数据的特征数

高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。

）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。

学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。

在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。

教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。

2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。

3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。

教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。

在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。

例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。

二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。

一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。

日常生活中，有时我们只关心数据的最值。

比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。

关注样本数字中的“三个特征数”山东杨道叶一、要点扫描1。

众数是在一批数据中，出现次数最多的数。

若该组数据中有两个或几个数据出现地最多,且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若该组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数。

当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.2. 中位数是将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数. 中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中。

当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。

3．众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量。

4。

三者在频率直方图中的体现：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等（注：这样求出的中位数是近似值)；在频率分布直方图中最高矩形的中点即为该组数据的众数.5.实际问题中求得的平均数、众数和中位数都应带上单位。

二、范例点悟例1 某农科所有芒果树200棵，2005年全部挂果,成熟期一到，随意摘下其中10棵树上的芒果，分别称得质量如下（单位：千克）：10,13，8，12，11，8，9，12，8，9。

(1）求样本平均数；(2)估计该农科所2005年芒果的总产量.分析：应用样本平均数公式计算样本平均数，再估计总体平均数,从而求出该农科所2005年芒果的总产量。

解析：（1）样本平均数1(101381211891289)10x =++++++++++ 1(1010322121221)10=⨯++++－－－－－ =10(千克）。

（2）由样本平均数为10千克,估计总体平均数也是10千克，所以总产量为200102000⨯=（千克)。

评注：用样本平均数估计总体平均数是计算的关键，因此计算平均数一定要准确，同时要理解平均数的含义。

统计数据特征的主要指标一、引言统计数据特征是指在一定时间和空间范围内，对某一现象或事物进行量化、统计和描述的结果。

统计数据的特征可以通过不同的指标来衡量和评估。

本文将介绍常用的统计数据特征指标，包括中心位置、离散程度、偏态和峰态等。

二、中心位置指标中心位置指标是用来描述数据集中趋势的指标，主要包括均值、中位数和众数等。

1. 均值均值是所有数据之和除以样本数量得到的平均值。

均值可以反映整个数据集的平均水平。

但是，当数据存在极端值时，均值容易被拉高或拉低，导致失真。

2. 中位数中位数是将所有数据按照大小排序后，处于中间位置的数值。

中位数不受极端值影响，更能反映整个数据集的典型水平。

3. 众数众数是出现次数最多的数值。

众数适用于描述离散型变量的分布情况。

三、离散程度指标离散程度指标是用来描述数据分布范围广泛程度的指标，主要包括极差、方差和标准差等。

1. 极差极差是数据最大值与最小值之间的差值。

极差越大，数据分布范围越广泛。

2. 方差方差是各数据与均值之间距离平方和的平均数。

方差可以反映数据集中每个数据点与整个数据集中心位置的距离。

3. 标准差标准差是方差的正平方根。

标准差比方差更容易理解，因为它与原始数据具有相同的单位，而且可以通过标准化后进行比较。

四、偏态指标偏态指标是用来描述数据分布对称程度的指标，主要包括偏度和峰度等。

1. 偏度偏度是描述分布对称性的指标。

当偏度为0时，表示分布完全对称；当偏度为正数时，表示分布右侧尾部更长；当偏度为负数时，表示分布左侧尾部更长。

2. 峰度峰度是描述分布峰态（尖锐程度）的指标。

当峰度为0时，表示分布呈现正常曲线形状；当峰度大于0时，表示分布比正常曲线更尖锐；当峰度小于0时，表示分布比正常曲线更平缓。

五、总结本文介绍了常用的统计数据特征指标，包括中心位置、离散程度、偏态和峰态等。

这些指标可以帮助我们了解数据集的分布情况，从而更好地进行数据分析和决策。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的指标进行分析。

6.2.1数据的特征值（一）数据的位置特征值 1）平均值如果从总体中抽取一个样本，得到一批数据x 1，x 2，x 3….x n ，则样本的平均值x 为： n-数据个数；x i -第i 个数据数；∑-求和。

2）中位数有时，为减少计算，将数据x 1，x 2，x 3….x n 按大小次序排列，用位居于正中的那个数或中间两个数的平均值（当数据为偶数时）表示数据的总体平均水平。

3）中值M测定值中的最大值x max 与最小值x min 的平均值，用M 表示。

4）众数在用频数分布表示测定值时，频数最多的值即为众数。

若测定值按区间做频数分布时，频数最多的区间代表值（一般取区间中值）也称众数。

（二）数据的离散特征值1）极差R测定值中的最大值x max 与最小值x min 之差称为极差。

通常R 用于个数n 小于10的情况下，n 大于10时，一般采用标准偏差s 表示。

2）偏差平方和S 各测定值x i 与平均值 之差称为偏差。

各测定值的偏差平方和称为偏差平方和，简称平方和，用S 表示。

无偏方差各个测定值的偏差平方和除以（n-1）后所得的值称为无偏方差（简称方差），用s 2表示：∑==n i i x n x 1_1~x 2min max x x M +=_x _x ∑=--=-=n i i x x n n S s 12_2)(1112_2_22_1)(...)()(x x x x x x n -+-+-∑=-n i i x x 12_)(S ==标准偏差s方差s 2的平方根为标准偏差（简称标准差），用s 表示：（三）变异系数以上反映数据离散程度的特征值，只反映产品质量的绝对波动大小。

在工程实践中，测量较大的产品，绝对误差一般较大，反之亦然。

因此要考虑相对波动的大小，在统计技术上用变异系数CV 来表达：上式中σ和μ为总体均值和总体标准差，当过程在受控状态下，且样本容差较大时，可用样本标准差s 和样本均值 估计。

∑=--=-==n i i x x n n S s s 12_2)(111_x s CV ≈=μσ_x。

反应离散趋势的特征数反应离散趋势的特征数是指用来描述离散趋势的统计量或指标的数量。

对于离散趋势的分析，一般可以使用以下几个特征数：1. 平均数（Mean）平均数是一组数据的总和除以数据的数量，用来表示这组数据的中心位置。

在离散趋势的分析中，平均数可以用来描述一组数据的集中程度，如果一组数据的平均数较大，说明数据整体较大，反之则说明数据整体较小。

2. 中位数（Median）中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的数值。

中位数可以在一定程度上反映数据的集中趋势，相对于平均数来说，中位数对极端值的影响较小。

3. 众数（Mode）众数是一组数据中出现次数最多的数值，用来描述离散趋势中的峰值。

众数可以用于发现数据中的集群现象，即某些数值出现的频率较高。

4. 极差（Range）极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值，用来表示数据的全距。

极差可以反映数据的分散程度，如果极差较大，说明数据比较分散，反之则说明数据比较集中。

5. 四分位数（Quartiles）四分位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列，然后将数据分为四等分，第一四分位数（Q1）表示数据中从小到大排在25%位置的数值，第二四分位数即中位数，第三四分位数（Q3）表示数据中从小到大排在75%位置的数值。

四分位数可以用来描述数据的离散程度。

6. 方差（Variance）方差是一组数据与其平均数之差的平方和的平均值，用来度量数据的离散程度。

方差越大，说明数据的分散程度越大，方差越小，说明数据的集中程度越高。

7. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用来度量数据的离散程度。

标准差可以对数据的离散程度进行标准化，方便进行不同数据集之间的比较。

8. 变异系数（Coefficient of Variation）变异系数是标准差与平均数之比，用来度量数据的相对离散程度。

变异系数可以消除数据单位的影响，使得不同数据集之间的离散程度更具可比性。

数据的基本分析——数据特征值的计算在当今数字化的时代，数据无处不在。

无论是商业决策、科学研究，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地生成和处理大量的数据。

而要从这些海量的数据中提取有价值的信息，理解数据的特征是至关重要的。

其中，计算数据特征值就是帮助我们洞察数据本质的重要手段。

什么是数据特征值呢？简单来说，它是用于描述数据某些特性的数值。

通过这些数值，我们能够对数据的分布、集中趋势、离散程度等有一个直观的了解。

常见的数据特征值包括均值、中位数、众数、方差、标准差等等。

先来说说均值。

均值也就是我们常说的平均数，它是通过将所有数据相加，然后除以数据的个数得到的。

均值能够反映出数据的总体水平。

比如，一个班级学生的考试成绩，我们计算其均值，就可以大致了解这个班级的整体学习情况。

但是，均值也有其局限性。

当数据中存在极端值（极大值或极小值）时，均值可能会被扭曲，不能很好地代表数据的典型情况。

接下来是中位数。

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间两个数的平均值就是中位数。

中位数的优点在于它不受极端值的影响，能够更稳健地反映数据的中心位置。

比如，在统计居民收入水平时，中位数往往比均值更能反映大多数人的实际收入状况。

众数则是一组数据中出现次数最多的数值。

众数可以帮助我们了解数据中最常见的情况。

比如，在调查某种商品的最受欢迎的尺码时，众数就能给出明确的答案。

但需要注意的是，一组数据可能没有众数，或者有多个众数。

再谈谈方差和标准差。

方差是每个数据与均值之差的平方的平均值，标准差则是方差的平方根。

它们主要用于衡量数据的离散程度，也就是数据的分布有多分散。

标准差越大，说明数据的波动越大，反之则说明数据越稳定。

比如，在比较不同生产批次产品的质量稳定性时，标准差就是一个很有用的指标。

那么，如何计算这些数据特征值呢？以均值为例，如果我们有一组数据：10、20、30、40、50。

第三章 数据的特征量及统计分析第一节集中量⏹ 集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势（central tendency ）的量。

⏹ 它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。

⏹ 常用的集中量有算术平均数 、中位数Md 、众数M0等。

一、平均数或算术平均数（ mean or arithmetic average ）的概念⏹ 算术平均数是所有观察值的总和除以总频数之商，简称平均数或均数、均值。

若以X 1，X 2，…，X N 表示X 变量各个观察值，N 表示观察值的个数，则算术平均数可表示为：二、算术平均数的性质1.观察值总和等于算术平均数的N 倍。

2.在一组观察值中，每个观察值与该组均值之差（离均差）之和等于零。

3.在一组数据中，每个数都加上或减去一个常数，所得的平均数为原来的平均数加上或减去此常数。

4.在一组数据中，每个数都乘以或除以一个常数，所得的平均数为原来的平均数乘以或除以这个常数。

5.如果某一组观察值是由多个部分组成，这组观察值的平均数可由组成部分的平均数求得。

三、算术平均数的计算方法1.原始数据计算法2.频数分布表计算法可以用频数分布表计算一组数据算术平均数的近似值。

公式为：N X X X X N +++= (21X)N X =∑()0=-∑X X b a bb a a N N X N X N X ++=∑∑∑==+⋯+++⋯++=fX N f fX f f f X f X f X f X K K K 1212211频数分布表计算法3.用假定平均数计算平均数的方法设假定平均数为A ，则，用假定平均数计算算术平均数的公式为：()N A X A X ∑-+=四、加权平均数、几何平均数、调和平均数1.加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，一般用 表示。

其计算公式为：第一种形式：第二种形式：２．几何平均数几何平均数（geometric mean ）是n 个数值连乘积的n 次方根，用 或表示。

质量数据的特征值
（一）描述数据集中趋势的特征值
1.算术平均数
算术平均数又称均值，是消除了个体之间个别偶然的差异，显示出所有个体共性和数据一般水平的统计指标，它由所有数据计算得到的是数据的分布中心，对数据的代表性好。

其计算公式为：
2.样本中位数
样本中位数是将样本数据按数值大小有序排列后，位置居中的数值。

当样本数n为奇数时，数列居中的一位数即为中位数；当样本数n为偶数时，取居中两个数的平均值作为中位数。

例：现有一组数据（已经排序）：10，20，30，40，50，60，70，80，90共有9个数据，处于中间位置的是第5个数据，样本中位数即为：样本中位数= 50；如有一组数据（已经排序）：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100共有10个数据，取中间位置的是第5，6位数据的平均值55，作为中位值，样本中位数即为：样本中位数=55；
（二）描述数据离中趋势的特征值
1.极差R
极差是数据中最大值与最小值之差，是用数据变动的幅度来反映其分散状况的特征值。

2.标准偏差。

3.变异系数Cv。