高考数学复习考点知识与题型专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.（2010·天津高考文科·Ｔ5）下列命题中，真命题是（ ）(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数 【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性。

【思路点拨】根据偶函数的图像关于y 轴对称这一性质进行判断。

【规范解答】选A ，当0m =时函数2()f x x =的图像关于y 轴对称，故选A 。

2.（2010·天津高考理科·Ｔ3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念。

【思路点拨】原命题“若p 则q ”，否命题为“若p ⌝则q ⌝”。

【规范解答】选B ，明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”。

3.（2010·辽宁高考文科·Ｔ4）已知a ＞0,函数2()f x ax bx c =++,若x 0满足关于x 的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）0000(A) R,()() (B) R,()()(C) R,()() (D) R,()()x f x f x x f x f x x f x f x x f x f x ∃∈≤∃∈≥∀∈≤∀∈≥【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题，全称命题与特称命题。

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

高考数学真题分类汇编 考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理（含解析）一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ5）已知命题:P xxR x 32,<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∧qB.￢p ∧qC.p ∧￢qD.￢p ∧￢q【解题指南】对命题:P 采用特值法判断为假命题，命题q 利用存在零点的条件0)1()0(<f f 判断为真命题，然后根据四种命题的关系求解.【解析】选B.对于命题:P 取1-=x ，可知为假命题，命题q ：令1)(23-+=x x x f ，且0)1)(0(<f ，故)(x f 有零点，即方程3210x x +-=有解，231,:x x R x q -=∈∃为真命题，2. （2013·湖南高考文科·Ｔ2） “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】若A B ≠⊂,则A 是B 的充分不必要条件，反之，A 是B 的必要不充分条件， 若A=B ，则A 是B 的充要条件。

【解析】选A ，因为集合(1,2)是(-∞,2)的真子集,所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.3.（2013·安徽高考文科·Ｔ4）“(21)0x x”是“0x ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】解出一元二次方程的解,根据充分必要条件的概念判定. 【解析】选B. 由12（2x-1）x=0x=0或x=，所以应选B.4.(2013·北京高考理科·T3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先将φ=π代入,得出曲线是否过原点,再求出过原点时φ的值,进而判断充分必要条件.【解析】选A.φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,过原点,但是函数过原点的时候φ=k π(k ∈Z). 5.(2013·福建高考文科·T2)设点(),P x y ,则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l :x+y-1=0上”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】先判断是否充分,再判断是否必要.【解析】选A.由P ()2,1-在l 上,但l 上的点不止P,故选A.6.（2013·湖北高考文科·Ｔ3）与（2013·湖北高考理科·Ｔ3）相同在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.（﹁p ）∨（﹁q ） B. p ∨（﹁q ） C. （﹁p ）∧（﹁q ） D.p ∨q 【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.【解析】选A. 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则﹁p 是“没有降落在指定范围”， ﹁q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .7.（2013·陕西高考理科·Ｔ3）设b a ,为向量, 则“=⋅”是“b a //”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解题指南】根据充要关系的概念从两个方面进行推理.【解析】选C..a ,,θ的夹角为与设为向量b b a 由=⋅=⋅θcos 从而得1cos ,1cos ±==θθ,所以πθ或0=，能够推得b //a ，反之也能够成立，为充分必要条件.8.(2013·天津高考文科·T4)设a,b ∈R,则“(a-b)a 2<0”是“a<b ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】依据充分必要条件的定义进行判断.【解析】选A.由(a-b)a 2<0知,a 2>0,a-b<0,即a<b 成立,反之,当a<b 时,由于a 2可能为0,故(a-b)a 2≤0,因此“(a-b)a 2<0”是“a<b ”的充分而不必要条件. 9.(2013·天津高考理科·T4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12相切. 其中真命题的序号是 ( )A.①②③B.①②C.①③D.②③【解析】选C.命题①由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18,正确;命题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们的标准差也不相等,故该命题错误;命题③圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离=d ,与圆x 2+y 2=12的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确.10.(2013·浙江高考理科·T4)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“2πϕ=”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值,再由2πϕ=判断f(x)是否为奇函数,最后再判断.【解析】选B.f(x)是奇函数⇒,2k k Z πϕπ=+∈; 2=πϕ⇒f(x)是奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“2πϕ=”的必要不充分条件.11.(2013·浙江高考文科·T3)若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】让“α=0”和“sin α<cos α”其中一个作条件,另一个作结论,判断命题是否正确. 【解析】选A.当α=0时,sin α=0,cos α=1,所以sin α<cos α;若sin α<cos α,则52,22,2244k k k k k z ππαπππππ⎛⎫⎛⎫∈+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 12.（2013·上海高考理科·T16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 【解析】选B .根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．13.（2013·上海高考文科·T17）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 【解析】选B.由题意可知,好货⇒不便宜,故选A.。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.4.会用反证法证明命题知识梳理一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题．二、四种命题的形式原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结论．逆否命题：若綈q，则綈p，即交换原命题的条件、结论之后，同时否定它们．三、四种命题的关系四、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题，则它们有________的真假性．若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性___．在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、充要条件若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．若p q，q⇒p，则p是q的______________________条件．若p⇒q，q⇒p，则p是q的_______________________条件．若p q，q p，则p是q的______________________条件．六、用反证法证明命题的一般步骤1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．出现矛盾的几种常见形式有：(1)与定义、定理、公理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与假设矛盾；(4)自相矛盾．基础自测1．(2013·北京西城区模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．若a＋1≤b，则a＞bB．若a＋1＜b，则a＞bC．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2013·深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A3．(2013·黄冈模拟)已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3<0得－3<x<3，log2x2>1得x>2或x<－ 2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案：D1．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或a＝3.因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：A2．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π. ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A1．(2012·江门调研)已知命题p：“s in α＝sin β且cos α＝cos β”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若“α＝β”，则有“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，反之若“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，则有“α＝2kπ＋β(k∈Z)”，∴p是q的必要不充分条件．故选A.答案：A2．(2013·汕尾二模)设向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，若x＝2，则2a＝b，∴a∥b.若a∥b，则1x＝x4，x＝±2.∴“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.答案：A。

-●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解"假设p，则q〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.*备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考察形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考察命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数*围问题，考察考生的逆向思维.一、知识梳理"名师一号"P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感慨句都不是命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否认知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念〔1〕充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。

〔2〕必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)〔3〕充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件〔既是充分又是必要条件〕"p 是q 的充要条件〞也说成"p 等价于q 〞、 "q 当且仅当p 〞等 (补充)2、充要关系的类型〔1〕充分但不必要条件定义：假设q p ⇒，但p q ⇒/， 则p 是q 的充分但不必要条件；〔2〕必要但不充分条件定义：假设p q⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕充要条件定义：假设q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔， 则p 、q 互为充要条件；〔4〕既不充分也不必要条件 定义：假设q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法："名师一号"P6 特色专题①定义法；②集合法；③逆否法〔等价转换法〕．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．〔1〕假设⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件〔2〕假设⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕假设B A =，则p 是q 的充要条件〔4〕假设B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----假设A 、B 具有包含关系，则〔1〕小*围是大*围的充分但不必要条件〔2〕大*围是小*围的必要但不充分条件二、例题分析〔一〕四种命题及其相互关系例1.(1) "名师一号"P4 对点自测1命题"假设*，y 都是偶数，则*＋y 也是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设*＋y 是偶数，则*与y 不都是偶数B ．假设*＋y 是偶数，则*与y 都不是偶数-C．假设*＋y不是偶数，则*与y不都是偶数D．假设*＋y不是偶数，则*与y都不是偶数答案 C例1.(2) "名师一号"P5 高频考点例1以下命题中正确的选项是( )①"假设a≠0，则ab≠0〞的否命题；②"正多边形都相似〞的逆命题；③"假设m>0，则*2＋*－m＝0有实根〞的逆否命题；④"假设*－123是有理数，则*是无理数〞的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为"假设a＝0，则ab＝0〞，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意："名师一号"P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比拟每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的"逆命题〞"否命题〞"逆否命题〞；判定命题为真命题时要进展推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3) "名师一号"P4 对点自测2(2014·**卷)原命题为"假设z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意："名师一号"P5 问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；-互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比拟困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注"特例法〞的应用．例2．(1)(补充)〔2011**文5)a ，b ，c ∈R ，命题"假设a b c ++=3，则222a b c ++≥3〞的否命题．．．是〔 〕 (A)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++<3(B)假设a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3(D)假设222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A 来 【解析】命题"假设p ，则q 〞的否命题是："假设p ⌝，则q ⌝〞 例2．(2)(补充)命题："假设0xy =，则0x =或0y =〞的否认．．是：________ 【答案】假设0xy =，则0x ≠且0y ≠【解析】命题的否认只改变命题的结论。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[学生用书P5]1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分[学生用书P5]四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B ＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选 C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q 的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p，则q、若q，则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件时需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.A＝60°⇒cos A＝12，cos A＝12⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cos A＝12”的充分不必要条件．2．(2021·广东省七校联考)已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B.3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D.由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要不充分条件．充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 (1)D (2)[0，3]【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．(2021·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是( )A ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≥cB ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≤cC ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则b ＞cD ．若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则b ＜c解析：选A.令A ＝{a |a ＞b }，B ＝{a |a ＞c }，C ＝{a |a ＜b }．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则有A ⊆B ，则b ≥c ，故选项A 正确，选项B 错误；若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则有A ＝B ，则b ＝c ，故选项C 错误；若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则有B ⊆C ，这是不可能的，故选项D 错误．故选A.2．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选C.命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0⇔∀x ∈[1，3]，x 2≤a ⇔9≤a .则“a ≥10”是“命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.3．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________．解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案： 3[学生用书P7]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B.[学生用书P357(单独成册)][A级基础练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是()A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，故选C.3．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.4．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0，由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，所以“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的充分不必要条件，故选A.5．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a 与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a 与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b＞0 B．a－b＞0C．ab＞1 D.ab＞1解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，ab＞1，故选A.7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得，直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.8．(2021·六校联盟第二次联考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＞0，b＞0，8≥a＋b≥2ab，故4≥ab，ab≤16，所以a＋b≤8可以推出ab≤16.若a＝2，b＝8，则a＋b＝2＋8＝10，所以ab≤16推不出a＋b≤8.9．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0⇒/x ＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分10．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________．解析：设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.答案：(1)a ≥2 (2)a <211．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]12．给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②在△ABC 中，“sin B >sin C ”是“B >C ”的充要条件是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法中正确的是________．(填序号)解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④[B级综合练]13．若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.14．已知条件p：x2＋2x－3＞0；条件q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)[C级提升练]15．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.16．能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。

2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件【2020年高考会如此考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的明白得．3．考查题型要紧以选择题、填空题形式显现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的明白得及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题．其中判定为确实语句叫真命题，判定为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)假如p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)假如p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直截了当判定“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2020·深圳)已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．答案A3．(2011·山东)关于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2020·湖南) 命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 （ ）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tanα≠1 C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π 解析 因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.答案 C5．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 . 答案 若a ≤b ，则有2a ≤2b －1考向一 命题正误的判定【例1】►(2011·海南三亚)设集合A 、B ，有下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ；②A ⊄B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⊄B ⇔B ⊄A ；④A ⊄B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 关于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ⊄B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ⊄B 而A ∩B ＝{2}．③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ⊄B 但B ⊆A .④正确．答案 ④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最差不多的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析关于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；关于②，可举反例：如a、b异号，尽管ab＜1，但ba＜0，故②错；关于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，明显为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判定【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，明白得四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判定四种形式的命题真假的差不多方法是先判定原命题的真假，再判定逆命题的真假，然后依照等价关系确定否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不行判定，那就第一判定其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，假如f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝e x都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判定【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)关于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判定所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，因此只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，明显綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，依照原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)明显x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，因此p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，因此p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判定p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.关于带有否定性的命题或比较难判定的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判定它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题能够看出，高考要紧以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一样难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式要紧有两种：一是判定指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判定充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题尽管属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件。

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念2．了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义热点题型一 四种命题及其真假判断例1、【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【提分秘籍】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

【举一反三】已知：命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析：由f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝e x－m ≥0恒成立，∴m ≤1。

∴命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题。

答案：D热点题型二充分条件、必要条件的判断例2、【2017天津，理4】设θ∈R，则“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin2θ⇒<，但10,sin2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.【提分秘籍】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。