河海大学数学分析期中复习要点

第二章期中考试复习指导要求：求函数极限、连续的定义，要求会证明海涅定理和康托 定理，会求无穷小的阶，正确叙述函数一致连续和不一致连续的定 义，掌握闭区间连续函数的性质。

典型例题1.计算下面极限v期 1 + Q —也+ 0xlim ------------- -------XT O Xlim1) limXT 4解:'Jl + 2x-3、< 坂-2 ‘=lim2) 解：由于：/=(a_b)(厂+宀+丄设G = (1 + QX )加，b = (1 + /?%)«..刘\ + ax -站\ + 0xlim ------------- --- -- = lim — x->0 兀 x->()X=lim —A->0x (1 + Q )" - (1 + 0兀)" ' mn-\ nm-\、 (1 + ax)山 + ....... + (1 + 0兀)" \ 丿(l + GA ：)" -(1 + 0兀)'"' "〃】一1“也一1、(l + crx)川 + ........... + (1 + 0兀)“\[na-m=lim -------- x->0+ C 莎兀2+.. nm-\nm-\、(1 + crx)加 + ...... + (l + 0x) « na m f3mn•3sinx 3) lim ----------- r XTO (sin x)~ • 3 2v sinx^x八=lim —— ---------- z- x =(sinx)<(A /1 + 2X -3)(VT+2 4 31) .f(x) = sin(Jl +Jl + 依-近)(XT 0+)解：因为4)5)liml 3兀-1丿 e 36) lim XTO Vl + tan x -\/l + sinxx 3tan x-sin x 17)x 2+llim 2e l ^x -1XT ()\解：设u(x) = 2e l+x -2, v(x)=X 2 +1乂因为】im 2e i+x-2*+l)=lim2A->0x严-1・Y 1+X2. 对定理证明的要求（必须会证明下面两个定理）1） （Heine 定理）函数lim f （x ） = A 收敛的充分必要条件:V{^} H 兀o' = 1,26 lim/(xj = AHT002）有限闭区间上连续函数是一致连续3. 求无穷小阶的计算5/1-COSX 2 lim XT O 1 一解：x->()丄X 82) 3) 4)/(x) = sin (7T^O-冋=sin (爪爪長-Q (Jl + 7T+仮 + 冋(J 1 + Jl + + \/2)Jl + Ql(J1 +坂—1)(J1 +坂+1)=sin —/= -------- = sin —/ — --------- ------------- (J1+J1+V7 +V2) (J1+J1+石 +Q (Ji+仮+1) =sin —f=——: ---- — ----------(J 1 + A/1 +y/~X + >/2 ) ( Jl + 4-1 jIE 芈L limx->0. *x->()sin —/= --------- ——-(J1+Ji++ V2)(Ji++1 jsin _____ ____________ (J1+J1+VI + ⑹ Ji+77 + 1) i i ------------------------- / _____ 、 ' 丿{(J I +&T77+Q (6^+I )}T(J I +J I ++V2)(Ji++1)= 1/4©lim x->0 y[x 所以毎阶的无穷小。

数学分析第四版知识点总结(共8篇) ：数学分析知识点第四版数学分析视频数学分析知识点梳理数学分析名词篇一：数学分析第三章知识点总结4设f在(??,b][a,??)上有定义。

limf?x?存在的充要条件是：对任何含于(??,b][a,??)且以x??n??为极限的数列?xn?，极限limf?xn?都存在且相等。

limf?x?存在的充要条件是：对任何含于(??,b]且以-?为极限的数列?5?设f在(??,b]上有定义。

xf?xn?都存在且相等。

?xn?，极限limn??limf?x?存在的充要条件是：对任何含于[a,??)且以+?为极限的数列?6?设f在[a,??)上有定义。

xf?xn?都存在且相等。

?xn?，极限nlim3 柯西准则1设函数f在对任何x&#39;,x&#39;&#39;?limf?x?存在的充要条件是：任给??0,存在正数,使得?x;??上有定义。

x;有f?x??f?x.&#39;x?x0&#39;&#39;&#39;4定理3.5（保不等式性）设limf?x?与limg?x?都存在，且在某邻域x?x0x?x0?x;??内有f?x??g?x?,&#39;0x?x0则limf?x??limg?x?.x?x0x?x05定理3.6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=A，在某x?x0x?x0x?x0x?x0?x;??内有f?x??h?x??g?x?,则limh?x?=A.&#39;0x?x0x?x06定理3.7(四则运算法则)若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数f?g,f?g,当x?x0时极限也存在，且1)lim[f?x??g?x?]?limf?x??limg?x?;2)lim[f?x?g?x?]?limf?x??limg?x?;又若x?x0x?x0x?x0x?x0limg?x??0，则f/g当x?x0时极限存在，且有3）limx?x0f?x?limfx/limgx.x?x0gxx?x0补充：7若limf?x?=A,则limf?x?=A.8设limf?x?=A,limg?x??B.x?x0x?x0（）若1A?B,则存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??g?x?;(2)若存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??g?x?，则A?B.推论设limf?x?=A，B?R.x?x0（）若1A?B(或A?B),则存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??B(f?x??B);(2)若存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??B(或f?x??B），则A?B（A?B）.9(1)设limf?x?=?,且存在M?0和??0，使当0?x?x0??时，就有g?x??M,则limf?x?g?x? x?x0x?x0=?；(2)设limf?x?=?,limg?x?=b?0,则limf?x?g?x?=?.x?x0x?x0x?x010设limf?x?=?,则对任何趋向+?的数列{xn}，都有limf?xn?=?. x??n??三函数极限存在的条件1单调有界定理1设f为定义在?2?设f为定义在?3?设f为定义在2归结原则0+0-of?x?存在。

《数学分析》复习重点指定教材李成章《数学分析》该书特点；偏难，知识点方法技巧全面，但没有出版答案，2007年以前大工的考题有70%近原题或类似是该书的课后题或例题，08年的真题没弄到，具体不清楚，去年买资料的时候说在07年辅导班里有些或类似的，09年的题比较难，题量大，前10个是基础题，我当时用了40分钟做完，空了一个，这些题感觉完全就是指定教材的比较简单的课后题，所以做起来比较顺，后十个有点难度，做起来相当费劲，最后也全做上了，感觉这些题很熟悉的感觉，只是稍微变形根据往年真题及资料以及09年的真题自己感觉重点的地方介绍如下第一章，主要介绍了基本概念问题；很是基础，其中确界的证明要掌握，大工考过好几次，几种特殊函数，要了解其性质及证明，特别黎曼函数考了4，5次，整理的笔记对几类函数的性质及证明做了和全面的总结第二章极限 1 数列极限定义，性质，常见常见的几种极限的方法（定义，变量替换法，压缩映射法，公式法，归结原则等上下极限的证明大工经常涉及2 函数极限的定义，性质，常用的几种求极限的方法（定义法，施瓦兹，罗比达，级数法，自然对数法，中值定理，因式分解法第三章函数的连续性1定义，间断点的分类，性质，判断连续性，连续性的证明，连续性的应用。

2 一致连续性，利用一致连续性的定义及否定形式证明这一章很基础，具体的宏观问题不多，相应的微观题型，还是弄的很全的，第四章1，导数与微分，定义求导方法（定义法，基本公式，求导运算法则，利用左右导数，利用洛必达法则，利用级数的展开，利用隠函数的求导，利用对数求导）求高阶导数2，罗尔定理及推广，大工考过几次推广定理证明，可以看出重要定理证明要弄明白，09年考的是两次构造函数应用罗尔定理，呵呵，资料中你会很惊奇的发现构造函数在罗尔定理，拉格中值定理CAUTHY中值定理方面的应用的总结3 泰勒级数及应用，要告诉你这部分相当重点，大工基本年年考，而且有规律性，可以解决N多问题，只要满足一定的条件，可惜，大工今年没考~~~郁闷呐4 函数的应用，关于函数恒为常数的条件及一些不等式的证明5，笔记中还讨论总结了凸函数的有关性质第六章，积分如果你有大工的往年试卷，你会毫不犹豫的好好复习这章，真的，这章很重要1，达布和的性质，可积的必要条件，重要条件，这些在教材上可以好好的理解2可积函数类，以及他们可积性的证明，要注意这种方法，大工是出过好几道题了，笔记重整理过3定积分的性质，教材上是有的，可记住了嘛？要清楚，这是求证含有积分问题的砖瓦啊，要很熟悉（线性性质，区间可加性，单调性绝对可积性）4积分中值定理，一二，加强的，呵呵，你熟悉吗？有第一第二，加强二笔记中有叙述，可是重要的还第一，它很简单，可你会用嘛？注意拉。

河海大学2004年数学分析一、计算下列极限（20分）1、lim 1)n n →∞（0x >为常数）； 2、132lim[()2x x x x x e →+∞-+.二、求出数列1n ∞=中的最大项.（10分）三、计算下列积分：（15分）1、2222(1)(1)x dx x x +-+⎰2、20sin 1os x x dx c xπ+⎰ 四、设函数()f x 和()g x 在[],a b 二阶可导，()()()()0f a f b g a g b ====，且()0g x''≠，证明：（1）对任意(),x a b ∈，()0g x ≠；（2）在(),a b 中至少存在一点ξ，使得()()()()f fg g ξξξξ''=''. （14分） 五、关于参数λ讨论下列广义积分的收敛性（15分）sin 0sin 2x e x dx xλ+∞⎰（其中0λ>） 六、试用u x y x v y =+⎧⎪⎨=⎪⎩及z w x =变换方程20xx xy yy z z z -+=，其中u ，v 为新的自变量，w 为新的因变量. （15分）七、设()ij n n A a ⨯=为实对称矩阵，其最大、最小特征值分别为max λ和min λ，证明：二次型,1n ij i j i j a x x =∑在n 维单位球面222121n x x x +++= 上的最大、最小值分别为max λ和min λ.（15分） 八、证明函数21sin ()1n nx f x n ∞==+∑在()0,2π连续，且有连续的导数.（15分） 九、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数，并指出其定义域. （15分）十、计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面222z x y =+介于平面0z =和(0)z h h =>之间的部分，积分沿下侧.（15分）。