半角旋转模型
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半角旋转模型Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明..小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45°，连结EF ，求证：DE +BF =EF ．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ．请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，若∠BAE =45°，DE =4，则BE = ．（2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B 是x动点，且点A （3 ，2），连结AB 和AO ，并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若C （x ，y ），试用含x 的代数式表示yCD O A B图4xy F E D A B C B E D A G F E D A B C C图1图2图3C D A O B x y 图4则y= ．已知：正方形ABCD中，45∠=，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DCMAN（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当MAN∠+=．当MAN=时，有BM DN MN∠绕点A旋转到BM DN绕点A旋转到BM DN≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN，和MN之间有怎样的等∠绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN量关系请写出你的猜想，并证明．24．如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．海淀25．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l上，2DE =， 1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．图1 图2 图3解答问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AM DM 的值为 ； ②在平移过程中，AM DM的值为 （用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算AM DM的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AM DM的值（用含k 的代数式表示）． 昌平22. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且PA =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．PB A AP P 'D P A CB A B CD P FE 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =PB =1，PD ，则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =2，PB =1，PF 13则∠APB 的度数等于 ，正六边形的边长为 ．通州24.（9分）在平面直角坐标系xOy 中，点B (0，3)，点C 是x 轴正半轴上一点，连结BC ，过点C 作直线CP ∥y 轴.（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O 重合，直角顶点D 在线段BC 上，另一个顶点E 在CP 上．求点C 的坐标；（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O 重合，直角顶点D 在线段BC 上，另一个顶点E 在CP 上，求点C 的坐标． (西城19)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标；（2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积． 东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系写出你的猜想，并给予证明.昌平24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．朝阳24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EB DC的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC，求k 的值． 备用图备用图第24题图x y B O OB y x y x E P DC B O西城24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______，△PMN 周长的最小值为_______； (2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而PA =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积；(3) 若PA =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数． 门头沟24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ．（1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE ＝27，求sin ∠ACP 的值．顺义24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =； （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EF EG的值． 朝阳22．阅读下列材料： 图2D E B A 图1 G F D E B A A B C D E F M M F ED CB A A BCD EF M 图1 图2 图3小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o ，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA +PB +PC 的最小值段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o ，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA +PB +PC 的最小值为 ；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o ，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．丰台24．在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转．（1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC =， 求OE OF的值． 朝阳期末25已知：在ABC ∆中︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，BE EF ⊥交AB 于点F 。
