高考数学总复习 第八章 立体几何初步 第5节 垂直关系教案 文(含解析)北师大版-北师大版高三全册数

§6 垂直关系6．1 垂直关系的判定(一)【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a βD ．a β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定5．如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB ＝PC，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．§6 垂直关系6．1 垂直关系的判定(一)答案知识梳理2．两条相交直线 a α b α a ∩b ＝A作业设计1．B [只有④正确．] 2．D 3．C[取BD 中点O ，连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C ．]4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．]5．A [ ⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC 平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．] 6．A[PO⊥面ABC．则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，O为△ABC外心．只有③正确．]7．①④⑤8．∠A1C1B1＝90°[如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)]9．90°解析∵B1C1⊥面ABB1A1，∴B1C1⊥MN．又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，∴MN⊥C1M．∴∠C1MN＝90°．10．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．11．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．(2)取PD的中点G，连接AG，FG．又∵G、F分别是PD，PC的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG 平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ． 12．证明 连接AB 1，CB 1， 设AB ＝1．∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ 平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC 平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ 平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．6．1 垂直关系的判定(二)【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．2．平面与平面的垂直①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①② 2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( ) ①若m ∥n ，n ⊥β，m α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面PAE ⊥面ABC 二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA 和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．6．1垂直关系的判定(二) 答案知识梳理1．两个半平面这条直线这两个半平面2．①直二面角②垂线aα作业设计1．B[①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B．]2．C3．B[②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C[当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B[如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°．] 6．C[如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF ⊥平面PAE ． ∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE)． ∴D 正确．] 7．45°解析 可将图形补成以AB 、AP 为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°． 8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ， 面PAB ⊥面ABCD ，又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ，∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角， ∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ， ∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ， ∴面PDC ⊥面PDA ．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点， ∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， ∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF 平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ， BE 平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB ． 又平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB 平面PAB ， 所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PAAB＝3，则∠PBA ＝60°．故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知 EF ∥BC ．因为EF 平面ABC ．BC 平面ABC ． 所以EF ∥平面ABC ．(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知 CC 1⊥平面A 1B 1C 1．又A 1D 平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ．又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D 平面A 1FD ， 所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ． 13．(1)证明 ∵PA ⊥底面ABC ， ∴PA ⊥BC ． 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ．又∵AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ．(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知， BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ．又∵AE 平面PAC ，PE 平面PAC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ．∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC ． 这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角．6．2 垂直关系的性质(一)【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．文字语言垂直于同一个平面的两条直线______符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒________ 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE>PG>PFB ．PG>PF>PEC ．PE>PF>PGD ．PF>PE>PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC 5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题 10．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．6．2垂直关系的性质(一) 答案知识梳理作业设计1．B[由线面垂直的定义知B正确．]2．C[①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．]3．C[由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF<PE，∴有PG<PF<PE．故选C．]4．C[PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．∴选C．]5．B[由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．]6．A[设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC，∴PA⊥BC，又BC⊥PO，∴BC⊥AO，同理AC⊥BO，∴O为△ABC的垂心．]7．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．8．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．9．6解析 由题意知CO ⊥AB ， ∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 11．证明连接AG 并延长交BC 于D ，连接A ′G ′并延长交B ′C ′于D ′，连接DD ′，由AA ′⊥α，BB ′⊥α，CC ′⊥α，得AA ′∥BB ′∥CC ′．∵D 、D ′分别为BC 和B ′C ′的中点， ∴DD ′∥CC ′∥BB ′，∴DD ′∥AA ′，∵G 、G ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的重心， ∴AG GD ＝A ′G ′G ′D ′，∴GG ′∥AA ′， 又∵AA ′⊥α，∴GG ′⊥α．12．证明 ∵M 、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN ∥AC ，又∵AC 平面ABC ，MN 平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ，∵DB ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊆平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．13．证明如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．6．2垂直关系的性质(二)【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒aα．(2)已知平面α⊥平面β，a⊆α，a⊥β，那么a∥α(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则()A．l∥γ B．lγC ．l 与γ斜交D ．l ⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条 4．若α⊥β，直线，直线，a ，b 与l 都不垂直，那么( ) A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直，也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行5．设x ，y ，z 中有两条直线和一个平面，已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x ⊥y y ∥z可推得x ⊥z ，则x ，y ，z 中可能为平面的是( )A ．x 或yB ．xC ．yD ．z6．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面BDCB ．平面ABC ⊥平面ABD C ．平面ABC ⊥平面ADC D ．平面ABC ⊥平面BED二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，P ∉l ，则下列结论中正确的为________．(只填序号) ①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 到O 的距离为________．9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的射影H 必在________．三、解答题10．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ， 平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．证明：AB⊥PC．13．如图所示，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 2．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．6．2 垂直关系的性质(二) 答案知识梳理1．垂直 交线 a ⊥β 作业设计 1．D 2．D[在γ面内取一点O ， 作OE ⊥m ，OF ⊥n ， 由于β⊥γ，γ∩β＝m ，所以OE ⊥面β，所以OE ⊥l ， 同理OF ⊥l ，OE ∩OF ＝O ， 所以l ⊥γ．]3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．] 4．C 5．A 6．D 7．①③④解析 由性质定理知②错误． 8．7 cm解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长． 9．直线AB 上解析 由AC ⊥BC 1，AC ⊥AB ，得AC ⊥面ABC 1，又AC 面ABC ， ∴面ABC 1⊥面ABC ．∴C 1在面ABC 上的射影H 必在交线AB 上． 10．证明 在平面PAB 内，作AD ⊥PB 于D ．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．12．证明因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA．因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△P AC，所以AC＝BC．如图，取AB的中点D，连结PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC．13．证明(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN．又∵MF 平面ABCD，AN平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1．又∵NA平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．。

确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。

§8．４垂直关系１．直线与平面垂直（１）判定直线和平面垂直的方法１定义法．２利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．３推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（２）直线和平面垂直的性质１直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．２垂直于同一个平面的两条直线平行．３垂直于同一条直线的两平面平行．２．二面角的有关概念（１）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．（２）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．３．平面与平面垂直（１）平面与平面垂直的判定方法１定义法．２利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（２）平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （×）（２）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（√）（３）异面直线所成的角与二面角的取值范围均为（0，错误!]．（×）（４）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. （√）（５）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. （×）（6）a⊥α，aβ⇒α⊥β. （√）２．（２0１３·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）Ａ．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nＢ．若α∥β，mα，nβ，，则m∥nＣ．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βＤ．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确．３．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（）Ａ．a⊥c，b⊥cＢ．α⊥β，aα，bβＣ．a⊥α，b∥αＤ．a⊥α，b⊥α答案C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.４．将图１中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD（如图２），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）Ａ．相交且垂直Ｂ．相交但不垂直Ｃ．异面且垂直Ｄ．异面但不垂直答案C解析在题图１中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图２，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.１若mβ，α⊥β，则m⊥α；２若α∥β，mα，则m∥β；３若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；４若m∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的序号是________．答案２３解析根据题意若mβ，α⊥β，则mα＝P或m∥α，故１错误；若α∥β，mα，则m∥β，故２正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故３正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝l，故４不正确.题型一直线与平面垂直的判定与性质例１如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（１）CD⊥AE；（２）PD⊥平面ABE.思维启迪第（１）问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第（２）问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明（１）在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.（２）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由（１），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华（１）证明直线和平面垂直的常用方法：１判定定理；２垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；３面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；４面面垂直的性质．（２）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．（３）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.（１）求证：SD⊥平面ABC；（２）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明（１）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.（２）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由（１）知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例２（２0１３·北京）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝２AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：（１）PA⊥底面ABCD；（２）BE∥平面PAD；（３）平面BEF⊥平面PCD.思维启迪（１）平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；（２）由BE∥AD可得线面平行；（３）证明直线CD⊥平面BEF.证明（１）∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.（２）∵AB∥CD，CD＝２AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.（３）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由（１）知PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.思维升华（１）判定面面垂直的方法：１面面垂直的定义；２面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．（２）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．（２0１２·江西）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝１２，AD＝５，BC＝４错误!，DE＝４．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.（１）求证：平面DEG⊥平面CFG；（２）求多面体CDEFG的体积．（１）证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形．由GD＝５，DE＝４，得GE＝错误!＝３．由GC＝４错误!，CF＝４，得FG＝错误!＝４，所以EF＝５．在△EFG中，有EF２＝GE２＋FG２，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.（２）解如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝错误!＝错误!.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝错误!S矩形CDEF·GH＝１6．题型三直线、平面垂直的综合应用例３如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝２AD＝8，AB＝２DC＝４错误!.（１）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（２）求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪（１）因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.（２）四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．（１）证明在△ABD中，∵AD＝４，BD＝8，AB＝４错误!，∴AD２＋BD２＝AB２.∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.（２）解过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为４的等边三角形，∴PO＝２错误!.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝２DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为错误!＝错误!，此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝错误!×错误!＝２４．∴V P—ABCD＝错误!×２４×２错误!＝１6错误!.思维升华垂直关系综合题的类型及解法（１）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．（２）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．（３）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．（２0１３·江西）如图，直四棱柱ABCD—A１B１C１D１中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝２，AD＝错误!，AA１＝３，E为CD上一点，DE＝１，EC＝３．（１）证明：BE⊥平面BB１C１C；（２）求点B１到平面EA１C１的距离．（１）证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝错误!，EF＝AB—DE＝１，FC＝２．在Rt△BFE中，BE＝错误!.在Rt△CFB中，BC＝错误!.在△BEC中，因为BE２＋BC２＝9＝EC２，故BE⊥BC.由BB１⊥平面ABCD得BE⊥BB１，所以BE⊥平面BB１C１C.（２）解三棱锥E—A１B１C１的体积V＝错误!AA１·S△A１B１C１＝错误!.在Rt△A１D１C１中，A１C１＝错误!＝３错误!.同理，EC１＝错误!＝３错误!，A１E＝错误!＝２错误!.故S△A１C１E＝３错误!.设点B１到平面A１C１E的距离为d，则三棱锥B１—A１C１E的体积V＝错误!·d·S△A１C１E＝错误!d，从而错误!d＝错误!，d＝错误!.题型四线面角、二面角的求法例４如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．（１）求PB和平面PAD所成的角的大小；（２）证明：AE⊥平面PCD；（３）求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪（１）先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；（２）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．（１）解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝４５°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为４５°.（２）证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.（３）解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由（２）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝３0°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝错误!a，PD＝错误!a，AE＝错误!a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝错误!＝错误!＝错误!a.在Rt△AEM中，sin∠AME＝错误!＝错误!.所以二面角A—PD—C的正弦值为错误!.思维升华求线面角、二面角的常用方法．（１）线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（２）二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有１定义法；２垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．（２0１２·浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为２错误!的菱形，∠BAD＝１２0°，且PA⊥平面ABCD，PA＝２错误!，M，N分别为PB，PD的中点．（１）证明：MN∥平面ABCD；（２）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．（１）证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.（２）解如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝１２0°，得AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝错误!AB.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD.所以PB＝PC＝PD.所以△PBC≌△PDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQ＝NQ，且AM＝错误!PB＝错误!PD＝AN.取线段MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A—MN—Q的平面角．由AB＝２错误!，PA＝２错误!，故在△AMN中，AM＝AN＝３，MN＝错误!BD＝３，得AE＝错误!.在Rt△PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝２错误!，QC＝２，PQ＝４．在△PBC中，cos∠BPC＝错误!＝错误!，得MQ＝错误!＝错误!.在等腰△MQN中，MQ＝NQ＝错误!，MN＝３，得QE＝错误!＝错误!.在△AEQ中，AE＝错误!，QE＝错误!，AQ＝２错误!，得cos∠AEQ＝错误!＝错误!.所以二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为错误!.立体几何证明问题中的转化思想典例：（１２分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A１B１C１D１的棱AB，CD，C１D１的中点．求证：（１）AN∥平面A１MK；（２）平面A１B１C⊥平面A１MK.思维启迪（１）要证线面平行，需证线线平行．（２）要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明（１）如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，∵四边形AA１D１D，DD１C１C都为正方形，∴AA１∥DD１，AA１＝DD１，C１D１∥CD，C１D１＝CD. [２分]∵N，K分别为CD，C１D１的中点，∴DN∥D１K，DN＝D１K，∴四边形DD１KN为平行四边形．[３分]∴KN∥DD１，KN＝DD１，∴AA１∥KN，AA１＝KN.∴四边形AA１KN为平行四边形．∴AN∥A１K. [４分]∵A１K平面A１MK，AN平面A１MK，∴AN∥平面A１MK. [6分]（２）如图所示，连接BC１.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，AB∥C１D１，AB＝C１D１.∵M，K分别为AB，C１D１的中点，∴BM∥C１K，BM＝C１K.∴四边形BC１KM为平行四边形．∴MK∥BC１. [8分]在正方体ABCD—A１B１C１D１中，A１B１⊥平面BB１C１C，BC１平面BB１C１C，∴A１B１⊥BC１.∵MK∥BC１，∴A１B１⊥MK.∵四边形BB１C１C为正方形，∴BC１⊥B１C. [１0分]∴MK⊥B１C.∵A１B１平面A１B１C，B１C平面A１B１C，A１B１∩B１C＝B１，∴MK⊥平面A１B１C.又∵MK平面A１MK，∴平面A１B１C⊥平面A１MK. [１２分]温馨提醒（１）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；（２）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；（３）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．方法与技巧１．证明线面垂直的方法（１）线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；（２）判定定理１：错误!⇒l⊥α；（３）判定定理２：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；（４）面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；（５）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β.２．证明线线垂直的方法（１）定义：两条直线所成的角为90°；（２）平面几何中证明线线垂直的方法；（３）线面垂直的性质：a⊥α，bα⇒a⊥b；（４）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.３．证明面面垂直的方法（１）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（２）判定定理：aα，a⊥β⇒α⊥β.４．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范１．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．２．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）Ａ．l∥m，l⊥αＢ．l⊥m，l⊥αＣ．l⊥m，l∥αＤ．l∥m，l∥α答案C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.２．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）Ａ．PA＝PB>PCＢ．PA＝PB<PCＣ．PA＝PB＝PCＤ．PA≠PB≠PC答案C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.３．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（）Ａ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γＢ．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mＣ．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nＤ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选Ｄ．４．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于（）Ａ．A′C′ Ｂ．BDＣ．A′D′ Ｄ．AA′答案B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.５．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：１BC⊥PC；２OM∥平面APC；３点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（）Ａ．１２Ｂ．１２３Ｃ．１Ｄ．２３答案B解析对于１，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BC⊥PC；对于２，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于３，由１知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故１２３都正确．二、填空题１PA⊥BC；２PB⊥AC；３PC⊥AB；４AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案３解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：１AC⊥PB；２AC∥平面PDE；３AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案１２解析如图，∵P—ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE平面PDE，A C⃘平面PDE，∴AC∥平面PDE.故１２正确．8．正方体ABCD—A１B１C１D１中，BB１与平面ACD１所成角的余弦值为________．答案错误!解析画出图形，如图，BB１与平面ACD１所成的角等于DD１与平面ACD１所成的角，在三棱锥D—ACD１中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD１内的射影为等边三角形ACD１的垂心即中心H，连接D１H，DH，则∠DD１H为DD１与平面ACD１所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD１H＝错误!＝错误!.三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．（１）求证：平面DEC⊥平面BDE；（２）求点A到平面BDE的距离．（１）证明因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，所以BD＝错误!，又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE.因为DE∩CD＝D，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE.（２）解如图，取CD的中点O，连接OE，因为△DCE是边长为6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝３错误!，易知EO⊥平面ABCD，则V E—ABD＝错误!×错误!×２×３×３错误!＝３错误!，又因为直角三角形BDE的面积为错误!×6×错误!＝３错误!，设点A到平面BDE的距离为h，则由V E—ABD＝V A—BDE，得错误!×３错误!h＝３错误!，所以h＝错误!，所以点A到平面BDE的距离为错误!.１0．（２0１２·江苏）如图，在直三棱柱ABC—A１B１C１中，A１B１＝A１C１，D，E 分别是棱BC，CC１上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B１C１的中点．求证：（１）平面ADE⊥平面BCC１B１；（２）直线A１F∥平面ADE.证明（１）因为ABC—A１B１C１是直三棱柱，所以CC１⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC１⊥AD.又因为AD⊥DE，CC１，DE平面BCC１B１，CC１∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC１B１.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC１B１.（２）因为A１B１＝A１C１，F为B１C１的中点，所以A１F⊥B１C１.因为CC１⊥平面A１B１C１，且A１F平面A１B１C１，所以CC１⊥A１F.又因为CC１，B１C１平面BCC１B１，CC１∩B１C１＝C１，所以A１F⊥平面BCC１B１.由（１）知AD⊥平面BCC１B１，所以A１F∥AD.又AD平面ADE，A １F平面ADE，所以A１F∥平面ADE.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）Ａ．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直Ｂ．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直Ｃ．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直Ｄ．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．２．（２0１２·江苏）如图，在长方体ABCD—A１B１C１D１中，AB＝AD＝３cm，AA１＝２cm，则四棱锥A—BB１D１D的体积为________ cm３.答案6解析连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝３，∴BD＝３错误!且AC⊥BD.又∵BB１⊥底面ABCD，∴BB１⊥AC.又DB∩BB１＝B，∴AC⊥平面BB１D１D，∴AO为四棱锥A—BB１D１D的高且AO＝错误!BD＝错误!.∵S矩形BB１D１D＝BD×BB１＝３错误!×２＝6错误!，∴VA—BB１D１D＝错误!S矩形BB１D１D·AO＝错误!×6错误!×错误!＝6（cm３）．３．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝２AB，则下列结论中：１PB⊥AE；２平面ABC⊥平面PBC；３直线BC∥平面PAE；４∠PDA＝４５°.其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．答案１４解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，１正确；∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，２错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，B C⃘平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，３错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝２AB，∴∠PDA＝４５°，∴４正确．４．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝２，AC＝BC＝错误!，等边三角形ADB以AB为轴转动．（１）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；（２）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解（１）取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝错误!，EC＝１．在Rt△DEC中，CD＝错误!＝２．（２）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：１当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.２当D不在平面ABC内时，由（１）知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.５．如图１所示，在边长为４的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图２所示．（１）求证：BD⊥平面POA；（２）当PB取得最小值时，求四棱锥P—BDEF的体积．（１）证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.（２）解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC为等边三角形．故BD＝４，HB＝２，HC＝２错误!.设PO＝x，则OH＝２错误!—x，OA＝４错误!—x.连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB２＝（２错误!—x）２＋２２.又由（１）知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB.所以PB＝错误!＝错误!＝错误!.当x＝错误!时，PB min＝错误!，此时PO＝错误!＝OH，所以V四棱锥P—BDEF＝错误!×S梯形BDEF×PO＝错误!×（错误!×４２—错误!×２２）×错误!＝３．。

8.5 空间中的垂直关系考纲要求1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线AB和一个平面(α)相交于点(O)，并且和这个平面内过交点(O)的________直线都垂直，我们就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作______，直线AB叫做平面(α)的______，平面α叫做直线l的______．(2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的____________垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，__________⇒l⊥α.(3)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于__________，那么这两条直线平行．符号表示：a⊥α，b ⊥α⇒a∥b；其作用：证明____平行与作平行线．(4)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直．2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条______，则两个平面互相垂直．符号表示：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于__________的直线垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a ⊥β.其作用：证明线面垂直与作面的垂线．1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2012北京模拟)已知如图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )．A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD3．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．4．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.一、直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.方法提炼证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用面面垂直的性质定理；(3)利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)利用结论：a⊥α，α∥β⇒a⊥β.请做演练巩固提升1,3二、平面与平面垂直的判定与性质【例2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P­MAB与四棱锥P­ABCD的体积之比．方法提炼1．证明平面与平面垂直，主要方法是判定定理，通过证明线面垂直来实现，从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决．2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来．请做演练巩固提升2要善于挖掘图形中存在的关系及添加辅助线【典例】 (12分)(2012课标全国高考)如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 规范解答：(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2分)又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .(4分) 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(6分) (2)设棱锥B ­DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.(8分)又三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积V ＝1，(10分) 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.(12分)答题指导：解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面； (2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力．另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达．1．已知α，β为不重合的两个平面，直线m ⊂α，那么“m ⊥β”是“α⊥β”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.4．(2012北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.图1 图2(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)任何l⊥α垂线垂面(2)两条相交直线l⊥a，l⊥b(3)同一个平面线线2．(2)垂线(3)它们交线基础自测1．B2．D 解析：A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.3．①②解析：③中l∥α也满足；④中α与β可能相交．4．证明：连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.设AD＝x，则BD＝22－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝ 2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.考点探究突破【例1】证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.①又由∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，得PA＝AC.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD.∴AE⊥PD.②由①②，得PD⊥平面ABE.【例2】 (1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，得PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G ，F 分别为PB ，PC 的中点， 所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，V P ­MAB ＝13×12×1×2×2＝23，所以V P ­MAB ∶V P ­ABCD ＝1∶4. 演练巩固提升1．A 解析：根据面面垂直的判定定理可知若m ⊂α，m ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．2．D 解析：对于命题A ，在平面α内存在直线l 平行于平面α与平面β的交线，则l 平行于平面β，故命题A 正确．对于命题B ，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B 正确．对于命题C ，设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，在平面γ内取一点P 不在l 上，过P 作直线a ，b ，使a ⊥m ，b ⊥n .∵γ⊥α，a ⊥m ，则a ⊥α，∴a ⊥l ，同理有b ⊥l .又a ∩b ＝P ，a ⊂γ，b ⊂γ， ∴l ⊥γ.故命题C 正确．对于命题D ，设α∩β＝l ，则l ⊂α，但l ⊂β. 故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 3．证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形， 所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.4．解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

5 垂直关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一. 教学目标1.掌握点与直线的垂直关系的判定方法及相关定义2.掌握线段之间的垂直关系的判定方法及相关定义3.掌握垂直平分线的相关定义和性质4.能够灵活运用所学知识解决实际问题二. 教学重点和难点1. 教学重点1.点与直线的垂直关系的判定方法及相关定义2.线段之间的垂直关系的判定方法及相关定义3.垂直平分线的相关定义和性质2. 教学难点1.如何判断垂直关系2.如何应用所学知识解决实际问题三. 教学内容及方法1. 教学内容知识点1：点与直线的垂直关系1.数学定义2.判定方法3.相关例题讲解知识点2：线段之间的垂直关系1.数学定义2.判定方法3.相关例题讲解知识点3：垂直平分线1.数学定义2.性质3.相关例题讲解2. 教学方法在讲解每个知识点时，采用讲解与练习相结合的方式进行教学。

在教学过程中，要通过生动的案例和实例来让学生更深刻地理解和掌握所讲解的知识点。

四. 教学过程及时间安排时间段内容10 min 引入：制造学生发现的场景，如手机的竖屏和横屏之间的切换20 min 知识点1：点与直线的垂直关系的判定方法及相关定义20 min 知识点2：线段之间的垂直关系的判定方法及相关定义10 min 休息30 min 知识点3：垂直平分线的相关定义和性质30 min 练习：运用所学知识解决实际问题20 min 总结：回顾本次课程内容，总结要点，提出需要注意的问题五. 教学评估在课程结束后，可以通过作业、小测验或课堂讨论来对学生的学习成果进行评估。

对于学习成果较好的学生，可以对他们进行表扬和奖励，鼓励他们在未来的学习中继续努力；对于学习成果较差的学生，可以针对他们的具体问题进行辅导和指导，帮助他们弥补知识上的差距。

六. 教学思考1.如何提升学生的主动性和自学能力2.如何让学生把知识运用到实际问题中3.如何鼓励学生积极参与课堂讨论，提高语言表达和沟通能力。

课时42 空间中的垂直关系(课前预习案)班级： 姓名：一、高考考纲要求 1.理解掌握两条直线垂直 2.理解掌握直线和平面垂直 3.理解掌握平面和平面垂直 二、高考考点回顾 1.两条直线垂直（1）定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直. （2）判定：<1>平面几何中的重要结论：①等腰三角形ABC 中，D 为BC 的中点，则 ；②若四边形ABCD 为菱形，则 ；③已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，则有 ； ④已知MN 为圆O 的一条弦，P 为MN 的中点，则有 . <2>若//a b ，b c ⊥，则 .<3>线面垂直的性质：若a α⊥，b α⊂，则 .2.直线和平面垂直（1）定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和 ，我们就说这条直线和这个平面垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ，交点叫做垂足. （2）判定：<1>线面垂直的判定定理： 如图（1）；<2>线面垂直判定定理的推论:如图（2）； <3>面面平行的性质：如图（3）； <4>面面垂直的性质：如图（4）.Cb βα3.面面垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作 . （2）两个平面垂直的判定： 三、课前检测1. 下列说法中正确的是（ ）A.如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；B.如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l α⊥；C. 如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内没有与l 垂直的直线；D. 如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也有无数条直线与直线l 垂直.2. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不确定3. 对于直线m 、n 和平面α、β，能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A.m n ⊥,//m α,//n β B. m n ⊥,m αβ=,n α⊂C.//m n ,n β⊥,m α⊂D. //m n ,m α⊥,n β⊥4. 设b ，c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,//,//b c c b αα⊂则 B.若,//,//b b c c αα⊂则 C.若,,c c ααββ⊂⊥⊥则D.若,,c c αβαβ⊂⊥⊥则A nm bαcbαβbαn m βα图⑴图⑵图⑶图⑷5.如图所示，已知A 是BCD ∆所在平面外一点，,,AB AD AB BC AD DC =⊥⊥，E 是BD 的中点.求证：平面AEC ⊥平面ABD ,平面AEC ⊥平面BCD .课内探究案班级： 姓名：考点一：线线垂直问题【典例1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，14AA =，5AB =. 点D 是AB 的中点，（I ）求证：1AC BC ⊥； （II ）求证：1//AC 面1CDB .【变式1】如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上.ECBA（1）求证：AE EC ⊥； （2）DE BE ⊥；（3）设点M 在线段AB 上，且MA MB =，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 面DAE .考点二 线面垂直问题【典例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，其中2AB =,60BAD ∠=.（I ）求证:BD ⊥平面PAC ；（II ）若PA AB =，求四棱锥P ABCD -的体积..MAEDCFDCBAP【变式2】已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥. 求证：AD ⊥面SBC ．考点三 面面垂直问题【典例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，120PAB ∠=，90PBC ∠=.（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.【变式3】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，E 是PD 的中点.（I ）求证：平面PDC ⊥平面PDA ；（II ）求几何体P ABCD -被平面ACE 分得的两部分的体积比A CDE V -：.P ABCE V -【当堂检测】班级： 姓名：1.已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是A. m ∥nB. n ⊥mC. n ∥αD. n ⊥α 2.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为 A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个3. 如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题： ①BC PC ⊥；ECA②//OM APC 平面；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中真命题的序号为 。

必考内容（必修+选修系列1，2）《数学1》(必修)全书共分四章：第一章集合；第二章函数；第三章指数函数和对数函数；第四章函数的应用全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题《数学2》(必修)本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，包括两部分内容：第一部分是立体几何初步，第二部分是解析几何初步。

全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题《数学3》（必修）本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的。

共分三章：第一章统计，第二章算法初步，第三章概率。

全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率π的值《数学4》（必修）全书共三章：第一章三角函数；第二章平面向量；第三章三角恒等变形。

§7.5垂直关系课标要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l 与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l 与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理2.直线和平面的夹角(1)定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角，一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是0°.(2)范围：0，π2.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理常用结论1．三垂线定理若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)2．(多选)下列命题中不正确的是()A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面βC．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABD解析若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确．3．(2023·石嘴山模拟)如图，PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面直径，C 是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A ，B 重合)，则下列说法错误的是()A ．PA ⊥平面ABCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥平面PBCD ．三棱锥P －ABC 的四个面都是直角三角形答案C解析因为PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面直径，C 是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A ，B 重合)，则PA ⊥平面ABC ，故A 正确；而BC ⊂平面ABC ，则PA ⊥BC ，又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，则有BC ⊥平面PAC ，故B 正确；由A 知，△PAB ，△PAC 都是直角三角形，由B 知，△ABC ，△PBC 都是直角三角形，故D 正确；假定AC ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，则AC ⊥PC ，即∠PCA ＝90°，而在△PAC 中∠PAC ＝90°，矛盾，所以AC ⊥平面PBC 不正确，故C 错误．4．过平面外一点P 的斜线段是过这点的垂线段的233倍，则斜线与平面α的夹角是________．答案π3解析如图，连接AB ，由PB ⊥α，知∠PAB 是线段PA 与平面α所成的角，在Rt △PAB 中，因为PA ＝233PB ，所以sin ∠PAB ＝PB PA ＝32∠PAB所以∠PAB＝π3，即线段PA与平面α的夹角为π3 .题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2024·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.(1)若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝23，求△BCC1的周长．(1)证明∵点B1在底面ABC内的投影是点C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)解如图，延长BC至点E，使BC＝CE，连接C1E，则B1C1綊CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綊B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝23，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝CE2＋C1E2＝4，BC1＝BE2＋C1E2＝27，∴△BCC1的周长为2＋4＋27＝6＋27.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.证明(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．(1)证明因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱锥A1－BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC与Rt△A1BC中，因为A1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.设A 1C ＝AC ＝x ，则A 1C 1＝x ，所以O 为CC 1中点，OC 1＝12AA 1＝1，又因为A 1C ⊥AC ，所以A 1C 2＋AC 2＝AA 21，即x 2＋x 2＝22，解得x ＝2，所以A 1O ＝A 1C 21－OC 21＝(2)2－12＝1，所以四棱锥A 1－BB 1C 1C 的高为1.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2(2023·邯郸模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)平面BEF ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .证明(1)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊂平面PAD ，PA ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PA ⊥平面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点，∴AB ∥DE ，且AB ＝DE ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD ∥BE ，∵BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD ，∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点，∴EF ∥PD ，∵EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ，∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P夹角的余弦值；(3)求PB1与平面AA1D1D夹角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图，则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P的夹角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD 1A 1＝60°，∴∠A 1AD 1＝30°，∴A 1B 1＝A 1D 1＝12AD 1＝2，∴A 1E ＝12A 1D 1＝1，AA 1＝3A 1D 1＝23，∴PE ＝12AA 1＝3，B 1E ＝A 1B 21＋A 1E 2＝5，∴在Rt △B 1PE 中，B 1P ＝B 1E 2＋PE 2＝22，∴cos ∠B 1PE ＝PE B 1P ＝322＝64，∴异面直线AA 1与B 1P 夹角的余弦值为64.(3)由(1)知，B 1A 1⊥平面AA 1D 1D ，∴∠B 1PA 1是PB 1与平面AA 1D 1D 的夹角，∴tan ∠B 1PA 1＝A 1B 1A 1P ＝2A 1P，∴当A 1P 最小时，tan ∠B 1PA 1最大，这时A 1P ⊥AD 1，A 1P ＝A 1D 1·AA 1AD 1＝3，得tan ∠B 1PA 1＝233，即PB 1与平面AA 1D 1D 夹角的正切值的最大值为233.cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用已知AO 是平面α的斜线，如图，A 是斜足，OB ⊥α，B 是垂足，则直线AB 是斜线AO 在平面α内的投影，设AC 是α内的任一过点A 的直线，且BC ⊥AC ，C 为垂足，又设AO 与直线AB 的夹角为θ1，AB 与AC 的夹角是θ2，AO 与AC 的夹角为θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2.典例如图，PA 是平面α的斜线，∠BAC 在平面α内，且∠BAC ＝90°，又∠PAB ＝∠PAC ＝60°，则PA 与平面α的夹角为________．答案45°解析作P在α内的正投影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α的夹角，所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°＝cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO＝22，故∠PAO＝45°，所以PA与平面α的夹角为45°.思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．跟踪训练3(多选)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E－ABCD－F，且该八面体的各棱长均相等，则()A．异面直线AE与BC的夹角为60°B．BD⊥CEC．平面ABF∥平面CDED．直线AE与平面BDE的夹角为60°答案ABC解析因为BC∥AD，所以∠EAD(或其补角)即为异面直线AE与BC的夹角，又AD＝DE＝AE，所以∠EAD＝60°，即异面直线AE与BC的夹角为60°，A正确；连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，根据正四棱锥的性质可知EF必过点O，且OE⊥平面ABCD，所以OE⊥BD，又BD⊥AC，OE∩AC＝O，OE，AC⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE，又CE⊂平面ACE，所以BD⊥CE，B正确；由对称性可知OE＝OF，OA＝OC，所以四边形AFCE为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE，同理BF∥平面CDE，又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，C正确；由AE＝AF，OE＝OF，得AO⊥EF，在正方形ABCD中，AO⊥BD，又BD∩EF＝O，所以AO⊥平面BEDF，所以∠AEO即为直线AE与平面BDE的夹角，设该八面体的棱长为2，则AO＝12AC＝12AB2＋BC2＝2，所以EO＝AE2－AO2＝2＝AO，所以∠AEO＝45°，D错误．课时精练一、单项选择题1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为() A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案B解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A是真命题；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B是假命题；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D是真命题．2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的投影O是△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心答案D解析如图所示，因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC内的投影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC内的投影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上．4．(2023·景德镇模拟)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n答案C解析由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正确；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因为n∥β，则m⊥n，故B正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故C错误；如图，设α∩β＝l，在平面β内作直线c⊥l，又因为α⊥β，则c⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因为n⊥β，c⊂β，所以n⊥c，从而有m⊥n，故D正确．5．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析设正方体的棱长为a，则由题意知，A 1C 1＝AC ＝2a ，A 1B ＝2a ，A 1C ＝3a ，当点P 为A 1A 的中点时，因为PA ⊥平面ABC ，则∠PAC ＝∠PAB ＝90°，∠ABC ＝90°.由BC ⊥平面PAB ，得BC ⊥PB ，即∠PBC ＝90°，则△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 都是直角三角形，即此时四面体P －ABC 是鳖臑；当点P 为A 1B 的中点时，因为BC ⊥平面ABB 1A 1，所以BC ⊥PB ，BC ⊥AB ，所以△PBC ，△ABC 为直角三角形．因为四边形ABB 1A 1是正方形，所以AP ⊥BP ，则△PAB 是直角三角形，又AP ⊥BC ，BP ∩BC ＝B ，所以AP ⊥平面PBC ，又PC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PC ，所以△PAC 是直角三角形，则此时四面体P －ABC 是鳖臑；当点P 为A 1C 的中点时，此时PA ＝PC ＝12A 1C ＝3a 2，又AC ＝2a ，由勾股定理可知，△PAC 不是直角三角形，则此时四面体P －ABC 不是鳖臑．6．在正三棱锥A －BCD 中，二面角A －BC －D 的平面角为60°，则AC 与平面BCD 夹角的正切值为()A.3B.33C.32D ．1答案C 解析取BC 的中点为E ，△BCD 的中心为G ，连接AE ，DE ，CG ，AG ，因为AB ＝AC ，BD ＝CD ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，可得二面角A －BC －D 的平面角为∠AED ，即∠AED ＝60°，因为三棱锥A －BCD 为正三棱锥，则AG ⊥平面BCD ，且DE，CG⊂平面BCD，则AG⊥DE，AG⊥CG，可得AG＝3EG，CG＝DG＝2EG，由AG⊥平面BCD，可知AC与平面BCD的夹角为∠ACG，所以tan∠ACG＝AGCG＝3EG2EG＝32.二、多项选择题7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是()A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F，C，D四点共面答案AD解析如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四点共面，故D正确．8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝12AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2 3.则下列说法正确的有()A．CD⊥平面EDPB．四棱锥P－EBCD外接球的体积为43πC．二面角P－CD－B的大小为π4D．直线PC与平面EDP夹角的正切值为2答案ABC解析对于A，∵E为AB的中点，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形EBCD为平行四边形，又AB⊥BC，∴四边形EBCD为矩形，∴CD⊥DE.∵PD＝AD＝22＋22＝22，CD＝2，PC＝23，∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正确；对于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，∴AE⊥DE，即PE⊥DE，∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，∴CD⊥PE，又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，∵矩形EBCD的外接圆半径r＝12×22＋22＝2，∴四棱锥P－EBCD的外接球半径R＝2＋1＝3，∴四棱锥P－EBCD外接球的体积V＝43πR3＝43π，B正确；对于C，∵CD⊥平面EDP，PD⊂平面EDP，∴PD⊥CD；又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角为∠PDE，∵PE ⊥DE ，PE ＝DE ＝2，∴∠PDE ＝π4，∴二面角P －CD －B 的大小为π4，C 正确；对于D ，∵CD ⊥平面EDP ，∴∠CPD 即为直线PC 与平面EDP 夹的角，∵CD ⊥PD ，PD ＝22，CD ＝2，∴tan ∠CPD ＝CD PD ＝222＝22，即直线PC 与平面EDP 夹角的正切值为22，D 错误．三、填空题9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面有________个．答案2解析在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面有平面ABCD 和平面A 1B 1C 1D 1，共两个．10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为5－12，则它的侧棱与底面夹角的正切值约为________．答案10－22解析画出如图所示示意图，设底面边长为a ，则塔高EF ＝5－12a ，AF ＝12AC ＝22a ，所以侧棱与底面的夹角∠EAF 的正切值为EF AF ＝5－12a 22a ＝10－22.11.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM ⊥PC (或MB ⊥PC )解析连接AC ，因为底面ABCD 各边都相等，所以AC ⊥BD ，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，PC 与平面MBD 内两条相交直线垂直，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD .12．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，BC ＝t ，若在线段AB 上存在点E ，使得EC 1⊥ED ，则实数t 的取值范围是________.答案(0,1]解析因为C 1C ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，可得C 1C ⊥ED ，由EC 1⊥ED ，EC 1∩C 1C ＝C 1，EC 1，C 1C ⊂平面ECC 1，可得ED ⊥平面ECC 1，所以ED ⊥EC ，在矩形ABCD 中，设AE ＝a ,0≤a ≤2，则BE ＝2－a ，由∠DEA ＋∠CEB ＝90°，可得tan ∠DEA ·tan ∠CEB ＝AD AE ·CB BE ＝t 2a (2－a )＝1，即t 2＝a (2－a )＝－(a －1)2＋1，当a ＝1时，t 2取得最大值1，即t 的最大值为1；当a ＝0或2时，t 2取得最小值0，但由于t >0，所以t 的取值范围是(0,1]．四、解答题13．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ABD 沿对角线BD 折起，记折起后点A 的位置为点P ，且使平面PBD ⊥平面BCD .求证：(1)CD ⊥平面PBD ；(2)平面PBC ⊥平面PCD .证明(1)因为AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，所以∠ABD ＝∠ADB ＝45°.又因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°.又∠BCD ＝45°，所以∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD .因为平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面PBD .(2)由CD ⊥平面PBD ，得CD ⊥BP .又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，所以BP ⊥平面PCD .又BP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD .14.如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12CD ＝1，PD ＝2.(1)若M 为PA 的中点，求证：AC ∥平面MDE ；(2)求直线PB 与直线CD 夹角的大小；(3)设平面PAD ∩平面EBC ＝l ，试判断l 与平面ABCD 能否垂直？并证明你的结论．(1)证明连接PC ，交DE 于点N ，连接MN ，∵四边形PDCE 为矩形，∴N 为PC 的中点，在△PAC 中，M ，N 分别为PA ，PC 的中点，∴MN ∥AC ，∵MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，∴AC ∥平面MDE .(2)解∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，∴AB ∥CD ，∴∠PBA 是直线PB 与直线CD 的夹角．∵四边形PDCE 为矩形，∴PD ⊥CD ，∵平面PDCE ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PDCE ，平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，∴PD ⊥平面ABCD ，∵AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，在Rt △PDA 中，∵AD ＝1，PD ＝2，∴PA ＝3，∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD ，又∵PD ⊥AB ，PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PA ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PA ，在Rt △PAB 中，∵AB ＝1，∴tan ∠PBA ＝PA AB ＝3，∴∠PBA ＝π3从而直线PB 与直线CD 的夹角为π3.(3)解l 与平面ABCD 垂直．证明如下：∵四边形PDCE 为矩形，∴EC ∥PD ，∵PD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴EC ∥平面PAD ，EC ⊂平面EBC ，∵平面PAD ∩平面EBC ＝l ，∴EC ∥l ，则l ∥PD ，由(2)可知PD ⊥平面ABCD ，∴l ⊥平面ABCD .15．(多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则下列说法正确的是()A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P －A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 夹角的取值范围是π4，π2D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 夹角的正弦值的最大值为63答案ABD 解析A 项，如图，连接B 1D 1，由正方体可得A 1C 1⊥B 1D 1，且BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则BB 1⊥A 1C 1，因为B 1D 1∩BB 1＝B 1，B 1D 1，BB 1⊂平面BD 1B 1，所以A 1C 1⊥平面BD 1B 1，又BD 1⊂平面BD 1B 1，所以A 1C 1⊥BD 1.同理，连接AD 1，易证得A 1D ⊥BD 1，因为A 1D ∩A 1C 1＝A 1，A 1D ，A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，所以BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；B 项，11P ACD V 锥－三棱＝11C A PD V 锥－三棱，因为点P 在线段B 1C 上运动，所以1A DP S △＝12A 1D ·AB 为定值，且C 1到平面A 1PD 的距离即为C 1到平面A 1B 1CD 的距离，也为定值，故三棱锥P －A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；C 项，当点P 与线段B 1C 的端点重合时，AP 与A 1D 的夹角取得最小值，最小值为π3，故C 错误；D 项，因为直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以若直线C 1P 与平面A 1C 1D 夹角的正弦值最大，则直线C 1P 与直线BD 1夹角的余弦值最大，即点P 运动到B 1C 中点处，直线C 1P 与直线BD 1的夹角为∠C 1BD 1，设正方体棱长为1，在Rt △D 1C 1B 中，cos ∠C 1BD 1＝C 1B BD 1＝23＝63，故D 正确．16．已知四边形ABCD 是正方形，将△DAC 沿AC 翻折到△D 1AC 的位置，点G 为△D 1AC 的重心，点E 在线段BC 上，GE ∥平面D 1AB ，GE ⊥D 1A.若CE ＝λEB ，则λ＝________，直线GB 与平面D 1AC 夹角的正切值为________．答案23解析如图所示，延长CG 交AD 1于点F ，连接BF ，则F 为AD 1的中点，如图所示，因为GE ∥平面D 1AB ，GE ⊂平面CBF ，平面CBF ∩平面D 1AB ＝BF ，所以GE ∥BF ，因为点G 为△D 1AC 的重心，所以CG ＝2GF ，所以CE ＝2EB ，λ＝2.取CA 的中点O ，连接OB ，GB ，GO ，OD 1，则OB ⊥AC ，设正方形ABCD 的边长为2，因为GE ∥BF ，GE ⊥D 1A ，所以BF ⊥D 1A ，又F 为AD 1的中点，所以AB ＝D 1B ＝2，在Rt △ABC 中，AC ＝22，OB ＝12AC ＝2，同理可得，D 1O ＝2，因为D 1O 2＋OB 2＝D 1B 2，所以OB ⊥D 1O ，又AC ∩D 1O ＝O ，所以OB ⊥平面D 1AC ，则GO 为GB 在平面D 1AC 上的投影，所以∠OGB 或其补角为直线GB 与平面D 1AC 的夹角，在Rt △OGB 中，GO ＝13D 1O ＝23，tan ∠OGB ＝OB OG ＝3.。

北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计一、教学目标1.了解垂直关系的定义及其性质；2.能够判断两条直线是否垂直；3.能够求垂直的直线之间的夹角大小；4.能够应用垂直关系解决问题。

二、教学重难点1.垂直关系的定义及其性质；2.求垂直的直线之间的夹角大小。

三、教学内容3.1 引入通过展示建筑物中多个垂直的直线，引导学生认识垂直关系的重要性，并引出垂直关系的定义与性质。

3.2 讲解（1）定义：•垂直：两条直线或两个平面相互垂直，当且仅当它们的交角为90度时。

•垂线：过给定点，与给定直线相交而且与该直线垂直的线段称为垂线。

（2）性质：•垂直的直线之间的夹角为90度。

•垂直的直线上任意两点与直线的距离相等。

3.3 实例演练1.给定两条直线，如何判断它们是否垂直？–检查这两条直线之间的夹角是否为90度。

2.已知一条直线L和直线L’上两个点A、B，如何在直线L’上找到与点A构成的垂线？–连接AB，过B点做L’的垂线，交于点C，则AC即为所求垂线。

3.在三角形ABC中，AC垂直于BC，如何求∠CAB的度数？–利用垂直关系求出∠ABC的度数，然后用三角形内角和定理求解。

3.4 训练与拓展1.已知四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90度，AC垂直于BD，求证:AD=BC。

2.在平面直角坐标系中，直线L：y=−2x+5，直线L’过点(2,3)且垂直于直线L，求直线L’的解析式及它与直线L的夹角大小。

3.学生自选问题解决，主要涉及垂直关系的应用。

四、教学方法1.案例教学法：通过实例演示和解题分析，引导学生掌握垂直关系的性质和应用。

2.问答教学法：通过提问，帮助学生理解概念，熟悉垂直关系的定义及其性质。

3.组织小组讨论：让学生在小组内讨论垂直关系的应用，激发学生思考和创新意识。

五、教学评价1.课堂练习，以掌握垂直关系的定义及其性质为主；2.课后习题，以巩固垂直关系的运用为主；3.课程设计，在实际问题中运用垂直关系解决问题，开发学生的思维能力和实际运用能力。

5 垂直关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.理解垂直线段的定义和性质，掌握求垂线段的方法。

2.能够判断两条直线的垂直关系，并证明两线垂直的方法。

3.能够利用垂直的性质解决实际问题。

二、教学重点1.垂直线段的性质及求解方法。

2.两条直线的垂直关系及证明方法。

三、教学难点1.如何正确理解垂直线段的定义和性质。

2.如何准确判断两条直线的垂直关系，并证明两线垂直的方法。

四、教学内容及教学方法1. 垂直线段的性质及求解方法（1）垂直线段的定义如果两个线段相交，且相交的角度为直角，则这两个线段互相垂直。

（2）垂直线段的性质•垂直线段相交于一点，交点处的四个角都是直角；•垂直线段中间的那条线段为两端线段的垂线；•垂直的线段互为垂线。

（3）求垂线段的方法以线段AB和直线l为例，求线段AB在直线l上的垂线段CD的方法：•求线段AB的中点O；•连接O和l的交点E；•以EO为直径作圆，与直线AB交于F和G两点，则FG即为所求的垂线段CD。

（4）教学方法•通过学生实际操作或展示幻灯片演示垂线段的定义和性质，帮助学生正确理解垂线段。

•通过多例题的演示，使学生掌握求解垂线段的方法，让学生在加深对垂线段定义和性质的基础上理解求解垂线段的方法。

2. 两条直线的垂直关系及证明方法（1）两条直线垂直的判定方法对于直线l和m，如果l和m的斜率的乘积为-1，则l和m互相垂直。

（2）两条直线垂直的证明方法以直线l和m相互垂直为例，有以下证明方法：•从点C向l和m分别作垂线CE和CF；•连接EF；•证明EF为l和m的交点。

（3）教学方法•通过举例让学生体会两条直线垂直的概念，并进一步理解两条直线垂直的判定方法。

•通过多例题的演示和学生操作，使学生掌握两条直线垂直的证明方法。

3. 实际问题的解决（1）垂足坐标的求解以直线l和点A为例，要求垂足坐标C的方法：•求出直线l的斜率k；•假设A的坐标为(x1,y1)，设垂足坐标为(Cx,Cy)，则垂线的斜率为-k；•推导出垂线的方程y = -kx + b，并带入点A的坐标求出b；•求出垂足坐标C的坐标式：Cx = (k * y1 + x1 - k * b)/(1 + k^2),Cy = (k * x1 + y1 - b * k^2)/(1+ k^2)。

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第五节垂直关系[考纲传真] 1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.２。

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．（对应学生用书第１0４页）［基础知识填充］1．直线与平面垂直ﻩ(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线ｌ与平面α内的任何直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直．（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行错误!⇒ａ∥b2.ﻩ（１)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(２）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直错误!⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面错误!⇒ｌ⊥α[知识拓展]ﻩ 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面．ﻩ 2.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．ﻩ 3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”)（1)直线ｌ与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α。

第四节垂直关系[最新考纲] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第131页)1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒ a∥b(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[常用结论]1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. ( )(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β. ( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×二、教材改编1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β＝l,那么l⊥γA[两个平面垂直,一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面,故A错误．选A.]2．如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S­EFG 中必有( )A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面A[四面体S­EFG如图所示：由SG⊥GE,SG⊥GF.且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面．故选A.]3．如图,三棱锥V­ABC中,VA＝VB＝AC＝BC＝2,AB＝23,VC＝1,则二面角V­AB­C的度数为________．60°[如图,取AB的中点D,连接VD,CD.由VA＝VB＝AC＝BC知,VD⊥AB,CD⊥AB,从而∠VDC就是二面角V­AB­C的平面角．在△VAB和△ABC中分别求得VD＝CD＝1,因此△VDC是等边三角形,故∠VDC＝60°.]4．在三棱锥P­ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC,则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心．(1)外(2)垂[(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA＝PC＝PB,所以OA＝OB＝OC,即O为△ABC的外心．图1 图2(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB＝P,PA,PB平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC＝P,PO,PC平面PGC,∴AB⊥平面PGC,又CG平面PGC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心．](对应学生用书第132页)⊙考点1 直线与平面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．证明直线与平面垂直如图,在斜三棱柱ABC­A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,M为棱BC的中点,BB1＝3,AB1＝10,∠CBB1＝60°.(1)求证：AM⊥平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABC­A1B1C1的体积．[解](1)证明：如图,连接B1M,因为底面ABC是边长为2的正三角形,且M为棱BC的中点,所以AM⊥BC,且AM＝3,因为BB 1＝3,∠CBB 1＝60°,BM ＝1,所以B 1M 2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7, 所以B 1M ＝7.又因为AB 1＝10,所以AM 2＋B 1M 2＝10＝AB 21, 所以AM ⊥B 1M . 又因为B 1M ∩BC ＝M , 所以AM ⊥平面BCC 1B 1.(2)设斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积为V ,则V ＝3VB 1­ABC ＝3VA ­B 1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM |＝12×2×3×sin 60°× 3 ＝92. 所以斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积为92.(1)已知线段的长度,一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直,如本例第(1)问．(2)解答本例第(2)问时,易误认为B 1M 是斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高,从而得到错误答案．证明空间两条直线垂直(2019·成都模拟)如图,在多面体ABCDFE 中,四边形ABCD 是矩形,四边形ABEF为等腰梯形,且AB ∥EF ,AF ＝2,EF ＝2AB ＝4AD ＝42,平面ABCD ⊥平面ABEF .(1)求证：BE ⊥DF ；(2)求三棱锥C ­AEF 的体积V .[解](1)证明：取EF 的中点G ,连接AG . ∵EF ＝2AB ,∴AB ＝EG .又AB ∥EG ,∴四边形ABEG 为平行四边形, ∴AG ∥BE ,且AG ＝BE ＝AF ＝2.在△AGF 中,GF ＝12EF ＝22,AG ＝AF ＝2,∴AG 2＋AF 2＝GF 2,∴AG ⊥AF . ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD ⊥AB .又平面ABCD ⊥平面ABEF ,且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB , ∴AD ⊥平面ABEF . 又AG平面ABEF ,∴AD ⊥AG .∵AD ∩AF ＝A ,∴AG ⊥平面ADF . 又∵AG ∥BE ,∴BE ⊥平面ADF . 又DF平面ADF ,∴BE ⊥DF .(2)连接DE .∵CD ∥AB ,且CD 平面ABEF ,AB平面ABEF ,∴CD ∥平面ABEF ,∴V C ­AEF ＝V D ­AEF .由(1)得,AD ⊥平面ABEF ,S △AEF ＝12×42×2＝4,∴V C ­AEF ＝V D ­AEF ＝13×4×2＝423.证明线线垂直一般是先证线面垂直,再根据线面垂直的性质得到线线垂直．[教师备选例题](2017·江苏高考)如图,在三棱锥A ­BCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明](1)在平面ABD 内,因为AB ⊥AD ,EF ⊥AD , 所以EF ∥AB . 又因为EF平面ABC ,AB平面ABC ,所以EF ∥平面ABC . (2)因为平面ABD ⊥平面BCD , 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,BC 平面BCD ,BC ⊥BD ,所以BC ⊥平面ABD .又因为AC平面ABC, 所以AD⊥AC.如图所示,在四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中,∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD,且PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,∴AE⊥平面PCD.又PD平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,且PA∩AD＝A,∴AB⊥平面PAD,而PD平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A,∴PD⊥平面ABE.⊙考点2 面面垂直的判定与性质证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决,注意：三种垂直关系的转化(1)(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A ．BM ＝EN ,且直线BM ,EN 是相交直线B ．BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线C ．BM ＝EN ,且直线BM ,EN 是异面直线D ．BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线B [取CD 的中点F ,DF 的中点G ,连接EF ,FN ,MG ,GB ,BD ,BE .∵点N 为正方形ABCD 的中心,∴点N 在BD 上,且为BD 的中点．∵△ECD 是正三角形,∴EF ⊥CD . ∵平面ECD ⊥平面ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD . ∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2,则FN ＝1,EF ＝3, ∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2. ∵EM ＝MD ,DG ＝GF ,∴MG ∥EF , ∴MG ⊥平面ABCD ,∴MG ⊥BG . ∵MG ＝12EF ＝32,BG ＝CG 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52,∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7. ∴BM ≠EN .∵BM ,EN 是△DBE 的中线,∴BM ,EN 必相交． 故选B.](2)(2019·青岛模拟)如图,四棱锥P ­ABCD 中,△PCD 为等边三角形,CD ＝AD ＝2AB ,E ,S ,T ,Q 为CD ,PA ,PB ,AD 的中点,∠ABC ＝∠BCD ＝∠PEA ＝90°,平面STRQ ∩平面ABCD ＝RQ .①证明：平面PAE ⊥平面STRQ ； ②若AB ＝1,求三棱锥Q ­BCT 的体积．[解] ①证明：因为E 为CD 的中点,CD ＝2AB ,∠ABC ＝∠BCD ＝90°,所以四边形ABCE 为矩形,所以AE ⊥CD .由已知易得RQ ∥CD ,所以RQ ⊥AE . 因为∠PEA ＝90°,PE ∩CD ＝E , 故AE ⊥平面PCD , 又因为AE平面ABCD .故平面PCD ⊥平面ABCD .因为PE ⊥CD ,所以PE ⊥平面ABCD . 因为RQ平面ABCD ,所以RQ ⊥PE .又PE ∩AE ＝E ,所以RQ ⊥平面PAE . 所以平面PAE ⊥平面STRQ .②由①可知,PE ⊥平面ABCD ,又T 是PB 的中点, ∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32,易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q ­BCT 的体积V ＝13×334×32＝38.解答本例T (2)第(2)问时,借助已知的点面距求高,这是常用的方法,求S △BCQ 时,可先求底边和高,再求面积．(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM 中,AB ＝AC ＝3,∠ACM ＝90°.以AC为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP ＝DQ ＝23DA ,求三棱锥Q ­ABP 的体积．[解](1)证明：由已知可得,∠BAC ＝90°,BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ,且AC平面ACD ,AD平面ACD ,AC ∩AD ＝A ,所以AB ⊥平面ACD .又AB平面ABC ,所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得,DC ＝CM ＝AB ＝3,DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ,所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE13DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE ＝1.因此,三棱锥Q ­ABP 的体积为V Q ­ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.⊙考点3 点到平面的距离求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离,经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键,一般的方法是利用辅助面法,所作的辅助面,一是要经过该点,二是要与所求点到面的距离的面垂直,这样在辅助面内过该点作交线的垂线,点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置,其体积相等的方法求解．定义法求距离(高)(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°,P 为平面ABC 外一点,PC ＝2,点P 到∠ACB两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为________．2 [如图,过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ,则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ,OF ⊥BC 于F , 连接PC ,PE ,PF ,则PE ⊥AC ,PF ⊥BC . 又PE ＝PF ＝3,所以OE ＝OF , 所以CO 为∠ACB 的平分线, 即∠ACO ＝45°.在Rt△PEC 中,PC ＝2,PE ＝3,所以CE ＝1, 所以OE ＝1,所以PO ＝PE 2－OE 2＝32－12＝ 2.](2)(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P ­ABC 中,AB ＝BC ＝22,PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4,O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上,且MC ＝2MB ,求点C 到平面POM 的距离． [解] ①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4,O 为AC 的中点, 所以OP ⊥AC ,且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知,OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ,OP ⊥AC ,OB平面ABC ,AC平面ABC ,OB ∩AC ＝O ,知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ,垂足为H . 又由①可得OP ⊥CH ,OP平面POM ,OM平面POM ,OP ∩OM ＝O ,所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2,CM ＝23BC ＝423,∠ACB ＝45°,所以OM ＝253,CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.解答本例T (2)第②问时也可以使用等体积法求解．[教师备选例题]如图,在四棱锥P ­ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ,∠APD ＝90°,且四棱锥P ­ABCD 的体积为83,求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积．[解](1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°, 得AB ⊥AP ,CD ⊥PD .由于AB ∥CD ,故AB ⊥PD ,因为AP ∩PD ＝P ,从而AB ⊥平面PAD . 又AB平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)在平面PAD 内作PE ⊥AD ,垂足为E .由(1)知,AB ⊥平面PAD ,故AB ⊥PE ,可得PE ⊥平面ABCD ,所以PE 为四棱锥的高．由AB ⊥平面PAD ,得AB ⊥AD ,又AB ∥CD ,AB ＝CD ,则四边形ABCD 为矩形．设AB ＝x ,则由已知可得AD ＝2x ,PE ＝22x . 故四棱锥P ­ABCD 的体积V P ­ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83,解得x ＝2.故四棱锥的高PE ＝2,从而PA ＝PD ＝2,AD ＝BC ＝22,PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ­ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.等体积法求距离(高)如图,在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,侧面ABB 1A 1为矩形,AB ＝1,AA 1＝2,D 是AA 1的中点,BD 与AB 1交于点O ,且CO ⊥平面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝2OA ,求三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高．[解](1)证明：在矩形ABB 1A 1中,由平面几何知识可知AB 1⊥BD , 又CO ⊥平面ABB 1A 1,∴AB 1⊥CO ,CO ∩BD ＝O ,BD ,CO 平面BCD ,∴AB 1⊥平面BCD .因为BC平面BCD ,∴BC ⊥AB 1.(2)在矩形ABB 1A 1中,由平面几何知识可知OA ＝33,OB ＝63, ∵OC ＝2OA ,∴OC ＝63, ∴AC ＝1,BC ＝233,S △ABC ＝23,设三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高为h ,即三棱锥A 1­ABC 的高为h . 又S △ABA 1＝22,由VC ­ABA 1＝VA 1­ABC 得 S △ABC ·h ＝S △ABA 1·OC ,∴h ＝62. 解答本例第(2)问的关键是把三棱柱的高转化为求三棱锥的高,再利用等体积法求解．[教师备选例题]如图所示,在五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且∠BAD ＝60°,EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝4,EF ∥AB ,M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求点F 到平面BDE 的距离． [解](1)证明：取BD 中点O ,连接OM ,OE , 因为O ,M 分别为BD ,BC 中点,所以OM ∥CD 且OM ＝12CD ,由已知EF ∥AB 且EF ＝12AB ,又在菱形ABCD 中,AB ∥CD 且AB ＝CD ,所以EF ∥CD 且EF ＝12CD .所以OM ∥EF 且OM ＝EF , 所以四边形OMFE 为平行四边形, 所以MF ∥OE. 又OE平面BDE,MF平面BDE,所以MF ∥平面BDE. (2)由(1)得FM ∥平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ,连接EH ,BH , 因为EA ＝ED ,所以EH ⊥AD ,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ,EH 平面ADE ,所以EH ⊥平面ABCD .由已知得EH ＝23,BE ＝EH 2＋HB 2＝26,所以等腰三角形BDE 的面积为S △BDE ＝12×26×42－62＝215.又S △BDM ＝12S △BCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4×32＝23,设F 到平面BDE 的距离为h ,由V E ­BDM ＝V M ­BDE 得13·S △BDM ·EH ＝13·S △BDE ·h ,即13×23×23＝13×h ×215, 解得h ＝2155,所以点F 到平面BDE 的距离为2155.(2019·武汉模拟)如图,在四棱锥P ­ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠DAB ＝π3,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ＝PD ＝102.(1)证明：PB ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．[解](1)如图,取AD 的中点H ,连接PH ,HB ,BD .∵底面ABCD 是边长为1的菱形,∴AD ＝AB ＝1,∴AH ＝12AD＝12, 由BH 2＝AB 2＋AH 2－2AB ·AH ·cos∠DAB , 得BH 2＝1＋14－2×1×12×12＝34,∴BH ＝32,∴AH 2＋BH 2＝AB 2, ∴BH ⊥AD .∵PA ＝PD ,H 为AD 的中点, ∴PH ⊥AD ,又PH ∩BH ＝H , ∴AD ⊥平面PHB ,又PB 平面PHB ,∴AD ⊥PB ,又AD ∥BC, ∴PB ⊥BC .(2)法一(定义法)：∵AD ∥BC ,BC平面PBC ,AD平面PBC ,∴AD ∥平面PBC ,∴点A 与点H 到平面PBC 的距离相等． 由(1)知AD ⊥平面PHB , ∴BC ⊥平面PHB ,又BC 平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PHB . 过点H 作HM ⊥PB 于M . 由平面PHB ∩平面PBC ＝PB , 知HM 即点H 到平面PBC 的距离．∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ,PH平面PAD ,PH ⊥AD ,∴PH ⊥平面ABCD , 又BH平面ABCD ,∴PH ⊥BH .PH ＝PA 2－AH 2＝32,BH ＝32,∴PB ＝PH 2＋BH 2＝3, ∴HM ＝PH ·BH PB ＝32×323＝34.法二(等体积法)：由(1)知,在△PAD 中,PH ＝PA 2－AH 2＝32,在△ABD 中,BH ＝32, 在△PHB 中,PB ＝PH 2＋BH 2＝ 3. 又PB ⊥BC ,∴S △PBC ＝32, 设点A 到平面PBC 的距离为h ,则有S △PBC ·h ＝S △ABC ·PH ,即32h ＝12×1×1×sin 2π3×32, 解得h ＝34.⊙考点4 直线与平面所成的角求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角．(1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3C [如图,连接AC 1,BC 1,AC . ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ,∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角,∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2,在Rt△ABC 1中,AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt△ACC 1中,CC 1＝AC 21－AC 2＝42－22＋22＝22,∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.](2)(2018·天津高考)如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB ＝2,AD ＝23,∠BAD ＝90°.①求证：AD ⊥BC ；②求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； ③求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．[解] ①证明：由平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD ＝AB ,AD ⊥AB ,可得AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥BC .②如图,取棱AC 的中点N ,连接MN ,ND . 又因为M 为棱AB 的中点,所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt△DAM 中,AM ＝1, 故DM ＝AD 2＋AM 2＝13. 因为AD ⊥平面ABC ,所以AD ⊥AC . 在Rt△DAN 中,AN ＝1, 故DN ＝AD 2＋AN 2＝13. 在等腰三角形DMN 中,MN ＝1, 可得cos∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以,异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326. ③如图,连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点,所以CM ⊥AB ,CM ＝ 3. 又因为平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD ＝AB ,而CM 平面ABC ,故CM ⊥平面ABD ,所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt△CAD 中,CD ＝AC 2＋AD 2＝4. 在Rt△CMD 中,sin∠CDM ＝CM CD ＝34. 所以,直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34. 在相互垂直的平面内作交线的垂线,是得到线面垂直的常用方法．1.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,点E 是线段CC 1的中点,则直线D 1E 与平面ADE 所成角的余弦值为( )A.35B.45C.55D.255A [如图所示,过点D 1作D 1F ⊥DE ,垂足为F ,而AD ⊥D 1F ,AD ∩DE ＝D ,故D 1F ⊥平面ADE ,则∠D 1EF 为D 1E 与平面ADE 所成的角,不妨设AB ＝2,则D 1E ＝5,DF ＝DD 1·cos∠D 1DF ＝DD 1·sin∠CDE ＝255,EF ＝355,故cos∠D 1EF ＝EF D 1E ＝35. 故选A.]2．(2019·天津高考)如图,在四棱锥P ­ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,△PCD 为等边三角形,平面PAC ⊥平面PCD ,PA ⊥CD ,CD ＝2,AD ＝3.(1)设G ,H 分别为PB ,AC 的中点,求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． [解](1)证明：连接BD ,易知AC ∩BD ＝H ,BH ＝DH . 又由BG ＝PG ,故GH ∥PD .又因为GH 平面PAD ,PD 平面PAD ,所以GH ∥平面PAD . (2)证明：取棱PC 的中点N ,连接DN . 依题意,得DN ⊥PC .又因为平面PAC ⊥平面PCD ,平面PAC ∩平面PCD ＝PC , 所以DN ⊥平面PAC .又PA 平面PAC ,所以DN ⊥PA . 又已知PA ⊥CD ,CD ∩DN ＝D , 所以PA ⊥平面PCD .(3)连接AN ,由(2)中DN ⊥平面PAC ,可知∠DAN 为直线AD 与平面PAC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形,CD ＝2且N 为PC 的中点, 所以DN ＝ 3.又DN ⊥AN ,在Rt△AND 中,sin∠DAN ＝DN AD ＝33. 所以,直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为33.。

第5节 垂直关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直. (2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥ba ∩b ＝O a αb α⇒l ⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥alβ⇒l⊥α1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或lα或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )A.bαB.b∥αC.bα或b∥αD.b与α相交答案 C3.(必修2P42A5改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解析如图，因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.答案 A4.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A.α⊥β且mαB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C6.(2018·安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则bα或b∥α，∴存在直线mα，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则bα或b∥α，又α∥β，所以bβ或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确.答案 C考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 (2019·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长. (1)证明 ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC 平面ABC ，BC ∩AB ＝B ，∴BC 1⊥平面ABC .(2)解 ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312，∴S △BCE ＝34＝12CE ·BC ·sin∠BCE ＝12CE ·32， ∴CE ＝1.考点二 面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2019·商洛模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝12AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面 △SAB 的面积. (1)证明 设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°， 则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°， 所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°， 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB ·cos 45°＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ， 所以BD ⊥平面SAD ，又BD 平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解 由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a . 作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ， 则SH ＝SD sin 60°＝62a ， 由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH 平面SAD ，所以BD ⊥SH . 又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ， 所以SH 为三棱锥S －BCD 的高， 所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD 平面SAD ，可得BD ⊥SD ， 则SB ＝SD 2＋BD 2＝2＋2＝2. 又AB ＝2，SA ＝6， 在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为4－64＝102， 则△SAB 的面积为12×6×102＝152.考点三 平行与垂直的综合问题多维探究角度1 多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明 (1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面PAD . 所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，且PA ∩AB ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB .又PD 平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形. 所以EF ∥DG .又因为EF 平面PCD ，DG 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度2 平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P －ABC 的高.又PA ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 (2019·湖北六市联考)如图，在Rt△ABC 中，AB ＝BC ＝3，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P －EF －B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P －EBCF 的侧面积．(1)证明 因为在Rt△ABC 中，AB ＝BC ＝3， 所以BC ⊥AB .又因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，又因为PE ∩BE ＝E ，PE ，BE 平面PBE ， 所以EF ⊥平面PBE ，所以EF ⊥PB .(2)解 因为EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，所以∠PEB 是二面角P －EF －B 的平面角， 即∠PEB ＝60°，在△BEP 中，PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3， 所以PB 2＋BE 2＝PE 2，所以PB ⊥BE ，所以PB ，BC ，BE 两两垂直， 又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，所以△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2.在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H ，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos∠PFC＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin∠PFC ＝152. 所以四棱锥P －EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152. 规律方法 1.本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况．根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中．2．第(1)问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明．第(2)问的解决过程中要清楚二面角P －EF －B 的平面角是哪一个，并且利用这个角的大小找出四棱锥中各线、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四棱锥的侧面积．【训练3】 (2019·长沙模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .(1)求证：AC ⊥平面FBC ； (2)求四面体FBCD 的体积；(3)线段AC 上是否存在点M ，使EA ∥平面FDM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明 在△ABC 中，因为AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为AC ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，BC ，FB 平面FBC ， 所以AC ⊥平面FBC .(2)解 因为AC ⊥平面FBC ，FC 平面FBC ， 所以AC ⊥FC .因为CD ⊥FC ，AC ∩CD ＝C ，所以FC ⊥平面ABCD . 在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1，所以FC ＝1.所以△BCD 的面积为S ＝34. 所以四面体FBCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解 线段AC 上存在点M ，且点M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM .证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，取AC 的中点M ，连接MN . 因为四边形CDEF 是正方形，所以点N 为CE 的中点． 所以EA ∥MN .因为MN 平面FDM ，EA 平面FDM ，所以EA ∥平面FDM .所以线段AC 上存在点M ，且M 为AC 的中点，使得EA ∥平面FDM 成立． 考点四 线面角、二面角的概念及应用【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析 由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt△ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案 8π(2)已知正三棱锥P －ABC 的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体积为324，则其侧面积为________．解析 如图所示，设AB 的中点为M ，连接CM ，PM ，由正三棱锥的性质可知PM ⊥AB ，CM ⊥AB ，所以∠PMC ＝60°，设点P 在平面ABC 上的射影为H ，则H 是CM 靠近M 的三等分点，设AB ＝a ，则MH ＝36a ，在直角三角形PMH 中，PH ＝12a ，故三棱锥P －ABC 的体积为13×34a 2×12a ＝324a 3＝324，解得a ＝1，则PM ＝33，故S △PAB ＝12×1×33＝36， 所以三棱锥的侧面积为3S △PAB ＝3×36＝32. 答案32规律方法 (1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量．(2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系．如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直，(2)题中PM 与AB ，CM 与AB 垂直．【训练4】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( ) A ．8 B ．6 2 C ．8 2D ．8 3解析 连接BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠AC 1B ＝30°，AB ⊥BC 1，所以△ABC 1为直角三角形．又AB ＝2，所以BC 1＝2 3.又B 1C 1＝2，所以BB 1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V ＝2×2×22＝8 2. 答案 C(2)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，且AB ＝2，若平面A 1BD 和平面ABCD 所成的二面角为45°，则A 1A ＝________．解析 如图所示，连接AC ，交BD 于O ，则AO ⊥BD ，连接A 1O ，由于A 1B ＝A 1D ，所以A 1O ⊥BD ，则∠A 1OA 即为二面角的平面角，即∠A 1OA ＝45°，所以A 1A ＝AO ＝22AB ＝ 2.答案 2[思维升华]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化[易错防范]1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.直观想象——立体几何中的动态问题1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．2．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等． 3．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， 所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.答案 B【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图像是( )解析 过M 作MN ⊥AB ，交AB 于N ，则MN ⊥平面ABCD ，过N 作NQ ∥AD ，交CD 于Q ，过Q 作QH ∥PD ，交PC 于H ，连接MH ，则平面MNQH 是所作的平面α， 由题意得2－x 2＝MN4，解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QHPD.即2－x 2＝QH25，解得QH ＝5(2－x )，过H 作HE ⊥NQ ，在Rt△HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ，∴NE ＝2－(2－x )＝x ，∴MH ＝x . ∴y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）2＝－x 2＋4(0<x <2)．∴函数y ＝f (x )的图像如图．故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l.答案 C2.(2018·萍乡调研)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若mα，则m⊥βB.若mα，nβ，则m⊥nC.若mα，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α解析对于A：若mα，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若mα，nβ，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若mα，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误.答案 C3.(2019·泉州模拟)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q 六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.答案 D4.(2019·广州一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥nB.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC.若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD.若α∥β，mα，nβ，则m∥n解析若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，mα，nβ，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，mα，nβ，则m∥n或m，n异面，故D错误.答案 B5.(2018·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部解析连接AC1，如图.∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上.故选B.答案 B二、填空题6.如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有____________；与AP 垂直的直线有____________.解析 因为PC ⊥平面ABC ，所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC .因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为AP 平面PAC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB . 答案 AB ，BC ，AC AB7.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可).解析 连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥PC .所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC 平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD .答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC )8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________.解析 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角. 因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22， 又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 答案 13三、解答题9.(2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD.∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF平面ADP，AG平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA∥平面CEF.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·郑州一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正确.∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确.由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.答案 B12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )A.2B.3C.4D.5解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC.∵D1E平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1.又BC平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC⊥平面ABD1，AD1平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面相互垂直.故选B.答案 B13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF，由已知可得A1B1＝2，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝12h . 又12×2×2＝12×h 22＋（2）2， 所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12×22x ， 得x ＝12. 答案 12 14.如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体.(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离.(1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，DC 平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB 平面ABD ，所以DC ⊥AB ，又因为AD ⊥AB ，且DC ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC .(2)解 由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠DAC 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角.依题意得tan∠DAC ＝CD AD＝6，因为AD ＝1，所以CD ＝6，设AB ＝x (x >0)，则BD ＝x 2＋1，因为△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD ，即x1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3. 由于AB ⊥平面ADC ，AC 平面ADC ， 所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点， 所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，因为BD ⊥DC ，E 为BC 的中点，所以DE ＝BC 2＝32，所以S △ADE ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.因为DC ⊥平面ABD ，所以V A －BCD ＝V C －ABD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d .则由13d ·S △ADE ＝V B －ADE ＝V A －BDE ＝12V A －BCD ＝36， 得d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.。