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1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程

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函数与方程部分2019A1、已知正实数a 满足()89aaa a =，则()log 3a a 的值为 ．◆答案：916★解析：由条件知189a a =，故91639a a a a =⨯=，所以()9log 316a a =。

2019A 二、（本题满分 40 分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =≤≤≤=． 记()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =+++-++++，求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数．★解析：由条件知()()2017222221220182019212i i i f a a aaa a +==++++-∑． ①由于12,a a 及2i i a a +-（1,2,2016i =）均为非负整数，故有221122,a a a a ≥≥且()222i i i i a a a a ++-≥-．于是()()()201620162221221222017201811i i i i i i aaaa a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②………………10 分由①、②得()2222017201820192017201820192f a a a a a a ≥++-++，结合20192019a =及201820170a a ≥>，可知()()2222201720172017201712999949740074002f a a a a ⎡⎤≥+-++=-+≥⎣⎦ ．③ (20)分 另一方面，令1219201a a a ====，19202119202k k a a k +-+==（1,2,,49k =），201999a =此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30 分以下考虑③的取等条件．此时2018201749a a ==，且②中的不等式均取等， 即121a a ==，{}20,1i i a a +-∈（1,2,2016i =）。

因此122018149a a a =≤≤≤=，且对每个k （149k ≤≤），122018,,,a a a 中至少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件． 对每个k （149k ≤≤），设122018,,,a a a 中等于k 的项数为1k n +，则k n 为正整数，且()()()12491112018n n n ++++++=，即 12491969n n n +++=④，该方程的正整数解()1249,,,n n n 的组数为481968C ，且每组解唯一对应一个使④取等的数组()122019,,,a a a ，故使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 有481968C 个………………40 分2019B 10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3lg log 4b a ac b c +=⎧⎨+=⎩，求lg lg a c ⋅的最大值。

★解析：设lg x a =，lg y b =，lg z c =，由,,1a b c >，可知,,0x y z >。

由条件及换底公式得3z x y +=，4zy x+=，即34xy z y x +==，由此令3,4x t y t ==（0t >），则2412120z x xy t t =-=->，得01t <<。

所以()()()322216lg lg 31211821833t t t a c t t t t t ++-⎛⎫⋅=⋅-=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22t t =-，即23t =时取得等号，相应的83100,10a b c ===，所以lg lg a c ⋅的最大值为163。

2018A 5、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足1)(=πf ，2)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ◆答案：[]ππ28,2--★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]1,0上严格递减知，)(x f 在[]0,1-上递增，结合周期性知，)(x f 在[]2,1上递增，又1)()2(==-ππf f ，2)2()2()28(==-=-πππf f f ， 所以不等式等价于)28()()2(ππ-≤≤-f x f f ，又22821<-<-<ππ 所以ππ282-<<-x ，即不等式的解集为[]ππ28,2--2018A ，B 9、（本题满分16分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

★解析：不妨设c b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ，1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9c ，且()1,0)()()(∈==c f b f a f 。

由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=，又c c f -=4)(，由140<-<c 得()16,9∈c ，所以()144,819∈=c abc 。

2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为 ◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为[]ππ--4,62.2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017B 3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，xx f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值为 ◆答案：74-★解析：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-.2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则log w u 的值为◆答案：54★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此54log log log ==•=u v u v w w ．2016A 10、（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-。

求)511()501()981()31()991()21()1001()1(f f f f f f f f ++++ 的值。

★解析：设n nf a n )(1(==1，2，3，…），则1)1(1==f a ．在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k kx ∈-=，注意到111111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数．可知)1(1)1(1)11(kf k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+，从而)!1(11111111-==•=∏∏-=-=+n k a a a a n k n k k k n ．……………………10分 因此∑∑∑===--•=--=490501501101)!99(!1)!100()!1(1i i i ii i i i i aa !992221!991)(!991!991989949099999949099=⨯⨯=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分2015A1、设a 、b 为两不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为 ◆答案：4★解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2015A 9、（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a 242=+，cb a 424=+，求c 的最小值。

★解析：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =，即y =时，zx．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分2016B 4、已知)(x f ,)(x g 均为定义在R 上的函数，)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x g 的图像关于点)2,1(-中心对称，且19)()(3++=+x x g x f x，则)2()2(g f 的值为◆答案：2016★解析：由条件知()()002,f g += ① ()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知， ()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =2014A1、若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则ba 11+的值为 ◆答案：108★解析：设k b a b a =+=+=+)(log log 3log 2632，则22-=k a ，33-=k b ，kb a 6=+，从而10832326113232=⨯=⨯=+=+--k k k ab b a b a 。

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专题02函数A辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

专题02函数A辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题02函数A辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=5−4x+x22−x在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】当x<2时2−x>0，因此f(x)=1+(4−4x+x 2)2−x =12−x+(2−x)⩾2⋅√12−x⋅(2−x)=2，当且仅当12−x=2−x时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C．2．【2006高中数学联赛（第01试）】设log x(2x2+x−1)>log x2−1，则x的取值范围为( )A．12<x<1B．x>12且x≠1C．x>1D．0<x<1【答案】B【解析】因为{x>0,x≠12x2+x−1>0，解得x>12,x≠1，由log x(2x2+x−1)>log x2−1，所以log x(2x3+x2−x)>log x2，则{0<x<12x3+x2−x<2，解得0<x<1或{x>12x3+x2−x>2，解得x>1.所以x的取值范围为x>12且x≠1.故选B．3．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x3+log2(x+√x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f (b)⩾0的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然f(x)=x3+log2(x+√x2+1)为奇函数，且单调递增.于是，若a+b⩾0，则a⩾−b，有f(a)⩾f(−b)，即f(a)⩾−f(b)，从而有f(a)+f(b)⩾0.反之，若f(a)+f(b)⩾0，则f(a)⩾−f(b)=f(−b)，推出a⩾−b，即a+b⩾0.故选A．4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=log12(x2−2x−3)的单调递增区间是( )A．(−∞,−1)B．(−∞,1)C．(1,+∞)D．(3,+∞)【答案】A【解析】由x2−2x−3=(x+1)(x−3)>0有x<－1或x>3.故函数log12(x2−2x−3)的定义域为x<－1或x>3.又因为u=x2−2x−3在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而log12u在(0，+∞)上单调递减，所以log12(x2−2x−3)在(－∞，－1)单调递增，故选A.5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=x1−2x −x2( )A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(−x)=−x1−2−x−−x2=−x2x2x−1+x2=x+x(2x−1)1−2x+x2=x1−2x −x+x2=x1−2x−x2=f(x).所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A.6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax+c=0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【答案】A【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是−2x2−4x+3=0，有Δ<0.故选：A.解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，Δ=4a2−4bc，由a2−bc=pq−(p+d)(q−d)=pd−qd+d2=(−3d)d+d2=−2d2<0可得Δ<0，故选：A.7．【1999高中数学联赛（第01试）】若(log23)x−(log53)x⩾(log23)−y−(log53)−y，则( )A．x−y⩾0B．x+y⩾0C．x−y≤0D．x+y⩽0【答案】B【解析】记f(t)=(log23)t−(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)⩾f(−y)，故x⩾−y，即x+y⩾0.引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足a+c<n,ab +cd<1，证明ab+cd<1−1n3.值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( )A．等于l g2B．等于1C．等于0D．不是与a，b无关的常数【答案】C【解析】因为lg(a+b)=lga+lgb，所以a+b=ab，即(a−1)(b−1)=1，因此lg(a−1)+lg(b−1)=0.9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )A．4+1132√23+√43B．4−52√23+√43C．1−12√23−√43D．以上答案都不对【答案】B【解析】函数f (x )在(−p 2,4q−p 24)上取到最小值，而g(x)=x 2+x 2+1x 2⩾3(x 2x 21x2)13=3×413，等号取到当x 2=1x2时，即x =213，则有−p2=213，4q−p 24=3×413，解得p =−243,q =3×2−23+223.由于213−1<2−213，那么f (x )在区间[1，2]的最大值在x =2处取到， 即f(x)=f(2)=4−5×2−23+223.10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程|x −2n|=k √x(n ∈N)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．0<k ⩽2n+1C ．12n+1<k ⩽√2n+1D ．以上都不是.【答案】B【解析】显然k ≥0，而k =0导出x =2n .原方程只有一根，故k >0.又由(x −2n)2=k 2x 知，抛物线y =(x −2n)2与直线y =k 2x 在区间(2n －1，2n +1)上有两个不同交点， 所以，当x =2n －1时，有(x −2n)2>k 2x ， 而当x =2n +1时，有(x −2n)2⩾k 2x . 从而k 2(2n +1)⩽1，即k ⩽√2n+1.故选B .11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知f(x)=asinx +b √x 3+4(a ，b 为实数)且f (lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是( ) A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值 【答案】C【解析】因为f (x )－4是奇函数，故f(−x)−4=−(f(x)−4)，即f(−x)=−f(x)+8. 而lglg3=−lglog 310，所以f(lglg3)=f (−lglog 310)=−f (lglog 310)+8=−5+8=3.12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系：f (10+x )=f (10－x )，f (20－x )=－f (20+x ).则f (x )是( ) A ．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数【答案】C【解析】由所给第一式得f[10+(10−x)]=f[10−(10−x)]，所以f(x)=f(20−x)①又由所给第二式得f(x)=−f(20+x)②所以f(40+x)=f[20+(20+x)]=−f(20+x)=f(x).可见f(x)是周期函数.由式①，②得f(−x)=f(20+x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数.13．【1991高中数学联赛（第01试）】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为( )A．18B．12C．9D．0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知f(3−a)=f(3+a)=0，即3－a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为3±a1,3±a2,3±a3.于是它们的和等于18.14．【1990高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x ∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是( )A．f(x)=x+4B．f(x)=2−xC．f(x)=3−|x+1|D．f(x)=2+|x+1|【答案】C【解析】(1)由f(x)=x(2⩽x⩽3)及周期为2，有f(x+2)=x.(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=−x+2(−1⩽x⩽0).15．【1989高中数学联赛（第01试）】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f (－x+1)的图像恒( )A．关于x轴对称B．关于直线x=1对称C．关于直线x=－1对称D．关于y轴对称【答案】B【解析】f(x)和f(－x)的图像关于直线x=0对称，f(x－1)与f(－x+1)的图像关于直线x=1对称.16．【1988高中数学联赛（第01试）】设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是( )A．y=−φ(x)B．y=−φ(−x)C．y=−φ−1(x)D．y=−φ−1(−x)【答案】B【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x−y=0对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.17．【1985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a−1>b−1.那么( )A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a>0且b<0时，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分条件18．【1984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=1gx的实根个数是( )A．1B．2C．3D．大于3【答案】C【解析】判断方程sinx=lgx解的个数，就是确定正弦曲线sinx和对数函数lgx的图像的交点个数.首先确定x的范围.由lgx的定义知x>0，又因为sinx⩽1，所以lgx⩽1.从而得0<x⩽10.在直角坐标系中作出0<x≤10范围内y=sinx和y=1gx的图像.因为0=lg1<sin1，lgπ>sinπ=0，所以当x∈(1,π)时，sinx=lgx必有一解.同理可知，当x∈(2π,2π+π2)和x∈(2π+π2,3π)时，方程各有一解.19．【1984高中数学联赛（第01试）】若a>0，a≠1，F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)⋅(1a x−1+12)是( )A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关【答案】B【解析】因为G(x)=F(x)⋅a x+12(a x−1)，所以G(−x)=F(−x)⋅a −x+12(a−x−1)=−F(x)⋅a x+12(1−a x)=G(x).即G(x)是偶函数20．【1984高中数学联赛（第01试）】若F(1−x1+x)=x，则下列等式中正确的是( )A．F(−2−x)=−2−F(x)B．F(−x)=F(1+x1−x)C．F(x−1)=F(x)D．F(F(x))=−x【答案】A【解析】先求出F(x)的表达式，作变换t=1−x1+x ，得x=1−t1+t.所以F(t)=1−t1+t，然后一一验证，知F(−2−x)=−2−F(x).21．【1983高中数学联赛（第01试）】x=1log1213+1log1513的值是属于区间( )A.(−2,−1)B.(1,2)C.(−3,−2)D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+log1315=log13110=log310，2=log39<log310<log327<3.22．【1983高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax2－c，满足：－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.那么，f(3)应满足( )A．7⩽f(3)⩽26B．−4⩽f(3)⩽15C．−1⩽f(3)⩽20D．−283⩽f(3)⩽353【答案】C【解析】由−4⩽f(1)⩽−1得−4⩽a−c⩽−1，所以1⩽c−a⩽4①由−1⩽f(2)⩽5得−1⩽4a−c⩽5②由①+②得0⩽3a⩽9，即0⩽a⩽3.所以0⩽5a⩽15.由②+③得−1⩽9a−c⩽20，即−1⩽f(3)⩽20.23．【1982高中数学联赛（第01试）】如果log2[log12(log2x)]=log3[log13(log3y)]=log5[log15(log5z)]=0，那么( )A．z<x<y B．x<y<z C．y<z<x D．z<y<x 【答案】A【解析】由条件可得x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110.据幂函数的单调性可知z<x<y.24．【1982高中数学联赛（第01试）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是( )A．19B．18C．559D．不存在【答案】B【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以Δ=[−(k−2)]2−4⋅1⋅(k2+3k+5)⩾0，可解得−4⩽k⩽−43.由韦达定理，经整理，得到x12+x22=−(k+5)2+19，所以当k=－4时，x12+x22取到最大值，这最大值为18.25．【1981高中数学联赛（第01试）】对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的( )A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】CD【解析】由题意得f(x)={x2+px+q(x⩾0)−x2+px+q(x<0)f(x)={(x+p2)2+4q−p24(x⩾0)−(x−p2)2+4q+p24(x<0)由此可得p取不同值时，函数的大致图像:其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2－4q≥0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p<0，q>0的图像可见选项D也不成立优质模拟题强化训练1．方程组{y=e|x|−e||x|−|y||=1的解的组数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图，分别画出y=e|x|−e与||x|−|y||=1的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.2．已知abc<0，则在下图的四个选项中，表示y=ax2+bx+c的图像只可能是（）。

历年全国高中数学联赛(1981-2019)试题分类汇编： 12不定方程

历年全国高中数学联赛(1981-2019)试题分类汇编： 12不定方程

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编不定方程部分2011B 一、（本题满分40分）求所有三元整数组(,,)x y z ，使其满足333320111515x y z xyz x y ⎧++-=⎪≥⎨⎪≥⎩★解析：由20113333=-++xyz z y x ，得()()()()[]4022222=-+-+-++x z z y y x z y x ①因220114022⨯=，且()()()0222≡-+-+-x z z y y x ()2m od ，所以①等价于()()()⎩⎨⎧=-+-+-=++40221222x z z y y x z y x ②或()()()⎩⎨⎧=-+-+-=++22011222x z z y y x z y x ③ 对方程组②，消去z 得()()()40221212222=-++-++-y x y x y x ，即67022=--++y x xy y x ④⑴若15=x ，15=y ，则67064522<=--++y x xy y x 与④矛盾；⑵若16≥x ，15≥y ，则670690434256))(1(2>=+≥+-+y x y x 与④矛盾；⑶若15≥x ，16≥y ，则670690434256))(1(2>=+≥+-+y x x y 与④矛盾；综上方程组②无解；对方程组③，由()()()2222=-+-+-x z z y y x 可得y x -，z y -，x z -中有两个为1，一个为0。

⑴若1=-y x ，1=-z y ，0=-x z ，则z x y ==+1或z x y ==-1，z x y ==+1代入③的第一个方程，无解；z x y ==-1代入③的第一个方程，解得671=y ，670==z x ⑵若1=-y x ，0=-z y ，1=-x z ，同理可得671=x ，670==z y ⑶若0=-y x ，1=-z y ，1=-x z ，同理可得671=z ，670==y x综上，满足条件的三元数组为()670,670,671，()670,671,670，()671,670,6702010AB 8、方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解),,(z y x 的个数是 ◆答案： 336675★解析：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C . 把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 所以110033*********-⨯-⨯=k 200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.2010B 二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：11111112(1)().1m m n m mm k k jj m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ ★证明：1111)m m jj m j q Cq +++=+=∑由（得到1110(1),mm m j jm j q qC q +++=+-=∑ 1,2,,q n =分别将代入上式得：11021,m m jm j C ++=-=∑1110322,mm m j jm j C +++=-=∑1110(1)(1),mm m j jm j nn C n +++=--=-∑ 1110(1).mm m j j m j n nC n +++=+-=∑ n 将上面个等式两边分别相加得到： 111(1)1(),mnm jjm j i n Ci++==+-=∑∑ （20分）11111(1)(1)1(1),m nnmj j m m j i i n nn C i m i-+===++-=+++∑∑∑（）11111112(1)().1m m nmmmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ （40分）2008A B5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4◆答案： B★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩， 若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②式代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③由①式得1x y=-，代入③式化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①式得1x =-，由②式得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 二、（本题满分50分）求满足下列关系式组2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．★解析：令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=． （1）因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >．设0p z x =->．因此（1）化为22220zp p zr r -+++=．（2） 下分r 为奇偶讨论，（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数．令121r r =+，121p p =+，代入（2）得221111112()10p p zp zr r r +-++++=． （3）（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解．（ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得2211110p zp zr r -++=． （4）由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r >，从而可设11p r a =+，则（4）可化为2211()0r a za r +-+=，2211220r ar za a +-+=． （5）因21122r z r a a=++为整数，故212a r ，又1122()z z x p r a >-==+，因此22111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <，即a <．因此，对给定的11,2,,25r =⋅⋅⋅，解的个数恰是满足条件1a 的212r 的正因数a 的个数1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即211()(2)/2N r r σ=．由题设条件，1125r ≤≤．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：012341{2,2,2,2,2}A =，2{23,25,27,211}A =⨯⨯⨯⨯，223{23,25}A =⨯⨯，34{23}A =⨯，25{23}A =⨯，1{3,5,7,11,13,17,19,23}B =， 222{3,5}B =，3{35,37}B =⨯⨯，从而易知012341()(2)(2)(2)(2)(2)1234515N A N N N N N =++++=++++=，2()(23)46424N A N =⨯⨯=⨯=，3()9218N A =⨯=，4()12N A =，5()10N A =，1()3824N B =⨯=，2()5210N B =⨯=，3()9218N B =⨯=，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．2006*11、方程()()20052004422006200611x x x x x=+++++ 的实数解的个数为 ◆答案：1 ★解析：200520044220062006)1)(1(x x x x x=+++++24200420051()(1)2006x x x x x⇔+++++= 35200520052003200111112006x x x x x x xx⇔+++++++++= 32005320051112006210032006x x x x x x⇔=++++++≥=要使等号成立，必须 3200532005111,,,x x xx x x===，即1x =±。

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(8)解析几何(含答案)

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(8)解析几何(含答案)


b
0 ），则 2a
4, a
a2 b2 2
3 ，可
知 a 2,b 1 ， EF 2 3 ,所以 PE PF 4 ，又 PE PF 2 ，
所以 PE 2 PF 2 PE PF 2 2 PE PF 12 EF 2 ，即 EPF 为直角，进而
PEF 得面积为 1 PE PF 1。 2
AF 3 , BF 2 ，求 AB 的所有可能的值。
★解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ），并记
c a2 b2 ．由对称性，可设 F 为 的右焦点．知 F 到椭圆 的左顶点的距离为 a c ， 到椭圆 的右顶点的距离为 a c ，到上下顶点的距离均为 a ， ⑴A,B 分别为左、右顶点．此时 a c 3, a c 2 ，故 AB 2a 5 ；
圆
:
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）的左、右顶点与上、下顶点．设 P,Q 是椭圆上且位于第一
象限的两点，满足 OQ // AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭圆交于点 R .
证明：线段 OQ, OR, BC 能构成一个直角三角形。
★证明:设点 P 的坐标为 x0 , y0 ，由于 OQ // AP ，则 AP OP OA ，
综上 AB 的所有可能的值为 5, 7, 17 。
2018A 4、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的左右焦点分别是
F1, F2 ， 椭 圆 C 的 弦 ST 与 UV 分 别 平 行 于 x 轴 和 y 轴 ， 且 相 交 于 点 P ， 已 知 线 段 PU , PS, PV , PT 的长分别为1,2,3,6 ，则 PF1F2 的面积为
1981年全国高中数学联赛试题及解答

1981年全国高中数学联赛试题及解答

又证：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CM－OM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2．
∴4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)≥2(PC∙QE+PD∙QF)．等号当且仅当PC=QE，PD=QF时成立．但由已知，此二式不成立．故证．
4．(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完．
条件乙：sin +cos =a．
A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件
C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件
⑶设α≠ (k≠0，±1，±2，……)，
T= ．
A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负
⑷下面四个图形中，哪一个面积大？
A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC=
PC∙QE+PD∙QF<2．
4．(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完．
A．－t2+t+ B．－2t2+2tC.1－ t2D. (t－2)2