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硕士2002级数值分析考试试题2003年1月12日专业 学号 姓名一、（14分）已知x ex f -=)(的下列数据（1） 用抛物插值计算2.0-e 的近似值，已知2.0-e 的精确值为0.81873075……,指出抛物插值所得近似值的有效数字的位数；（2） 试求x ex f -=)(的二次Newton 插值多项式。
二、（10分）求211)(xx f +=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
三、（14分）（1） 写出数值积分梯形法的步长逐次分半算法（梯形法的递推化公式），并用Romberg 算法计算dx x⎰311的近似值（要求二分3次，结果保留五位小数）；（2） 确定参数a ，使求积公式)](')0('[121)]()0([)(20h f f h h f f ah dx x f h-++≈⎰ 的代数精度尽量高，并指出构造出的求积公式所具有的代数精度。
四、（14分）（1） 用Gauss 列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x （2） 用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19158341131121114321x x x x五、（12分）（1） 设A 为对称正定阵，其最大特征值为1λ，证明当α满足0<α<12λ时，迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛；（2） 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 建立收敛的Jacobi 和Gauss-seidel 迭代公式，并指出该迭代公式收敛的理由。
六、（12分）（1） 应用Newton 法于方程03=-a x 导出求3a 的迭代格式；（2） 讨论该迭代格式的局部收敛性及收敛阶；（3） 取初值x 0=12，用Newton 迭代法求32003的近似值，要求迭代两步，并指出该近似值有几位有效数字。
机密★启用前 秘密★启用后 请务必将所有答案写在专用答题纸上河海大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目名称： 信号与系统（863）一、（本题满分10分） 计算积分dt t t t )6()sin ⎰+∞∞--+πδ（的值。
二、（本题满分15分） 已知)1()()(1--=t t t f εε，)2()()(2--=t t t f εε， 求卷积)()()(21t f t f t f *=。
三、（本题满分15分） 一线性非时变系统具有非零初始状态，已知当激励为)(t f 时，系 统全响应为)()cos 2()(1t t e t y t επ+=-；当激励为2)(t f 时，系统的全响应为)()cos 3()(2t t t y επ=；求在同样的条件下，当激励为)3(3-t f 时，系统的全响应)(3t y 。
四、（本题满分25分） RC 电路如图所示，R=1Ω，C=1F,V t e t f t)()1()(ε-+=，电容上初始电压为V U C 1)0(=-，求响应电流)(t i 。
（用时域法求解）五、（本题满分20分） 如图所示信号，已知七傅里叶变换，极为)(ωj F ， 试求：（1）)0(F ; （2）⎰+∞∞-ωωd j F )(。
六、（本题满分25分） RLC 电路系统如图所示，R=3Ω，C=21F ，L=1H ，电感中初始电流为零，电容上初始电压为零。
已知激励信号V t e t e t )()(3ε-=。
试求：1.系统函数)()()(S E S U S H C =； 2.系统完全响应)(t u c 。
七、（本题满分15分） 线性时不变系统的单位样值响应为)(k h ，输入为)(k f ，)3()()()(--==k k k f k h εε，求系统的零状态响应)(k y ，并绘图示出)(k y 。
八、（本题满分25分） 一离散时间系统的差分方程和初始条件如下： )1()()2(6)1(5)(--=-+-+k f k f k y k y k y 1)1(=-y ，0)2(=-y ，)()(k k f δ= 1、画出离散系统的结构图；2、求系统函数)(z H ；3、求单位样值响应)(k h ；4、试求系统响应)(k y 。
![[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc](https://img.taocdn.com/s1/m/6cfefc5c50e2524de4187e63.png)
[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
1 为了使计算y=11+的乘除法运算次数尽量地少，应将该表达式改为_____．2 求方程x-f(x)=0根的牛顿迭代格式是_____3 设A=则‖A‖∞=_______4 解方程组的Jacobi迭代格式为______5 设f(x)=8x4+3x3-98x+1,则差商f[2，4，8，16，32]=______6 记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n，则计算I(f)=的复化Simpson公式为______，代数精度为______7 用简单迭代法求非线性方程x-lnx=2在(2，+∞)内的根，要求精确至6位有效数字，并说明所用迭代格式为什么是收敛的．8 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性．9 1)给定如下数据表：求f(x)的2次插值多项式L(x)；2)利用如下数据表：求f(x)的3次插值多项式H(x)．10 求a，b，使得达到最小，并求出此最小值．11 求系数A1，A2，A3，使得求积公式≈A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(2/3)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数．12 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b-a)／n，x i=a十ih，0≤i≤n．1)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[f(x i+1,y i+1)+f(x i,y i)](A)2)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[3f(x i，y i)-f(x i-1，y i-1)]；(B)3)指出以上两个求解公式各是儿阶公式，并从局部截断误差的大小、显隐格式及单多步公式几方面作一个简单的比较．。
12008级研究生数值分析试题A 卷答案一、单选题（3*5=10分）1、A ；2、B ；3、C ；4、B ；5、C 二、填空题（3*5=10分）1、2124x -；2、100300115/31100200125/321002/3001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3、0<w<2；4、2阶，1阶；5、10.123三、（10分） 解： 设010,1x x == ，由2点3次Hermite 插值公式可得，1333()[()()()()]j j j j j H x H x x H x x αβ='=+∑=22100(12)()(1)()101010x x x x ----+---- 8分 =232x x - 2分四、（10分）解：{1,}spanx φ=，()f x Cosx =，设所求最佳平方逼近为：*101()P x a a x =+则法方程为：00001101001111(,)(,)(,)(,)(,)(,)a a f a a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧⎨+=⎩ 即201230112828242a a a a πππππ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ 8分01011.5708 1.233711.2337 1.29190.5708a a a a +=⎧⎨+=⎩解得： 8分 011.1585,0.6644a a ==-于是，*1() 1.15850.6644P x x =- 2分五、（10分）解：1()1k k A x dx n π-==+⎰，取n=2,0123A A A π===5分令33()430T x x x =-=，则高斯点0120,22x x x =-==于是1[((0)3f f f π-≈++⎰5分 六、（10分）解：设A=111213212223313233100100100u u u l u u ll u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=100123010050111002⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5分2由Ly=b,求y={1,0,-2},由Ux=y 求x={4,0,-1} 5分 七、解答下列各题（3*10=30分） 1、解：Jacobi 迭代计算格式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()312111;5510111;51020121);333k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩101/51/5()1/501/101/32/30J B D L U -⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 5分 113/15J B =，于是，1()1J G B ρ<<，即迭代收敛。
河海大学历年攻读硕士学位研究生入学考试试题Ddaaa aa 2河海大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题名称：材料力学一、概念题1.图示梁的四种截面形状，固定剪力沿铅垂方向。
横截面上最大剪应力（或剪应力铅垂分量的最大值）的位置，有四种答案：（5分） （A ）全部在中性轴处； （B ）全部不在中性轴处；（C ）a 和b 在中性轴处，c 和d 不在中性轴处； （D ）a 和b 不在中性轴处，c 和d 在中性轴处。
正确答案是：2.直径为d 的圆柱放在直径为D=3d 、厚为t 的圆形基座上，地基对 基座的支反力均匀分布，圆柱承受轴向压力P ，则基座剪切面的剪 力Q= （5分）3.图示车轴，n--n 截面周边上任一点处交变应力中的=m axσ=min σ循环特征r= （5分） 4.定性画出图示等截面梁的挠曲线形状(5分）)(a )(b )(dz胶缝)(a )(b2.已知胶的许用剪应力][τ是许用正应力][σ的一半，问 ɑ为何值时，胶缝处的剪应力和正应力同时达到各自的 许用应力。
（10分）3.图（a ）、（b ）表示同一材料的两个单元体。
材料的屈 服极限MPa s 275=σ。
试根据第三强度理论求两个单元 体同时进入屈服极限时的拉应力σ与剪应力τ的值。
若σ>τ。
（10分）4.图示拐轴位于水平面内，受铅垂荷载1P 和水平荷载2P 试按第四强度理论确定圆轴AB 的直径。
已知：,kN P 201=， kN P 102=，mm l 1501=，mm l 1402=，MPa 160][=σ。
（155.图示1、2杆截面均为方形，边长分别是a 和a/3。
已知l =5a ，两杆材料相同，弹性模量为E 。
设材料能采用欧拉公式的临界柔度为100，试求2杆失稳时均布荷载q 的临界值。
（15分）6.AB 梁支承在两悬臂梁的端点，有重Q 的物体自H 高处自由下落在AB 梁的中点，三根梁的长度和刚度EI 均相同，AB 梁的抗弯截面系数为W ，求AB 梁的最大动应力m ax d 。
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
研究⽣考试数值分析试题研究⽣2002级数值分析⼀（12分）、对于积分=+1,2,1,0,999n dx x x n。
（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上⾯算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。
⼆（12分）、解⽅程组= 00001.8800001.626221x x 和?=00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进⾏分析。
三（12分）、设⽅程组=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整⽅程的排列顺序，使得⽤Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。
（2）取初始向量()()Tx 0,0,00=，⽤Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x，并求其()()k k x x-+1误差。
四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其⼆次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最⼩，此时⼈余项为多少？五（12分）、对于⽅程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代⽅程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出⽜顿迭代公式。
六（10分）、设()?=>+-='100,5y x x y y ，解析解xe x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利⽤Euler ⽅法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进⾏分析。
七（10分）、设()x e x f =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，⽤中⼼差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析⽐较。
⼋（10分）、求不超过2次的多项式()x P 2，使其满⾜条件：()21=f ，()32=f ，()12='f ，并写出其误差估计。
河海大学历年攻读硕士学位研究生入学考试试题P Ddaaa aa 2河海大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题名称：材料力学一、概念题1.图示梁的四种截面形状，固定剪力沿铅垂方向。
横截面上最大剪应力（或剪应力铅垂分量的最大值）的位置，有四种答案：（5分） （A ）全部在中性轴处； （B ）全部不在中性轴处；（C ）a 和b 在中性轴处，c 和d 不在中性轴处； （D ）a 和b 不在中性轴处，c 和d 在中性轴处。
正确答案是：2.直径为d 的圆柱放在直径为D=3d 、厚为t 的圆形基座上，地基对 基座的支反力均匀分布，圆柱承受轴向压力P ，则基座剪切面的剪 力Q= （5分）3.图示车轴，n--n 截面周边上任一点处交变应力中的=m axσ=min σ循环特征r= （5分） 4.定性画出图示等截面梁的挠曲线形状(5分）)(a )(b )(d5.某杆AB 的轴力图如图所示，其中A 端固定， 材料的许用拉应力MPa t 100][=σ许用压应力MPa c 120][=σ。
用等强度要求设计各段横截面面积，并画出荷载图。
（5分）6.已知受力构件某点处的610400-⨯=x ε，MPa y 50=σ，MPa z 40-=σ；材料的E=200GPa ，ʋ=0.3.试求该点处的y ε，z ε。
（5分）二、计算题（共6题）1.作梁的剪力(Q)图和弯矩(M)图。
（10分）A Bz胶缝)(a )(b2.已知胶的许用剪应力][τ是许用正应力][σ的一半，问 ɑ为何值时，胶缝处的剪应力和正应力同时达到各自的 许用应力。
（10分）3.图（a ）、（b ）表示同一材料的两个单元体。
材料的屈 服极限MPa s 275=σ。
试根据第三强度理论求两个单元 体同时进入屈服极限时的拉应力σ与剪应力τ的值。
若σ>τ。
（10分）4.图示拐轴位于水平面内，受铅垂荷载1P 和水平荷载2P 试按第四强度理论确定圆轴AB 的直径。
已知：,kN P 201=， kN P 102=，mm l 1501=，mm l 1402=，MPa 160][=σ。
数 值 分 析 试 卷姓名 学号 成绩1. 填空(10分,每空2分)1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式20002001-改写为 .2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 .3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .2. 选择题(10分,每题2分)(1)设有求方程1=x xe 根的迭代公式kx k ex -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式A. 发散B. 敛散不定C. 收敛D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2(4)([6)(b f b a f a f a b dx x f ba +++-≈⎰可由A. 分段线性插值导出B. 抛物插值导出C. 线性插值导出D. 分段抛物型插值导出(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）A. 无限制B. 对称C. 可逆D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？A. 提高精度B. 便于计算C. 提高精度和便于计算D. 稳定性需要(5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为A. )()()(x f x f x x '-=ϕB. )()()(x f x f m x x '-=ϕC. )()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ3. 简叙题(10分):何谓三次样条插值函数?4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使 )]()0([)]()0([2)(0h f f a h f f h dx x f h'-'++≈⎰的代数精度尽量高。
试指出最高代数精度，并估计误差。
5.(10分)已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121aa A ，试写出解b Ax =的Jacobi 迭代法收敛的充要条件。
6.(10分)用勒让德多项式作最佳平方逼近,求函数3)(x x f =在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式.(1)(0=x P ,x x P =)(1,)13(21)(22-=x x P )7.(10分)用幂法计算下述矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31130004A8.(10分)给定数据求形如bxa y +=1的拟合函数。
9.(10分)已知方程0123=--x x 在=0x 1.5附近有根，试给出一个在0x 附近收敛的迭代格式.10.(10分)设)(x f 充分可微， 1)试证明 )()(120)(6)]()([21)(60)5(40)3(2000h O x fhx fhh x f h x f hx f +----+='2)利用)]()([21)(00h x f h x f hh N --+=求)(0x f '近似值，并给出外推一次的公式。
《数值分析》试题（A ）一、填空题（每小题3分，共21分）： 1、已知：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=1327,)2,1(A X T，则=1AX ，=∞)(cond A .2、牛顿—柯特斯（Newton —Cotes ）数值求积公式∑⎰=-≈ni i n ibax f C a b dx x f 0)()()()(当n 为奇数时，至少具有 次代数精度；当n 为偶数时，至少具有次代数精度. 3、若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-+-+-≤≤=31,)1()1()1(2110,)(233x c x b x a x x x x S为一个三次样条函数，则a = ，b = ，c = . 4、分别写出用下列迭代法求解方程02010223=-++x x x 根的迭代公式： (1)牛顿法 ； (2)弦截法 .5、近似数231.0*=x 关于真值229.0=x 有 位有效数字.6、已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8231A ，取初始向量Tv )1,1(0=，用规范化的幂法迭代2次，求得矩阵A 的主特征值为 ，相应的特征向量为(保留小数点后4位小数)． 7、在]1,0[上以x 为权函数的0，1，2次正交多项式分别为)(0x ϕ= ，)(1x ϕ= ，)(2x ϕ= .二、(本题10分)已知321)(5.001x f x -(1)求)(x f 的二次Newton 插值多项式；(2)求)25.0(f 的近似值(取小数点后五位)，并写出余项．三、(本题10分)确定下列公式⎰++≈hh f A h f A f A h dx x f 0210)]()3()0([)(中的参数0A ，1A ，2A ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度．四、(本题7分)求函数x x f arctan )(=在]1,0[上关于},1{span x =Φ带权1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式.五、(本题10分)已知方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010342110100201A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=71735b ， (1)求矩阵A 的Doolittle 分解，即分解成LU A =的形式，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；(2)利用上述分解求解方程组b Ax =. 六、(本题8分)数列}{k x 定义为：50=x ，,2,1,0,12821161241=-+-=+k x x x x k k k k ，证明：}{k x 三阶收敛到4*=x .七、(本题8分)已知函数值表：用最小二乘法求拟合这组数据的二次多项式2210x a x a a y ++=.八、(本题10分)给定方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111211111112321x x x ， (1)分别写出雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式； (2)证明高斯-塞德尔迭代法收敛．九、(本题8分)用龙贝格求积公式求积分⎰+=101x dx I 的近似值(要求二分三次，保留小数点后4位小数) ．十、(本题8分)证明：求解常微分方程初值问题的数值解公式)3(211-+'-'+=n nn n y y h y y 的局部误差为)()(311h O y x y n n =-++．河海大学2008-2009学年硕士生 《数值分析》试题（A ）任课教师姓名_________专业________学号 得分一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设准确值=x 3002，以=*x 006666.0作为x 的近似值，其有效数字为（ ）。
A. 3位；B. 4位；C. 5位；D. 6位2．积分公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为（ ）。
A.1阶； B.2阶； C.3阶； D. 4阶 3．对于任意初始向量)0(x ,一阶定常迭代f Bx x k k +=+)()1(收敛的 充分必要条件是( ) 。
A. 1||||<B ；B. 1||||≤B ；C. 1)(<B ρ；D. 1)(≤B ρ 4.下列关于条件数的性质错误是( )。
A.)(cond )(cond 1-=A A ；B.1)(cond ≥A ；C.)0()(cond )(cond ≠⋅=k A k kA ；D.)0()(cond )(cond ≠=k A kA 5．设初等反射阵T ww I H 2-= )1(=w w T ，则下列错误的是( )。
A. H 是对称矩阵； B. H 是正交矩阵； C. 任给向量x ，有22||||||||x Hx =； D. H 的行列式等于1二、填空题（每小题3分，共15分）1．非线性方程求根的Newton 迭代法在单根附近的收敛阶数 为____ ___，在重根附近的收敛阶数为_____ __。
2．用幂法（规范化）求矩阵A 的主特征值及对应的特征向量的迭代格式是________________________________________。
3．设线性方程组b Ax =，当A 满足____________________时，常用Cholesky 分解法，当A 满足____________________________________________时，常用追赶法。
4．已知Chebyshev 多项式x x x T 34)(33-=，则12)(23+++=x x x x f 的最佳2次逼近多项式为____________ ______。
5．设),2,1,0()},({ =k x k ϕ是区间[0，1]上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则=)(1x ϕ_______。
三、(本题10分) 设4)(x x f =，取节点为1-，0，1，2。
（1）试用拉格朗日基函数写出)(x f 的三次插值多项式； （2）试用余项公式写出)(x f 的三次插值多项式。
四、(本题10分) 试用Doolittle 三角分解法求解方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛032484272321321x x x五、(本题10分) 确定下列公式⎰-++-≈22)1()0()1()(Cf Bf Af dx x f中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的 代数精度。
六、(本题12分) 设方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----121122111221321x x x ，分别写出雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式，并讨论它们的收敛性。
七、(本题10分) 利用Legendre 多项式，求x x f =)(在区间[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。
八、(本题8分) 设A 是对称正定矩阵，B 是对称矩阵，若BAB A -也正定，证明迭代格式f Bx x k k +=+)()1(对任意初始向量)0(x 收敛。
九、 (本题10分) 试证明由[]),(),(21111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y所定义的隐式单步格式是二阶的。
