【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 数列双基限时练14(含解析)新人教A版必修5

双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错． 答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PB →＋PC →＝0C.PC →＋PA →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( ) A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形．答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →；(2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →. 答案 (1)OB → (2)BO →(3)AD →＋BD →8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵PA →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km”，b 表示“向南走了2 km”，c 表示“向西走了2 km”，d 表示“向北走了2 km”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)2 2 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ，所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.(3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0.12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝013.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →.求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →.∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0. ∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。

双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上． 答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列． 答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析 由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32.答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析 对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值．答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a n ＋1b n ＋1 ＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an bn ＋1 [b n ＋1 ＋1]＝abn ＋1 [b n ＋1 ＋1].∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132D ．{6}解析 由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]． 答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________. 解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析 由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1. 答案 2n －1 9．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________. 解析 由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12 n ＋1， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性．解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列． 当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值． 解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2， 当n ＝3时，a 3＝－2， 当n ＝1时，a 1＝0， 同理，当n ＝4时，a 4＝0， 由函数的单调性可知， 当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围． 解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思 维 探 究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N ＋， ∵a n＋1－a n ＝1n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4－1n 2＋5n ＋4＝－2 n ＋3[ n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4] n 2＋5n ＋4<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。

双基限时练(十三)1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析 依题意a ＋b ＝2c ，a ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得b ＝2，又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 24－x 24＝1.答案 B2．双曲线x 2b 2－y 2a2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c 2a2＝2，∴e ＝ 2.答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝m 2－b 2m ，又e 1·e 2＝1，∴a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1，化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2， ∴以a ，b ，m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析 由题意知，c ＝64－16＝43，a ＝b ，∴2a 2＝c 2＝48，∴a 2＝24，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝24.答案 D5．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．5解析 由双曲线的定义及性质知，动点P 的轨迹是双曲线的一支，且A ，B 为焦点，c ＝2，a ＝32，∴|PA |的最小值为a ＋c ＝72.答案 C6．已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________.解析 依题意知a 2＝n ，b 2＝12－n ，又e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝n ＋12－nn＝3，∴n＝4.答案 47．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.解析 由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝4，|NF 2|－|NF 1|＝4，∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝8.答案 8 8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为__________． 解析 依题意知k ＋4<0，∴k <－4，又e ＝c a＝2，∴e 2＝c 2a 2＝－k ＋＋99＝4，∴k ＝－31.答案 －319．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．∵A (23，－3)在双曲线上， ∴λ＝3216－－29＝－14.∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14即4y 29－x24＝1.10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解 当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1，又b ＝2a ，∴4a 2＝9×4－16＝20，a 2＝5. ∴b 2＝20.∴双曲线方程为x 24－y 220＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1.又∵b ＝2a ，∴4a 2＝16×4－9＝55，a 2＝554，∴b 2＝55.∴双曲线方程为4y 255－x255＝1.综上，所求双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x255＝1.11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y 轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e ＝54，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．解 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由2a ＝16，得a ＝8，又e ＝c a ＝54，∴c ＝10，b 2＝c 2－a 2＝36.故所求的双曲线的方程为y 264－x 236＝1.由上可得双曲线的焦点为(0，±10)， 渐近线方程为y ＝±86x ，即4x ±3y ＝0.∴焦点到渐近线的距离为d ＝|4×0±3×10|42＋32＝6. 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积． 解 (1)∵e ＝ 2.∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)， ∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴－3＋m 2＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。

双基限时练(十四)1．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段D ．直线解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线． 答案 D2．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2D ．y ＝－4解析 ∵y 2＝8x ＝2·4x ，∴p ＝4，准线方程为x ＝－p2＝－2.答案 A3．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．8 B ．－8 C.18D ．－18解析 ∵x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4＝2，∴a ＝－8.答案 B4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由y ＝2x 2得，x 2＝12y .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 答案 C5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( ) A ．x 2＝－92y ，或y 2＝43xB ．y 2＝－92x ，或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x解析 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，或y 2＝－2p 1x (p 1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p ·3，或9＝－2p 1(－2)，∴2p ＝43，或－2p ＝－92，故所求的抛物线方程为x 2＝43y ，或y 2＝－92x .答案 B6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程为__________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax ，又抛物线过点P (2,4)，则16＝2a ，∴a ＝8， ∴y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝__________. 解析 由y 2＝4x 得焦点F (1,0)，代入直线方程得a ＋1＝0.∴a ＝－1. 答案 －18．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝ax ，得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)为AB 的中点，从而a ＝4. 故所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x9．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线标准方程和准线方程．解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F (0，－p2)．∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴m ＝±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．解 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深为40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p ×40，即p ＝454，所求的抛物线标准方程为y 2＝452x ，焦点(458，0)．12．若抛物线通过直线y ＝12x 与圆x 2＋y 2＋6x ＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 2＋y 2＋6x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－245，y ＝－125.根据题意可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2mx (m >0)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，－125在抛物线上，∴p ＝245，m ＝35.∴所求抛物线方程为x 2＝－485y 或y 2＝－65x .。

双基限时练(一)一、选择题1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －1 B ．a n ＝n 2＋n －2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1 D ．不存在解析 逐个检验． 答案 C2．数列12，13，14，15，…，中的第9项为( )A.19B.110C.18D.111答案 B3．已知数列3，9，15，21，…，那么9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项D ．15项 解析 a n 中根号内的每个数比它相邻的前一个数多6，故a n ＝3＋ n －1 6＝6n －3，令6n －3＝81，得n ＝14.答案 C4．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 令0.98＝n n ＋1，得n ＝49，∴0.98是这个数列的第49项．令nn ＋1＝0.96，得n＝24，∴0.96是这个数列的第24项．令nn ＋1＝0.94，解得n ＝473∉N ＋， ∴0.94不是这个数列中的项． 答案 C5．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n－1) B.13(10n－1) C.13⎝⎛⎭⎪⎫1－110nD.310(10－n－1)解析 ∵0.3＝310＝13×10－110＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0．33＝33100＝13×100－1100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，0．333＝3331000＝13×9991000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，0．3333＝333310000＝13×999910000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1104，…∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .答案 C6．已知数列1,2,4,7,11,16，x,29,37，…，则x 等于( ) A ．20 B ．21 C ．22D ．23解析 ∵该数列有如下特点：2－1＝1,4－2＝2,7－4＝3,11－7＝4,16－11＝5，x －16＝6，∴x ＝22.答案 C 二、填空题7．数列1，22，34，48，…的通项公式为________；数列2，32，1，12，0，…的通项公式为________．解析 对于数列2，32，1，12，0，…可写成42，32，22，12，02，…答案 a n ＝n2n －1a n ＝5－n 28．已知数列{a n }对于任意p 、q ∈N ＋，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由a 1＝19，得a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89， a 16＝2a 8＝169，a 32＝2a 16＝329， a 36＝a 32＋a 4＝329＋49＝369＝4.答案 49．数列－1，12，－13，14，…的通项公式为________；数列32，83，154，245，…的通项公式为________；数列7,77,777，…的通项公式为________．答案 a n ＝ －1 nn a n ＝ n ＋1 2－1n ＋1 a n ＝79×(10n－1)三、解答题10．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)12，16，112，120，130，…； (4)3,5,9,17,33，….解 (1)a 1＝2×1－1，a 2＝－(2×2－1)，a 3＝2×3－1，a 4＝－(2×4－1)，a 5＝2×5－1，…，∴a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)∵a 1＝12，a 2＝2＝42＝222，a 3＝92＝322，a 4＝8＝162＝422，a 5＝252＝522，…，∴a n ＝n22.(3)∵a 1＝12＝11×2，a 2＝16＝12×3，a 3＝112＝13×4，a 4＝120＝14×5，a 5＝130＝15×6，…，∴a n ＝1n n ＋1.(4)∵3＝21＋1,5＝4＋1＝22＋1,9＝8＋1＝23＋1,17＝16＋1＝24＋1,33＝32＋1＝25＋1，…，∴a n ＝2n＋1.11．已知数列{n (n ＋2)}．(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a 8＝8×(8＋2)＝80，a 20＝20×(20＋2)＝440. (2)由n (n ＋2)＝323，得(n －17)(n ＋19)＝0， 得n ＝17，或n ＝－19(舍)．∴323是这个数列中的项，是第17项．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n (项数)的一次函数． (1)求这个数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 解 (1)设a n ＝an ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，17a ＋b ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)设88为{a n }的第n 项， 则88＝4n －2，n ＝904＝452，而n ＝452∉N ＋，故88不是数列{a n }中的项．思 维 探 究13．已知数列{a n }中，a 1＝67，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n≤1，(1)求a 2，a 3，a 4； (2)求a 2015的值．解 (1)∵a 1＝67，∴a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝57，又12<57<1，∴a 3＝2a 2－1＝107－1＝37，又0≤37<12，∴a 4＝2a 3＝67. (2)由(1)知{a n }为周期数列，且周期为3，又2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝57.。

双基限时练（六）1. 在不等边三角形中，a为最大边，要想得到/ A为钝角的结论，三边a, b, c应满足什么条件（）A. a2<b2+ C2B . a2= b2+ c2C. a2>b2+ C2D . a2< b2+ C2_a2b2+ C2解析若/A为钝角，由余弦定理知cosA=——<°，二b2+C2_ a2<0.答案C2. 设数列®｝为等差数列，且a2=_ 6,氏=6, Si是｛為｝的前n 项和，则（）A. S4<S5B. S4 = S5C. S6<S S D . S s = S5解析T a2+ a8=_ 6+ 6= 0,二a5= 0,又公差d>0,「. S s= S4. 答案B3 .在△ ABC中，“ AB AC>0”是“△ ABC为锐角三角形”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件T T解析由AB AC>0? / A为锐角，而角B, C并不能判定，反T T之若△ ABC为锐角三角形，一定有AB AC>0.答案B4. 已知函数y= sin(2x +册的图象关于直线x =詁寸称，贝0可能是()C nD 3C .4D . 4兀解析由题意知，sin(4+妨=± ,所以当0= 4时，sin(4+ 44)= sin2= 1.答案C5. 已知a, b, c是三条互不重合的直线，a B是两个不重合的平面，给出四个命题：①a // b, b // a,贝U a // a；②a, b? a, a// 3 b// B,贝U all®③a丄a, a 贝U a丄B；④a丄a b / a,贝卩a丄b.其中正确命题的个数是()A . 1 B. 2C. 3D. 4解析①因为a// b , b//O? a// a或a? a,所以①不正确.②因为a , b? a, a// B, b//B,当a与b相交时，才能all B,所以②不正确.③a// B过a作一平面Y设幻B= c ,贝U c// a,又a丄a? c丄a ? a 丄B,所以③正确.④a丄a b// a? a丄b,所以④正确.综上知③，④正确.答案B6. a>0, b>0,则下列不等式中不成立的是（）1 iiA. a+b+a2+ b2, 2ab ,C. ------ > a+ bD.-------- >ab寸ab a+ b 、解析特殊法，取a= 1, b = 4,则D项不成立.答案D_____ lb d7. p = p ab + ^Cd, q = p ma+nc \ m+£，(m, n, a, b, c, d 均为正数)，则p与q的大小关系为 __________________ .解析p2= ab+cd+ 2 abcd,/ 、/b d2q =(ma+ nc)( m+ n)=ab+ nbc+ mad+ cd m n> ab + cd + 2 abcd2 2q2>p2,「. p< q.答案p< q8. 当x€ (1,2)时，不等式x2+mx+ 4<0恒成立，则m的取值范围是 ________ .c 4 4解析x2+ mx+ 4<0? m< —x —_,v y=—(x+-)在(1,2)上单调递x x4增，二一(x+ x) € (—5,—4)--m W —5.答案(―汽―5]9. 求证：ac+ bd< a2+ b2- c2+ d2.证明（1）当ac+ bd<0时,ac+ bd< a2+ b2• c2+ d2显然成立.(2)当ac+ bd> 0 时，要证ac+ bd< a2+ b2• c2+d2成立，只需证(ac + bd)2< (a2+ b2)(c2+d2)成立，只需证2abcd< a2d2+ b2c2,只需证(ad—be)2》0成立.而(ad—be)2》0显然成立.所以ac+ bd< a2+ b2• c2+d2成立.综上所述ac+ bd< a2+ b2• c2+d2成立.10. 在厶ABC 中，若a2= b(b + c)，求证：A= 2B.证明因为a2= b(b + c), 所以a2= b2+ bc.由余弦定理得b2+ c2—a2 b2+ c2—(b2+ be)c—bcosA=2bc =2bc =2b .a2 + c2—b2又因为cos2B = 2co$B—1 = 2( - 20^—)2—12 2b+ c 2 1 (b+ c) —2a=2( 2a ) —1= 2a22 2(b + c) —2b —2bc c—b= 2b b + c = 2b .所以cosA= cos2B.又因为A, B是三角形的内角，所以A= 2B.11. 如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B, A1C 的中点，点D在B1C1上，AQ丄B1C.B求证：(1)EF//平面ABC;(2)平面A i FD丄平面BB i C i C.证明(1)由E, F分别是A i B, A1C的中点，知EF / BC,v EF?平面ABC而BC?平面ABC.••• EF // 平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC i丄平面A i B i C i，又A i D?平面A i B i C i,•- A i D _L CC i，又A i D _L B i C.CC i A B i C= C,又CC i, B i C?平面BB i C i C,•A i D 丄平面BB i C i C，又A i D?平面A i FD ,•平面A i FD丄平面BB i C i C.i2.已知数列｛a n｝的首项a i = 5, S n+i = 2S n + n + 5(n€ N ).(i)证明数列｛a n + i｝是等比数列；⑵求数列｛a n｝的通项公式a n.解(i)证明：v S n+1 = 2S n + n+ 5,•S n=2S n)-1 + (n —i) + 5(n》2).•- a n+i = S n+i —S n = 2(S n —S n-1)+ i = 2a n+ i(n > 2).a n +1 + 1 2 a n + 1二---- =-------- =2.a n + 1a n + 1又 n = 1 时，S 2= 2S 1 + 1 + 5,且 a 1 = 5, 「• S 2= 16, a 2= S 2 — S 1= 16— 5= 11.•••数列｛a n + 1｝是以2为公比的等比数列. ⑵由(1)知，a 〔+ 1= 6,a n + 1 = 6X 2n —1=3X 2n ,a n = 3 x 2n — 1. 又•••a 2+ 1 11+ 1 a 〔+ 1 5+ 1。

"【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 统计双基限时练11（含解析）新人教A 版必修3 "1．为了检查某城市汽车尾气排放情况，在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这样抽样方法为( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．其他方式的抽样答案 C2．中央电视台的动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从确定编号的一万名小观众中抽取十名幸运小观众，现采用系统抽样的方法抽取，其组容量为( )A ．10B ．100C ．1000D ．10000 解析 其组容量为1000010＝1000. 答案 C3．下列说法错误的个数是( )①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抓奖活动是抽签法；④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机会相等．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①③④是正确的，②不正确．系统抽样分组后，在第一组中采用简单随机抽样，其他组加分组间隔，不再用简单随机抽样．答案 A4．老师从全班50名同学中抽取学号为6,16,26,36,46的五名同学了解学习情况，其最有可能用到的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．随机数法D ．系统抽样解析 由样本数据的特点知，两数之间的间隔均为10，为等距抽样．答案 D5．总体容量为203，若采用系统抽样法抽样，当抽样间距为多少时，不需要剔除个体．( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 D6．某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号和42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为________．解析 易知分段间隔为42－29＝13，因此另一个同学的学号应为3＋13＝16.答案 167．一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是__________________________．解析 由题意知，抽取的样本号码首项为3，间隔为6，依次取10个．答案 3,9,15,21,27,33,39,45,51,578．一个总体中100个个体编号为0,1,2,3，…，99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组(号码0～9)随机抽取的号码为l ，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的个位数为(l ＋k )或(l ＋k －10)(如果l ＋k ≥10)，若l ＝6，则抽取的10个号码依次是_______________________________________________________ _________________．解析 依题意知，第0组抽取的号码为6，则第1组抽取的号码应为17，第2组抽取的号码应为28，…，依此类推可得：6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.答案 6,17,28,39,40,51,62,73,84,959．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本间距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后作出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应怎样改进？解 交警所统计的数据以及由此推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或用简单随机抽样法来抽样均可．10．某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施． 解 由于总体容量不能被样本容量整除，需先剔除3名工人，使得总体容量能被样本容量整除，取k ＝100010＝100，然后再利用系统抽样的方法进行． (1)将每个人编一个号由0001至1003；(2)利用随机数法找到3个号，将这3个号对应的工人排除；(3)将剩余的1000名工人重新编号0001至1000；(4)分段，取间隔k ＝100010＝100，将总体均分为10组，每组含100个工人； (5)在第一组中用简单随机抽样产生编号l ；(6)按编号将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l 共10个号选出.这10个号所对应的工人组成样本．。

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明双基限时练3（含解析）新人教A版选修1-2 "1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n答案B4．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11↑1012可知从2010到2012为↑→.答案C5．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为( )A．n2－1 B．n2－2n＋2C ．2n －1D ．2n －1＋1解析 ∵a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n ＝2n－1.答案 C6．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A .n n －4＋8－n8－n －4＝2 B .n ＋1 n＋1 －4＋ n＋1 ＋5n＋1 －4＝2C .n n －4＋n ＋4 n＋4 －4＝2 D .n ＋1 n＋1 －4＋n ＋5n＋5 －4＝2解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合．答案 A7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________． 解析 a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …，由此可以猜想a n ＝n 2. 答案 n 28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 答案 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n≥3) 9．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝3410．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？(2)(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(2)3＋2－3＝2； 8＋6－12＝2； 6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系为V ＋F －E ＝2.(3)由已知V ＝1006，F ＝1006，代入(2)中关系式，得E ＝2010. 故这个平面图形有2010条边．11．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n≥1，n ↔N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由 3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0， 解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n.12．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明．解 一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos 2α＋120° 2＋1－cos 2α＋240°2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α ＝32＝右边， 所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立．(注：将一般式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确．)。

双基限时练(三)一、选择题1．等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数且c ≠0)是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为cd 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对解析 ca n －ca n －1＝c (a n －a n ＋1)＝cd . 答案 B2．已知等差数列{a n }中，a 5＝17，a 19＝59，则2009是该数列的第( )项( ) A ．667 B ．669 C ．670D ．671解析 设公差为d ，a 19＝a 5＋(19－5)d ，∴d ＝59－1714＝3，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝17＋3×(n －5)＝3n ＋2， 由3n ＋2＝2009，得n ＝669. 答案 B3．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析 由a 7－2a 4＝a 3＋4d －2a 3－2d ＝－a 3＋2d ＝－1，由a 3＝0，得d ＝－12.答案 B4．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝29，a 3＝7，则a 12的值为( ) A ．32 B ．40 C ．34D ．4解析 设公差为d ，由a 5＋a 6＝29，得a 3＋2d ＋a 3＋3d ＝29，得14＋5d ＝29，得d ＝3， ∴a 12＝a 3＋(12－3)d ＝7＋9×3＝34. 答案 C5．在首项为31，公差为－3的等差数列{a n }中，与0最接近的是( ) A ．a 10 B ．a 11 C ．a 12D ．a 13解析 由a 1＝31，d ＝－3，知a n ＝31＋(n －1)×(－3)＝34－3n .又a 11＝34－33＝1，a 12＝34－36＝－2. ∴与0最接近的是a 11. 答案 B6．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4解析 ∵{a n }为等差数列，且a 6＝a 4＋6，∴a 6－a 4＝6，∴d ＝a 6－a 42＝3，∴a 1＝a 2－d ＝－5－3＝－8.答案 B 二、填空题7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2，(n ∈N ＋)，则a 2010＝________. 解析 由a n ＋1－a n ＝2知数列{a n }为等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a 2010＝2×2010＝4020. 答案 40208．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析 由a 5＝a 2＋6＝a 2＋3d ，得d ＝2，故a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 答案 139．在a 和b 之间插入n 个数，使它们成等差数列，则公差d ＝________.解析 在a 、b 之间插入n 个数后共有n ＋2个数，这n ＋2个数成等差数列，则b ＝a n ＋2＝a ＋(n ＋2－1)d ，∴d ＝b －an ＋1. 答案b －an ＋1三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.求a n . 解 ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ， ∴a 5＝a 3＋2d ＝7＋2d ，a 7＝a 3＋4d ＝7＋4d .又a 5＋a 7＝7＋2d ＋7＋4d ＝14＋6d ＝26， 得d ＝2.∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1＝a 2n ＋4，求a n .解 由a 2n ＋1＝a 2n ＋4，得a 2n ＋1－a 2n ＝4. ∴{a 2n }为等差数列．∴a 2n ＝a 21＋4(n －1)＝1＋4(n －1)＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.12．在等差数列{a n }中，a 4＝3，a 10＝9， (1)求a n ；(2)4412是这个数列中的项吗？为什么？解 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 10＝a 4＋6d . 即9＝3＋6d ，∴d ＝1.∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝3＋n －4＝n －1. (2)设4412是这个数列中的第n 项(n ∈N ＋)由n －1＝4412，得n ＝4512，这与n ∈N ＋矛盾，故4412不是这个数列中的项．思 维 探 究13．在数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，且通项公式是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求a 1007； (2)若b n ＝a 2n －1，求数列{b n }的通项公式． 解 (1)设a n ＝An ＋B (A ≠0)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，10A ＋B ＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.∴a n ＝2n ＋1，a 1007＝2×1007＋1＝2015. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1， ∴b n ＝a 2n －1＝2·2n＋1－1＝2n ＋1.。

双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错． 答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PB →＋PC →＝0C.PC →＋PA →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( ) A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形．答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →；(2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →. 答案 (1)OB → (2)BO →(3)AD →＋BD →8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵PA →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km”，b 表示“向南走了2 km”，c 表示“向西走了2 km”，d 表示“向北走了2 km”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)2 2 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ，所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.(3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0.12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝013.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →.求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →.∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0. ∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。