河海大学学年硕士生《数值分析》试题

2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。

x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。

工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。

（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。

五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。

七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

硕士2002级数值分析考试试题2003年1月12日专业 学号 姓名一、（14分）已知x ex f -=)(的下列数据（1） 用抛物插值计算2.0-e 的近似值，已知2.0-e 的精确值为0.81873075……,指出抛物插值所得近似值的有效数字的位数；（2） 试求x ex f -=)(的二次Newton 插值多项式。

二、（10分）求211)(xx f +=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

三、（14分）（1） 写出数值积分梯形法的步长逐次分半算法（梯形法的递推化公式），并用Romberg 算法计算dx x⎰311的近似值（要求二分3次，结果保留五位小数）；（2） 确定参数a ，使求积公式)](')0('[121)]()0([)(20h f f h h f f ah dx x f h-++≈⎰ 的代数精度尽量高，并指出构造出的求积公式所具有的代数精度。

四、（14分）（1） 用Gauss 列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x （2） 用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19158341131121114321x x x x五、（12分）（1） 设A 为对称正定阵，其最大特征值为1λ，证明当α满足0<α<12λ时，迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛；（2） 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 建立收敛的Jacobi 和Gauss-seidel 迭代公式，并指出该迭代公式收敛的理由。

六、（12分）（1） 应用Newton 法于方程03=-a x 导出求3a 的迭代格式；（2） 讨论该迭代格式的局部收敛性及收敛阶；（3） 取初值x 0=12，用Newton 迭代法求32003的近似值，要求迭代两步，并指出该近似值有几位有效数字。

数值分析复习题
一 填空
1. 已知f (1) 1.0, f (2) 1.2, f (3) 1.3，则用抛物线公式 计算求得 f ( x )dx _____，用复合梯形公式计算求得
1 3

3
1
f ( x )dx _____。
2. 设 f ( x )可微，求方程x f ( x )的牛顿迭代公式是______。
9. 设li ( x )( i 0,1, , n)是插值基函数，x0 , x1 , , xn为两 两互异的节点，则 li ( x ) ___, xi4 l i (3) ___ 。
i 0 i 0 n n
10. 若迭代公式xk 1
2 1 xk 2 . 设f ( x ) x 3 +x 1, 则差商f [0,1, 2, 3] __, f [0,1, 2, 3, 4] __。
4. 解常微分方程的四阶龙格库塔公式的局部 截断误差为O(h p ),则p ______ 。
5. 已知函数表 x f ( x) 3.2 3.4 3.6 3.8 0 2 4 10
九、已知方程
x3 x 1 0 在1.5附近有根，把方程写成三
种不同的等价形式(1) x 3 1+x (2) x x3 1 ； 1 (3) x 2 。 试建立相应的简单迭代格式 ，并判断迭代 x 1 格式在 x0 1.5 附近的收敛性。
用三点公式计算f (3.6) ______ 。
2 1 6. A ,则其谱半径为 ______ 。 1 2
7. 数值求解积分的梯形公式具有_____次代数精度， 辛甫生公式具有_____次代数精度。
8. n 1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为 _____ 次。

第三章 线性方程组的直接解法自测题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

数值分析考试题一、 填空题(每小题3分，共15分) 1.已知x =62.1341是由准确数a 经四舍五入得到的a 的近似值，试给出x 的绝对 误差界_______________.2. 已知矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 的奇异值为 _________. 3. 设x 和y 的相对误差均为0.001，则xy 的相对误差约为____________. 4. 424()53,,()_____.i i f x xx x i f x =+-∆=若=则5. 下面Matlab 程序所描述的数学表达式为________________________.a =[10,3,4,6];t=1/(x -1);n=length(a )();1:1:1*();y a n for k n y t y a k end==--=+二、(10分)设32()()f x x a =-。

（1）写出解()0f x =的Newton 迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。

三、 (15分)已知矛盾方程组Ax=b ，其中21110,1101211A b ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，（1）用Householder 方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。

（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。

四、(15分) 给出数据点：012343961215i i x y =⎧⎨=⎩（1）用1234,,,x x x x 构造三次Newton 插值多项式3()N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。

（2）用事后误差估计方法估计3(1.5)N 的误差。

五、(15分)（1）设012{(),(),()}ϕϕϕx x x 是定义于[-1，1]上关于权函数2()x x ρ=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()x x x ϕϕ==，试求出2()x ϕ。

（2）利用正交多项式组012{(),(),()}ϕϕϕx x x ，求()f x x =在11[,]22-上的二次最佳平方逼近多项式。

2010年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、D; 2、B ； 3、D ； 4、B ； 5、D 。

二、填空题（4*5=20）1、4； 2、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323203*⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛320323； 3、)]23()0()23([3f f f ++-∏；4、kk k k x x x x 2221--=+；5、9.605。

三、（10分）由两点三次Hermite 插值多项式公式秋得：)2()(23x x x H -=，设所求多项式223)1()()(-+=x Ax x H x P ，。

（4分） 由P(2)=1,得A=1/4,。

（4分） 故22)3(41)(-=x x x P 。

.。

（2分） 四、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1001001*10010021321u u l l l A ，由追赶法公式求得， 15/56,15/4,4/15,4/1,432211=-==-==l u l u l ，。

（4分） 由Ly=d,求得T y )77.0,87.0,25.0(=,（3分） 由Ux=y,求得，T x )5179.0,0714.1,7679.0(=（3分）五、（10分）Jacobi 迭代计算格式：⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=+++3/)221(5/)327(24)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。

（2分） G-S 迭代计算格式： ⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=++++++3/)221(5/)327(24)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。

（2分） 由于016415)(3=-+=-λλλJ B I del ,,11516)(>=J B ρ即Jacobi 迭代发散；。

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。

河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。

A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。

A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。

A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。

（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。

A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。

２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。

３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。

1. 填空(10分,每空2分)1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式20002001-改写为 .2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 .3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .2. 选择题(10分,每题2分)(1)设有求方程1=xxe 根的迭代公式kx k ex -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式A. 发散B. 敛散不定C. 收敛D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰可由 A. 分段线性插值导出 B. 抛物插值导出 C. 线性插值导出 D. 分段抛物型插值导出(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）A. 无限制B. 对称C. 可逆D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？A. 提高精度B. 便于计算C. 提高精度和便于计算D. 稳定性需要 (5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为 A. )()()(x f x f x x '-=ϕ B. )()()(x f x f m x x '-=ϕ C. )()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使)]()0([)]()0([2)(0h f f a h f f hdx x f h'-'++≈⎰的代数精度尽量高。

试指出最高代数精度，并估计误差。

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。

四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。

，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。

对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。

武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

4 17 ，求分解 A 20
LDL T ，其中 D 是对焦阵， L 是单位下
三角阵。则 D=_____________________; L=_____________________ 。
《数值分析》 2013 级(A) 第 1 页 共 5 页
二、 (本题 12 分 ) (本题 10 分 )
求函数 f ( x) ln x ， x [1,2] 的一次最佳平方逼近多项式。
三、（本题 12 分）
给定数据表如下：
x
0.25 0.3
0.5
f(x) 0.5 0.54
0.72
分别用拉格朗日和牛顿插值法求 f(x) 的二次插值多项式，
《数值分析》 2013 级(B) 第 2 页 共 5 页
怎样才能避免这种情况 ?
_________________ .
3、写出求解非线性方程 x sin x 5 的牛顿迭代格式 ______________________________ __ ；
以及弦截法迭代格式
_________________
。
4、给定矩阵 A
12
0
4
，则 A 1
_________,
1 u0 1 ，迭代 2 次，写出结果。
1
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八、 (本题 12 分 )
0.5
f(x) 0.5 0.54
0.72
分别用拉格朗日和牛顿插值法求 f(x) 的二次插值多项式，
三、 (本题 10 分 )
求函数 f ( x) ln x ， x [1,2] 的一次最佳平方逼近多项式。
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数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。

答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。

答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。

答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。

答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。

答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。

2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。

答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。

误差可以分为舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。

这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。

3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。

答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。