常用逻辑用语：命题
及其关系
要求层次
重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题
A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的
判定
四种命题的相互关系
B 充要条件
C
（一） 知识内容
1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
定理：经过证明为真的命题．
当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”．
2．命题的四种形式：
命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．
否
逆为互
逆
为互
否
互否
互逆互否互逆
如果非q ,则非p
如果非p ,则非q
如果 q,则 p
如果 p,则 q
3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系：
⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．
例题精讲
高考要求
常用逻辑用语：命题及其关系
板块一：命题的四种形式
⑵互逆或互否的两个命题不等价．
<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后
者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．
（二）典例分析
【例1】 判断下列语句是否是命题：
⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；
【例2】 判断下列命题的真假．
⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠；
⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．
【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π
()3
p ，并判断它是不是真命题；
【例4】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；
③212x x +=的解可表示为{}11，
．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
【例5】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①
如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？
【例6】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．
⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．
⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”
．
【例7】 下列命题中正确的是（ ）
①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题
④“若x x 是无理数”的逆否命题
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①④
【例8】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
⑴“负数的平方是正数”；
⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；
【例9】 ⑴命题：“若220()，
a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ ⑵有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题
“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
【例10】 ⑴ “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为
；
⑵（2007重庆）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x - B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x
