新人教版高一数学函数与方程练习题

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。

第二章一元二次函数、方程和不等式综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(2023·江苏扬州·高一统考阶段练习)使“2560x x +-<”成立的一个充分不必要条件是()A ．51x -<<B ．52x -<<C ．71x -<<D ．72x -<<【答案】A【解析】由2560x x +-<，即()()610x x +-<，解得61x -<<，因为()5,1-真包含于()6,1-，所以51x -<<是2560x x +-<成立的一个充分不必要条件.故选：A2．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)2241x x ++的最小值等于()A ．3B ．52C ．2D ．无最小值【答案】A【解析】因为20x ≥，则211x +≥，所以()222244113111x x x x +=+-≥-=+++，当且仅当22411x x =++，即21x =，1x =±时取等号，所以2241x x ++的最小值等于3.故选：A3．(2023·高一校考课时练习)已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是()A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】C【解析】0,0,2a b a b >>+= ，12a b+∴=，14142a b y a b a b +⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭52559222222b a a b =++≥+=+=(当且仅当423b a ==时等号成立)，故选：C4．(2023·高一课时练习)若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<，则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集是()A ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<可得1,2-是20ax bx c ++=的两个根，且0,a <所以2,1b ca a-==-，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a++<，即2210x x --+<，解得1x <-或12x >.故选：C5．(2023·高一课时练习)二次函数y =a x 2+bx +c 的图象如图所示，则下列判断中错误的是()A ．图象的对称轴是直线x =1B ．一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根是－1，3C ．当x >1时，y 随x 的增大而减小D ．当-1<x <3时，y <0【答案】D【解析】由图象知函数图象与x 轴的两个交点的横坐标分别是1-和3，因此B 正确；又1312-+=，因此A 正确；1x >时，图象向右下，，y 随x 的增大而减小，C 正确；在13x -<<时，图象在x 轴上方，0y >，D 错误．故选：D ．6．(2023·高一单元测试)若不等式210x ax ++≥对于一切x ∈R 恒成立，则a 的最小值是()A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】B【解析】因为二次函数21y x ax =++的图象开口向上，依题知0∆≤，所以240a -≤，则22a -≤≤，所以a 的最小值是2-，故选：B.7．(2023·高一课时练习)若,R a b +∈，则在①2b a a b +≥，②114a b a b +≤+，③22b a a b a b +≥+，2a b+≥，这四个不等式中，不正确的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】因为,R a b +∈，对于①中，由2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，所以①正确；对于②中，由11()()2224b a a b a b a b ++=++≥+，当且仅当a b =时，等号成立，所以114a b a b+≥+，所以②不正确；对于③中，由不等式33222()()0a b a b ab a b a b +--=+-≥，可得3322a b a b ab +≥+，两边同除ab ，可得22b a a b a b+≥+成立，所以③成立；对于④，由222222222222()a b a b a b a b ab a b +=+++≥++=+，可得222()2a b a b ++≥，即222()24a b a b ++≥2a b+≥成立，所以④正确.故选：B.8．(2023·江苏扬州·高一统考阶段练习)已知1,02x y >->，若12x y +=，则1221x y ++的最小值是()A ．7B ．9C ．72D ．92【答案】D【解析】因为1,02x y >->，12x y +=，则(21)22x y ++=，所以[]1214114(21)2212122212x y x y x y x y ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭124(21)52212y x x y ⎡⎤+=++⎢⎥+⎣⎦19522⎡≥+=⎢⎣，当且仅当24(21)212y x x y +=+，即12,63x y =-=时取等号，所以1221x y ++的最小值是92.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（ ） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9， 若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<， 即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞； 同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=， 所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥， 当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”， 此时实数91324m =>符合条件， 故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

课时评价作业基础达标练1.（2021安徽合肥高一期末）函数f(x)=lg|x| 的零点是( ) A.(1,0)B.(1,0)和(-1,0) C.1D.1和-1 答案： D2.已知函数f(x)={ln(x −1),x >1,2x−1−1,x ≤1, 则f(x) 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案： C3.（2021广东广州高一期末）函数f(x)=(x 2−1)√x 2−4 的零点个数是( ) A.1B.2C.3D.4 答案： B4.（多选）下列关于方程x 3+x 2−2x −1=0 的说法正确的是( ) A.在(-2,-1)内有根 B.在(-1,0)，0)内有根 C.在(1,2)内有根D.在(−∞,+∞) 内没有实数根 答案： A ; B ; C解析：设f(x)=x 3+x 2−2x −1 .分别计算f(−2),f(−1),f(0),f(1),f(2) 的值，再根据函数零点存在定理判断.5.已知0＜a ＜1 ，则函数y =a |x|−|log a x| 的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案： B解析：函数y =a |x|−|log a x|(0＜a ＜1) 的零点的个数即方程a |x|=|log a x|(0＜a ＜1) 的解的个数，也就是函数f(x)=a |x|(0＜a ＜1) 与g(x)=|log a x|(0＜a ＜1) 的图象的交点的个数.画出函数f(x)=a |x|(0＜a ＜1) 与g(x)=|log a x|(0＜a ＜1) 的图象（如图所示），观察得出结论.6.已知函数则函数f(x)={2x −1,x ≤1,log 12x +2,x >1, 则函数f(x) 的零点为 .答案： 0或47.若abc ≠0 且b 2=ac ，则函数f(x)=ax 2+bx +c 的零点个数是 . 答案： 08.已知y =x(x −1)(x +1) 的图象如图所示.令f(x)=x(x −1)⋅(x +1)+0.01 ，则下列关于f(x)=0 的叙述正确的是 （填序号）.①有三个实根；②当x ＞1 时恰有一个实根； ③当0＜x ＜1 时恰有一个实根； ④当−1＜x ＜0 时恰有一个实根； ⑤当x ＜−1 时恰有一个实根． 答案： ①⑤解析： f(x) 的图象是将函数y =x(x −1)⋅(x +1) 的图象向上平移0.01个单位长度得到的，故f(x) 的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(−∞,−1),(0,12) 和(12,1) 内，故只有①⑤正确.9.判断下列函数的零点个数： （1）f(x)=x 3−3x 2−2x +6 ； （2）f(x)=2x +lg(x +1)−2 .答案： （1）f(x)=x 3−3x 2−2x +6=x 2(x −3)−2(x −3)=(x 2−2)(x −3) ，令f(x)=0 ，则x =±√2 或x =3 ，所以函数有三个零点.（2）令ℎ(x)=2−2x ,g(x)=lg(x +1) ，在同一平面直角坐标系中作出ℎ(x)=2−2x 和g(x)=lg(x +1) 的图象.由图可知，g(x)=lg(x +1) 的图象和ℎ(x)=2−2x 的图象有且只有一个交点，即f(x)=2x +lg(x +1)−2 有且只有一个零点.10.关于x 的方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0 有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.答案： 令f(x)=mx 2+2(m +3)x +2m +14 ，依题意得{m ＞0,f(4)＜0 或{m ＜0,f(4)＞0,即{m ＞0,26m +38＜0 或{m ＜0,26m +38＞0, 解得−1913＜m ＜0 ，所以m 的取值范围是(−1913,0) .素养提升练11.（2020山西忻州一中高一期中）已知函数f(x)={log 2(1−x),x ≤0,−x 2+4x,x ＞0, 则函数g(x)=f[f(x)]−1 的零点个数为( ) A.4B.7C.8D.9 答案： B解析：令g(x)=0,f(x)=t ，则f(t)=1 ， 当t ≤0 时，log 2(1−t)=1 ，解得t =−1 ; 当t ＞0 时，−t 2+4t =1 ，解得t =2±√3 . 故f(x)=−1 或f(x)=2+√3 或f(x)=2−√3 . 当x ≤0 时，令log 2(1−x)=−1 ，解得x =12 ，舍去； 令log 2(1−x)=2+√3 ，解得x =1−22+√3 ； 令log 2(1−x)=2−√3 ，解得x =1−22−√3 .当x ＞0 时，令−x 2+4x =−1 ，解得x =2+√5 ，x =2−√5 （舍去）； 令−x 2+4x =2+√3 ，整理得x 2−4x +2+√3=0 ， 解得x =2+√6−√22或x =2−√6−√22；令−x 2+4x =2−√3 ，整理得x 2−4x +2−√3=0 ，解得x =2+√2+√62或x =2−√2+√62.综上所述，函数零点有1−22+√3,1−22−√3,2+√5,2±√6−√22,2±√2+√62，共7个.故选B.12.已知函数f(x)={−x 2+1,x ≤0,|x −2|,x ＞0, 若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0 有且只有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 . 答案： (−∞,0)∪[2,+∞) 解析： 由题意可知，f(x)={−x 2+1,x ≤0,|x −2|,x ＞0={−x 2+1,x ≤0,−(x −2),0＜x ＜2x −2,x ≥2.，函数f(x) 的大致图象如图：∵ 关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0 有且只有3个不同的实数根， ∴f(x)⋅(f(x)−a)=0 有且只有3个不同的实数根， 即f(x)=0 与f(x)=a 一共有3个不同的实数根，∵ 当f(x)=0 时，有x =−1 与x =2 两个实数根，∴f(x)=a 有且只有1个实数根， ∴a ＜0 或a ≥2 .∴ 实数a 的取值范围是(−∞,0)∪[2,+∞) .13.已知二次函数f(x) 满足f(0)=3,f(x +1)=f(x)+2x . （1）求函数f(x) 的解析式；（2）令g(x)=f(|x|)+m(m ∈R) ，若函数g(x) 有4个零点，求实数m 的取值范围. 答案： （1）设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0) ，∵f(0)=3,∴c =3,∴f(x)=ax 2+bx +3 ，∴f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+3=ax 2+(2a +b)x +a +b +3 ， f(x)+2x =ax 2+(b +2)x +3 ， ∵f(x +1)=f(x)+2x ，∴{2a +b =b +2,a +b +3=3, 解得a =1,b =−1 ， ∴f(x)=x 2−x +3 .（2）由（1）得g(x)=x 2−|x|+3+m ，在平面直角坐标系中画出函数g(x) 的图象，如图所示，由于函数g(x) 有4个零点，故函数g(x) 的图象与x 轴有4个交点. 由图象得{3+m ＞0,114+m ＜0, 解得−3＜m ＜−114 ，即实数m 的取值范围是(−3,−114) .创新拓展练14.（多选）对于函数f(x) 和g(x) ，设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0} ，若存在α,β 使得|α−β|≤1 ，则称f(x) 与g(x) 互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=e x−1+x −2 与g(x)=x 2−ax −a +3 互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值可以是( )A.2B.73C.3D.4答案：A; B; C解析：易知函数f(x)=e x−1+x−2是R上的增函数，且f(1)=0，则α=1，结合“零点相邻函数”的定义可得|1−β|≤1，则0≤β≤2，故函数g(x)=x2−ax−a+3在区间[0,2]上存在零点，即方程x2−ax−a+3=0在区间[0,2]上存在实数根，整理可得a=x 2+3x+1=x2+2x+1−2x−2+4x+1=(x+1)+4x+1−2，令ℎ(x)=(x+1)+4x+1−2，根据对勾函数的性质知函数ℎ(x)在区间[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，又ℎ(0)=3，ℎ(2)=73，ℎ(1)=2，则函数ℎ(x)的值域为[2,3].故实数a的取值范围是[2,3]，故选ABC.。