北师大版高中数学必修2教案备课垂直关系的判定

科目:高二数学授课时间：第18周星期二单元（章节）课题第三章立体几何本节课题§2 垂直关系三维目标1.知识与技能：会利用判定定理和性质定理证明三种垂直关系。

2.过程与方法：通过实例，体会三种垂直关系的转化。

3.情感,态度与价值观：培养学生的空间想象能力、转化意识。

提炼的课题垂直关系的证明教学重难点重点：线线、线面，面面垂直关系的证明。

难点：做辅助线证明垂直关系。

教学过程一、知识梳理1、线线垂直的判断：（1）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（2）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即：（2）垂直于同一平面的两直线平行。

即：★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义，用反证法证明。

⑵ 利用判定定理证明。

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。

⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。

3、面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

判定定理：性质定理：⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（3）（4）（5）二、 典例精讲 考点一：线线垂直问题【典例1】（2015年广东）如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ．图2-10 面面垂直性质2平面PAC考点三 面面垂直问题【典例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，120PAB ∠=，90PBC ∠=.（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.课堂检测 内容1、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，O 是底面ABCD 的中心，求证：EF ⊥平面BB 1O .2、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥.求证：AD ⊥面SBC ．DCBASDCBAP3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.课后作业布置1、如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，其中2AB=,60BAD∠=.（I）求证:BD⊥平面PAC；（II）若PA AB=，求四棱锥P ABCD-的体积.2、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.3、如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.预习内容布置《三视图》DCBAP。

6.1 垂直关系的判定-北师大版必修2教案
教学目标
1.理解垂直的概念，掌握相交直线垂直的判断方法；
2.掌握平行线、垂直线、相交线的性质；
3.学会运用垂直关系的性质解决实际问题。

教学内容
1. 垂直的概念及相交直线垂直的判断方法
1.1 垂直的概念
垂直是指两个直线或线段在相交于一点时，以这个交点为中心，两个直线或线段互相垂直的状态。

1.2 相交直线垂直的判断方法
•角度法：两个直线或线段相交形成的角度为90度时，两条直线或线段垂直。

•斜率法：当两个直线或线段的斜率的乘积为-1时，两个直线或线段垂直。

•同名角法：在同一条直线上取一点，分别作一条直线与另一条直线相交，如果形成了同名角，则两个直线垂直。

2. 平行线、垂直线、相交线的性质
2.1 平行线的性质
•具有相同的斜率；
•不会相交；
•两个平行线之间的距离是恒定的。

2.2 垂直线的性质
•两个垂直线的斜率的乘积为-1；
•垂直线与其他直线的交角为90度。

2.3 相交线的性质
•相交线上的同名角和补角相等；
•相邻角互不相等；
•对顶角相等。

3. 运用垂直关系的性质解决实际问题
在生活中，我们经常需要运用垂直关系的性质来解决一些实际问题。

例如，建造房屋、摆放家具等。

4. 练习与应用
（1）判断下列直线是否垂直：
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《直线与平面垂直的判定》教学设计吉水二中谢志强1教材分析教学内容本节是北师大版高中数学必修2第一章直线与平面垂直的判定”，内容为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用通过让学生观察实例引出直线和平面垂直的概念:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直而直线与平面垂直的判定定理是让学生通过折纸试验来感悟的:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直该定理把原来定义中要求与任意一条无限直线垂直转化为只要与两条有限相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定具有可操作性地位作用直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的轴心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一通过该内容的学习，进一步培养和发展学生空间想象能力、合情推理能力、一定的推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化2学情分析基础水平之前学生已经学习了两直线共面或异面互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了研究方法的体验，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识认知困难学生学习的困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的因为学生直观感知中的形象和定义中“直线与平面内的任意一条直线都垂直”的内涵是有距离的教学中首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再利用“旗杆与变动的影子的关系”的情境，从中概括出定义，体会直线与平面垂直定义的合理性学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍教学中可充分利用“折纸”试验，引导学生进行操作、观察、思考与说理，挖掘“折纸”活动的数学内涵，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认3教学目标1知识与技能:借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义;通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题2过程与方法:在探索直线与平面垂直判定定理的过程中进一步培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体验和感悟转化的数学思想方法(3)情感态度与价值观:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心4重点难点1教学重点:直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理2教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用5教法教具2教法:本课采用“引导一探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲教师引导学生通过观察、分析、实验、讨论、说理等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，通过对例题和练习的思考、板演、交流与说理，体验思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提髙课堂效率3教具:投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台）；学生自备学具:三角形纸片、笔表直线、课本表平面6教学过程直观感知直线与平面垂直的形象在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形问题1展示日常生活中具有直线与平面相交的四个例子，图三、图四与图一、图二的相交有何不同？意图:基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？意图:基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系抽象概括直线与平面垂直的定义问题3根据我们已有的经验，对于直线与平面垂直的位置关系，研究的内容、方法分别是什么？意图：明确研究的内容，通过对已有知识经验的回顾，引导学生用平面外直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形，体会知识形成的自然性问题4将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（红线处）与桌面的位置关系（如图1），此时书脊与每页书与桌面的交线的位置关系如何？问题5观察圆锥SO（图2），它给我们以轴垂直于底面的形象，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？意图:问题4旨在让学生发现书脊所在直线始终与书页和桌面交线垂直，问题5旨在引导学生根据异面直线所成角的概念，圆锥的轴与底面任意一条直线垂直问题6若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你认为该直线与此平面垂直吗？意图:通过观察、讨论与举例，引导学生认识定义的“充要性”与“合理性”，由此得出直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

教学设计——61（2）平面与平面垂直的判定利辛高级中学纪艳一、教学内容解析：1教材的地位与作用：本节课是北师大版必修2第1章第6节的第2课时，是在前面学习了线面垂直的判定、线面角的基础上按照创设情境直观感知的方式得出二面角及其平面角的概念、面面垂直的定义、画法及判定定理，是为解决空间中证明面面垂直的问题而设置的，为后面研究面面垂直的性质奠定了基础2教学重点、难点：重点：平面与平面垂直的判定定理及应用难点：1二面角的大小的度量与2平面的垂线的确定二、教学目标设置：1知识与技能：通过生活实例直观感知、理解二面角及其平面角通过观察和思考归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直联系2过程与方法：通过例题及探究掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力,体会化归思想3情感态度价值观：通过小组交流，合作探究，提高学生学习的主动性和团队合作意识通过定理及其应用培养学生严谨规范的学习品质该目标贯穿于整节课的教学,并根据该目标给学生设计了课堂自我评价表格，引导学生进行自主评价，自主反思三、学生学情分析：作为高二的学生已经具备一定的自学能力所以在课前已布置预习1学生课前已经预习了课本内容2个别同学存在一些小问题:例如，姜梦婷、李曼琳、李玉娟同学的空间想象能力不够好，立体几何作图时经常虚实不分；聂雨晴、盛湖雪、杜亚楠、宋小米同学在寻找立体几何证明思路时有困难，思维及书写步骤不规范，经常漏掉应用定理所必需的条件采取我课下单独辅导、纠正及小组成员互帮互助两个策略帮助他们尽快弥补自身的不足3大部分同学已经具备了学习本节内容的知识基础，并且具备了很好的空间想象能力、立体几何解题技巧及思维、书写的规范性因此，本节课的教学重点定位在引导学生小组合作，主动探究二面角及面面垂直的判定定理，以典型例题习题载体，采用发现问题、解决问题、加深理解、学以致用的方式帮助学生掌握学习立体几何的方法四、教学策略分析：我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“自主探究—归纳总结—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果为充分实现我的想法，我采用了如下手段：1.直观教学—我准备几个小模型，让学生通过模型来感观立体几何。

直线与平面垂直的判定教学设计鹰潭市余江二中鲁珺αl⊥b ,a l a l αα⊂⊂⊥⊥≠≠若，，《直线与平面垂直的判定》教案说明鹰潭市余江二中鲁珺本节课是北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第一章第六节“6.1 垂直关系的判定”的第一课时。

我将从以下五个方面来阐述我对这堂课的教学设计：一、教学内容的数学本质几何学是研究空间图形的科学。

几何直观和几何语言是认识和描述现实世界空间与图形关系的重要工具。

由于几何图形本身具有很强的直观性。

以直观图形为载体的逻辑推理层次清晰、结论明确、可信度强，在某种意义上，几何直观已经渗透到一切数学领域中，甚至在那些看来几何是无所作为的领域内，几何直观仍然保持着强盛的生命力。

几何作为一种直观、形象的数学模型，在发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神方面具有独特的价值。

创新，源于问题，往往发端于直觉。

与数学其他分支相比，几何图形的直观、形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更为有利的条件。

在几何中，视觉思维占主导地位，学生在运用观察、操作、作图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中，获得视觉上的愉悦，能增强探究的好奇心，激发出潜在的创造力，形成创新意识。

在高中阶段，几何的呈现形式是用综合几何的方法认识几何图形，用解析几何和向量几何的方法处理平面曲线和空间图形。

这里变换的方法和代数的方法是研究几何的通性通法。

在立体几何中，点、线、面的平行、垂直等关系是研究的基本内容，这些关系在长方体中都有很好的体现，长方体是学习理解立体几何基本内容的重要模型。

降维是处理立体几何问题的重要思想和方法，通过分解、投影等方式将立体几何（三维）问题转化为平面几何（二维）的问题。

此外，相当多的空间图形都可以和立方体等基本图形建立联系。

在处理方式上，以直观感知和操作确认作为重点，强调建立和提升学生的空间想象力和几何直观能力。

垂直关系是立体几何中的重点，而直线与平面垂直的判定体现了转化的数学思想，本节课的设计，意在让学生经历直观感知、操作确认、思辨认证、度量计算等几个阶段，学生通过观察事物图片、模型等，直观认识和理解直线与平面垂直这一特殊的相交关系，并能将其与线线垂直相互转化，体现降维的思想方法。

6.2 垂直关系的性质-北师大版必修2教案一、课程目标本节课的主要目标是学习垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理，理解垂直关系的性质，掌握相关定理的证明以及应用。

二、教学重难点1.领会垂线两定理和平行四边形性质的证明过程2.掌握垂心及其性质，应用定理解决实际问题3.熟练运用相关公式和算法解决相关数学题目三、教学内容及教学时长1. 垂线两定理教学内容•垂线两定理的内容和定义•垂线两定理的证明和推论•实例探究教学时长2学时教学步骤1.引入垂线两定理的背景以及应用价值（5分钟）2.教授垂线两定理的定义，并分别讲解两个定理的证明过程（30分钟）3.指导学生通过实例练习巩固掌握（50分钟）2. 平行四边形性质教学内容•平行四边形定义及基本性质•平行四边形四小定理•实例分析教学时长2 学时教学步骤1.引入平行四边形的知识点，让学生理解其定义以及基本性质（5分钟）2.介绍平行四边形的四小定理，并带领学生掌握证明方法（30分钟）3.实例分析，让学生通过练习提升应用能力（75分钟）3. 垂心定理教学内容•垂心的定义及其性质•垂心定理的运用•实例探究教学时长3 学时教学步骤1.以实例为引入，让学生直观理解垂心的概念和性质（15分钟）2.教授垂心定理的证明过程，并指导学生运用算法化解实际问题（80分钟）3.综合讲解相关公式，让学生通过反复练习掌握技巧技巧（85分钟）四、教学评价本节课的教学评价主要考核学生对垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理及其应用的掌握情况，评价途径包括日常课堂练习、作业表现和期中期末评测。

五、教学建议本节课主要是将具体问题虚化为抽象问题，激发学生解决抽象问题的思维能力，因此在教学中应注重概念的剖析和证明方法的灵活运用，尤其要关注重整理概念，突出方法，并利用实例进行讲解，提高学生的应用实践能力和解题能力。

北京师范大学出版社必修2 第一章立体几何初步垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定教材分析：本节课是垂直关系的判定的第一课时，主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用,是立体几何的核心内容之一。

其中线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法，而判定定理则体现了线线垂直与线面垂直的转化。

学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体空间图形的飞跃有非常重要的作用。

另外，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带,因此线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析：学生在初中几何中已学过线线垂直，并对线面垂直有直观的认识，而高中也已经学习了直线和平面、平面与平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

教学目标：1.知识与技能：通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理进行简单应用。

2.过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，让学生在合作探究中逐步构建知识结构，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

3.情感、态度与价值观：通过让学生亲身经历线面垂直定义及定理的探究，让学生进一步认识到数学与生活的联系，体会数学原理的广泛应用，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重点：直线与平面垂直的判定定理。

教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。

教学准备：多媒体课件，三角板，三角形纸片教师教法：本节课主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用，其中定义的教学是一个重构的过程，是一个意义赋予的过程，需要经历定义的引入，理解，运用三个阶段。

因此设计的教法为：呈现定义原型，构建定义，运用定义。

判定定理的教学策略是重视其发现过程，让学生在探索中感受、体验、成长。

北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计一、教学目标1.了解垂直关系的定义及其性质；2.能够判断两条直线是否垂直；3.能够求垂直的直线之间的夹角大小；4.能够应用垂直关系解决问题。

二、教学重难点1.垂直关系的定义及其性质；2.求垂直的直线之间的夹角大小。

三、教学内容3.1 引入通过展示建筑物中多个垂直的直线，引导学生认识垂直关系的重要性，并引出垂直关系的定义与性质。

3.2 讲解（1）定义：•垂直：两条直线或两个平面相互垂直，当且仅当它们的交角为90度时。

•垂线：过给定点，与给定直线相交而且与该直线垂直的线段称为垂线。

（2）性质：•垂直的直线之间的夹角为90度。

•垂直的直线上任意两点与直线的距离相等。

3.3 实例演练1.给定两条直线，如何判断它们是否垂直？–检查这两条直线之间的夹角是否为90度。

2.已知一条直线L和直线L’上两个点A、B，如何在直线L’上找到与点A构成的垂线？–连接AB，过B点做L’的垂线，交于点C，则AC即为所求垂线。

3.在三角形ABC中，AC垂直于BC，如何求∠CAB的度数？–利用垂直关系求出∠ABC的度数，然后用三角形内角和定理求解。

3.4 训练与拓展1.已知四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90度，AC垂直于BD，求证:AD=BC。

2.在平面直角坐标系中，直线L：y=−2x+5，直线L’过点(2,3)且垂直于直线L，求直线L’的解析式及它与直线L的夹角大小。

3.学生自选问题解决，主要涉及垂直关系的应用。

四、教学方法1.案例教学法：通过实例演示和解题分析，引导学生掌握垂直关系的性质和应用。

2.问答教学法：通过提问，帮助学生理解概念，熟悉垂直关系的定义及其性质。

3.组织小组讨论：让学生在小组内讨论垂直关系的应用，激发学生思考和创新意识。

五、教学评价1.课堂练习，以掌握垂直关系的定义及其性质为主；2.课后习题，以巩固垂直关系的运用为主；3.课程设计，在实际问题中运用垂直关系解决问题，开发学生的思维能力和实际运用能力。

《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教学内容课题：直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修2》第一章第六节二．教学目标：⒈知识与技能：掌握直线与平面，并能进行简单应用。

⒉过程与方法：在合作探究中，逐步构建知识结构；通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，欣赏事物的能力，培养学生动手实践的能力。

⒊情感、态度与价值观：垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可以让学生感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生团队合作的精神。

4.数学思想：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三．教材分析：本节课是第六节“垂直关系”中“线面垂直”的第一课时，是立体几何的核心内容之一，在学生学习了平行关系之后，本节仍然以长方体为载体来学习，是对学生“直观感知，操作确认，归纳总结，初步运用”的认知过程的一个再强化。

四．学情分析：学生已经学习了直线和平面，平面和平面平行的判定及性质，学习了两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系，有了“通过观察，操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力，几何直观能力和推理论证能力。

五．教学的重点和难点：重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定的定理难点：线线垂直于线面垂直的相互转化，应用六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。

学案：引导学生学习的资料，例题。

教具：学生实验需要，辅助展示相关情节。

观察我们教室及身边现有的物体，你能找出直线与平面“垂直”的例子吗？注：这里所有的“垂直”都是直观的，没有定义的。

然后通过“两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系”得出的直线也都垂直．师生活动：教师用实物演示三角板变化而移动的过程，引导学生得从线与线的垂直来定义线面垂直实际是把高维的问题转化为，判定下列说法的对错内的无数条直线都垂直，那么直线l和平面大胆引导学生去发现，敢于猜想b A l a l b ⎪⇒=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭）和直线与平面垂直的定义相比八．板书设计教案说明一．数学本质、地位、作用分析：垂直关系式立几中的核心内容之一也是高考考查空间位置关系的重要方面，各种题型都有涉及，难度以简单，中档题为主，通常与其他问题综合考察，如角度、距离等。

§6垂直关系6．1垂直关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．2．过程与方法通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．●重点难点重点：垂直关系的判定定理．难点：垂直关系的判定定理的应用．直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直⇒类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理⇒通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB ，地面为α，BC 、BD 为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．(1)旗杆所在直线AB 与影子BC 、BD 所在直线的位置关系是什么？(2)旗杆AB 与地面内任意一条不过旗杆底部B 的直线B 1C 1的位置关系是什么？ 【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB 与地面内不过B 的直线B 1C 1也垂直．1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.图1－6－13．判定定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba αbαa ∩b ＝P ⇒l ⊥α【问题导思】打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？【提示】 打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．3．二面角的记法如图1－6－2，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.图1－6－24．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．。

§6垂直关系6.1 垂直关系的判定1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义.(重点)2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直.(重点、难点)3.了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1直线与平面垂直的概念及判定定理阅读教材P36～P37“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图1-6-1.图1-6-13.直线与平面垂直的判定定理：平面平面判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直.()(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直.()(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直.()(4)若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2二面角阅读教材P37“练习1”以下至倒数第4行部分，完成下列问题.1.二面角的概念：(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β.2.二面角的平面角：。

6．1 垂直关系的判定(二)【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．2．平面与平面的垂直①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m α，则α⊥β；②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n α，则α⊥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在 5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面PAE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．11．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3．(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ；(2)求二面角A —BE —P 的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．6．1 垂直关系的判定(二) 答案知识梳理1．两个半平面 这条直线 这两个半平面2．①直二面角 ②垂线 a α作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B ．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32，∴∠BOD＝60°．]6．C[如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．]7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF 平面ABC．BC平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

《垂直关系的判定》
垂直关系是立体几何的重要组成部分，是系统学习平行关系后的又一重要内容，也是后续研究线面角和空间距离的基础是培养学生抽象概括和空间想象能力的良好素材。

同时，也是高考中常考的热点之一。

【知识与能力目标】
1. 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义；
2. 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直；
3. 了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.
【过程与方法目标】
善于运用“转化”的思想解决垂直问题。

【情感态度价值观目标】
渗透“事物之间是相互联系的”辩证唯物主义观点。

【教学重点】
掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义。

【教学难点】
掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知
教材整理1 直线与平面垂直的概念及判定定理
阅读教材P 36～P 37“练习1”以上部分，完成下列问题。

1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图1­6­1。

图1­6­1
3.直线与平面垂直的判定定理：
平面。

数学二北师大版1一、本节要紧内容本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其要紧内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面直的判定定理及其应用。

本节学习内容包蕴丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、目标和目标解析1.借助对实例、图片的观看，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确明白得直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探究直线与平面垂直判定定理的过程中进展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.观看和展现现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；预备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与明白得。

三、教学过程设计1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，查找新知识学习的“固着点”。

问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观看，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来摸索问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与那个平面垂直？问题4：结合对下列问题的摸索，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条只是点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发觉旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发觉旗杆A B所在直线始终与地面上任意一条只是点B的直线也垂直，在那个地点，要紧引导学生通过观看直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

直线和平面垂直的判定段婉君【教学目标】1．直线和平面垂直的定义及相关概念。

2．直线和平面垂直的判定定理。

3．向学生渗透转化思想的应用，激发学生学习数学的积极性，使学生品尝成功的喜悦。

【教学重点、难点、疑点及解决方法】重点：1 掌握直线和平面垂直的定义。

2 掌握直线和平面垂直的判定定理。

难点：线、面垂直定义的理解和判定定理的应用教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件,它们缺一不可。

【教学方法】启发，引导，探究式【教学手段】多媒体教学【课时安排】 1课时【教学过程】一、引入前几节我们学习了线面之间的平行关系，其实在我们身边还有很多线面之间的垂直关系。

例如，旗杆与地面之间的关系，等等（打出幻灯片，从不同的事物中给学生一种直观的垂直感觉，以及线面垂直在我们生活的重要性）。

这节课我们就来学习线面垂直的判定。

教师引出课题——直线和平面垂直的判定。

二、新课1．直线和平面垂直的定义（猜想推测，激发兴趣）为使学生从感性认识逐步上升到理性认识，展开以下问题：（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？（2）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变呢？（3）旗杆与地面上任意一条不过点的直线的位置关系又是什么？所成的角为多少？通过学生猜想推测，多媒体演示得出旗杆和地面上所有直线垂直，旗杆和地面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象。

根据实例分析的结论，让学生归纳、概括出线面垂直的定义。

定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直2 直线和平面垂直的判定学习了线面垂直的定义，对于直线和平面，垂直于内的任意一条直线，用这个定义，我们可以判定直线和平面垂直，但是我们不可能将这条直线与平面内的任何一条直线的垂直关系都做以判定,这样就增加了难度,也不方便，那么我们能不能寻找更加简单的直线与平面垂直的判定方法呢实验探究,发现规律:请同学们用准备好的三角纸作实验：如图，过三角形ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上BD，DC与桌面接触。

教学过程直线与平面垂直定义辨析：通过4个命题让学生加深对直线与平面垂直定义的理解2、引入判定定理问：用定义判断直线与平面垂直方便吗？我们注意到，要证明直线和平面垂直就是要证明这直线和平面内任意一条直线都垂直。

那问题来了，平面内有无数多的直线，我们要证明每一条都垂直不方便，自然想到减少条数。

几条？试验探究将△ABC纸片任意翻折，得到一条折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上。

问题（1）折痕一定与桌面所在平面垂直吗？（2）如何折才能使折痕与桌面所在平面垂直？（3）两种折法都能使折痕与桌面所在的平面垂直，这两种折法共同特征是什么？问题（4）：由折痕⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD（DE⊥BD,DE⊥DC）发生变化吗？由此你能得到什么结论？α DBAC教学过程例1：点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD探究1：PA⊥⊙o 所在平面，AB 是⊙o 的直径，C 是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？探究2：底面ABCD为矩形，且PA⊥面ABCD，说出有多少对线面垂直，有几个直角三角形？探究3：三棱锥中最多有四个直角三角形．四棱锥中最多有四个直角三角形？例2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线AC，BD。

5、小结：1、你学到了那些知识？2、用到了哪些数学思想？例1应用了直线与平面垂直的意义，理解直线与平面垂直的判定定理．探究，例2汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通.设计意图：以探讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括．。

5 垂直关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一. 教学目标1.掌握点与直线的垂直关系的判定方法及相关定义2.掌握线段之间的垂直关系的判定方法及相关定义3.掌握垂直平分线的相关定义和性质4.能够灵活运用所学知识解决实际问题二. 教学重点和难点1. 教学重点1.点与直线的垂直关系的判定方法及相关定义2.线段之间的垂直关系的判定方法及相关定义3.垂直平分线的相关定义和性质2. 教学难点1.如何判断垂直关系2.如何应用所学知识解决实际问题三. 教学内容及方法1. 教学内容知识点1：点与直线的垂直关系1.数学定义2.判定方法3.相关例题讲解知识点2：线段之间的垂直关系1.数学定义2.判定方法3.相关例题讲解知识点3：垂直平分线1.数学定义2.性质3.相关例题讲解2. 教学方法在讲解每个知识点时，采用讲解与练习相结合的方式进行教学。

在教学过程中，要通过生动的案例和实例来让学生更深刻地理解和掌握所讲解的知识点。

四. 教学过程及时间安排时间段内容10 min 引入：制造学生发现的场景，如手机的竖屏和横屏之间的切换20 min 知识点1：点与直线的垂直关系的判定方法及相关定义20 min 知识点2：线段之间的垂直关系的判定方法及相关定义10 min 休息30 min 知识点3：垂直平分线的相关定义和性质30 min 练习：运用所学知识解决实际问题20 min 总结：回顾本次课程内容，总结要点，提出需要注意的问题五. 教学评估在课程结束后，可以通过作业、小测验或课堂讨论来对学生的学习成果进行评估。

对于学习成果较好的学生，可以对他们进行表扬和奖励，鼓励他们在未来的学习中继续努力；对于学习成果较差的学生，可以针对他们的具体问题进行辅导和指导，帮助他们弥补知识上的差距。

六. 教学思考1.如何提升学生的主动性和自学能力2.如何让学生把知识运用到实际问题中3.如何鼓励学生积极参与课堂讨论，提高语言表达和沟通能力。