第2讲 解题常招,设参换元-2020猿辅导高考寒假班(课后补充阅读)

【考情解读】1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环；3.了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)；4.能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用；5.了解结构图，会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．【重点知识梳理】1．算法的定义算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2．程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．(2)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个按先后顺序执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式的值赋给变量(2)①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式及框图．①UNTIL语句②WHILE语句【高频考点突破】考点一程序框图的执行问题【例1】 (1)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7 B．42 C．210 D．840(2)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．(2)输入n＝50，由于S＝0，i＝1，则：第一次运行S＝2×0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第二次运行S＝2×1＋2＝4，i＝2＋1＝3；第三次运行S＝2×4＋3＝11，i＝3＋1＝4；第四次运行S＝2×11＋4＝26，i＝4＋1＝5；第五次运行S＝2×26＋5＝57＞50，i＝5＋1＝6，终止循环，故输出i＝6.答案(1)C(2)6【规律方法】执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．【变式探究】 (1)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为()A．3 B．4 C．5 D．6(2)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n －1}的前10项和D ．计算数列{2n －1}的前9项和考点二 程序框图的补全问题【例2】执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s>12B ．s>35C ．s>710D ．s>45解析 程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9；s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s ＞710.故选C.答案 C【规律方法】解答这类题目时，一定要理解悟透各种框图的作用，才能得到正确的结果，特别要注意对问题的转化，问题与框图的表示的相互转化．【变式探究】某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n ？”，n 为正整数，若输出的S ＝26，则判断框内的n ＝________．解析 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26，因此当输出的S ＝26时，判断框内的n ＝4.答案 4考点三 基本算法语句【例3】 根据下图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( ) INPUTxIFx ＜＝50 THEN y ＝0.5*xELSE y ＝25＋0.6*(x －50)END IF PRINTyA ．25B ．30C ．31D ．61解析 通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x≤50，25＋0.6（x －50），x ＞50，∴y ＝f(60)＝25＋0.6×(60－50)＝31. 答案 C【规律方法】解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．【真题感悟】1.【高考新课标1，文9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C2.【高考重庆，文8】执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（）(A) 34(B)56(C)1112(D)2524【答案】D3.【高考天津，文3】阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为（）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======故选C.4.【高考陕西，文7】根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．10【答案】D【解析】该程序框图运行如下：6330x =-=>，330x =-=，0330x =-=-<，2(3)110y =-+=，故答案选D.5.【高考湖南，文5】执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A 、67 B 、37 C 、89 D 、49【答案】B【解析】由题根据所给程序框图不难得到所求S 值即是求递推数列的连续前3项的和； 由题11131335577++=⨯⨯⨯，故选B. 6.【高考福建，文4】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．2B ．7C ．8D ．128【答案】C【解析】由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x xyx x⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f=-=，故选C．7.【高考北京，文5】执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】初值为3,0a k==，进入循环体后，3,12ak==；3,24a k==；3,38a k==；3,416a k==；此时14a<，退出循环，故4k=，故选B.8.【高考安徽，文7】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B9.【高考山东，文11】执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是 .【答案】13【解析】第一次执行程序，满足条件2,112x x <=+=；第二次执行程序，不满足条件22,32113x y <=⨯+=，输出13y =，结束.答案为13.1．（·安徽卷）如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()图1-1A ．34B ．53C ．78D ．89【答案】B 【解析】由程序框图可知，变量的取值情况如下：2．（·天津卷）阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()图1-1A．15B．105C．245D．945【答案】B3．（·福建卷）阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()图1-3A．18B．20C．21D．40【答案】B【解析】输入S＝0，n＝1，第一次循环，S＝0＋2＋1＝3，n＝2；第二次循环，S＝3＋22＋2＝9，n＝3；第三次循环，S＝9＋23＋3＝20，n＝4，满足S≥15，结束循环，输出S＝20.4．（·湖北卷）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．图1-2【答案】495 【解析】取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693； 由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594； 由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495； 由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b ＝495.5．（·湖南卷）执行如图1-1所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于() A ．[－6，－2] B ．[－5，－1] C ．[－4，5] D ．[－3，6]图1-1【答案】D 【解析】(特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，所以D 正确． 6．（·江西卷）阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()图1-3A ．7B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由程序框图可知，运算过程如下表：S S<－1i 输出赋初值 01 开始S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1 否 3 S ＝－lg 3＋lg 35＝－lg 5>－1 否 5S ＝－lg 5＋lg 57＝－lg 7>－1否77．（·辽宁卷）执行如图1-2所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________．图1-2 【答案】299【解析】当x ＝9时，y ＝5，则|y －x|＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x|＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x|＝49<1.故输出y ＝299.8．（·新课标全国卷Ⅰ）执行如图1-2所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝()图1-2A.203B.165C.72D.158【答案】D【解析】逐次计算，依次可得：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.此时输出M ，故输出的是158.9．（·新课标全国卷Ⅱ）执行如图1-2所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝()图1-2A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】逐次计算，可得M ＝2，S ＝5，k ＝2；M ＝2，S ＝7，k ＝3，此时输出S ＝7.10．（·山东卷）执行如图1-2所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为____．图1-2 【答案】3【解析】x ＝1满足不等式，执行循环后，x ＝2，n ＝1；x ＝2满足不等式，执行循环后，x ＝3，n ＝2；x＝3满足不等式，执行循环后，x＝4，n＝3；x＝4不满足不等式，结束循环，输出的n的值为3.11．（·陕西卷）根据如图1-1所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()图1-1A．an＝2nB．an＝2(n－1)C．an＝2nD．an＝2n－1【答案】C【解析】阅读题中所给的程序框图可知，对大于2的整数N，输出数列：2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N－1＝2N，故其通项公式为an＝2n.12．（·四川卷）执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()图1-1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x≥0，y≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.【押题专练】1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10B ．17C ．19D ．36解析 执行程序：k ＝2，S ＝0；S ＝2，k ＝3；S ＝5，k ＝5；S ＝10，k ＝9；S ＝19，k ＝17，此时不满足条件k ＜10，终止循环，输出结果为S ＝19.选C.答案 C2．为了在运行如图所示的程序之后得到结果y ＝16，则键盘输入的x 应该是( ) INPUT x IF x ＜0 THEN y ＝(x ＋1)*(x ＋1) ELSEy ＝(x －1)*(x －1) END IF PRINT y END A ．±5 B ．5 C ．－5D ．0解析 ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＜0，（x －1）2，x≥0.∴当x ＜0时，令(x ＋1)2＝16，∴x ＝－5； 当x≥0时，令(x －1)2＝16，∴x ＝5，∴x ＝±5. 答案 A3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．执行如图所示的程序框图，输出的M 值是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析 M ＝2，i ＝1；M ＝11－2＝－1，i ＝2；M＝11－（－1）＝12，i＝3；M＝11－12＝2，i＝4；M＝11－2＝－1，i＝5，终止循环，输出M＝－1.答案B5.如图所示的程序框图，该算法的功能是()A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是4，则判断框内m的取值范围是 ()A ．(2，6]B ．(6，12]C ．(12，20]D ．(2，20)7．执行如图所示的程序框图，则输出0的概率为( )A.38B.58C.12D.23解析 因为⎣⎡⎭⎫1，74的长度为74－1＝34，[1，3]的长度为3－1＝2，所以输出0的概率为342＝38，故选A.答案 A8．利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )A．2 B．3C．4 D．59．运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为________．INPUT a，bIF a>b THENm＝aELSEm＝bEND IFPRINT mEND解析∵a＝2，b＝3，∴a<b，应把 3.答案310．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为________．解析逐次写出运行结果．该流程图运行4次，各次S的取值分别是1，2，6，15，所以输出的k＝4.答案411. 执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是________．12．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为________．13．图1是某地区参加高考的学生身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为A1，A2，A3，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数，图2是图1中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法程序框图．现要统计身高在[160，180)内的学生人数，那么流程图中判断框内整数k的值为________．解析依题意，注意到身高在[160，180)内的学生属于第4组至第7组，因此结合题中的程序框图得知，流程图中判断框内整数k的值是7.答案7一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.。

第2讲　复数、平面向量一、选择题1.(2019河南名校联考)若复数z 满足z ·(2-4i)=1+3i,则|z|=( ) A.1B.C.D.322212答案　C 依题意知z===-+i,故|z|==,故选C.(1+3i )(2+4i )(2‒4i )(2+4i )‒10+10i 201212(‒12)2+(12)2222.(2019湖南娄底二模)复数z 满足(1+i)z=|-4i|,则z=( ) A.2+2i B.1+2i C.2-2i D.1-2i答案　C 由(1+i)z=|-4i|=4,得z===2-2i.故选C.41+i 4(1‒i )(1+i )(1‒i )3.已知复数是纯虚数(i是虚数单位),则实数a 等于( )a +i2‒i A.-2 B.2C. D.-112答案　C 因为=+i 是纯虚数,a +i 2‒i 2a ‒152+a5所以=0,≠0,2a ‒152+a5所以a=,选C.124.(2019安徽蚌埠第一次教学质量检测)已知复数z 满足z(1-i)=2-i,其中i 是虚数单位,则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案　A ∵z(1-i)=2-i,∴z====,2‒i 1‒i (2‒i )(1+i )(1‒i )(1+i )2+i ‒i 223+i 2则在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故选A.(32,12)5.复数z=(a+1)+(a 2-3)i(i 为虚数单位),若z<0,则实数a 的值是( )A. B.1C.-1D.-33答案　D 由题意得{a +1<0,a 2‒3=0,解得a=-.故选D.36.(2019广东六校第一次联考)在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足=4,则=( )EB EC ED A.- B.-56AB 43AC 43AB 56AC C.+ D.+56AB 43AC 43AB 56AC 答案　A 因为D 为AB 的中点,点E满足=4,所以==,所以=+=EB EC BD 43CBED EB BD +=(+)-=-,故选A.43CB 12BA 43CA AB 12AB 56AB 43AC 7.(2019河北唐山模拟)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b 的夹角的余弦值为( )A.B.-3101031010C. D.-2222答案　C 因为向量a=(1,1),2a+b=(4,2),所以b=(2,0),则向量a,b 的夹角的余弦值为=.1×2+1×02×2228.已知在平面直角坐标系xOy 中,P 1(3,1),P 2(-1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量与向量a=(1,-1)OP 3共线,若=λ+(1-λ),则λ=( )OP 3OP 1OP 2A.-3B.3C.1D.-1答案　D 设=(x,y),则由∥a,知x+y=0,于是=(x,-x).若=λ+(1-λ),则有(x,-OP 3OP 3OP 3OP 3OP 1OP 2x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.{4λ‒1=x ,3‒2λ=‒x ,9.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为( )AB AB CD A.- B.-33225C.D.33225答案　C 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影CD AB AB CD 为||·cos<,>===.AB AB CD AB ·CD|CD |155232210.(2019湖南湘潭模拟)在△ABC 中,|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F 为BC 的三等分点,AB AC AB AC 则·=( )AE AF A. B.89109C. D.259269答案　B 由|+|=|-|知⊥,以A 为坐标原点,,的方向分别为x 轴,y 轴的AB AC AB AC AB AC AB AC 正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,1),不妨设E,F ,则·=·(43,13)(23,23)AE AF (43,13)=+=.(23,23)892910911.(2019广东揭阳模拟)已知O 是△ABC 内一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,OA OB OC AB AC 则△OBC 的面积为( )A. B. C. D.3333223答案　A ∵++=0,∴O 是△ABC 的重心,于是S △OBC =S △OA OB OC 13ABC .∵·=2,∴||·||·cos ∠BAC=2,∵∠BAC=60°,AB AC AB AC ∴||·||=4.∴S △ABC =||||·sin ∠BAC=,AB AC 1AB AC 3∴△OBC 的面积为,故选A.3312.(2019河南郑州第二次质量预测)在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=2,CA=4,点P 在边AC 的中线BD 上,则·的最小值为( )CP BP A.-B.0C.4D.-112答案　A 解法一:因为BC=2,AC=4,∠BCD=90°,所以AC 的中线BD=2,且∠CBD=45°.因2为点P 在边AC 的中线BD 上,所以设=λ(0≤λ≤1),如图所示,所以·=(+)·BP BD CP BP CB BP =(+λ)·λ=λ·+λ2·=λ||·||cos135°+λ2×(2)2=8λ2-4λ=8-BP CB BD BD CB BD BD 2CB BD 2(λ‒14)2,当λ=时,·取得最小值-,故选A.1214CP BP 12解法二:依题意,以C 为坐标原点,分别以AC,BC 所在的直线为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),D(2,0),所以直线BD 的方程为y=-x+2,因为点P 在边AC 的中线BD 上,所以可设P(t,2-t)(0≤t ≤2),所以=(t,2-t),=(t,-t),所以·=t 2-t(2-t)=2t 2-2t=2-CP BP CP BP (t ‒12)2,当t=时,·取得最小值-,故选A.1212CP BP 12二、填空题13.已知复数z 满足(1+i)z=i,i 是虚数单位,则z= .33答案　+i3434解析　由已知得z====+i.3i 1+3i 3i (1‒3i )(1+3i )(1‒3i )3+3i 4343414.设-2i=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位),则b-ai= .2+ii +1答案　--i5232解析　因为-2i=-2i=-i=a+bi,所以a=,b=-,因此b-ai=--i.2+i i +1(2+i )(1‒i )(i +1)(1‒i )32523252523215.在如图所示的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·BM MA CN NA BC 的值为 .OM答案　-6解析　解法一:连接OA.∵=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),BC AC AB AN AM ON OA OM OA ON OM ∴·=3(-)·=3(·-||2)=3×(2×1×cos 120°-12)=3×(-2)=-6.BC OM ON OM OM ON OM OM 解法二:在△ABC 中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON ⊥AC,以A 为坐标原点,AB,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O,C ,M ,B .(2,32)(0,332)(52,0)(152,0)故·=·=--=-6.BC OM (‒152,332)(12,‒32)1549416.(2019安徽合肥模拟)在△ABC 中,(-3)⊥,则角A 的最大值为 .AB AC CB 答案　π6解析　因为(-3)⊥,所以(-3)·=0,即(-3)·(-)=0,则-AB AC CB AB AC CB AB AC AB AC AB 24·+3=0,即cos A==+≥2=,当且仅当||=||时等号成AC AB AC 2|AB |23|AC |24|AC |·|AB ||AB |4|AC |3|AC |4|AB |31632AB 3AC 立.所以0<A ≤,即角A的最大值为.π6π6。

中国人民大学附属中学2020届高三寒假自主学习综合练习数学参考答案和评分标准一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．）(注：11,14题第一个空3分，第二个2分)三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （17）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，.……………………… 1分根据已知条件得sin 2cos B ab C =，sin sin cos C B B C =， ..…………………………2分 ∵0B π<<，∴0sinB ≠，cos C C =， …………………………4分即tan 3C =， .…………………………5分 ∵0C π<<， ∴6C π=.…………………………6分 【注：不声明B 和C 角的范围扣1分】（Ⅱ）由sin()cos b A a B π-=及正弦定理，得sin sin sin cos B A A B =..………………… 8分∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴sin cos B B =， ∴4B π=. .…………………………10分根据正弦定理sin sin b c B C =，可得sin sin 46cππ=，解得1c =.……………………… 11分∴111sin 1sin sin()2224ABC S bc A A B C ∆==⨯=⨯+=.…………………13分 【注：不声明A 角的范围扣1分】18. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）指标Y 的平均值为： 9.6×16+10×36+10.4×26≈10.07．.…………………………2分（Ⅱ）由分层抽样法知，在抽取的件产品中， 指标Y 在[9.8,10.2]内的有3件， 指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件，指标Y 在 [9.4,9.8)内的有1件， .…………………………3分 设事件A=“从6件产品中随机抽取2件产品，这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]”从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件2615C =个，其中，指标Y 都在[9.8,10.2]内的事件有233C =个， .…………………………5分所以31()155P A ==， 即从6件产品中随机抽取2件产品，这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率为15；.……6分 （Ⅲ）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为 η=148(48x +16×300+8×600)=x +200 元．.……9分 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x +100)元， 一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300=2400元，平均每件产品的消费费用ξ=148×[48(x +100)+2400]=x +150元， .……12分因为，x +200> x +150，所以该服务值得购买． .……13分19. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC为正三角形.∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥.又BCAD ，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥， ..…………………………2分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =， ∴AE ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，∴AE PD ⊥； .…………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，//AB CD ，∵AB ⊂平面P AB ，CD ⊄平面P AB ，∴//CD 平面P AB ， .…………………………6分 ∵CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面P AB =l ， ∴//CD l ，∴//l AB ； .…………………………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),1,0),A B C -，(0,2,0),(0,0,2),D P E，1,12F ⎫⎪⎝⎭………………………………9分∴(3,0,0)AE =，31,122AF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =，则0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11110102x y z =++=取11z =-， 则(0,2,1)m =-…… 因为,,BD AC BD PA PAAC A ⊥⊥=，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量又(BD =- ………………………………………………13分∴5||cos ,5m BD m B m D D B ⋅==⋅⨯=∴二面角的余弦值为5. .………………………………………………14分20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）由f ʹ(x )=lnx −2ax +2a ，得 g (x )=lnx −2ax +2a ，x ∈(0,+∞)． 则g ʹ(x )=1x −2a =1−2ax x． .………………………………………………1分当 a ≤0 时，x ∈(0,+∞) 时，g ʹ(x )>0，.……………………………………………2分 当 a >0 时，x ∈(0,12a) 时，g ʹ(x )>0，x ∈(12a,+∞) 时，g ʹ(x )<0， .………………………………………4分∴当 a ≤0 时，g (x ) 的单调增区间为 (0,+∞)；当 a >0 时，g (x ) 的单调增区间为 (0,12a)，单调减区间为 (12a ,+∞)．……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f ʹ(1)=0． .………………………………………7分①当 a ≤0 时，f ʹ(x ) 在(0,+∞)上单调递增，∴当 x ∈(0,1) 时，f ʹ(x )<0，f (x ) 单调递减； 当 x ∈(1,+∞) 时，f ʹ(x )>0，f (x ) 单调递增．∴ f (x ) 在 x =1 处取得极小值，不合题意．.…………………………………8分②当 0<a <12 时，12a>1，由（Ⅰ）知 f ʹ(x ) 在 (0,12a) 内单调递增，当 x ∈(0,1) 时， f ʹ(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1,12a ) 时，f ʹ(x )>0，f (x )单调递增，∴ f (x ) 在 x =1 处取得极小值，不合题意．.………………………………10分③当 a =12 时，12a =1，f ʹ(x ) 在 (0,1) 内单调递增，在 (1,+∞) 内单调递减．∴当 x ∈(0,+∞) 时，f ʹ(x )≤f ʹ(1)=0，f (x ) 单调递减，不合题意．……11分④当 a >12 时，0<12a <1，f ʹ(x )在(12a ,+∞)上单调减，∴当 x ∈(12a ,1) 时，f ʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，当 x ∈(1,+∞) 时，f ʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，∴ f (x ) 在 x =1 处取得极大值，符合题意．综上可知，实数 a 的取值范围为 (12,+∞)． .………………………………14分21.（本题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，2a =，2223b a c =-=，所以，椭圆E 的方程为22143x y +=． .………………………………4分（Ⅱ）当1l 、2l 的斜率都存在且不为0时，设1:l ()1y k x =-，则2:l ()11y x k=--， 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立()221341x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 因为直线1l 经过椭圆内一点，所以0∆>，由韦达定理得，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， .………………………………7分 所以，AB 中点M 的坐标为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 用1k -替换k ，可得CD 中点N 的坐标为223,43434k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭， （1）若=1k ±，此时求得4MN :7x =，过定点4,0)7（.………………………………8分 （2）当10k ≠±，， ∴()2741MN kk k =-， .………………………………9分∴直线MN 的方程为：()222374434341k ky x k k k ⎛⎫-=⋅- ⎪++-⎝⎭，即()277441k y x k ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭，∴直线MN 经过定点47,0⎛⎫⎪⎝⎭； . ………………………………11分当1l 、2l 的斜率分别为0和不存在时，直线MN 的方程为0y =，也经过点47,0⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点47,0⎛⎫⎪⎝⎭. .………………………………13分22.(本题满分13分)解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，1,0,1,0,1． .………………………………3分 （Ⅱ）因为数列A 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m =11，则数列{a n }中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列A 一定是“3阶可重复数列”； .………………………………6分 若m =10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”； 故3≤m ≤10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列．所以，要使数列{a n }一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11； .……………………7分（Ⅲ）由题，在数列A 的最后一项a n 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即存在正整数i ，j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3，a i +4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n ，0按次序对应相等，且 a j ，a j +1，a j +2，a j +3，a j +4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n ，1按次序对应相等， 由于a i +4=0 ≠ 1=a j +4，所以必有i ≠j ． 如果a 1，a 2，a 3，a 4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 不能按次序对应相等， 那么必有2≤i ，j ≤n －4，i ≠ j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3；a j ，a j +1，a j +2，a j +3与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 按次序对应相等．此时考虑a i ﹣1，a j ﹣1和a n ﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列A 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列A 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列A 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a 1，a 2，a 3，a 4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 按次序对应相等，从而a n =a 4=1．.………………13分。

一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（•海淀区一模）的值等于（）A ．1B．﹣1C．i D．﹣i2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A ．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C ．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A ．7个B．8个C．6个D．5个4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A ．10B．5C．D．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A ．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1046．（3分）（•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线10．（3分）的值等于（）A ．4B．C．D．811．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B甲是乙的必要条件，但不是充分条件．C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A ．圆B．直线C．椭圆D．双曲线13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A ．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）14．（3分）（•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C ．C﹣C1975种D．C﹣C31C1974种15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A ．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC ．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．17．（10分）已知tgx=a，求的值．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（•海淀区一模）的值等于（）A ．1B．﹣1C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i，则=（﹣i）2=﹣1，故选B．点评：本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A ．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C ．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上考点：点与圆的位置关系．分析：点P代入直线方程和圆的方程验证即可．解答：解：点P坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P的坐标为（2，1），适合L的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A、B、D不正确．选项C正确．故选C．点评：本题是基础题，考查点的坐标适合方程．3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A ．7个B．8个C．6个D．5个考点：子集与真子集．分析：集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个．故选B．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A ．10B．5C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴双曲线的焦距2c=10．故选A．点评：本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A ．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（3分）（•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．考点：正弦函数的图象．分析：令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解．解答：解：令t=cosx则可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C．点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆考点：简单曲线的极坐标方程．分析：圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可．解答：解：∵，∴，∴其离心率e=，是椭圆．故选D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．10．（3分）的值等于（）A ．4B．C．D．8考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题．11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：等差关系的确定．分析：根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°．解答：解：∵△ABC的一个内角为60°，∴另外两个角的和是120°，∴三个角满足等差数列；∵△ABC的三内角的度数成等差数列，∴等差中项是60°，故选C点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比．12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A ．圆B．直线C．椭圆D．双曲线考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答．解答：解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离．由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A ．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）考点：函数的图象与图象变化．分析：先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标．解答：解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：（x﹣1）2﹣（y+1）2=1，其中心在（1，﹣1），故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题．14．（3分）（•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C ．C﹣C1975种D．C﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A ．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC ．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点：三垂线定理．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答：解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB故选A．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．17．（10分）已知tgx=a，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值．解答：解：==点评：本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．考点：反函数．专题：证明题．分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．解答：解：（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且=，∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0．从而直线M1M2的斜率，因此，直线M1M2不平行于x轴．（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2），即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，与已知矛盾，∴这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．考点：频率分布直方图．专题：压轴题；图表型．分析：（1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案；（2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案．解答：解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人；（2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为=90%．故答案为：（1）50人；（2）90%．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=logax是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=logax是单调增函数，∴＞，即＞点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积．解答：解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论.【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，。

一．基础题组1.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理1）23sin()6π-=（ ） （A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）32 2.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理7）将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A ．cos(+)6y x π= B ．1cos 4y x = C ．cos y x = D ．1cos()43y x π=- 3.（北京市延庆县高三3月模拟理3）设sin 393,cos55,tan50a b c =︒=︒=︒，则a,b,c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<4.（北京市西城区高三一模考试理11）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若π3A =，27cos 7B =，2b =，则a =____. 5.（北京市昌平区高三二模理11）在ABC ∆中，若3a =，7b =，5π6B ∠=，则边c =__________. 6.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理1）计算=︒-)330sin(。

7.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理12）在ABC ∆中，若π2,3,4a c A ==∠=，则B ∠的大小为.8.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理15）已知函数2sin 22sin ()sin x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值； （Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．9.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理15）在梯形ABCD 中，（Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求梯形ABCD 的高．10.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理15）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4． （Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．11.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理15）已知.02cos 22sin =-xx （I ）求x tan 的值； （II ）求xx x sin )4cos(22cos +π的值12.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理15）已知函数2π()sin ()4f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）求π()3f x -的单调递减区间. 13.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理15）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知632,sin b B ==, 2B A π-=. (I)求a 的值; (II)求cosC 的值. 二．能力题组1.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理5）已知函数，若对任意的实数x ，总有，则的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．D ．22.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理14）已知函数()3cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈又12()2,()0f x f x =-=且12||x x -的最小值等于π.则ω的值为_________．3.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理13）在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则．4.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理11）已知函数21()sin 23cos 2f x x x =+，则()f x 的最小正周期是；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'=．5.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理8）函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是．6.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理15）已知函数21()cos 3sincos2222xxx f x ωωω=+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．7.（北京市房山区高三第一次模拟考试理15）已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12f A =，且△ABC 外接圆的半径为3，求a 的值.8.（北京市昌平区高三二模理15）已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示.（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+的单调递增区间. 13π12-22O y xπ39.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理15）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. (Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =2a =1c =，求b .10.（北京市西城区高三一模考试理15）设函数π()4cos sin()33f x x x =-x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离. 11.（北京市延庆县高三3月模拟理15）ABC ∆中，2=BC ,θ=∠ABC . （Ⅰ）若5522cos =θ，5=AB ,求AC 的长度； （Ⅱ）若6π=∠BAC ，)(θf AB =，求)(θf 的最大值.xy PQOα一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.144.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.610.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.故选：B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.故选：B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.故选：D.【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5.故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=.故答案为：.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为.故答案为：.【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 .【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论.【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z.【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M.∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=.设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1.∴=（1，﹣1，1）.设直线AD与平面MBC所成角为θ.则sinθ=|cos|===.【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 60 20 100PX1 的数学期望为E（X1）=.X1 的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80PX2 的数学期望为E（X2）==60，X2 的方差D（X2）=差D（X1）=. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案.【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2.所以=2.故c=a，从而双曲线E的离心率e==.（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1.设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）.由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1.【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜ex，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex.【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a.又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2.由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4.f（x）无极大值.（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex.证明如下：令h（x）=x3﹣ex，则h′（x）=x2﹣ex.由（2）知，当x＞0时，x2＜ex，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜ex，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.【点评】该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想.属难题.21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【分析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.【解答】解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为.【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.【分析】（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得.【解答】（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3.【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出.【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4.由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=.∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2.【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键.。

导数与函数的单调性的综合题 【背一背重点知识】1.利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2.利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化.如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3.利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如()()0xf x f x '+>可转化为(())0xf x '>()()0xf x f x '->可转化为()()0f x x'> 【讲一讲提高技能】1. 必备技能：会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数. 2. 典型例题：例1已知函数1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈． （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，求()f x 的单调区间；（3）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能，请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由． 例2已知22()(0)(1)ax f x a x +=>+. （Ⅰ）若1a =，求)(x f 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）确定函数)(x f 的单调区间，并指出函数()f x 是否存在最大值或最小值． 【练一练提升能力】 1.已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈． （Ⅰ）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立． 2. 已知函数d cx bx x x f +++=2331)(的图象过点（0，3），且在)1,(--∞和),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数．（1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 在R 上的极值．导数与函数的极值、最值的综合题 【背一背重点知识】1.运用导数求可导函数()y f x =的极值的步骤：（1）先求函数的定义域，再求函数()y f x =的导数()f x '；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查()f x '在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值. 2.求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）首先确定函数()f x 在区间[,]a b 内连续，在(,)a b 内可导；（2）求函数()f x 在(,)a b 内的极值；（3）求函数()f x 在区间端点的值(),()f a f b ；（4）将函数()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3. 已知函数最值求参数，需正确等价转化.如函数()f x 最大值为2，则等价转化为：()2f x ≤恒成立且()2f x =有解.【讲一讲提高技能】1.必备技能：求函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点；而求函数极值时，必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号，若不变号，则不为极值点；若变号，再根据变号规律，确定是极大值还是极小值.2.典型例题：例1已知函数()e 1xf x x -=+-．（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围． 例2已知函数)0(ln )(22≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. （Ⅰ）若1x是函数()y f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 【练一练提升能力】1. 已知函数23)(bx ax x f +=,在1x =时有极大值3; （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在[]2,1-上的最值.2.已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围． 利用导数解决不等式等综合问题【背一背重点知识】1. 利用导数证明不等式的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）对新函数求导；（4）根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；（5）结论.2. ()()f x g x >对x D ∈恒成立等价于min (()())0f x g x ->3. 12()()f x g x >对12,x D x D '∈∈恒成立等价于min max ()()f x g x > 【讲一讲提高技能】1必备技能：构造函数证明不等式的技巧：（1）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数()f x ，使原不等式成为形如()()f a f b >的形式；（2）对形如()()f x g x >,构造函数()()()F x f x g x =-；（3）对于（或可化为）12(,)f x x A ≥的不等式，可选1x (或2x )为主元，构造函数2(,)f x x （或1(,)f x x ）. 2典型例题：例1设函数,)(xxe x f =.)(2x ax x g +=（1）若)(x f 与)(x g 具有完全相同的单调区间，求a 的值； （2）若当0≥x 时恒有),()(x g x f ≥求a 的取值范围．例2已知函数()(01)log xa f x a a ax =>≠+且的定义域为[]2,1．（Ⅰ）若()12f =，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为5，求实数a 的值；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得2)(a x f <恒成立？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由． 【练一练提升能力】1.已知函数)0()1ln()(2≤++=a ax x x f （1）讨论)(x f 的单调性．（2）证明：n e n 211)411()1611)(411(-<+•••++（*∈N n ，e 为自然对数的底数）2.已知)0()(>-=a xax x f ,bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切. (1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当1=a 时,求最大的正整数k ,使得对]3,[e ( 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立;证:)12ln(14412+>-∑=n i i ni )(*N n ∈. (3)求解答题（共10题） 1.已知函数131)(23+-=ax x x f . （Ⅰ）若函数)(x f 的图象关于点(0,1)对称，直接写出a 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间；（Ⅲ）若()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立，求a 的最大值. 2. 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >． （取e 为2.8，取ln 2为0.72 1.4）3. 已知函数x ax x x f 221ln )(2--=． （1）若函数)(x f 在2=x 处取得极值，求实数a 的值； （2）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （3）当21-=a 时，关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．4. 已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．5. 已知函数()(2)xf x ax e =-在1x =处取得极值． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 在[,1]m m +上的最小值；（3）求证：对任意1x 、2[0,2]x ∈，都有12|()()|f x f x e -≤．6. 已知函数2()ln(1).f x x a x =++ （1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[1,2]x ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的答案无效．本卷共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 一、选择题1.已知全集U R =，集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x R x =∈≥，下图中阴影部分所表示的集合为 （ ）（A ）{1}（B ）{1,2} （C ）{1,2,3}（D ）{0,1,2}2.523ii-+=- （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）23.某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出S 的值为（ ）（A ）10 （B ）12 （C ）15 （D ）184.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若327a a =-，则4S =（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）13 （D ）125.若实数x ，y 满足线性约束条件02323x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤，则z x y =-的最小值是（ ）（A ）3- （B ）0 （C ）32（D ）3 6.若[1,1]x ∈-，则方程||2sin 2πx x -=的实数根的个数为 （ ）（A ）2（B ）3 （C ）4 （D ）57.已知命题p ：x R ∀∈，2log 0x >，命题q ：0x R ∃∈，020x <，则下列命题为真命题的是（ ）（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()p q ⌝∧（D ）()p q ∨⌝8.如下图，网格纸上的正方形小格的边长为1，图中的粗线画出了某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）开始 0S = 1i =S S i =+ 1i i =+S输出5?i >结束是否UBA（A ）422+ （B ）442+ （C ）623+ （D ）633+9.若函数()sin 3cos f x x x ωω=+，x R ∈，又()2f α=，()0f β=，||αβ-的最小值等于54π，则正数ω的值为（ ） （A ）85（B ）45π（C ）25（D ）25π 10.若直线20mx ny ++=（0m >，0n >）截圆22(3)(1)1x y +++=，所得的弦长为2，则13m n+的最小值为 （ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）1211.假设在5秒钟内的任何时刻，两条不相关的短信能机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）（A ）425（B ）825（C ）925（D ）162512.若函数3212()33f x x x =+-在区间(,5)a a +内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[5,0)- （B ）(5,0)-（C ）[3,0)- （D ）(3,0)-第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13.已知球的体积是36π，一个平面截该球得到直径为25的圆，则球心到这个平面的距离是.14.已知抛物线28x y =的准线经过双曲线2221y x m-=的一个焦点，则该双曲线的离心率为.15.在ABC ∆中，P 是BC 的中点，1AB =，2AC =，则AP BC ⋅= . 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n nS a n +=+，则n a = . 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，CD AB ∥，4AB =，2AD CD ==，将ACD ∆沿AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，得到三棱锥D ABC -，如图2所示．19．（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名，按年龄所在的区间分组：第1组：[20，25）；第2组：[25，30）；第3组：[30，35）；第4组：[35，40）；第5组：[40，45]．得到的频率分布直方图如下图所示． （Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在满足条件（Ⅰ）时，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．40频率组距453500.0725200.040.06年龄300.010.0220．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2． （Ⅰ）求动点P 的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）设曲线Γ上的三点11(,)A x y ，2(1,)2B ，22(,)C x y 与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．21．（本小题满分12分）已知函数2()xf x e x a =-+的图象在点0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当x R ∈时，求证：2()f x x x -+≥；（Ⅲ）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．选考题：请考生在第22、23、24三道题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4－1∶几何证明选讲如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，//AD BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2AB DE BC =⋅；（Ⅱ）若9BD =，6AB =，9BC =，求切线PC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4∶坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为22x ty =--⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C :22(2)1y x --=交于A 、B 两点．（Ⅰ）求弦AB 的长；（Ⅱ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为3)4π，求点P 到线段AB 的中点M 的距离．24．（本小题满分10分）选修4－5∶不等式选讲P设函数()|4|||f x x x a =-+-，x R ∈． （Ⅰ）证明：当1a =时，不等式ln ()1f x >成立；（Ⅱ）关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值．Equation Chapter 1 Section 1红河州高中毕业生复习统一检测文科数学参考答案三、解答题：本大题共6个小题，共70分． 17．（12分）解：（Ⅰ）∵222cos()sin cos b a c A C ac A A --+=，∴2cos 2cos sin 2BB A--=．∵B 是锐角，∴cos 0B ≠．∴sin 21A =． ∵02A π<<，02A π<<，∴4A π=． ………………………………6分（Ⅱ）112sin sin 224ABC S bc A bc bc π∆===． 由（Ⅰ）知，22222cos4b c bc π=+-22bc bc -≥．∴(22)4bc -≤．即2(22)bc +≤．∴222(22)21ABC S bc ∆=⨯+=+≤． ∴ABC ∆的面积的最大值为21+． ………………………………12分 18．（12分）解:（Ⅰ）在图1中,可得22AC BC ==，∴222AC BC AB +=．∴AC BC ⊥．取线段AC 的中点O ，连接DO ，∵AD CD =，∴DO AC ⊥．又∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ， ∴DO ⊥平面ABC ．∴DO BC ⊥．∵AC DO O =，∴BC ⊥平面ACD ． ………………………6分 (Ⅱ)设点C 到平面ABD 的距离为h ．由（Ⅰ）可知BC ⊥平面ACD ，∴BC AD ⊥．由已知得AD CD ⊥，∴AD ⊥平面BCD ．∴AD BD ⊥．∴2211222ABD S AD BD AB AD ∆=⋅⋅=⨯⨯-16423=-=． 由（Ⅰ）可知DO ⊥平面ABC ，2DO =，112222422ABC S AC BC ∆=⋅⋅=⨯⨯=．根据体积关系得，C ABD D ABC V V --=． ∴1133ABD ABC S h S DO ∆∆⋅⋅=⋅⋅． ∴2342h =⨯．∴26h =． ∴点C 到平面ABD 的距离是26．……………………………12分 19．（12分）解：（Ⅰ）第3组的人数为0.06510030⨯⨯=，第4组的人数为0.04510020⨯⨯=，第5组的人数为0.02510010⨯⨯=．所以第3,4,5组共60名志愿者．利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数为：第3组：306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106160⨯=．所以应从第3,4,5组中分别抽取的人数为3人，2人，1人．…………6分（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ，第5组的1名志愿者为1C ．从6名志愿者中取2名志愿者有：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共有15种方法． ……………………………………9分其中第4组的2名志愿者1B ，2B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共9种．所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93155=． ………………12分 20．（12分）22(1)22x y -+=． ………………2分 两边平方，化简得2212x y +=．故轨迹Γ的方程是2212x y +=．……………4分 （Ⅱ）由已知可得12||)2AF x =-，2||(21)2BF =-，22||)2CF x =-．……6分 BACDO两式相减得：2222121202x x y y -+-=③ 把①代入③化简得：12121212122()x x y y y y y y x x -+-==+-+④……………………10分 把④代入②，令0y =得，12x =，∴点T 的坐标为1(,0)2．……………………11分 ∴直线BT 的斜率2022112k -==-．………………………………………12分 21．（12分）解：（Ⅰ）∵2()xf x e x a =-+，∴()2xf x e x '=-．∴(0)f b '=．∴1b =．∴切线方程是y x =． ∵切点为(0,1)a +．∴10a +=．∴1a =-．∴2()1xf x e x =--．……………4分 （Ⅱ）令2()()()1xx f x x x e x ϕ=--+=--，则()1x x e ϕ'=-，由()0x ϕ'=解得0x =． 当(,0)x ∈-∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；∴min ()(0)0x ϕϕ==．∴2()f x x x -+≥． ………………………………8分（Ⅲ）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立． 令()()f x g x x=，0x >．∴222()()(2)(1)()x x xf x f x x e x e x g x x x '-----'==2(1)(1)x x e x x ---=． 由（Ⅱ）可知当(0,)x ∈+∞时，10xe x -->恒成立．∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<．当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>．∴min ()(1)2g x g e ==-．∴min ()2k g x e <=-．∴实数k 的取值范围为(,2)e -∞-．……………………………………………12分22.（本小题满分10分）选修4－1∶几何证明选讲解：（Ⅰ）证明：∵AD //BC ，∴AB CD =．∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD ．∵PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC ．∴△CDE ∽△BCD ，∴DC CB ＝DECD． ∴CD2＝DE ·BC ，∴AB2＝DE ·BC ． ……………………………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，DE 2AB BC =＝369＝4．∵AD //BC ，∴△PDE ∽△PBC ．∴PD PB ＝DE BC ＝49．∴9PD PD +＝49． 解得PD ＝365．∴8195PB PD =+=．∴2PC ＝PD ·PB ＝365⨯815． ∴368154555PC =⨯=．…………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4－4∶坐标系与参数方程解：（Ⅰ）直线l 的参数方程的标准形式为12232x t y t ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩（t '为参数），代入曲线C 得24100t t ''+-=．记A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '．则124t t ''+=-，1210t t ''=-． 所以2121212||||()4214AB t t t t t t ''''''=-=+-=．……………………………………5分 （Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标(2,2)-．所以点P 在直线l 上． 中点M 对应的参数为1222t t ''+=-，由参数t '的几何意义得，点P 到线段AB 中点M 的距离12||22t t PM ''+==． …………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4－5∶不等式选讲解：（Ⅰ）当1a =时，()|4||1||(4)(1)|3f x x x x x =-+----=≥. ∴()3f x e >≥．即()f x e >．∴ln ()1f x >． ……………………………………5分 （Ⅱ）由绝对值的性质得()|4||||(4)()||4|f x x x a x x a a =-+----=-≥． ∴min ()f x =|4|a -，∴|4|a a -≥，解得2a ≤．∴a 的最大值为2． ………………10分请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其它答案请参考评分标准酌情给分．ABCDEOP第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）54（10）15 （11）25（12）4（1314） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，由12a = ，解得2d =.所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，整理得 220k k --=，*k ∈N . 解得1k =-（舍去）或2k =.故2k =.………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()f x 的周期()22T ππ=--=π， 所以22ωπ==π. 又由()sin 201ϕ⨯+=，且02ϕ<<π，所以2ϕπ=. 所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=. ………………………………6分 （Ⅱ）2()()2sin cos 22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+2132(sin )22x =--+.由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32；当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-. ………………………………13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. ………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.………………………………6分（Ⅲ）设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的1位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C .其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，11(,)B C ，21(,)B C ，12(,)B B 9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P =93155=.………………………13分 （18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CD DE D =,所以AE ⊥平面CDE .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE .设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FMCD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CDAB .ABCED FM又FM CD ，所以FMAB .因为3CD AB =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AFBM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以AF平面BCE . ………………………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-.………………………………4分（Ⅱ）由()e x f x x a =-，得()1e xf x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a af a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-，所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； …………………8分 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e0aa a ---=.解得1ea =.综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点.…………………12分（Ⅲ）曲线()e xf x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点.…………………14分（20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(0，则b =又a b +=故a =所以椭圆C 的方程为12822=+y x . ………………………………4分(Ⅱ)①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+由2212182y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点.设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x .又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .故021=+k k .………………………………14分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列2.（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.44.（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A.﹣B.0C.3D.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞6.（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q7.（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.728.（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.39.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.16810.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）＞8B.ab（a+b）＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B=.12.（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为.13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=.三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=.15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值.18.（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.）19.（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP.（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(13)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，故选：D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.2.（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案.【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A.【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键.3.（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A.【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A.﹣B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可.【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3.故选：C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件.【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题.而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答.【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D.【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断.7.（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60.故选：B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率.【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==.故选：B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题.9.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B.【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便.10.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）＞8B.ab（a+b）＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=.设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A.bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B.ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A.【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B={7，9}.【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA，再根据两个集合的交集的定义求得（∁UA）∩B.【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}.【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.12.（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为.【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值. 【解答】解：∵f（x）=log2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是.故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题.13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±.【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键.三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4.【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论.【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题.15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==.故答案为：.【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，].【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可.【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，].故答案为：[﹣1，].【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值.【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2.再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值.（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=.再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2.再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z.结合﹣≤φ＜可得φ=﹣.（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=.再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=.【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题.18.（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现.【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X 1 2 3P所以E（X）=.【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题. 19.（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP.（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到•=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴•=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ===﹣故sinθ==【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案.【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档.22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.【分析】（Ⅰ）若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可.【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（an﹣1）2=n﹣1，∴an=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1.n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立.【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大.21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径.【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1.从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0.当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题.。

数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P=｛x ︱x2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P ,则a 的取值范围是 A ．(∞, 1] B ．[1, +∞） C ．[1，1] D ．（∞，1] ∪[1，+∞） 2．复数212i i-=+A ．iB ．iC ．4355i -- D ．4355i -+ 3．在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2π B ．(1,)2π-C ． (1,0)D ．(1，π)4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．3 B ．12C ．13D ．25．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax Ac A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，167．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．62C ．10D ．28．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

1. 【高考北京文第3题】“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【高考北京文第7题】双曲线x2－2y m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞23.【高考北京文第8题】4. 【高考北京文第4题】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．20⎛⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．21⎫⎪⎪⎣⎭5. 【高考北京文第9题】抛物线y2=4x 的准线方程是；焦点坐标是．6. 【高考北京文第9题】若抛物线y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__________；准线方程为__________．7. 【高考北京文第13题】椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =；12F PF ∠的大小为.8. 【高考北京文第13题】已知双曲线22221x ya b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y+=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．9. 【高考北京文第10题】设双曲线C的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C的方程为.考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、,,a b c的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.10. 【高考北京文第10题】已知双曲线2221(0)yx bb-=>的一条渐近线的方程为2y x=，则b=.11.【高考北京文第20题】（本小题共14分）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．12【高考北京文第19题】椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P 在椭圆C 上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=34,|PF2|=314. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过圆x2+y2+4x2y=0的圆心M,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.13.【高考北京文第19题】（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．14.【高考北京文第19题】（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>的离心率为63，右焦点为(22,0)。