八年级数学上册13_1轴对称课后训练新版新人教版

第十三章轴对称13.2 画轴对称图形第1课时一、教学目标【知识与技能】能画出简单平面图形作轴对称之后的图形,了解画一般轴对称图形的方法.【过程与方法】让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索,加深自己的理解和认识.【情感、态度与价值观】让学生体验到成功的喜悦,树立自信心,体验合作交流的重要性,感受数学美,明白数学来源于生活又服务于生活的道理.二、课型新授课三、课时第1课时，共1课时。

四、教学重难点【教学重点】1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程（一）导入新课我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.（出示课件3）（二）探索新知1.创设情境，探究轴对称图形的画法教师问1：（出示课件2）观察思考，欣赏美丽图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？学生回答：这些图案都是轴对称图形，希望学习这些图案制作方法.教师问2：在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论呢？（出示课件5）学生问：这个如何做呢？出示下边的图案教师问3：认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？（出示课件6）学生回答：成轴对称教师问4：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP ′是什么关系？学生回答：直线l垂直平分线段PP′教师总结点拨：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.教师讲解：同学们自己能做出一个类似的图形吗？学生回答：可以做到.师生共同解答如下：(1)取一张长方形纸；(2)将纸对折，中间夹上复写纸；(3)在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；(4)把纸展开.得到的图案如下：教师问5：取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？学生动手作图后回答：这两个图形关于某直线成轴对称.教师问6：当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？学生画图后回答：当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置不会变化.例1：将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是（）（出示课件8）师生共同解答如下：动手剪一剪，亲自操作后得到答案:B.例2：如图，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝50°，则∠CFD 的度数为（ ）（出示课件10）A ．20° B．30° C ．40° D．50°师生共同解答如下：A. B. C. D. A B D CE F由折叠知道：∠EFD=∠A=90°，∵∠EFB=50°，∴∠CFD=180°-90°-50°==40°.答案：C.总结点拨：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等．2、运用新知，作轴对称图形教师问7：如何画一个点的轴对称图形？学生回答：画出点A关于直线l的对称点A′.教师问8：如何画呢？师生共同解答如下：作法：（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.（2）在垂线上截取OA′＝OA.点A′就是点A关于直线l的对称点. （出示课件12）教师问8：如何画一条线段的对称图形？学生回答：已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.师生共同解答如下：（出示课件13）教师问9：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？师生共同探究后，完成下边的问题例3：如图，已知△ABC 和直线l ，作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.师生共同解答如下：（出示课件14）分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l 的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.（出示课件15）作法：（1）过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O ，在垂线上截取OA ′=OA ，A ′就是点A 关于直线l 的对称点.（2）同理，分别画出点B ，C 关于直线l 的对称点B ′，C ′ .（3）连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，得到△ A ′B ′C ′即为所求. l AB C总结点拨：（出示课件16）作轴对称图形的方法：几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.例4：在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.（出示课件17）师生共同解答如下：总结点拨：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．（出示课件18）（三）课堂练习（出示课件21-25）1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B′，D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为________.3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.4.如图给出了一个图案的一半，虚线l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.参考答案：1.B2.55°3.解答如下图：4.解答如下图：5.解答如下图：（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.轴对称图形的基本特征。

八年级上册13.1 轴对称专项练习（含答案）（满分：100分）班级：______ 姓名：______ 学号：____ 成绩：____一、选择题（每小题3分，共36分）1、点M 关于x轴的对称点的坐标是A．B．C．D．2、下列图形是轴对称图形的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个3、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得点C落在边AB上的点H处，点D落在点G处，若∠AHG= 40°，则∠GEF的度数为( )A．100°B．110° C．120°D．135°4、如右图所示,在RtΔACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（）A.9B.8C.7D.65、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45º，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于( )A．1 B．C．D．6、下列图形中，不是轴对称图形的是( )A B C D7、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC•的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm8、在下列几何图形中一定是轴对称图形的有（）圆平行四边形抛物线三角形A、1个B、2个C、3个D、4个9、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )A．130° B．120° C．110°D．100°10、点P( 2，－3 )关于x轴的对称点是( )A．(－2，3 ) B．(2，3) C．(－2，3 ) D．(2，－3 )11、如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，则∠E的大小为（）A．30°B．35°C．40°D．45°12、如图，△ABC中，∠CAB=120º，A B，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（）A．40ºB．50ºC．60ºD．80º二、填空题13、如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA 于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为；14、如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．15、如图，在△ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 .16、如图，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20°则∠1的度数为度。

数学人教版八年级上第十三章轴对称练习令狐采学一、选择题1．下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是( )．2．下列语句中正确的个数是( )．①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1 B．2 C．3 D．43．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于( )．A．8 cmB．2 cm或8 cmC．5 cmD．8 cm或5 cm4．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为( )．A．42° B．69°C．69°或84° D．42°或69°5．已知A、B两点的坐标分别是(－2,3)和(2,3)，则下面四个结论中正确的有 ( )．①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B不轴对称；④A、B之间的距离为4.A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．把正确答案填在题中横线上)9．观察规律并填空：10．点E(a，－5)与点F(－2，b)关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________.11．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为__________．(第11题图) (第12题图)12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________. 13．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是__________．14.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝__________.(第13题图) (第14题图)15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．16．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8 m，∠A＝30°，则DE长为__________．三、解答题(本大题共5小题，共52分) 17．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的两条中线BD、CE交于O点，求证：OB＝OC. 19．(本题满分10分)如图，已知△ABC中，AH⊥BC 于H，∠C＝35°，且AB＋BH＝HC，求∠B的度数．20．(本题满分10分)如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．(过D作DG∥AC交BC于G)．21．(本题满分12分)如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ.求证：△PCQ为等边三角形．参考答案1．A点拨：数字图案一般是沿中间竖直线或水平线折叠，看是否是轴对称图形，只有A选项是轴对称图形．2．B点拨：①③正确，②④不正确，其中④对应点还可能在对称轴上．3．D点拨：因为BC是腰是底不确定，因而有两种可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5 cm，当BC是腰时，腰长就是8 cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8cm或5 cm. 4．D点拨：在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角存在两种情况，∴42°或69°.5．B点拨：①③不正确，②④正确．6．D点拨：DE垂直平分AB，∠B＝30°，所以AD平分∠CAB，由角平分线性质和线段垂直平分线性质可知A、B、C都正确，且AC≠AD＝BD，故D错误．7．C点拨：经过三次轴对称折叠，再剪切，得到的图案是C图(也可将各选项图案按原步骤折叠复原)．8．B点拨：本题中的台球经过多次反射，每一次的反射就是一次轴对称变换，直到最后落入球袋，可用轴对称作图(如图)，该球最后将落入2号袋．9.点拨：观察可知本题图案是两个数字相同，且轴对称，由排列可知是相同的偶数数字构成的，故此题答案为6组成的轴对称图形．10．2 －5点拨：点E、F关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．11．2.5 cm点拨：△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA，AD⊥BC，所以点D平分BC.2.5 cm.＝＝DC 所以12．5点拨：∠C ＝90°，∠A ＝30°， 则∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线，5.＝＝CD ，所以30°＝D CB 则∠ 13．40°点拨：因为MP 、NQ 分别垂直平分AB 和AC ，所以PA ＝PB ，QA ＝QC ，∠PAB ＝∠B ，∠QAC ＝∠C ，∠PAB ＋∠QAC ＝∠C ＋∠B ＝180°－110°＝70°，所以∠PAQ 的度数是40°.14．25°点拨：设∠C ＝x ，那么∠ADB ＝∠B ＝2x ， 因为∠ADB ＋∠B ＋∠BAD ＝180°，代入解得x ＝25°.15．60°或120°点拨：有两种可能，如下图(1)和图(2)，AB ＝AC ，CD 为一腰上的高，过A 点作底边BC 的垂线，图(1)中，∠BAC ＝60°，图(2)中，∠BAC ＝120°. 16．2 m 点拨：根据30°角所对的直角边是斜边的一2 m.＝＝＝DE 半，可知 17．证明：∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的中线，∴.＝CD ，＝BE又∵AB ＝AC ，∴BE ＝CD .中，CBD 和△BCE 在△ ∴△BCE ≌△CBD (SAS)．∴∠ECB ＝∠DBC .∴OB ＝OC . .1C 1B 1A 如图所示的△(1)解：．18 .2C 2B 2A 如图所示的△(2) 19. 解：如图，在CH 上截取DH=BH ，连接AD ，∵AH ⊥BC ，∴AH 垂直平分BD.∴AB=AD.∴∠B=∠ADB.∵AB+BH=HC，∴AD+DH=HC=DH+CD.∴AD=CD.∴∠C=∠DAC=35°.∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=70°.20. 证明：如图，过D作DG∥AC交BC于G，则∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC(ASA)．∴CE=GD，∵BD=CE.∴BD=GD.∴∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB.∴△ABC为等腰三角形．21. 证明：如图，∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，即∠ACD＝∠BCE.又∵C在线段AE上，∴∠3＝60°.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE.∴∠1＝∠2.在△APC和△BQC中，∴△APC≌△BQC.∴CP＝CQ.∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．。

人教版八年级数学13.1 轴对称同步训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的轴对称图形中，只用平移就可以使对称轴两边的图形重合的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2. P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是()A. OP1⊥OP2B. OP1=OP2C. OP1⊥OP2且OP1=OP2D. OP1≠OP23. 如果点(m－1，－1)与点(5，－1)关于y轴对称，那么m的值为()A．4 B．－4 C．5 D．－54. 将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按图①②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片展开铺平，所得到的图案是()5. 如图，点A在直线l上，△ABC与△AB'C'关于直线l对称，连接BB'分别交AC，AC'于点D，D'，连接CC'，下列结论不一定正确的是()A.∠BAC=∠B'AC''∥BB'C.BD=B'D'D.AD=DD'6. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行7. 对于△ABC，嘉淇用尺规进行如下操作：如图，(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点D；(2)作直线AD交BC边于点E.根据嘉淇的操作方法，可知线段AE是()A．△ABC的高线B．△ABC的中线C．边BC的垂直平分线D．△ABC的角平分线8. 将平面直角坐标系内某个图形的各个点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．图形向左平移D．图形向下平移9. 如图，在RtABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为A ．52B ．3C ．2D ．7210. 如图，点P 在直线l 外，以点P 为圆心，大于点P 到直线l 的距离为半径画弧，交直线l 于点A ，B ;保持半径不变，分别以点A ，B 为圆心画弧，两弧相交于点Q ，则PQ ⊥l.上述尺规作图的依据是 ( )A .一条直线与两平行线中的一条垂直，必然与另一条直线也垂直B .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，两点确定一条直线C .与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线D .角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．12. 如图所示的4组图形中，左右两个图形成轴对称的是第________组(填序号)．13. 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是________．14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)．作点A关于x轴的对称点，得到点A1，再将点A1向下平移4个单位长度，得到点A2，则点A2的坐标是________．16. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n边形有条对称轴.17. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、解答题（本大题共4道小题）18. 把下列正多边形对称轴的条数填入表格中．图形正多边形的边数345678对称轴的条数________________________ 根据上表，请你就一个正n边形对称轴的条数做一个猜想，写出猜想的结果．(不用证明)19. 如，在△ABC中，D为BC上的一点，E，F为AD上的两点，若EB＝EC，FB＝FC.求证：AB＝AC.20. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：BE＝CF；(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)AD＝FC；(2)AB＝BC＋AD.人教版八年级数学13.1 轴对称同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] 从左数第二个和第四个，只用平移就可以使对称轴两边的图形重合.2. 【答案】B3. 【答案】B[解析] ∵点(m－1，－1)与点(5，－1)关于y轴对称，∴m－1＝－5，解得m＝－4.4. 【答案】A5. 【答案】D[解析] 如图，设BB'交直线l于点O.∵△ABC与△AB'C'关于直线l对称，∴△ABC≌△AB'C'，BB'⊥l，CC'⊥l，AB=AB'，AC=AC'，OD=OD'，OB=OB'.∴∠BAC=∠B'AC'，BB'∥CC'，BD=B'D'. 故选项A ，B ，C 正确.故选D .6. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O ，过点B 作BM ⊥对称轴，垂足为M ，过点B'作B'N ⊥对称轴，垂足为N ，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON ，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM ≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.7. 【答案】A8. 【答案】B[解析] 点的横坐标乘－1后变为原来的相反数，又因为纵坐标不变，故变化后的点与原来的点关于y 轴对称．9. 【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ， ∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =， ∴CF 为斜边AB 上的中线， ∵22345AB =+=， ∴1522CF AB ==．故选A ．10. 【答案】C二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】5[解析] 如图，五角星的对称轴共有5条．12. 【答案】(3)(4)13. 【答案】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等14. 【答案】515. 【答案】(－1，－6)[解析] ∵点A的坐标是(－1，2)，作点A关于x轴的对称点，得到点A1，∴点A1的坐标是(－1，－2)．∵将点A1向下平移4个单位长度，得到点A2，∴点A2的坐标是(－1，－6)．16. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.17. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：345678猜想：一个正n边形有n条对称轴．19. 【答案】证明：∵EB＝EC，∴点E在BC的垂直平分线上．∵FB＝FC，∴点F在BC的垂直平分线上．∴直线EF是BC的垂直平分线．∵点A在直线EF上，∴AB＝AC.20. 【答案】(1)证明：如图，连接CD.∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD ＝CD. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°. 在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴BE ＝CF. (2)在Rt △ADE 和Rt △ADF 中， ⎩⎨⎧DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF. ∴AE ＝AF ＝6.∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝(AE ＋BE)＋BC ＋(AF －CF)＝6＋7＋6＝19.21. 【答案】证明：(1)∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE. ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠FCE ，∠DAE ＝∠CFE. ∴△ADE ≌△FCE.∴AD ＝FC. (2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝FE.又∵BE ⊥AE ，∴BE 垂直平分AF. ∴AB ＝FB.∵FB ＝BC ＋FC ＝BC ＋AD ， ∴AB ＝BC ＋AD.。

《第13章轴对称》一、选择题1、下图是轴对称图形的（）2、△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，AB=5cm，BC=8cm，则A′C′的长为（）A、5cmB、8cmC、7cmD、20cm考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质，及三角形周长的定义得出．解答：解：若△ABC的周长为20cm，AB=5cm，BC=8cm，易得AC=7cm；△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，即△ABC≌△A′B′C′，故A′C′=AC=7cm．故选C．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．答题：3、如图，△ABC中，BC=AC，将△A BC沿CE折叠，使得点A与点B恰好重合，则下列说法中不正确的是（）A、CE⊥ABB、CE= ABC、CE平分∠ACBD、CE平分AB考点：翻折变换（折叠问题）．分析：等腰三角形底边上的中线与底边上的高，顶角的平分线重合，而CE=AB，需条件∠ACB=90°．解答：解：由折叠的性质知，BC=AC，AE=BE，即△ACB是等腰三角形，点E是底边上的中点，所以CE是底边上的高，∴CE⊥AB，CE也是顶角的平分线，只有在△ABC是等腰直角三角形时才有CAB，故选B．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰三角形的性质：底边上的中线与底边上的高，顶角的平分线重合求解．4、小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（）A、BC＞PC+APB、BC＜PC+APC、BC=PC+APD、BC≥PC+AP考点：剪纸问题．分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．解答：解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选D．点评：本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．6、下列说法正确的是（）A、任何一个图形都有对称轴B、两个全等三角形一定关于某直线对称C、若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′D、点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线l对称考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．解答：解：A、轴对称图形才有对称轴，故错误；B、两个全等三角形一定关于某直线对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误；C、若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则对应的线段、角都相等，则△ABC≌△A′B′C′，故正确；D、点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线l对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误．故选C．点评：本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．7、已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）A、①③④B、③④C、①②D、①②③④考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．解答：解：根据轴对称的性质①②③④均正确．故选D．点评：本题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．8、将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘-1，所得图形与原图形的关系是（）A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、重合考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：要判断两点关于横轴对称，必须有横坐标相同，纵坐标互为相反数两个条件同时成立．解答：解：根据轴对称的性质，知横坐标不变，纵坐标都乘-1即横坐标相同，纵坐标互为相反数，则所得图形与原图形关于x轴对称．故选A．点评：本题主要考查了关于坐标轴对称的点坐标之间的关系，以及利用坐标的关系判断两点是否关于坐标轴对称．A、在x轴上B、在y轴上C、是原点D、是任意一点考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：作图题．分析：此题首先明确两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；然后熟悉x轴上所有点的纵坐标都是0．解答：解：设P（x，y），则其关于x轴对称的点是（x，-y）．根据题意得：y=-y，y=0．则该点一定在x轴上．故选A．点评：掌握两点关于x轴对称的点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数．10、已知点P（-1-2a，5）关于x轴的对称点和点Q（3，b）关于y轴的对称点相同，则A（a，b）关于x 轴对称的点的坐标为（）A、（1，-5）B、（1，5）C、（-1，5）D、（-1，-5）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：计算题．分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）∴P（-1-2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（-1-2a，-5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（-3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．解答：解：∵P（-1-2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（-1-2a，-5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（-3，b）；∴-1-2a=-3，b=-5；∴a=1，∴点A的坐标是（1，-5）；∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）；故本题选B．点评：本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．11、点A（2，-3）上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是（）A、（2，3）B、（2，-3）C、（2，0）D、（8，3）考点：坐标与图形变化-平移．分析：直接利用平移中点的变化规律求解即可．解答：解：由点A的平移规律可知，此题规律是（x，y+6），所以平移后的点的纵坐标为（2，3），因为新点与所求的点关于x轴对称，所以要求的点的坐标为（2，-3）．故选B．点评：本题主要考查了图形的平移变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．二、填空题（共16小题，满分40分）12、我国国旗上的五角星有条对称轴．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称图形的定义，可直接求得结果．解答：解：过五角星的五个顶点中任意一个，与所对的两边的交点可作一条对称轴，∴五角星有5条对称轴．点评：本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．13、上课时，小王在黑板上作了△ABC关于直线L1的对称图形△A1B1C1，小林作了△ABC关于直线L2的对称图形△A2B2C2，小强说：△A1B1C1与△A2B2C2一定成轴对称，你认为小强的判断是的（填“正确”或“错误”）．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称图形的定义可知．解答：解：根据题意当L1的与L2平行时，△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称，但题中无此条件；故小强的判断是错误的．点评：本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，直线叫做对称轴．14、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段M N交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长．解答：解：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20cm．点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．15、点A（3，7）关于x轴对称的点的坐标为，关于y轴对称的点的坐标为考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：平面内两个点关于x轴对称的点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数；平面内两个点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数．解答：解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知：点A（3，7）关于x轴对称的点的坐标为（3，-7），关于y轴对称的点的坐标为（-3，7）．点评：主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16、已知点A（3，b）与点B（a，-3）关于x轴对称，则a+b=17、点M（-4，0）关于y轴对称的点N的坐标是，则MN的长为考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：计算题．分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出A的对称点的坐标．解答：解：点M（-4，0）关于y轴对称的点N的坐标是（4，0），则MN的长为4+4=8．点评：本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．18、已知点P1与P2，P2与P3分别关于y轴和x轴对称，若点P1在第一象限，则点P3在第象限．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点得到点P3在第三象限．解答：解：若P1在第一象限，则根据P1与P2关于y轴对称，P2在第二象限；再根据P2与P3关于x轴对称，则P3在第三象限．点评：理解轴对称的概念，依次分析它们的位置．19、点A（2，5）与点B（2，-3）关于直线对称考点：坐标与图形变化-对称．分析：根据两点的横坐标相等，则对称轴一定平行于y轴．再根据对称轴垂直平分对应点所连线段，得到对称轴．解答：解：根据对称轴垂直平分对应点所连线段，得对称轴是：x=（5-3）÷2=1，即点A（2，5）与点B（2，-3）关于直线x=1对称．故填x=1．点评：本题考查了坐标与图形的变化-对称；明确对称轴是平行于x轴还是平行于y轴，再求对应的数是解答本题的思路．20、如图，以直线L为对称轴画出另一半图形，并说明完成后的图形可能是什么？考点：利用轴对称设计图案．专题：作图题．解答：解：如图所示：五角星．点评：本题主要考查了学生作轴对称图形的能力．21、数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照（1）题的形式填空，并检验等式是否成立．（1）12×231=132×21；（2）12×462=（3）18×891=（4）24×231=考点：轴对称的性质．分析：分析题目中算式可得：各个数字关于等号是“轴对称”；故可得12×462=264×21；18×891=198×81；24×231=132×42．解答：解：依题意有12×462=264×21；18×891=198×81；24×231=132×42．点评：理解题目的规律，然后求解．22、如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，所走路程最短．解答：解：．点评：本题主要考查了轴对称图形在实际生活中的应用．利用两点之间线段最短，来找最近路线．23、如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，L为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．考点：轴对称-最短路线问题．专题：作图题．分析：作法：（1）作点A关于直线L的对称点A′；（2）连接A′B交L于点P，点P就是所求的点．解答：解：作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交L于点P，点P就是所求的点．点评：本题主要考查了轴对称图形在实际生活中的应用，但轴对称图形的画法是关键．24、如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．考点：作图—应用与设计作图．（2）连接MN，作线段MN的中垂线DE，交OC于点P．点P即为仓库所建位置．解答：解：．点评：到一个角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，到两点的距离相等的点，在这连接这两点的线段的垂直平分线上，所以做这两条直线的交点就是所求的点．[25、画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并指出△A1B1C1的顶点坐标．（2）各点坐标依次为（5，0），（5，4），（8，7），（5，6），（2，8），（5，4）．点评：（1）主要考查了学生在直角坐标系中找坐标的能力；（2）主要根据轴对称图形找对称点，然后顺次连接．考点：利用轴对称设计图案．专题：作图题．分析：仔细观察会发现它们都是轴对称图形，所以在空白处再画一个轴对称图形即可．解答：解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1-7的数字，所以画一个轴对称图形且数字为6即可．点评：本题是一道规律型的题，首先要从图中找出规律，然后再根据规律画图．但还是考查了轴对称图形的性质．三、解答题26、若点P（a，b）关于y轴的对称点是P1，而点P1关于x轴的对称点是P2，若点P2的坐标为（-3，4），则a=考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：计算题．分析：先求得P1的坐标，再根据点P1关于x轴的对称点是P2，则即可求得a与b的值．解答：解：点P1关于x轴的坐标是（-3，-4），P（a，b）关于y轴的对称点是P1，∴点P（a，b）的坐标是（3，4），∴a=3，b=-4．点评：解决本题的关键是正确分清各点的关系，理解对称的两点互为对称点．27、已知点A（a+2b，1），B（-2，2a-b）．（1）若点A、B关于x轴对称，则a= ，b=（2）若点A、B关于y轴对称，则a+b=考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：计算题．分析：根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点列出方程组求出a，b的值．解答：解：（1）关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数得：，解得．（2）关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数得：，解得．得：a+b=．点评：考查了两点关于x轴、y轴对称的坐标关系，熟练解二元一次方程组．2828 28、已知点A1，A2，A3…，An中，A1与A2关于x轴对称；A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x 轴对称，A4与A5关于y轴对称…如果A1在第二象限，那么点A100在第象限。

人教版八年级数学上册第13章轴对称综合训练一、选择题1. 已知：如图，直线PO与AB交于点O，P A＝PB，则下列结论中正确的是()A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是线段AB的垂直平分线D．点P在线段AB的垂直平分线上2. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B 的度数是()A．70°B．55°C．70°或55°D．70°或55°或40°3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是()A．12 B．13 C．14 D．154. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，-1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是()A.(4，1)B.(-1，4)C.(-4，-1)D.(-1，-4)5. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()6. 将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按图①②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片展开铺平，所得到的图案是()7. 图中的四个图形，对称轴的条数为4的图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个8. 如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中，错误的是()A．△ABC≌△AB′C′B．∠BAC′＝∠B′ACC．l垂直平分点C，C′的连线D．直线BC和B′C′的交点不在直线l上9. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A .对应点所连线段与对称轴垂直B .对应点所连线段被对称轴平分C .对应点所连线段都相等D .对应点所连线段互相平行10. (2019•广西)如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒二、填空题11. 如图，∠AOB ＝30°，点P 在OA 上，且OP ＝2，点P 关于直线OB 的对称点是Q ，则PQ ＝________．12. 如图，△ABC中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为________．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AC 上一点，且BC ＝BD .若∠CBD ＝46°，则∠A ＝________°.14. 如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为________．15. 如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形被涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来被涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值是________.16. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.17. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.三、解答题18. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE 相交于点P.求证：∠AOB＝60°.19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．20. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n.21. 已知:如图所示，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.22. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．(1)如图①，若E是AC边上的一个定．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小；(2)如图②，若E是AC边上的一个动．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小，并求出这个最小值．人教版八年级数学上册第13章轴对称综合训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】D[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．3. 【答案】B[解析] ∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∵AC ＝8，BC＝5，∴△BEC的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝13.4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] 选项A 中，A'B'是由线段AB 平移得到的，所以线段AB 与A'B'不关于直线l 成轴对称.6. 【答案】A7. 【答案】B[解析] 图①是轴对称图形，有6条对称轴;图②是轴对称图形，有4条对称轴;图③是轴对称图形，有2条对称轴;图④是轴对称图形，有4条对称轴.故对称轴的条数为4的图形有2个.8. 【答案】D9. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O ，过点B 作BM ⊥对称轴，垂足为M ，过点B'作B'N ⊥对称轴，垂足为N ，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON ，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM ≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.10. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．二、填空题11. 【答案】2[解析] 如图，连接OQ.∵点P 关于直线OB 的对称点是Q ， ∴OB 垂直平分PQ.∴∠POB ＝∠QOB ＝30°，OP ＝OQ.∴∠POQ ＝60°.∴△POQ为等边三角形．∴PQ＝OP＝2.12. 【答案】13【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AE＋EC＝8，∴EC ＋BE＝8，∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.13. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.14. 【答案】20°或70°或100°[解析] 如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝70°；②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝100°；③当AC＝AD″时，∠AD″C＝20°.15. 【答案】3[解析] 如图所示，n的最小值为3.16. 【答案】28 cm17. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.三、解答题18. 【答案】证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD.∴∠CAE ＝∠CBD. 又∠APC ＝∠BPO ，∴∠AOB ＝∠ACB ＝60°.19. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°. ∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°. ∴∠ABD ＝∠BCE. 在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)． ∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE. ∵BE ＝AD ， ∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上． ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°. ∵∠BAD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°. 在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE＝CD.∴点C在线段ED的垂直平分线上．∴AC是线段ED的垂直平分线．(3)△DBC是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB≌△EBC，∴BD＝CE.由(2)知CE＝CD.∴BD＝CD.∴△DBC是等腰三角形．20. 【答案】解：(1)如图①，直线m即为所求．(2)如图②，直线n即为所求．21. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.(2)点O在∠BAC的平分线上.理由:连接AO并延长交BC于点F.在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠BAF=∠CAF，∴点O在∠BAC的平分线上.22. 【答案】解：(1)如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF交CD于点P，点P即为所求．(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE⊥AC交CD于点P，则此时PA＋PE的值最小，PA＋PE的最小值为线段EF的长．∵CD是角平分线，∠BAC＝∠DFC＝90°，∴DA＝DF.又∵DC＝DC，∴Rt△ADC≌Rt△FDC.∴CF＝AC＝10.∵∠ACB＝30°，∴EF＝12CF＝5，即PA＋PE的最小值为5.11 / 11。

2020年人教新版八年级（上）《第13章轴对称》名校试题套卷（2）一、选择题（共10小题）1．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定3．在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川A80808，川A22222，川A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．500个B．300个C．100个D．50个4．如图，点A（2，1），点P在坐标轴上，若△OP A是等腰三角形，则这样的点P共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个5．线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离P A＝5，则点P到B点的距离PB等于（）A．PB＝5B．PB＞5C．PB＜5D．无法确定6．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（）A．12：01B．10：51C．10：21D．15：107．在平面直角坐标系中，若点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M关于x轴对称点N的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）8．在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（，），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）9．已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣…﹣2+…﹣1…+1…y…﹣2+…﹣2﹣…+1…﹣1…如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（）A．x轴B．y轴C．直线x＝1D．直线y＝x10．已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△P AB是直角三角形时BP长为（）A．4B．2或3C．3或4D．3二、填空题（共10小题）11．在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝70°，则∠A＝度．12．若点P（a﹣2，3）与Q（1，b+1）关于x轴对称，则a+b＝．13．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．15．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n＝（用含n 的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n16．AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为．17．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝°．18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN 经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是cm．20．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△P AB为等边三角形，则2（a﹣b）＝．三、解答题（共10小题）21．如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连接BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．22．如图，直线BD∥EF，点C在直线BD上，AB＝AC，G、H、M在直线EF上，且CM 平分∠ACD，若∠A＝40°，求∠CMF的度数．23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，当两点运动中使∠BQD ＝30°时，求此时AP的长．24．如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．（1）当n＝5时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积和为；（用含S的式子表示）（2）当n＝k时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积和为；（用含k和S的式子表示）（3）若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？25．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．26．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；（2）求证△ABC为等边三角形．27．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．28．如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．29．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．30．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝，AE＝；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．2020年人教新版八年级（上）《第13章轴对称》名校试题套卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：如图：共3个，故选：B．2．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定【解答】解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直，故选：B．3．在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川A80808，川A22222，川A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．500个B．300个C．100个D．50个【解答】解：∵以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是9ABA9，则A有0﹣9共10种可能，B有0﹣9共10种可能，所以9开头的组合最多是10×10＝100个．故选：C．4．如图，点A（2，1），点P在坐标轴上，若△OP A是等腰三角形，则这样的点P共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【解答】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故选：C．5．线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离P A＝5，则点P到B点的距离PB等于（）A．PB＝5B．PB＞5C．PB＜5D．无法确定【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝P A＝5，故选：A．6．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（）A．12：01B．10：51C．10：21D．15：10【解答】解：从镜子中看到的是12：01，则真实时间应该是将此读数倒看：10：51．故选：B．7．在平面直角坐标系中，若点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M关于x轴对称点N的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）【解答】解：∵点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，∴M（﹣2，﹣3），∴点M关于x轴对称点N的坐标为：（﹣2，3）．故选：B．8．在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（，），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣，）．故选：A．9．已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣…﹣2+…﹣1…+1…y…﹣2+…﹣2﹣…+1…﹣1…如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（）A．x轴B．y轴C．直线x＝1D．直线y＝x【解答】解：由表格可得：y＝，故可得这个函数图象是轴对称图形，对称轴是y＝x．故选：D．10．已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△P AB是直角三角形时BP长为（）A．4B．2或3C．3或4D．3【解答】解：当∠APB＝90°时，如图1，∵AB＝AC，BC＝6，∴BP＝CP＝BC＝3；∵∠B＝30°，∴AB＝2AP，由勾股定理得：（2AP）2＝AP2+32，解得：AP＝，AB＝2AP＝2，当∠BAP＝90°，如图2，∵∠B＝30°，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，（2）2+AP2＝（2AP）2，解得：AP＝2，BP＝2AP＝4；所以BP＝3或4，故选：C．二、填空题（共10小题）11．在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝70°，则∠A＝40度．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠C＝70°∵∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°．故填40．12．若点P（a﹣2，3）与Q（1，b+1）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．【解答】解：∵点P（a﹣2，3）与点Q（1，b+1）关于x轴对称，∴a﹣2＝1，b+1＝﹣3，∴a＝3，b＝﹣4，即a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为6cm．【解答】解：∵l垂直平分BC，AB+AC＝6cm，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6cm．故答案为：6．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．【解答】解：由题意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB＝10°．故答案为：10°．15．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n＝3n+1（用含n的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n【解答】解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．故答案为：3n+1．16．AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为相等．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD平分BC，∴AD和AE重合，∴AD＝AE．故答案为：相等．17．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝45°．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，∴∠PCD＝45°．故答案为：45°．18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN 经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是15．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC ＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是8cm．【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠DBC＝∠D＝60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD＝DM＝BM＝5，∵DE＝3，∴EM＝2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM＝90°，∴∠NEM＝30°，∴NM＝1，∴BN＝4，∴BC＝2BN＝8（cm），故答案为8．20．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△P AB为等边三角形，则2（a﹣b）＝1﹣．【解答】解：过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵点P（a，b）在第一象限，∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，∵△P AB是等边三角形，∴AB＝BP＝P A＝5，由PN2+BN2＝BP2＝P A2＝PM2+AM2得，b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2＝25，由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，将b＝代入a2+（b﹣3）2＝25，整理得，4a2﹣16a﹣11＝0，解得a＝，或a＝＜0（舍去），把a＝代入①得，b＝，∴2（a﹣b）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，故答案为：1﹣．三、解答题（共10小题）21．如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连接BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①∵C，C′关于AB对称，B，B′关于AC对称，∴∠CAB＝∠BAC′＝∠CAB′＝30°，∴∠B′AC′＝90°．②如图（1）中，设AC交BB′于J．△ABC'可以由△AB'C绕点A顺时针旋转60°得到．∵AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴∠AB′O＝∠ACO＝60°，∵∠AJB′＝∠OJC，∴∠BOC′＝∠B′OC＝∠B′AJ＝30°．（2）如图（2）中，结论：β＝2α．理由：由对称的性质可知：BC＝BC′，DC′＝DC，∠ABC′＝∠ABC，∵DC′∥BC，∴∠C′DB＝∠ABC＝∠C′BD，∴C′D＝C′B，∴BC＝BC′＝C′D＝DC，∴四边形BCDC′是菱形，∴CD∥BC′，同法可证，BE∥CB′，∴∠FCB+∠CBC′＝180°，即∠FCB+2∠ABC＝180°，同法可得，∠FBC+2∠ACB＝180°，∵∠BFD＝∠FBC+∠FCB，∴∠DFB＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC，∴β＝2α．22．如图，直线BD∥EF，点C在直线BD上，AB＝AC，G、H、M在直线EF上，且CM 平分∠ACD，若∠A＝40°，求∠CMF的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝＝70°，∴∠ACD＝110°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝55°，∵BD∥EF∴∠CMF＝125°，23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，当两点运动中使∠BQD ＝30°时，求此时AP的长．【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2．24．如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．（1）当n＝5时，共向外作出了9个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（用含S的式子表示）（2）当n＝k时，共向外作出了3（k﹣2）个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（用含k和S的式子表示）（3）若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？【解答】解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形，∴每个小三角形与大三角形边长的比＝，∵大三角形的面积是S，∴每个小三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小等边三角形的面积为S，每个小三角形的面积和为S．故答案为：（1）9，S，S；（2）3（k﹣2），S，S；（3）当S＝100，n＝10时，3（n﹣2）＝3×（10﹣2）＝24（个），S＝×100＝24．即共向外作出了24个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为24．25．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．【解答】解：26．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；（2）求证△ABC为等边三角形．【解答】解：（1）∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°．∵∠ECB＝∠CED+∠EDC，∴∠EDC＝30°，∵EB＝ED，∴∠EBC＝∠EDC＝30°．（2）证明∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°．∵BE⊥CE，AE＝CE，∴AB＝BC．∴△ABC是等边三角形．27．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵DE⊥BC于E，∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），∴∠EFC＝∠ADF，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．28．如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．【解答】解：（1）△AOG是等腰三角形；证明：∵AC∥y轴，∴∠CAO＝∠AOG，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO＝∠GAO，∴∠GAO＝∠AOG，∴AG＝GO，∴△AOG是等腰三角形；（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，∴AN＝CK＝BK，在△ANG和△BKG中，，∴△ANG≌△BKG，（AAS）∴AG＝BG，∵AG＝OG，（1）中已证，∴AG＝OG＝BG，∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∴AO⊥BO．29．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在AB上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA 于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．30．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝75°，AE＝；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．【解答】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴BC＝AC，∴x+2＝x，解得x＝+1，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝45°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝AC＝，∵∠CPD＝∠ACP+∠CAP，∴∠CPD＝75°．故答案为75°，．（2）证明：如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．∵CF⊥AB，CT⊥DF，∠CFD＝45°，∴∠FEK＝∠CET＝∠CJF＝∠KJT＝90°，∴∠FKE＝∠TKJ＝∠KTJ＝∠ECT＝45°，∴CE＝ET，∵∠CAT+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCD＝90°，∴∠CAT＝∠FCD，∵AC＝CD，∠ATC＝∠CFD，∴△ACT≌△CDF（AAS），∴AT＝CF，∵ET＝CE，∴AE＝EF．解法二：过点D做DH⊥CE于点H，证明AE＝CH，EF＝CH即可．。

轴对称课后训练基础巩固1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是( )．2．下列说法中错误的是( )．A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．全等的三角形一定关于某条直线对称D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为( )．A．48° B．54°C．74° D．78°4．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是，则该编码实际上是__________．5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．能力提升6．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案( )．7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是( )．8．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是( )．A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行9.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点F，E，连接EF交OA于N，交OB于M，EF＝15，求△PMN的周长．10．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线．(1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？(2)这个图形有几条对称轴？(3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？11．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．参考答案1．A 点拨：只有A图沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选A.2．C 点拨：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而选C.3．B 点拨：因为关于某直线对称的两图形全等，所以∠A＝∠A′＝78°，∠C′＝∠C＝48°，所以∠B＝54°，故选B.4．BA629 点拨：假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到BA629，或将此图案从反面观察，也可得到BA629.5．6 点拨：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6.6．D 点拨：都是轴对称图形，但图案D有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴．7．D 点拨：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴，只有D适合，故选D.8．B 点拨：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A、C、D都已不成立，只有B选项正确，故选B.9．解：∵点P与点E关于OB轴对称，∴CE＝CP，MC⊥PE.∴∠MCE＝∠MCP＝90°.在△MCE和△MCP中，∵,,,CE CPMCE MCP CM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MCE≌△MCP.∴MP＝ME，同理NP＝NF.∴MP＋MN＋NP＝ME＋MN＋NF＝EF＝15，即△PMN的周长是15.10．解：(1)轴对称图形．(2)至少有3条对称轴．(3)取一张正十边形的纸，沿它的通过中心的五条对角线折叠5次，得到一个多层的36°角的图形，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开就可以得到一个至少含五条对称轴的图形．11．解：DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG.∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7. 答：△AEG的周长为7.。

课后训练基础巩固1．下列说法正确的是()．A．全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到B．轴对称变换得到的图形与原图形全等C．轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到D．轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分2．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个3．点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为()．A．(－1，－2) B．(－1,2)C．(1，－2) D．(2，－1)4．如图，将正方形纸片对折两次，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是()．5．已知点P(a＋1,3)、Q(－2,2a＋b)关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________；若关于x对称，则a＝__________，b＝__________.6．如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(－5,1)，B(－1,1)，C(－1,6)，D(－5,4)，请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出各对称图形的顶点坐标．能力提升7．李芳同学球衣上的号码是253，当她把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是()．8．若|3a－2|＋|b－3|＝0，则P(－a，b)关于y轴的对称点P′的坐标是__________．9．点A(－2a，a－1)在x轴上，则A点的坐标是__________，A点关于y轴的对称点的坐标是__________．10．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有()．A．1个B．2个C．4个D．6个11．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是________．12．(探索规律题)数的运算中含有一些有趣的对称形式，如第(1)个式子，依照等式的形式填空，并检验等式是否成立．(1)12×231＝132×21；(2)12×462＝__________×__________；(3)18×891＝__________×__________；(4)24×231＝__________×__________.13．(湖南郴州)作图题：在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.14．将一张长方形的纸对折(如图所示)，可以得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到几条折痕？如果对折n次可以得到几条折痕？15．(实际应用题)如图所示，某人每天先将羊群从驻地A赶到河边饮水(直线a表示河流)，然后再赶到草地放牧(直线b表示草地边界)，傍晚回到驻地A.请你设计出最短的放牧路线．16．用四个任意大小的半圆面设计四个轴对称图案(如图所示)，并且为所设计的每个图案命名，名称贴切生动．莲花盛开参考答案1．B点拨：由轴对称概念及性质进行判断，知B正确，D错误，这两个图形之间的直线不一定是对称轴，又因为成轴对称的两个图形不仅全等还与位置有关故A、C错误．2．B点拨：由图形的特征，结合轴对称的概念，可以判断只有第一个和第三个中的图形都是轴对称图形，故有2个，应选B.3．C点拨：关于x轴对称的点的坐标变化特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数，故选C.4．C点拨：本题是将正方形两次翻折后剪裁，且剪裁位置在折叠后图形的正中间，因而将所给最后图形作两次轴对称展开，得到图形C.5．11－33点拨：若点P(a＋1,3)、Q(－2,2a＋b)关于y轴对称，则a＋1＝2,2a＋b＝3，解得a＝1，b＝1；同样若点P(a＋1,3)、Q(－2，2a＋b)关于x轴对称，则a＋1＝－2,2a＋b＝－3，解得a＝－3，b＝3.6．解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″即为所求．(2)关于y轴对称的四边形A′B′C′D′各顶点的坐标分别是A′(5,1)，B′(1,1)，C′(1,6)，D′(5,4)；关于x轴对称的四边形A″B″C″D″各顶点的坐标分别是A″(－5，－1)，B″(－1，－1)，C″(－1，－6)，D″(－5，－4)．7．A点拨：把球衣上253的号码向左翻折180°，得到的图案即是镜子中的号码．8．2 (,3) 39．(－2,0)(2,0)点拨：因为点A在x轴上，所以a－1＝0，所以a＝1，A点的坐标就是(－2,0)，关于y轴的对称点的坐标是(2,0)．10．B点拨：如题图，以D点为例，若能击中A球，则∠BDQ＝∠ADQ，很显然不等，所以一次反弹后不能击中A球，8个点中只有射向F、Q时，才能击中A球，故选B.11．10时45分点拨：镜子里的时针与分针关于镜面对称，左右相反．12．(2)26421(3)19881(4)13242点拨：仔细的观察不难发现等号左、右两边是对称的，根据这一规律，即可得出结论．13．解：分别作出点A，B，C关于直线MN的对称点A′，B′，C′，再依次连接即得到图形。