3.2立体几何中的向量方法第2课时 空间向量与垂直关系 教案(人教A版选修2-1)

第2课时空间向量与垂直关系1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间中垂直关系的向量表示阅读教材P103～P104练习以上部分，完成下列问题.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交【解析】 ∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B[小组合作型]111BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .图3-2-8【精彩点拨】 (1)若选AB →，AC →，AA 1→为基向量，你能用基向量表示AB 1→与MN →吗？怎样证明AB 1→与MN →垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量AB 1→与MN →并证明它们垂直吗？【自主解答】 设AB 的中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直. (2)坐标法①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.[再练一题]1.如图3-2-9，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点.在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由.【导学号：37792133】图3-2-9【解】 如图所示，建立以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴的坐标系，则C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0).设N (0,0，h )，则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ，DC 1→＝(0,2,3)，由MN →·DC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h .∴当h ＝43时，MN →·DC 1→＝0，此时MN →⊥DC 1→. ∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.1111F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3-2-10【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE →与法向量共线.【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1D 1→＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·D 1F →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z . 令z ＝1，则n ＝(0,2,1). 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →.∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1.坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决.[再练一题]2.如图3-2-11，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面P AC .【导学号：37792134】图3-2-11【证明】 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0，1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA →＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB 1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面P AC ，CA ⊂平面P AC . 故直线PB 1⊥平面P AC .[探究共研型]探究 【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可.如图3-2-12所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3-2-12【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直.以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝－2,0，12. 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎨⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0).设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4). ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.[再练一题]3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .【导学号：37792135】【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2).同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .1.若直线l 的方向向量a ＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A.l ∥αB.l ⊥αC.直线l 与平面α相交但不垂直D.无法确定【解析】 ∵μ＝14a . ∴μ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B2.已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2).由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23. 【答案】 B3.已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5. 【答案】 －54.如图3-2-13，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1⊥CD?【导学号：37792136】图3-2-13【解】 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4).(1)证明：∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC →⊥BC 1→. ∴AC ⊥BC 1.(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ， 设AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0,1]， 则D (3－3λ，4λ，0)， 于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)， ∵AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ， ∴－9＋9λ＝0，得λ＝1. ∴在AB 上存在点D ， 使得AC 1⊥CD ， 且这时点D 与点B 重合.。

绝密★启用前人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法一、选择题1．【题文】已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则 ( )A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直2．【题文】已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是（ ） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．13．【题文】已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（ ）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角4．【题文】在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（ ）A ．14B ．13C ．23D ．115．【题文】长方体1111ABCD A BC D -中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010B.3010 C. 21510D.310106．【题文】在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11A C D 间的 距离为（ ）A ．63B ．33 C ．332 D ．237．【题文】如图，在四面体OABC 中，G 是底面△ABC 的重心，则OG 等于（）GCABOA.OC OB OA ++B.111222OA OB OC ++C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC ++8．【题文】在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值 （）A ．32 B ．37C ．23D ．73二、填空题9．【题文】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．10．【题文】已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为60°，M 为PA 的中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是________．11．【题文】如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是______．三、解答题12．【题文】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上异于A 、B 的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A --的余弦值．13．【题文】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)若AB ＝BB 1＝2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．14．【题文】直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面A B C D为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC .设2AB =. (1)求二面角1E AC D --的大小；(2)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由.人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】A【解析】∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0.b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】A【解析】|a |＝2222+4+6x =，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，又u ，分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，故选B. 考点：空间向量在解决空间垂直中的应用. 【题型】选择题【难度】较易 4． 【答案】B【解析】因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，22202313∴=++=OB ．故选B ． 考点：空间中两点间的距离． 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】B【解析】建立坐标系如图所示，则A (1, 0, 0)，E (0, 2, 1)，B (1, 2, 0)，C 1(0, 2, 2)，则1BC ＝(－1, 0, 2)，AE ＝(－1，2, 1)．cos 〈1BC ，AE 〉＝11AE BC AE BC ⋅⋅＝3010. 所以异面直线BC 1与AE所成角的余弦值为3010.故选B.考点：异面直线所成角的向量求法. 【题型】选择题 【难度】较易 6．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()(),,11,0,10,,,10,1,10x y x y ⋅-=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩()1,1,1,1,1,x n y =⎧⇒∴=⎨=⎩又(1,0,0)AD =-，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离()()2221,0,01,1,133111AD n d n⋅-⋅===++，故选B.考点：面与面间的距离的向量求法. 【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】D【解析】由题意知，()()11=+=+=33OG OA AG OA AC AB OA OC OA OB OA ++-+- =111333OA OB OC ++，故选D. 考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA 所在直线为轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ，则）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，则）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴⊥GE 平面ABD ，∴0=⋅BD GE ，解得2=a ．∴）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=BA ， ∵⊥GE 平面ABD ，∴GE 为平面ABD 的一个法向量．32323634||||,cos 111=⋅=⋅⋅>=<BA GE BA GE BA GE ， ∴B A 1与平面ABD 所成的角的余弦值为37，故选B.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9． 【答案】66【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1, 0, 2)，B (0, 1, 0)，A (1, 0, 0)，C (0, 0, 0)，则1A B ＝(－1, 1，－2)，AC ＝(－1, 0, 0)，cos 〈1A B ，AC 〉＝11A B AC A B AC⋅⋅＝1114++＝66. 考点：异面直线夹角的向量求法. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a ，由已知可得正四棱锥的高为62a ，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，D 2,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P 60,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 260,,44a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则DM ＝226,,244a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 〈DM ，n 〉＝n DM n DM⋅⋅＝22，所以DM 与平面PAC 所成的角为45°.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】填空题 【难度】一般 11． 【答案】平行【解析】分别以C 1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M 2(,,)33a a a ，N 22(,,)33a a a ，∴MN ＝2(,0,)33a a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴11C D ＝(0，a,0)，∴MN ·11C D ＝0，∴MN ⊥11C D .∵11C D 是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .考点：向量法求线面关系. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）见解析（2）64【解析】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC . (2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)，故CB ＝(3，0,0)，CP ＝(0,1,1)，设平面BCP 的法向量为1n ＝(x 1，y 1，z 1)，则110,0,n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以111300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＋＝，令y 1＝1，则1n ＝(0,1，－1)．AP ＝(0,0,1)，AB ＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为2n ＝(x 2，y 2，z 2)，则220,0,n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩-＝，＝，令x 2＝1，则2n ＝(1，3，0)．于是cos 〈1n ，2n 〉＝322＝64.由题意可知二面角C PB A --的余弦值为64. 考点：空间二面角的向量求法. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】（1）见解析（2）23535【解析】(1)证明：因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，则O 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在△A 1BC 中，OD ∥A 1B ，因为A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1. (2)因为△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -.由已知AB ＝BB 1＝2，得D (0,0,0)，A (3，0, 0)，A 1(3，0, 2)，C 1(0，-1, 2)，则DA ＝(3，0, 0)，1DC ＝(0，-1，2)，设平面AC 1D 的法向量为＝(x ，y ，z )，则10,0,n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,20,x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z ＝1，则x ＝0，y ＝2，∴＝(0,2,1)， 又1DA ＝(3，0,2)，∴cos 〈1DA ，〉＝257⋅＝23535，设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1DA ，〉|＝23535， 故A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为23535.考点：线面角的向量求法. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】（1）45︒（2）存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE = 【解析】(1)设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D --- (0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1D AC ，111,D E AC D E D A ∴⊥⊥,220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E .1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-，设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =， 则,,m CA m AE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即230,330,x x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1z =-，则0,3x y ==，()0,3,1m ∴=-. 又平面1D AC 的一个法向量为()10,2,1D E =，1112cos ,==2m D E m D E m D E⋅∴⋅， ∴二面角1E AC D --大小为45.(2)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++ 111121(3,1,0)(0,,)(3,,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==--+=-++++，1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-⨯+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =考点：空间向量法求二面角. 【题型】解答题 【难度】一般。

3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。

第2课时 空间向量与垂直关系空间中垂直关系的向量表示否垂直？[提示] 垂直．1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2B [因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.]3．若直线l 1的方向向量为u 1＝(1，3，2)，直线l 2上有两点A (1，0，1)，B (2，－1，2)，则两直线的位置关系是______．l 1⊥l 2 [AB →＝(1，－1，1)，u 1·AB →＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l 1⊥l 2.]4．已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1，0，1)，u 2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．α⊥β [u 1·u 2＝0，则α⊥β.]1111求证：AB 1⊥平面A 1BD .思路探究：法一：通过证明AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，得到AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD 法二：证明AB 1→与平面A 1BD 的法向量平行．[证明] 法一：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC . 因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)．所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 法二：建系同方法一．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BA 1→n ⊥BD →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝－x ＋2y ＋3z ＝0，n ·BD →＝－2x ＋y ＝0，令x ＝1得平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，2，－3)， 又AB 1→＝(1，2，－3)，所以n ＝AB 1→，即AB 1→∥n . 所以AB 1⊥平面A 1BD .1．坐标法证明线面垂直有两种思路 法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．1.如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面PAC .[证明] 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D ­xyz ，则C (1，0，0)，P (0，0，1)，A (0，1，0)，B 1(1，1，2)，于是CA →＝(－1，1，0)，CP →＝(－1，0，1)，PB 1→＝(1，1，1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面PAC ，CA ⊂平面PAC . 故直线PB 1⊥平面PAC .11111的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.[解] 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1，1，0)． 设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1，4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．2．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[证明] 如图，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，因为D 为BC 的中点， 所以D 点坐标为(1，1，0)，所以BC →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，因为BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0， 所以BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，所以BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，又AD ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ADA 1，而BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.空间垂直关系的解决策略1．若直线l 的方向向量a ＝(8，－12，0)，平面α的法向量μ＝(2，－3，0)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．直线l 与平面α相交但不垂直D ．无法确定 B [∵μ＝14a .∴μ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知AB →＝(2，2，1)，AC →＝(4，5，3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 B [设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2，2)．由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1，2，3)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________．－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .。

§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是=（，0，），设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）.n＝(x，y，z)．则n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝(,0，)·(1，－1，－1)＝0，方法二∵ =∴∥，又∵MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.知识点三利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．于是＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，故＝3，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．＝(0，－1，－1)，＝(0，－1，－1)，设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥，∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.这样n·= 0,∴n⊥即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.（2）∵=（1，1，1），=（1，1，0），=（0，3，3），∴·=11= 0，·=33 = 0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，∴EG是PG与BC的公垂线段.知识点四利用向量方法求角四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．解(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D—xyz，∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD⊥面ABCD得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角．∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2．∴P(0,0,2)．（2）∵＝(2,0，－2)，=（2，3，0）∴cos〈,〉=∴PA与BC所成角的余弦值为．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA 与平面MNB所成二面角的余弦值．解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一∵△AMN，△BMN为等腰三角形，∴AG⊥MN，BG⊥MN.∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．∵AG=BG=,，设〈，〉=θ，2＝2＋2·＋2，∴1＝()2＋2××cosθ＋()2.∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz则M(，0，)，N (,,0)，中点G(，，)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．∴＝(，－，－)，＝(，－，－)，∴ cos<, >==,故所求二面角的余弦值为．方法三建立如方法二的坐标系，∴即取n1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN的法向量n2＝(1，－1，－1)．∴cos〈n1，n2〉＝,故所求二面角的余弦值为知识点五用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)．＝(0,2,0)，＝(－2,4,0)，设向量⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x，y，z，使= x+ y+ z，即= x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）=（2y4z，2x+4y，2z）.由BM⊥平面GEF，得⊥,⊥，于是·＝0，·＝0，即即，解得∴＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝∴||＝即点B到平面GEF的距离为．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．解作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，，0)，D (－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB与MD所成角为θ，∵＝(1,0,0)，＝(－，，－1)，∴cos =．∴θ＝．∴AB与MD所成角的大小为．（2）∵=（0,，），=（，，）,∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n·=0，n·= 0.得取z=，解得n = (0,4,).设点B到平面OCD的距离为d,则d为在向量n上的投影的绝对值.∵=（1，0，2），∴d＝,∴点B到平面OCD的距离为,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A．(，，－) B．(，－，)C．(－，，) D．(－，－，－)答案 D＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴令x＝1，则y＝1，z＝1∴n＝(1,1,1)单位法向量为：＝± (,，)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( ) A．1 B．2 C．D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案 A解析因v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析设〈，〉=θ，·=（++·= ||2= 1，cosθ=,所以θ=606．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．B．C．－D．答案 B解析设异面直线l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________．答案，解析=（6，0，0），因为点A在直线l上，n与l垂直，所以点P到直线l的距离为8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案或，解析设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)则cos〈n1，n2〉＝〈n1，n2〉＝．因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为________．答案11解析设平面ABC的一个法向量为n =（x,y,z）则令x=1,则n = (1,2,),=（7，7，7）故所求距离为,10．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：PB⊥平面DEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系，设DC＝a，AC∩BD＝G，连结EG，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，，)，G (，，0)．于是=（a，0，a），=（，0，）,∴= 2，∴PA∥EG.又EG平面DEB.PA平面DEB.∴PA∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得=(a, a, a),又=（0, ,）,∵·=∴PB⊥DE.又EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=（1，0，0），= (0,0,1).连结BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设= (m,m,1) (m>0),由已知〈,〉= 60,由·= ||||cos〈,〉,可得2m =解得m =，所以＝(，，1)，(1)因为cos〈,〉=(2)所以〈,〉= 45,即DP与CC′所成的角为45.(2)平面AA′D′D的一个法向量是= (0,1,0).因为cos〈,〉=所以〈,〉= 60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30.12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD⊥平面PAC，(1)求点A到平面PBD的距离;(2)求异面直线AB与PC的距离.(1)解以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），P（3，0，2）.设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.由n1⊥，n1⊥，可得n1=（1，0，）.（1）=（，0，0），点A到平面PBD的距离,,13.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，请说明理由.解以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，并设=λ=λ（0，0，3a）=（0，0，3λa）（0<λ<1），∵D为A1C1的中点，∴D(，,3a)＝(，,3a)－(0,0,3a)＝(,，0)，=∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥, ⊥,即解得λ＝或λ＝∴存在点F使CF⊥面B1DF，且当λ=时，||=,|| = a当λ=，|| =,|| = 2a.14．如图(1)所示，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O—AC—O1的余弦值．(1)证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, )、O1(0,0, )．·＝－3＋·＝0.所以AC⊥BO1.（2）解因为·=+ ·＝0.所以BO1⊥OC.由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一个法向量.设n=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，由取z= ，得n=（1，0，）.设二面角O-AC-O1的大小为θ，由n 、的方向可知θ=〈n,〉，所以cosθ= cos〈n ，〉=即二面角O—AC—O1的余弦值是.。

3.2.2 向量法在空间平行关系中的运用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，掌握利用空间向量证明空间平行关系. （二）学习目标1．利用直线方向向量证明空间中的线线平行2．利用直线方向向量和平面的法向量证明空间中的线面平行 3．利用平面的法向量证明空间中的面面平行 4．学会应用向量解决与平行相关的探究性问题 （三）学习重点1．利用直线方向向量证明空间中的线线平行.2．利用直线方向向量和平面的法向量证明空间中的线面平行集合的表示法：列举法、描述法． 3．利用平面的法向量证明空间中的面面平行常用数集的表示符号． （四）学习难点1．对向量法证明空间平行关系的理解． 2．对各种证明方法的熟练掌握． 3．怎样设空间中未知点的坐标． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务填一填:空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，且2220a b c ≠，则//l m ⇔//a b ⇔a b λ= ⇔111222222(0)a b c a b c a b c ==≠ (2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则//l α ⇔a n ⊥ ⇔0a n = ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为1n ＝(a 1，b 1，c 1)，2n ＝(a 2，b 2，c 2)，则//αβ ⇔12//n n⇔12n n λ= ⇔ 111222222(0)a b c a b c a b c ==≠ 2．预习自测1.已知直线l 的方向向量为(1,m,1)，平面α的法向量为1(1,,2)2，且l ∥α，则m ＝答案：-6解析：【知识点】用向量法判断直线和平面的位置关系的应用【解题过程】()11//,1,,11,,20,11120,622l m m m ⎛⎫=⨯+⨯+⨯==- ⎪⎝⎭∵∴∴∴α点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直2.已知线段AB 的两端点的坐标为A (9,-3,4)，B (9,2,1)，则与线段AB 平行的坐标平面是( ) A ．xOy B ．xOz C ．yOz D ．xOy 或yOz 答案：C ．解析：【知识点】用向量法判断直线和平面的位置关系 【解题过程】()()0,5,3,1,0,00AB AB =-∴=点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直3.已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝6，y ＝152 答案：D ．解析：【知识点】利用方向向量证明线线平行 【解题过程】()()15//,2,4,53,,,6,2a b x y x y λ∴=∴==点拨：用向量法证明线线平行即是证明两直线的方向向量平行. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）直线方向向量和平面法向量的求法（2）利用直线方向向量判断直线和直线的位置关系 （3）利用平面的法向量判断平面和平面的位置关系 2．问题探究探究一 结合例子，认识向量证明空间平行关系的方法★ ●活动 归纳提炼概念上节课我们学习了直线的方向向量和平面的法向量，回忆一下，直线的方向向量和平面的法向量是否能够确定直线和平面的位置呢？（抢答）如果我们确定了直线和平面的位置后，直线和直线之间，直线和平面之间，平面与平面之间相对位置关系是不是也能确定了呢？（抢答） 想一想：那么空间直线的方向向量能够用来做什么呢？ 可以证明两直线垂直，两直线平行，两直线间夹角等. 我们首先来研究用向量解决空间中的平行关系.思考：如何利用直线的方向向量证两直线平行?（可以抢答）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ,则由向量共线的条件1212////v v l l ⇒.这样在证明12//l l 时,结合空间图形,分别在两直线上适当地选取方向向量1v 和2v ,证明12//l l 可转化为证明12//v v ,即证明12v kv = (k 是某个实数)想一想：我们怎样用向量法来判断直线与平面的平行呢？ （可以抢答）设直线l 的方向向量为v 和平面α的法向量分别为n ,结合空间图形,显然当//v n l α⊥⇒.这样在证明//l α时,分别在直线l 上适当地选取方向向量v ，在平面α上适当地选取法向量n ，证明//l α可转化为证明v n ⊥,即证明0v n =想一想：我们怎样用法向量来判断两不同平面的位置关系呢？ （可以抢答）设平面α和β的法向量分别为1n 和2n ,结合空间图形,显然有12////n n αβ⇒.这样在证明//αβ时,分别在两平面上适当地选取法向量1n 和2n ，证明//αβ可转化为证明12//n n ,即证明12n kn = (k 是某个实数)【设计意图】通过图象和实例，得出证明空间平行关系的方法 探究二 利用向量证明空间平行●活动① 利用直线的方向向量证明线线平行例1 如图所示,在长方体1111OAEB O A E B -中，3OA =，4OB =，12OO =，点P 在棱1AA 上,且12AP PA =,点S 在棱1BB 上,且12SB BS =,点,Q R 分别是11,O B AE 的中点,求证://PQ RS .答案：见解析解析：【知识点】利用方向向量证明线线平行 【解题过程】证明:如图所示,以O 为原点,建立空间直角坐标系,A (3,0,0)、B (0,4,0)、1O (0,0,2),1A (3,0,2)、B 1(0,4,2)、E (3,4,0),∵AP=2PA 1, ∴11223AP PA AA == 即()240,0,20,0,33AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴P 点坐标为43,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理可得Q (0,2,2),R (3,2,0),S (0,4,23),∴23,2,3PQ RS ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴//PQ RS又∵R ∉直线PQ ,∴PQ //RS.点拨：用直线的方向向量证明线线平行的一般步骤 (1)证明两直线的方向向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上; (3)得出结论.变式训练1-1:在正方体1111ABCD A BC D -中,,O M 分别为111,DB DC 的中点.求证:1//OM BC .答案：见解析解析：【知识点】利用方向向量证明线线平行 【解题过程】证明:如图以D 为原点,分别以1,,AD DC DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2,则O (1,1,1)、M (0,1,2)、B (2,2,0)、1C (0,2,2),()()11,0,1,2,0,2OM BC =-=-, ∴112OM BC =∴1//OM BC . 又O ∉直线1BC , ∴1//OM BC .点拨：利用直线的方向向量证明线线平行的一般步骤(1)证明两直线的方向向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上; (3)得出结论.【设计意图】通过例子熟练掌握空间中线线平行的证明 ●活动② 利用直线的方向向量和平面的法向量证明线面平行例2如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.求证：//GF 平面ADE ；【知识点】利用方向向量证明线面平行 【解题过程】证明：如图，在平面BEC 内，过点B 作//BQ EC ,因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥． 又因为AB ⊥平面BEC ，所以,AB BE AB BQ ⊥⊥以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (0,0,0)，E(2,0,0)，D (2,2,2)．()()1,0,0,2,2,1G F 设(,,)n x y z =为平面ADE 的法向量.又()()2,0,2,2,2,0AE AD =-=由00n AE n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,220,x z x y -=⎧⎨+=⎩取1z =得=(1,-1,1)n . 又因为()1,2,1GF =，1210GF n =-+= 又G ∉平面ADE 上，所以//GF 平面ADE 点拨：利用向量证明线面平行的一般步骤 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; (2)证明向量所在直线上一点不在平面上; (3)得出结论.同类训练:如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.求证：BC 1∥平面CA 1D .【知识点】利用方向向量证明线面平行 【解题过程】证明：如图，以C 1点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．设(,,)n x y z =为平面CA 1D 的法向量.又()()12,0,2,C 1,1,0CA D =-=由100n CA n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩取1z =得=(1,-1,1)n . 又因为()10,2,2C B =，10220C B n =-+= 又1C ∉平面1CA D 上，所以1//BC 平面1CA D 点拨：利用向量证明线面平行的一般步骤 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; (2)证明向量所在直线上一点不在平面上; (3)得出结论.【设计意图】通过例子熟练掌握空间中线面平行的证明 ●活动③ 利用直线的方向向量证明面面平行例3 已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 、F 、G 分别是BB 1、DD 1、DC 的中点，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F ； 【知识点】利用方向向量证明面面平行 【解题过程】证明：如图，以D 点为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D (0,0,0)． 设1(,,)n x y z =为平面ADE 的法向量，2(,,)n x y z =为平面11B FC 的法向量. 又()()2,0,0,2,2,1DA DE ==由1100n DA n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,220,x x y z ì=ïí++=ïî取2z =得1=(0,-1,2)n .又()()110,2,1,2,2,1FC FB ==由212100n FC n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,220,y z x y z ì+=ïí++=ïî取2z =得2=(0,-1,2)n又因为12n n =，所以1n ∥2n .又1C ∉平面ADE 上，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F 点拨：利用向量证明面面平行的一般步骤 (1)证明两平面的法向量平行; (2)证明一平面上一点不在另一平面上; (3)得出结论.同类训练：如图所示：正方体1111ABCD A BC D -中，,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB【知识点】利用方向向量证明面面平行 【解题过程】证明：如图，以D 点为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角zy坐标系．设正方体棱长为2，则A (2,0,0)，E (1,2,2)，F (0,1,2)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，M (2,1,2)，N (1,0,2) 设1(,,)n x y z =为平面AMN 的法向量，2(,,)n x y z =为平面DBEF 的法向量. 又()()0,1,2,1,0,2AM AN ==-由1100n AM n AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,20,y z x z +=⎧⎨-+=⎩取1z =得1=(2,-2,1)n . 又()()0,1,2,2,2,0DF DB ==由2200n DF n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,220,y z x y +=⎧⎨+=⎩取1z =得2=(2,-2,1)n 又因为12n n =，所以1n ∥2n .又D ∉平面AMN 上，所以平面AMN ∥平面EFDB 小结：利用向量证明面面平行的一般步骤 (1)证明两平面的法向量平行; (2)证明一平面上一点不在另一平面上; (3)得出结论.【设计意图】通过例子熟练掌握空间中面面平行的证明 ●活动④ 探究性题型例4．如图，在棱长为2 的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且MP ∥截面1ABC ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）A ．B ．C．D．⎤⎦答案：B解析：【知识点】利用方向向量求线段长度【解题过程】解：如图，以D 点为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，M (2,1,2)，B 1(2,2,2)，C (0,2,0)，D (0,0,0)．设(,,)n x y z =为平面1ABC 的法向量.又()()12,2,0,0,2,2AC AB =-= 由100n AC n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,220,x y y z -+=⎧⎨+=⎩取1z =得=(-1,-1,1)n .又因为点P 是侧面11CDD C 上一点，所以设(0,,)P y z ，[][]0,2,0,2y z ∈∈，则()2,1,2MP y z =---MP ∥截面1ABC ，2120MP n y z ∴=-++-=即1y z =+.4MP=+点拨：对于平面上的动点，用坐标表示位置比较好确定位置同类训练：如图，四棱锥S-ABCD P为侧棱SD 上的点，若SD⊥平面P AC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC.若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由.z答案：存在，SE:EC =2:1解析：【知识点】利用方向向量探究点的位置【解题过程】证明：连接BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，,,OB OC OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图.设底面边长为a ，则高SO a =.于是),(,0,0)2S D a - ,0)2C 设在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由SD ⊥平面P AC 知DS 是平面PAC 的一个法向量，且26(,0),(0,,)2222DS a a CS a ==-设CE tCS =,则(,(1)22BE BC CE BC tCS a t =+=+=-- 由103BE DS t ⋅=⇒=即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面点拨：对于直线上的动点，同样用坐标表示位置比较好确定位置【设计意图】通过例子掌握探究性问题的解法3.课堂总结知识梳理（1）利用直线的方向向量证明线线平行的一般步骤①证明两直线的方向向量共线;②证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上;③得出结论.（2）利用向量证明线面平行的一般步骤①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明向量所在直线上一点不在平面上;③得出结论.（3）利用向量证明面面平行的一般步骤①证明两平面的法向量平行;②证明一平面上一点不在另一平面上;③得出结论.重难点归纳(1)利用直线的方向向量和平面的法向量解决线线平行、线面平行，面面平行等问题(2)在解决上述问题时,能建系的题目先建系,正确求出直线的方向向量和平面的法向量.(3)注意要排除直线与直线重合，直线在平面上，直线和平面重合的情况.（三）课后作业基础型 自主突破1．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是μ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α答案：D ．解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】因为a μ⋅＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥μ.所以l ∥α或l ⊂α.．点拨：判断a 与u 的位置关系．2．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1(1,,2)2，且l ∥α，则m ＝________. 答案：－8解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】∵//l α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直，∴(2，m ，1)·1(1,,2)2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直．3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝______．答案：4解析：【知识点】向量法判断面面关系．【解题过程】∵//αβ，∴β的法向量与α的法向量平行，∴()(1,2,2)2,4,4k k λ-=--∴=点拨：面面平行即是两平面的法向量平行．4．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝(4，k ，k －1)和n ＝(k ，k ＋3，32)，若a ∥b ，则k ＝______．答案：－2解析：【知识点】向量法判断空间直线间的关系．【解题过程】∵//a b ，∴a 的方向向量与b 的方向向量平行，①当k ＝0时，a 与b 不平行．②当k ≠0时，由4k ＝k k ＋3＝k －132解得k ＝－2. 点拨：线线平行即是两直线的方向向量平行．5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B.解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】解：以1C 为原点，以11111,,C B C D C C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，(,,),(,,)2222a a a a N a M a ∴(,0,)22a a MN ∴=- 而平面11BB C C 的一个法向量为(0,,0)n a =，∴0MN n =又MN ⊄平面B 1BCC 1，∴MN 与平面B 1BCC 1平行.点拨：线面平行则直线的方向向量和平面的法向量垂直．6.在正方体1111ABCD A BC D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM=DN ，求证：MN ∥平面11ABB A .答案：见解析解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】证明：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，过N 作NF ⊥AB 于F ，过M 作1ME BB ⊥于E ，连接EF ，设正方体的棱长为a,DN=CM=b,则(,,0),(,,0),(,,),(,,),222222N F a b M a E a a∴(,,0)(,,)(0,,),2222EF a a a a =-=--2(,0)(,,)(0,,),222222MN a a =-=-- ∴MN ∥EF .又∵MN 与EF 无公共点，∴MN ∥EF .∵EF ⊂平面11ABB A ,∴MN ∥平面11ABB A .点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直．能力型 师生共研7.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，求证：PA ∥平面EDB ；A D C P BE答案：见解析解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E 11(0,,)22.设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量.又()110,,,1,1,022DE DB ⎛⎫== ⎪⎝⎭由00n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得110,220,y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩取1z =得=(1,-1,1)n . 又因为()1,0,1PA =-，0PA n =又∵PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直．8.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面PAD .答案：见解析z y解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz .∵∠PBC ＝30°，PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)．∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M 3)2.可得，DP ＝(－1,0,2)，DA ＝(3,23，0)．设(,,)n x y z =为平面PAD 的法向量. 又()(3,23,0),1,0,2DA DP ==-由00n DP n DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,30,x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1x =得31=(1,-,)2n .又因为3)2CM =，0CM n =又∵CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .点拨：线面平行证明即证明直线方向向量和平面的法向量垂直．探究型 多维突破9.如图，O 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面中心，P 是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面BD 1Q ∥平面APO?答案：见解析解析：【知识点】利用方向向量证明面面平行【解题过程】解：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则O (1，1，0)，P (0，0，1)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2)， 设Q (0，2，z )(0≤z ≤2)，那么OP→＝(－1，－1，1)， 1BD ＝(－2，－2，2)，∴OP →∥BD 1→，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1. 又AP→＝(－2，0，1)，BQ →＝(－2，0，z )， 显然当z ＝1时，AP→∥BQ →，由于B ∉AP ， ∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ .∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .点拨：对于直线上的动点，同样用坐标表示位置比较好确定位置10.如图所示，直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？证明你的结论．答案：见解析解析：【知识点】利用方向向量探究点的位置【解题过程】解：证明：以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵AD ＝CD ＝1，AB ＝2，∴D (1,0,0)，B (0,2,0)．设AA 1＝a ，则A 1(0,0，a )，B 1(0,2，a )，C 1(1,1，a )，C (1,1,0)． AC ＝(1,1,0)，BC ＝(1,－1,0)，1BB ＝(0,0,a )， ∵AC ·BC ＝1－1＋0＝0，AC ·1BB ＝0＋0＋0＝0， ∴AC ⊥BC ，AC ⊥BB 1，又BC ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C . 假设存在一点P (0，y ，a )，则DP ＝(－1，y ，a )．又 平面BCB 1的法向量为AC . ∵DP ·AC ＝(－1，y ，a )·(1,1,0)＝－1＋y ， 又∵DP ∥平面BCB 1，∴DP ·AC ＝0，∴y ＝1. 设n ＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的一个法向量， ∴n ·AC ＝0，n ·1CB ＝0.又∵1CB ＝(－1,1，a )，∴⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，y －x ＋az ＝0， ∴n 为2(,,)y y y a --.∵DP ∥平面ACB 1，∴DP ⊥n ，∴DP ·n ＝(－1)×(－y )＋y ·y ＋a ·2()y a-＝y 2－y ＝0， ∴y ＝0(舍去)或y ＝1，这与DP ·AC ＝0时相一致，故假设成立． ∴存在一点P ，且P 为A 1B 1中点，使DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行． 点拨：对于平面上的动点，用坐标表示位置比较好确定位置 自助餐1．已知a ＝(2,2,5)，b ＝(4，x ，y )分别是直线12,l l 的方向向量，若12//l l ，则( ) A ．x ＝6，y ＝10B ．x ＝3，y ＝15C ．x ＝4，y ＝15D ．x ＝4，y ＝10答案：D ．解析：【知识点】向量法判断线线关系．【解题过程】∵12//l l ，∴//a b ，则有2254x y==，解方程得x ＝4，y ＝10 点拨：判断a 与b 的位置关系．2.设a,b 分别是不重合的直线12,l l 的方向向量,则根据下列条件能判断1l ∥2l 的是( )①a =(12,1,0),b =(-2,-4,0);②a =(4,6,-2),b =(-2,-3,1);③a =(5,0,2),b =(0,1,0); ④a =(-2,-1,1),b =(4,-2,-8).A .①②B.②③C.③④D .①④答案：A ．解析：【知识点】向量法判断线线关系． 【解题过程】①14a b =-,∴12//l l ,排除B 、C,②2a b =-,∴12//l l . 点拨：本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.3.已知直线l 的方向向量是n =(2,-1,3),平面β的法向量v =(12-,14,512),则直线l 与平面β的位置关系是( )A . 平行B.垂直C.相交D .平行或l ⊂β答案：D ．解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】∵0n v n v =∴⊥∴//l β或l β⊂点拨：判断n 与v 的位置关系. 4.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案C ．解析：【知识点】向量法判断平行关系．【解题过程】∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →，∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1.又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1.∵B 1Q 为平面B 1C 1C B 的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行．答案：①③④点拨：用平行六面体在向量中的作用证明即可5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【知识点】向量法判断平行关系．【解题过程】证明：如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0，1，12)，N (12，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .点拨：证明直线的方向向量垂直于平面的法向量6．已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点P 在长方体的面CC 1D 1D 内，且PM ∥平面BB 1D 1D ，试探讨点P 的确切位置．答案：见解析解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，如图，建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c .根据题意可设A (a,0,0)，B (a ，b ，0)，D 1(0,0，c )，P (0，y ，z )，则M 1(,,0)2a b . 设(,,)n x y z =为平面BB 1D 1D 的法向量.又()1(0,0,),,0DD c DB a b ==，由100n DD n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cz ax by =⎧⎨+=⎩取x b =得(),,0n b a =-.又PM ∥平面BB 1D 1D ，有()1(,,),,002PM n a b y z b a =---=解得2b y = ∴点P 在面DCC 1D 1的DC 的中垂线EF 上．点拨：对于平面上的动点，用坐标表示位置比较好确定位置。

第 2 课时空间向量与垂直关系● 三维目标1.知识与技术能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．2．过程与方法经过本节教课使学生理解领会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3．感情、态度与价值观培指引学生用联系与转变的看法看问题，体验在研究问题的过程中的受挫感和成功感，养合作意识和创新精神．● 要点难点要点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．本节课要点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用研究式教课以及多媒体帮助分别难点，加强要点．(教师用书独具)● 教课建议依据教课目的，应有一个让学生参加实践——研究发现——总结概括的研究认知过程．所以本节课给学生供给以下 4 种学习的时机：(1) 供给察看、思虑的时机：用和蔼的语言鼓舞学生察看并用学生自己的语言进行概括；(2)供给操作、试试、合作的时机：鼓舞学生勇敢利用资源，发现问题，议论问题，解决问题；(3)供给表达、沟通的时机：鼓舞学生敢想敢说，设置问题促进学生愿想愿说；(4)供给成功的时机：欣赏学生提出的问题，让学生在讲堂中能更多地体验成功的乐趣．● 教课流程提出问题：立体几何中如何证明线线、线面、面面垂直指引学生回首过去知识，并启示学生思虑用向量方法能否能够解决这一问题.经过研究、剖析，指引学生概括出用向量证明线线、线面、面面垂直的方法.经过例 1及其变式训练，使学生掌握利用向量证明线线垂直.经过例 2及其变式训练，使学生掌握利用向量证明线面垂直.达成例 3及其变式训练，从而解决利用向量证明面面垂直问题.概括整理，进行讲堂小结，整体认识本节课所学知识.达成当堂双基达标，稳固所学知识并进行反应改正.1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求课标解读法． (要点 )2.能利用方向向量和法向量办理线线、线面、面面间的垂直问题．(要点、难点 )线线垂直【问题导思】立体几何中如何证明两条直线相互垂直【提示】(1) 证明两直线所成的角为90°.(2)证明两直线的方向向量垂直．(3) 转变为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质．设直线 l 的方向向量为a＝ (a1， a2， a3)，直线 m 的方向向量为b＝ (b1， b2， b3)，则 l ⊥ma·b＝ 0a1b1＋ a2 b2＋a3 b3＝0.线面垂直【问题导思】1．假如已知直线的方向向量与平面的法向量，如何证明直线与平面垂直【提示】证明直线的方向向量与平面的法向量共线．2．除上述方法外，还有其余证明方法吗【提示】能够证明直线的方向向量与平面内两订交直线的方向向量都垂直．设直线 l 的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝ (a2，b2，c2)，则 l ⊥ αa ∥u a ＝ ku(a1， b1， c1)＝ k(a2， b2， c2)(k∈ R) ．面面垂直若平面α的法向量u＝ (a1， b1， c1)，平面β的法向量 v＝(a2， b2， c2) ，则α⊥ βu⊥ vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.利用向量证明线线垂直图 3－2－10已知正三棱柱ABC－ A1B1C1的各棱1长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点， N 是侧棱 CC1上的点，且 CN＝ CC1.4求证： AB1⊥ MN.【思路研究】→ → →→→(1) 若选 AB、 AC、 AA1为基向量，你能用基向量表示AB1与 MN 吗如何证→→明AB 1与 MN垂直→→(2) 若要成立空间直角坐标系，此题该如何成立你能用坐标表示向量AB1与 MN 并证明它们平行吗【自主解答】法一→→→设AB ＝ a， AC＝ b， AA1＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝ |b|＝ |c|＝ 1， a·c＝ b·c＝0，→→1AB1＝a＋ c， AM＝2(a＋ b)，→1→→→111 AN＝ b＋4c，MN ＝ AN－AM＝－2a＋2b＋4c，→→111∴AB1·MN＝ ( a＋ c) ·(－2a＋2b＋4c)1 11＝－2＋2cos 60 ＋°0－ 0＋0＋4＝ 0.→→∴AB1⊥ MN ，∴AB1⊥ MN.法二设 AB 中点为 O，作 OO 1∥AA1.以 O 为坐标原点，成立以下图的空间直角坐标系．由已知得113311A(－2， 0,0)， B(2， 0,0)，C(0，2， 0)， N(0，2，4)， B1(2， 0,1)，∵M 为 BC 中点，13∴M(4，4， 0)．→1 3 1→∴MN ＝( －4，4，4)， AB1＝ (1,0,1)，→→11∴MN ·AB1＝－4＋ 0＋4＝ 0.→→∴MN ⊥AB 1，∴AB1⊥ MN.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选用三个不共线的已知向量(往常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数目积运算，计算出两直线的方向向量的数目积为0；④由方向向量垂直获得两直线垂直．(2)坐标法：①依据已知条件和图形特点，成立适合的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②依据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数目积为0；④由方向向量垂直获得两直线垂直．在棱长为 a 的正方体 OABC－ O1A1B1C1中， E、F 分别是 AB、 BC 上的动点，且 AE ＝BF ，求证： A1 F⊥ C1 E.【证明】以 O 为坐标原点成立以下图的空间直角坐标系，则 A 1(a,0，a)， C 1(0， a ， a)．设 AE ＝ BF ＝ x ，∴E(a ， x,0)，F(a － x ， a,0)．→→＝ (a ， x － a ，－ a)． ∴A 1 ＝ ( －x ， a ，－ a)，C 1F E→ →x － a ，－ a) ＝－ ax ＋ ax －a 2＋ a 2＝ 0，∵A 1F ·C 1E ＝ (－ x ， a ，－ a) ·，(a → →，即 A 1∴A 1 ⊥ C 11FE F ⊥C E.利用向量证明线面垂直在正方体ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，E 、F分别是 BB 1、 D 1B 1 的中点，求证： EF ⊥平面 B 1AC.【思路研究】(1)此题证明能用基向量法吗(2)用坐标法能够吗如何证明较为简单【自主解答】法一→→ →设AB1＝ b ，＝ a ， AD ＝ c ， AA → → →1 →→则 EF ＝ EB 1＋ B 1F ＝2(BB 1＋ B 1D 1)1 → → 1 ＝ 2(AA 1＋ BD)＝ 2(－ a ＋ b ＋ c) → → → ＝ a ＋ b ，11∵AB ＝ AB ＋AA→ → 1∴EF ·AB 1＝ 2(－ a ＋ b ＋ c) ·(a ＋ b)＝12(b2－ a2＋ c·a＋ c·b)＝12(|b|2－ |a|2＋ 0＋ 0)＝ 0，→→∴EF⊥ AB1，即 EF⊥ AB1，同理， EF⊥ B1 C.又 AB1∩ B1C＝ B1，∴EF⊥平面 B1AC.法二设正方体的棱长为2，建系如图则 A(2,0,0)， C(0,2,0) ，B1(2,2,2) ， E(2,2,1) ，F(1,1,2) ．→∴EF ＝ (1,1,2) － (2,2,1) ＝ (－ 1，－ 1,1)，→AB1＝(2,2,2) － (2,0,0) ＝ (0,2,2) ，→AC＝ (0,2,0) － (2,0,0) ＝ (－ 2,2,0)．→→而 EF·AB 1＝ (－ 1，－ 1,1) (0,2,2)·＝ (－ 1)× 0＋( －1)×2＋ 1× 2＝ 0，→→EF·AC＝ (－ 1，－ 1,1) (－·2,2,0)＝ 2－2＋ 0＝ 0，∴EF⊥ AB1，EF⊥AC .又 AB1∩ AC＝ A，∴EF ⊥平面 B1 AC.1．坐标法证明线面垂直有两种思路：方法一： (1) 成立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条订交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数目积，获得数目积为0.方法二： (1) 成立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，假如平面的法向量很显然，能够用方法二，不然经常采用方法一解决．图 3－2－11(2013 ·北京高二检测)如图 3－ 2－11，长方体 ABCD — A1B1C1D 1中， AB＝ AD＝ 1，AA1＝2，点 P 为 DD 1的中点，求证：直线PB1⊥平面 PAC.【证明】依题设，以 D 为坐标原点，以下图，成立空间直角坐标系Dxyz，则 C(1,0,0) ，1P(0,0,1) ， A(0,1,0) ，B (1,1,2) ，→→→于是 CA＝ (－ 1,1,0)， CP＝ (－ 1,0,1)，PB1＝ (1,1,1) ，→ →1∴CA·PB ＝ (－ 1,1,0) (1,1,1)·＝ 0，→ →CP·PB 1＝ (－ 1,0,1) (1,1,1)·＝ 0，→ →→ →⊥ CP， PB ⊥ CA，又 CP∩ CA＝C，且 CP 平面 PAC，CA 平面 PAC.故直线 PB 1⊥平面 PAC.利用向量证明面面垂直图 3－2－12如图3－2－ 12，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB⊥ BC，AB ＝BC＝ 2，BB1＝1，E 为 BB1的中点，求证：平面 AEC 1⊥平面 AA1C1C.【思路研究】建系写分别求出两平面→→ n1·n2＝ 0 →两平面垂直出坐标的法向量 n1， n 2【自主解答】由题意得 AB ，BC，B1B 两两垂直，以 B 为原点，分别以 BA，BC，BB1所在直线为 x， y， z 轴，成立以下图的空间直角坐标系，则A(2,0,0) ，A1(2,0,1) ， C(0,2,0) ，1C1(0,2,1) ， E(0,0，2)，→→→→1则 AA1＝ (0,0,1) ， AC＝ (－ 2,2,0) ，AC1＝(－ 2,2,1)， AE＝ (－ 2,0，2) ．设平面 AA 1C1C 的一个法向量为n1＝ (x， y， z)，→z＝ 0，n 1·AA1＝ 0则→－ 2x＋2y＝ 0.n ·AC＝ 01令 x＝ 1，得 y＝ 1，∴n 1＝ (1,1,0) ．设平面 AEC1的一个法向量为n 2＝ (x， y， z)，→＝ 0－2x＋ 2y＋ z＝ 0，n ·AC21则→＝ 012－2x＋ z＝ 0.n ·AE2令 z＝ 4，得 x＝ 1，y＝－ 1.∴n 2＝ (1，－ 1,4)．∵n1·n2＝1× 1＋ 1× ( －1)＋ 0× 4＝0，∴n 1⊥ n2.∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.1．利用空间向量证明面面垂直往常能够有两个门路，一是利用两个平面垂直的判断定理将面面垂直问题转变为线面垂直从而转变为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优胜性主要表此刻不用考虑图形的地点关系，适合建系或用基向量表示后，只要经过向量运算便可获得要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．在正方体ABCD － A1 B1C1D 1中， E 为 CC1的中点，证明：平面B1ED ⊥平面 B1BD .【证明】以 DA， DC ， DD 1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系．设1→→1正方体的棱长为1，则 D (0,0,0) ，B1(1,1,1) ， E(0,1，2)， DB 1＝ (1,1,1) ， DE＝ (0,1，2)，设平1面 B1DE 的法向量为n1＝ (x， y， z)，则 x＋ y＋ z＝ 0 且 y＋2z＝ 0，令 z＝－ 2，∴n 1＝ (1,1，－2)．同理求得平面B1BD 的法向量为n2＝(1，－ 1,0)，由 n1·n2＝ 0，知 n 1⊥ n 2，∴平面 B1DE ⊥平面 B1BD .利用平面的法向量求解空间中的研究性问题图 3－2－13(12分)在正方体ABCD －A1B1C1D1中， E 是棱 BC 的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面 C1DE .【思路点拨】成立直角坐标系，设出点P 的坐标，将平面垂直看作已知条件．利用它们的法向量垂直可得P 点坐标．【规范解答】如图，以 D 为原点， DA 、DC 、 DD 1所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴1成立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1， a)，则 A1(1,0,1) ，B1(1,1,1) ， E(2，1,0)，C1(0,1,1) ， 2 分→→→1→分A1B1＝ (0,1,0) ，A1P＝ (－ 1,1， a－1)， DE ＝ ( ， 1,0)， DC1＝ (0,1,1).42设平面 A1B1P 的一个法向量为n1＝ (x1， y1， z1) ，→111n ·A B＝0，则→＝ 0，11n ·A Py1＝ 0，－x1＋ y1＋ a－1z1＝0，∴x1＝ (a－ 1)z1，y1＝ 0.令 z1＝ 1，得 x1＝ a－ 1，∴n 1＝ (a－ 1,0,1).8 分设平面 C1DE 的一个法向量为n2＝ (x2，y2， z2)，→1n 2·DE＝ 0，2x2＋ y2＝ 0，x2＝－ 2y2，则→22z ＝－ y .n 2·DC1＝ 0，y ＋ z ＝0，22令 y2＝ 1，得 x2＝－ 2， z2＝－ 1，∴n2＝ (－ 2,1，－ 1)．∵平面 A1B1P⊥平面 C1DE，1∴n 1·n2＝ 0，即－ 2(a－ 1)－ 1＝ 0，得 a＝2.∴当P为 CC1的中点时，平面 A B P⊥平面分11【思想启示】立体几何中研究性、存在性问题的思想层次较高，剖析时应特别注意．本题考察面面垂直关系的逆用，由题意设出研究点的坐标，求出两平面的法向量是解题的要点．1．用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的地点关系及对于垂直的定理．2．应用向量证明垂直问题的基本步骤：(1)成立空间图形与空间向量的关系(能够成立空间直角坐标系，也能够不建系，选用适当的基底 )，用空间向量表示问题中波及的点、直线和平面；(2)经过向量运算研究垂直问题；(3)依据运算结果解说有关问题．1．若直线 l 的方向向量 a ＝ (1,0,2) ，平面 α的法向量为 n ＝(－ 2,0，－ 4) ，则 ()A ． l ∥αB ． l ⊥ αC ．l αD ．l 与 α斜交 【分析】∵n ＝ (－ 2,0，－ 4)＝－ 2(1,0,2) ＝－ 2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥ α.【答案】B2．若平面 α、 β的法向量分别为 a ＝ (2，－ 1,0)， b ＝(－ 1，－ 2,0)，则 α与 β的地点关系是()A ．平行B ．垂直C ．订交但不垂直D ．没法确立【分析】 a ·b ＝－ 2＋ 2＋ 0＝0，∴a ⊥ b ，∴α⊥β.【答案】B3．设直线 l 1 与 l 2 的方向向量分别为a ＝ (1，－ 1，－ 3)，b ＝(2，－ 1， x)，若 l 1⊥ l 2，则x ＝() A ．1 B ．2C ．3D ．4【分析】 ∵l 1 ⊥l 2，∴a ·b ＝ 2＋ 1－ 3x ＝0，∴x ＝ 1.【答案】A图 3－2－144．正方体 1 1 11的棱长为 1，在如图 3－2－ 14 所示的坐标系下求证：BD 1ABCD －A B CD⊥平面 ACB 1.【证明】如题图 A(1,0,0) ， C(0,1,0) ， B 1(1,1,1) ，D 1(0,0,1) ， B(1,1,0)→ → →∴BD 1＝ (－ 1，－ 1,1)， AC ＝ (－ 1,1,0) ， AB 1＝ (0,1,1)→ →→ → 1＝0－1＋1＝0由 BD 1·AC ＝1－ 1＋ 0＝ 0， BD 1·AB∴BD 1⊥ AC ， BD 1⊥ AB 1，又 AC ∩ AB 1＝ A∴BD 1⊥平面 ACB 1.一、选择题1．(2013 ·营高二检测东 )已知平面 α的法向量为 a ＝ (1,2，－ 2)．平面 β的法向量为 b ＝ (－2，－ 4， k)，若 α⊥β，则 k ＝()A ． 4B ．－ 4C ． 5D ．－ 5【分析】 ∵α⊥ β，∴a ⊥ b ，∴a ·b ＝－ 2－ 8－ 2k ＝0∴k ＝－ 5.【答案】D→2．(2012 青·岛高二检测 )在菱形 ABCD 中，若 PA 是平面 ABCD 的法向量，则以低等式中可能不可立的是 ()→→⊥ AB ⊥ CD→ →⊥ BD⊥ AB【分析】 由题意知 PA ⊥平面 ABCD ，所以 PA 与平面上的线 AB 、CD 都垂直， A 、 B正确；又因为菱形的对角线相互垂直，可推得对角线 BD ⊥平面 PAC ，故 PC ⊥ BD ，C 选项正确．【答案】 D3．已知平面 α内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0) ， C(1,0,0) ，平面 β的一个法向量为 n ＝ (－ 1，－1，－ 1)，且 β与 α不重合，则 ( )A ． α∥ βB ． α⊥ βC ．α与 β订交不垂直D ．以上都不对【分析】→→ → → → → AB ＝ (0,1，－ 1)，AC ＝ (1,0，－ 1)，∴n ·AB ＝ 0，n ·AC ＝ 0，∴n ⊥AB ，n ⊥ AC ，故 n 也是 α的一个法向量，又∵ α与 β不重合，∴ α∥β.【答案】A→ → → → →4．已知 AB ＝ (1,5，－ 2)， BC ＝ (3,1， z) ，若 AB ⊥ BC ， BP ＝ (x － 1， y ，－ 3)，且 BP ⊥平面 ABC ，则实数 x ， y ， z 分别为 ()1515，－ 7 ， 4，－ 7，4，－ 2,4D ． 4，40，－ 157→→→→【分析】∵AB⊥ BC，∴AB·BC＝0，即 3＋5－ 2z＝ 0，得 z＝ 4，→→→→又 BP⊥平面 ABC，∴BP⊥ AB， BP⊥ BC，x－ 1＋5y＋ 6＝ 0，x＝40，7则解得15 3x－ 1＋ y－ 12＝0，y＝－7 .【答案】B5．平面上有四个互异的点→→→→→A，B，C，D，已知 (DB ＋ DC － 2DA ) ·(AB－ AC) ＝ 0，则△ ABC的形状是 ()A ．直角三角形B ．等腰三角形C．等腰直角三角形 D ．等边三角形【分析】→→→→→→→→→→→→→(DB＋ DC － 2DA) ·(AB －AC) ＝(DB － DA ＋DC－ DA ) ·CB＝ (AB＋ AC) ·CB ＝0，故△ABC 为等腰三角形．【答案】B二、填空题6．直线 l1与 l2的方向向量分别为a1，a2，若 a1⊥ a2，则 l 1与 l 2的地点关系为________．【分析】两直线的方向向量垂直，这两条直线也垂直．【答案】垂直7．(2013 ·林高二检测吉)已知直线 l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u＝ (1，－ 3，z)，向量 v＝ (3，－ 2,1)与平面α平行，则z＝ ________.【分析】由题意知u ⊥v ，∴u·v＝ 3＋ 6＋ z＝ 0，∴z＝－ 9.【答案】－ 98．已知点 P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，假如→→AB＝ (2，－ 1，－ 4)， AD ＝→→的法向(4,2,0) ，AP＝ (－ 1,2，－ 1)．对于结论：① AP⊥ AB；② AP⊥ AD ；③ AP是平面 ABCD → →量；④ AP∥ BD .此中正确的选项是 ________．【分析】→ →→ →∵AB·AP＝0， AD ·AP ＝0，∴AB⊥ AP， AD ⊥ AP，则①②正确．→ → 不平行，又 AB 与 AD→∴AP 是平面 ABCD 的法向量，则③正确．→ → → →，－ 1)， 因为 BD ＝ AD － AB ＝ (2,3,4) ， AP ＝ (－ 1,2→ →∴BD 与 AP 不平行，故④错误．【答案】 ①②③三、解答题图 3－2－159．如图 3－ 2－ 15，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面相互垂直，AB ＝ 2，AF ＝ 1， M 是线段 EF 的中点．求证： AM ⊥平面 BDF .【证明】以 C 为坐标原点， 成立以下图的空间直角坐标系，则A( 2，2，0)，B(0，222， 0)，D ( 2， 0,0)， F( 2， 2，1)，M( 2， 2 ，1)．→ 2 2 →→所以 AM ＝(－ 2，－2 ，1)， DF ＝(0，2，1)， BD ＝ ( 2，－ 2， 0)．设 n ＝(x ，y ， z)是平面 BDF 的法向量，→ →则 n ⊥BD ， n ⊥DF ，→x ＝ y ，所以n ·BD ＝ 2x － 2y ＝ 0，→z ＝－ 2y ，2y ＋ z ＝ 0n ·DF ＝取 y ＝ 1，得 x ＝ 1， z ＝－ 2.则 n ＝(1,1，－ 2)．→ 2 2因为 AM ＝(－ 2 ，－ 2 ，1)．所以 n ＝－ → →2 AM ，得 n 与AM 共线．所以 AM ⊥平面 BDF .图 3－2－1610．在四周体 ABCD 中， AB ⊥面 BCD ，BC ＝ CD ，∠ BCD ＝ 90°，∠ ADB ＝ 30°， E 、 F分别是AC、 AD的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC.【证明】成立以下图空间直角坐标系，取A(0,0，a)，由∠ADB ＝ 30°，可得 D (0，3a,0)， C(32a，32 a,0) ，B(0,0,0) ，E(34a，3aa， )， F(0 ，423aa， )，22→∴EF＝ (－34 a，3→4 a,0)， BA＝ (0,0， a)，→BC＝ (32a，32 a,0)，→→→→∴EF ·BA＝ 0，EF ·BC＝ 0，∴EF ⊥ AB， EF ⊥ BC，∴EF ⊥面 ABC ，又 EF 面 BEF，∴面 BEF ⊥面 ABC.11．在正方体ABCD － A1B1C1D 1中， E 为棱 CC1上的动点，(1)求证： A1E⊥ BD ；(2)若平面 A1 BD⊥平面 EBD，试确立 E 点的地点．【解】(1) 证明分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，设正方体棱长为 a.依题意可得，A(a,0,0)， B(a， a,0)， C(0， a,0) ，A1(a,0， a)， C1(0 ，a， a)．设 E(0，a， e)．→→A1E＝( －a， a， e－a)，又 BD ＝ (－ a，－ a,0)，→→22∴A1E·BD＝ a － a ＝ 0.→→∴A1E⊥ BD ，即 A1E⊥ BD .(2)E 为 CC1的中点，证明以下：设 BD 的中点为 O，连接 A1O，OE.a a→ a a→a a则 O(2， 2， 0)， OE＝( －2， 2， e)， OA1＝ (2，－ 2， a)．∵A1B＝A1D ，O为 BD中点，∴A1O⊥ BD .又平面 A1BD ⊥平面 EBD ，∴A1O⊥平面 EBD.∴A1O⊥ OE.→→ →→ →又BD＝(－ a，－ a,0)，则 OA1·BD ＝ 0， OA1·OE＝ 0，a2a2－2＋2＝0a即a2a2，∴e＝2.－4－4＋ ae＝0∴当 E 为 CC1的中点时，能使平面A1BD ⊥平面 EBD .(教师用书独具)在正方体ABCD － A1 B1C1D 1中， E，F 分别是棱 AB ，BC 的中点，试在棱BB1上找一点M，使得 D1M⊥平面 EFB1.【自主解答】成立以下图的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则 E(2,1,0) ，F(1,2,0) ， D1(0,0,2) ，B1(2,2,2) ．→→→设 M(2,2， m)，则 EF ＝ (－ 1,1,0)， B1E＝(0 ，－ 1，－ 2)，D 1M＝ (2,2， m－ 2)．∵D 1M⊥平面 EFB1，∴D 1M⊥ EF， D1M⊥ B1E，→→→→∴D 1M·EF＝ 0 且 D1M·B1E＝ 0，－2＋ 2＝ 0，于是－2－ 2m－ 2＝ 0，∴m＝1，故取 B1B 的中点为M 就能知足 D 1M⊥平面 EFB 1.如图，直四棱柱 ABCD － A1B1C1D 1中，底面 ABCD 是矩形， AB＝ 2，AD ＝ 1，AA1＝ 3，M 是 BC 的中点．在 DD 1上能否存在一点N，使 MN⊥ DC 1并说明原因．【解】以下图，成立以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1为 z 轴的坐11标系，则 C (0,2,3) ， M(2， 2,0)， D(0,0,0) ．设 N(0,0， h)，→1→则 MN＝ (－2，－2，h)， DC1＝ (0,2,3)，→ →＝－ 4＋ 3h.1，－ 2， h) (0,2,3)·由 MN·DC1＝ (－24→→→→∴当 h＝3时， MN ·DC1＝ 0，此时 MN⊥DC1.∴存在 N∈ DD ，使 MN⊥ DC .11。