，面，面，，面．7在正方体，为的中点，为底面的中心．求证：平面．答案详见解答过程．解答连接，，正方体，平面，平面，，，，平面，平面，平面，平面，，是正方形，设棱长为，，，，，，，，又，平面，平面，平面．课中巩固8如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（）A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直答案C解答平面，平面，，是菱形，，，平面，平面，，与的位置关系是垂直但不相交，故选．9如图，，平面，则在，的边所在的直线中：(1)与垂直的直线有；(2)与垂直的直线有。

高三数学一轮复习空间中的垂直关系【复习目标】1、能通过动手实践、简图或利用长方体等恰当的平台来判断关于空间线线、线面、面面关系命题的真假性；2、有明确的目标意识，根据目标分析论证思路，并熟练运用线线、线面、面面间垂直关系的判定定理及性质定理严谨证明目标，规范书写.【重点】性质定理及判定定理的应用【难点】性质定理及判定定理的应用【知识回顾】：1.直线与平面垂直（1）判定方法①判定定理：，，，，⇒；②性质定理：，⇒2..平面与平面垂直：（1）判定方法①定义法：即证是直二面角②判定定理：，⇒；（2）性质定理：，，，⇒【基础自测】1.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．2.设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；(2)若m ⊥α，n∥m，则n⊥α；(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.其中真命题是________(填序号)．3.给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号为________．4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是________(填序号)．5.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．【例题分析】 例1．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点．(1)求证：AE ⊥DA 1；(2)在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG .例2. 如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .（1）请在木块的上底面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形11BB D D 是矩形，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .1例3. 在三棱锥P －ABC 中，D 为AB 的中点．（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置，并说明理由； （2）若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ．例4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点． （1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACB MNC 1B 1A 1PACD例5. 如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．ＡＢＣＥＦ图①ＢＣＥＦ Ｍ1A图②。

课 题：6.2.3 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 教 材：湘教版高中数学·必修3【教学内容解析】本节课是湘教版教材必修3中第六章第二节的内容，属于新授性质原理课.其中直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质的形成是教学重点.以上结构图反应出了直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质在本节中的位置.是在学生掌握了线面垂直、面面垂直的判定之后紧接着研究的其性质.线面平行、面面平行研究了性质定理，为本节课提供了研究方法上的范式.线面、面面垂直是线线垂直的拓展，又是空间垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都借助垂直来构建，在空间几何中起着承上启下的作用.通过本节课的学习研究，可进一步完善空间垂直与平行的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、正难则反、类比、归纳、转化等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．【教学目标设置】1.学生通过对生活视频、实验操作的观察、直观感知、发现、猜想、归纳直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质定理．2.在性质的探究活动中，学生通过独立思考与合作交流，直观感知、发展类比、归纳等培养学生合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力．3.学生运用特殊化、类比、正难则反、转化等数学思想，体验了研究空间位置关系的一般方法.4.在探究线面垂直的性质、面面垂直的性质的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体验探究发现的乐趣，培养善于实验观察、勇于探索的良好习惯.【学生学情分析】1.学生已有的认知基础学生能够感知生活中有大量的线面、面面垂直关系，已经掌握了线线、线面、面面平行的判定和性质以及线面、面面垂直的判定的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中转化、类比的数学思想方法.2.达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用转化、类比等数学思想，同时具备较好地观察发现、直观感知、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.我校为全市二类重点高中，招收的学生相当部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高二，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.3.重难点及突破策略重难点：1.运用转化、正难则反、特殊到一般、类比等数学思想方法来研究直线与平面、平面与平面垂直的性质，提高学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.2.探究实验、归纳猜想、推理论证直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，突破“空间向平面”、“平行与垂直”、“线面与面面”的转化.突破策略：1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段．2.引导学生经过“直观感知⇒操作确认⇒推理论证”的学习过程形成线面垂直、面面垂直的性质定理.3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下：怎样快速判断旗杆与地面的垂直关系？旨在让学生直观感知，借助生活现象形成关于同垂直一个平面的多条直线平行的直观感，可以帮助学既真实又有效. 并引导学生进一步概括直线与平面垂直的性质定理本质.。

《空间中的垂直关系一》复习课教案临潼区华清中学：张胜利一．教学目标1、知识与技能（1）.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

◆出垂直于同一个平面的两条直线平行◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

(2).能运用公理、定理及已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.(3).能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）2、过程与方法：(1)通过本节课的复习培养学生应用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决相关问题的能力。

(2)通过师生共同探讨培养学生对知识的归纳总结能力，对知识的灵活应用能力。

3、情感态度与价值观：培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

二、重、难点分析：1、重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。

2、难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用。

三、教学方法与学法分析：1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《空间中的垂直关系的复习课》，重点是理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。

2、教学手段：利用多媒体和导学案，导学案把大容量的信息提前呈现给学生，让学生提前思考，培养学生自学能力；多媒体演示使空间图形更加直观；利用黑板适当的板书弥补导学案在即时信息，反馈和信息的储存方面的不足。

3、学法指导：根据高三学生已具备了一定分析问题、解决问题的能力和积极参与意识，自主探索意识，由本节课的内容特点及学生已有的知识、能力、情感等因素定为问题探究式学法。

空间中的垂直关系教案一、教学目标1. 让学生理解垂直关系的概念，能够识别和描述物体之间的垂直关系。

2. 培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、动手能力和合作意识。

二、教学内容1. 垂直关系的定义及识别2. 垂直关系的应用3. 实际问题解决三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够识别和描述物体之间的垂直关系，运用垂直关系解决实际问题。

2. 教学难点：培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。

四、教学方法1. 采用观察、讨论、实践、解决问题的教学方法。

2. 利用教具、模型等辅助教学。

五、教学准备1. 教具：垂直关系模型、实物图片等。

2. 学具：学生用书、练习本、画笔等。

六、教学过程1. 导入新课：通过展示实际生活中的垂直关系实例，引导学生发现和关注垂直关系。

2. 教学新课：讲解垂直关系的定义，让学生观察和描述实例中的垂直关系。

3. 实践操作：学生分组讨论，运用教具模型演示垂直关系，并互相评价。

4. 解决问题：引导学生运用垂直关系解决实际问题，如计算物体的高度、距离等。

5. 巩固拓展：出示不同类型的题目，让学生独立完成，提高运用垂直关系解决问题的能力。

七、课堂小结八、课后作业1. 完成学生用书上的练习题。

2. 观察生活中的垂直关系，拍照或绘图，下节课分享。

九、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。

十、章节测试设计一份章节测试题，检测学生对空间中垂直关系的掌握程度。

六、教学内容与活动1. 活动一：探索垂直关系的性质目的：让学生通过实践探索垂直关系的性质。

过程：学生分组，每组使用不同的材料（如直尺、三角板、绳子等）来构建垂直关系，并记录观察到的性质。

反馈：小组之间分享观察结果，讨论垂直关系的共同特点。

2. 活动二：垂直关系的应用游戏目的：培养学生将垂直关系应用于实际情境中。

过程：设计一个游戏，要求学生在游戏中识别和利用垂直关系，如在建筑游戏中使用垂直关系来构建稳定的结构。

直线与平面垂直教学设计（一）一、本节内容分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。

定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。

定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。

同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学目标分析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。

1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。

3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。

4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。