河海大学《数值分析》试卷2014级专硕

硕士2002级数值分析考试试题2003年1月12日专业 学号 姓名一、（14分）已知x ex f -=)(的下列数据（1） 用抛物插值计算2.0-e 的近似值，已知2.0-e 的精确值为0.81873075……,指出抛物插值所得近似值的有效数字的位数；（2） 试求x ex f -=)(的二次Newton 插值多项式。

二、（10分）求211)(xx f +=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

三、（14分）（1） 写出数值积分梯形法的步长逐次分半算法（梯形法的递推化公式），并用Romberg 算法计算dx x⎰311的近似值（要求二分3次，结果保留五位小数）；（2） 确定参数a ，使求积公式)](')0('[121)]()0([)(20h f f h h f f ah dx x f h-++≈⎰ 的代数精度尽量高，并指出构造出的求积公式所具有的代数精度。

四、（14分）（1） 用Gauss 列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x （2） 用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19158341131121114321x x x x五、（12分）（1） 设A 为对称正定阵，其最大特征值为1λ，证明当α满足0<α<12λ时，迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛；（2） 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 建立收敛的Jacobi 和Gauss-seidel 迭代公式，并指出该迭代公式收敛的理由。

六、（12分）（1） 应用Newton 法于方程03=-a x 导出求3a 的迭代格式；（2） 讨论该迭代格式的局部收敛性及收敛阶；（3） 取初值x 0=12，用Newton 迭代法求32003的近似值，要求迭代两步，并指出该近似值有几位有效数字。

中北大学数值分析课程考试试题(课程名称须与教学任务书相同)2014/2015 学年第1 学期试题类别 A 命题期望值70拟题日期2014.12.12 拟题教师课程编号教师编号1120048基层教学组织负责人课程结束时间2014.11.28 印刷份数使用班级2014级研究生备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。

（2）试题类别指A卷或B卷。

2014/2015 学年 第 1 学期末考试试题（A 卷）课程名称 数值分析1使用班级： 2014级研究生一、填空题(每空2分，共30分)1. 用1457ˆe536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有 位有效数字，用355ˆπ113=作为圆周率π的近似值的绝对误差限可取为 ；用ˆπˆe u= 作为πe u =的近似值 具有 位有效数字；2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)123(k+1)(k)(k)213(k+1)(k)(k)3120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩ 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量为()T(0)0,0,0=x，则(1)=x ，(20)*∞-≤x x ；3. 方程e 0xx +=的根*x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为；若取初始值03x =，14x =，则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是 。

5. 取权函数()x ρ=[－1,1]上计算函数()1f x =与()221g x x =-的内积(),f g =；6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= ；7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，b ah n-=，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ；该公式具有 次代数精度；8.求解常微分方程初值问题()()00,,y f t y t t T y t y'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的Euler折线法的计算公式为；它是一个阶方法。

河海大学2014-2015学年硕士生《数值分析》试题(A)任课教师姓名姓名专业学号成绩一、填空题 (每小题3分, 共24分)1、已知方程的根是二重根,则求此根的具有二阶收敛的牛顿迭代格式是。

2. 作为的近似值，有 位有效数字。

3、是以为插值区域，为插值节点的插值函数，满足哪些条件会成为三次样条插值函数：。

4、给定矩阵，则_________, _________, _________,条件数____________.5、解常微分方程初值问题数值解的改进欧拉预测－校正公式是:预测:校正: 。

6、设矩阵,的杜利特尔()分解为: , 则; 。

7、给定方程,写出求解此方程的牛顿迭代格式___________________________以及弦截法迭代格式____________________________________.8、写出求解的复化辛普森求积公式______________________________________,该公式的误差阶为_____________.《数值分析》2014级(A) 第1页共5页二、(本题10分)已知，且有x0.10.20.3f (x) 2.1 3.0 3.4(1).求f (x)的二次拉格朗日插值多项式；(2).用二次拉格朗日插值多项式,求f(2.4)的近似值(取小数点后三位),并估计误差。

三、(本题10分)用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合。

x－10123f (x)－0.50.20.51 1.8《数值分析》2014级(A) 第2页共5页四、（本题8分）用追赶法求解三对角方程组五、(本题10分)写出方程组的雅科比和高斯－赛德尔迭代格式，确保对任意初始向量都收敛,并取初始向量,分别计算出迭代2次后的结果(取小数点后四位)。

《数值分析》2014级(A) 第3页共5页六、(本题8分)确定求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出所得公式的代数精度。

武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。

四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。

，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。

对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。

武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

研究⽣考试数值分析试题研究⽣2002级数值分析⼀（12分）、对于积分=+1,2,1,0,999n dx x x n。

（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上⾯算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。

⼆（12分）、解⽅程组= 00001.8800001.626221x x 和?=00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进⾏分析。

三（12分）、设⽅程组=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整⽅程的排列顺序，使得⽤Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。

（2）取初始向量()()Tx 0,0,00=，⽤Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x，并求其()()k k x x-+1误差。

四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其⼆次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最⼩，此时⼈余项为多少？五（12分）、对于⽅程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代⽅程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出⽜顿迭代公式。

六（10分）、设()?=>+-='100,5y x x y y ，解析解xe x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利⽤Euler ⽅法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进⾏分析。

七（10分）、设()x e x f =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，⽤中⼼差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析⽐较。

⼋（10分）、求不超过2次的多项式()x P 2，使其满⾜条件：()21=f ，()32=f ，()12='f ，并写出其误差估计。

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有4位有效数字。

( ) 2. 设(0,1,2,3)i x i =是互异的点，()(0,1,2,3)i l x i =是Lagrange 插值基函数，则3224()4i ii x l x x==∑. ( )3. 设73()32f x x x =-+，则差商1234567[2,2,2,2,2,2,2]1f =。

( ) 4. 设A 是n 阶非奇异方阵，则解方程组A =x b 的迭代法收敛的充要条件是A 的谱半径()1A ρ<。

( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的整体截断误差是4()O h ，其中h 是步长。

( )二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设T(2,1,3,4)=-x ，2543A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 则 1||||x = , Cond()A ∞= .2. 设20()d I f x x =⎰，若用梯形求积公式计算I ，结果是4；用Simpson 求积公式计算I ，结果是2. 则(1)f = .3. 设S 是函数f 在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：()()22,01,()111,13,2x x S x x a x b x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+≤≤⎪⎩ 则a = ，b = ，(3)f '= .4. 设函数(0.8) 1.2,(0.9) 1.4,(1) 1.0,(1.1)0.2,(1.2)0.5f f f f f =-=-=-==, 步长0.2h =，则用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .5. 设函数()f x 是最高次项系数为1-的3次多项式，2()p x 是()f x 在节点1,0,1-上的Lagrange 插值多项式, 则余项2()()f x p x -= .三(本题满分8分)的近似值*x 的相对误差限是0.01%，求*x 至少应具有几位有效数字？四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式，并说明理由。

数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号一、选择题1.()2534F,,,-表示多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. 一个30阶线性方程组, 若用Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. 用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度, 读出的长度1235mm, 桌子的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm二、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。

2.十进制123.3转换成二进制为1111011.01001。

3.二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制0101.转换成十进制为57。

5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限5% 。

6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。

7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。

8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五入得到的近似值，则x*y*+的误差限0.55×10-3 。