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半角模型（八上人教版）知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。
学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．已知如图：1. 12=AOB 2∠∠ 2. OA OB =。
连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一 90度夹45度例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （2）∠AEB =∠AEF ．例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45∠=︒．EAF（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．例3. 如图，正方形ABCD中，1AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ∆的边长．∆，求APQ例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，AB AD=，90∠=∠=︒．B D①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD∠=∠，求证：EF BE DF=+；②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．例7. 已知在正方形ABCD中，45∠绕点A顺时针旋转．∠=︒，EAFEAF（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当EAF∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，求证：EF DF BE =−．（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90∠=︒，且EF交正AEF方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．题型二120度夹60度例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC∠=︒，M，N分BDC=，120别是AB，AC上的点，且60∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的∠=︒，当MDNMDN关系是否发生变化？请简述理由．例3. 如图，等边ABCMDN∠=︒，其∠=︒，现有60∆的边长为2，且DB DCBDC=，120两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．例4. 如图①，ABC∠=︒的等腰三角形，以D为BDC∆是顶角120∆是等边三角形，BDC顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形∠=︒，BD DCBDC=，探究：当M、N分别在直线MDNABC外一点，且60∠=︒，120AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN=时，BM、NC、MN之间的数量关系；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）题型三2α夹α例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且3BE =，4DF =，12EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．例5. 问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。
倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.【解答】见解析【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.则∠ACE＝∠A，AE＝CE，∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE. 由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则.。
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。
专题04 半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为4．【答案】4【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案为：4．【变式训练1】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，∵45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，∵GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，∵90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM BG GM -=，BG DN =，∵BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，∵MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，∵90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，∵6CN =，8MC =，∵1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，∵DC BC =，∵48x x +=-，解得：2x =，∵6AB BC CD CN ====，∵//AB CD ，∵BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===， ∵CP 的长为3．【变式训练2】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠MAN ＝∠BAD ．（1）如图1，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】见解析 【详解】解：（1）证明：延长MB 到G ，使BG ＝DN ，连接AG ．∵∵ABG ＝∵ABC ＝∵ADC ＝90°，AB ＝AD ，∵∵ABG ∵∵ADN ．∵AG ＝AN ，BG ＝DN ，∵1＝∵4．∵∵1+∵2＝∵4+∵2＝∵MAN ＝∵BAD ．∵∵GAM ＝∵MAN ．又AM＝AM，∵∵AMG∵∵AMN．∵MG＝MN．∵MG＝BM+BG．∵MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．∵∵ABC＝∵ADC＝90°，AD＝AB，∵∵ADN∵∵ABG，∵AN＝AG，∵NAD＝∵GAB，∵∵MAN＝∵NAD+∵BAM＝∵DAB，∵∵MAG＝∵BAD，∵∵MAN＝∵MAG，∵∵MAN∵∵MAG，∵MN＝MG，∵MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．模型二、等腰直角三角形角含半角模型如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.例.如图，已知∵ABC中，∵BAC=90°，AB=AC,D,E是B C边上的点，将∵ABD绕点A旋转，得到∵AC D′，当∵DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【答案】见解析【详解】解析：因为∵ABD绕点A旋转，得到△ACD′∵AD=AD′，∵DAD’=∵BAC=90°∵∵DAE=45°，∵∵EAD’=∵DAD’-∵DAE=45°∵在∵AED和∵AED′中，AE=AE，∵EAD=∵AED’，AD=AD’∵∵AED∵∵AED’，∵DE=D’E由（1）得∵AED∵∵AED’，ED=ED’在∵ABC中，AB=AC,∵BAC=90°，∵∵B=∵ACB=45°∵∵ABD绕点A旋转，得到∵ACD’，∵BD=CD’,∵B=∵ACD’=45°∵∵BCD’=∵ACB+∵ACD’=45°+45°=90°【变式训练1】在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）见解析；（2）AF－EF＝CE.【解析】（1）连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；（2）AF－EF＝CE.【变式训练2】如图所示，等腰直角∵ABC 中，∵ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点（E 左F 右），且∵ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=．【答案】见解析【详解】解：222AE BF EF +=，理由如下：如图，将∵BCF 绕点C 旋转得∵ACF ′，使∵BCF 的BC 与AC 边重合，即∵ACF ′∵∵BCF ，∵在∵ABC 中，∵ACB ＝90°，AC ＝BC ，∵∵CAF ′＝∵B ＝45°，∵∵EAF ′＝90°，∵∵ECF ＝45°，∵∵ACE ＋∵BCF ＝45°，∵∵ACF ′＝∵BCF ，∵∵ECF ′＝45°，在∵ECF 和∵ECF ′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪∠=∠='︒⎨='⎪⎩∵∵ECF ∵∵ECF ′（SAS ），∵EF ＝EF ′，在Rt ∵AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∵222AE BF EF +=．【变式训练3】如图，∵ABC 是边长为3的等边三角形，∵BDC 是等腰三角形，∵BDC ＝120º，以D 为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，则∵AMN 的周长是多少？【答案】6【详解】∵∵BDC 是等腰三角形，且∵BDC ＝120º，∵∵BCD ＝∵DBC ＝30º，∵∵ABC 是边长为3的等边三角形，∵∵ABC ＝∵BAC ＝∵BCA ＝60º，∵DBA ＝∵DCA ＝90º，如图，延长AB 至点F ，使BF ＝CN.连接DF，在∵BDF与∵CND中，∵∵BDF＝∵CDN，DF＝DN，∵∵MDN＝60º，∵∵BDM＋∵CDN＝60º，∵∵BDM＋∵BDF＝60º，在∵DMN与∵DMF中，∵MN＝MF，∵∵AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.模型三、二倍角模型（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例.已知及的值（利用倍半角模型解题）.，.【解析】由图1，由图2可得.【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90º，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90º，∴∠EAF＋∠AEB＝90º，∠EAF＋∠BAF＝90º，∴∠AEB＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，∵点E是边AD的中点，∴点F是CD边上的中点；（2）延长AD至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示：∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，∵∠GDF＝∠C＝90º，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴点B、F、G共线，∵点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，AD＝CD，∴AE＝CF，∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90º，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE.【变式训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD 翻折得到△AED，连接CE，求线段CE的长.【解析】如图，连接BE交AD于点O，作AH⊥BC于点H.在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE.课后训练1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.【答案】见解析【解析】证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：由题意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，∵CM＝DM，∴HG＝AH，即点H是AG的中点，∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.2.在△ABC中，∠C＝90º，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2BP与AB、AC.的半径为1【解析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，延长CA至点F，使得AF＝AB＝10，连接OA、BF，如图所示：由题意可得OD＝OE，AO平分∠EAO，∠F＝BAC，∴tan∠EAO＝tan∠F＝，设的半径为，由BC＝PC＝6，∴△PBC为等腰直角三角形，∴EP＝OE＝，EA＝＋2，，解得1.3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.【答案】见解析【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.4.已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN【解析】（1）猜想：BM＋DN＝MN.证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90º，得到△ABE，则E、B、M共线，∴∠EAM＝90º－∠NAM＝90º－45º＝45º，∵∠NAM＝45º，在△AEM与△ANM中，∴ME＝MN，∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN.证明：在线段DN上截取DQ＝BM，如图所示.在△ADQ与△ABM中，，∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，在△AMN与△AQN中，∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1），且，∴，，∴OA ＝OB ＝OC ＝4，∵∠AOB ＝∠BOC ＝90º，∴∠BCA ＝∠CBO ＝∠OBA ＝∠BAC ＝45º，∴BA ＝BC 且∠CBA ＝90º，即△ABC 是等腰直角三角形；（2）猜想：.∵OA ＝OB ＝4，∴∠AOB ＝90º，如图，将△BOM 绕点O 顺时针旋转90º得到△AOD ， ∴AD ＝BM ，DO ＝MO ，∠OAD ＝∠OBM ＝45º，且∠DOM ＝∠AOB ＝90º，∴∠AOD ＝∠BOM ， ∵∠MON ＝45º，∠AOB ＝90º，∴∠BOM ＋∠AON ＝45º，∴∠AOD ＋∠AON ＝45º，即∠DON ＝∠MON ＝45º，∴△DON ≌△MON ，∴DN ＝MN ，∵∠OAD ＝∠OBM ＝∠BAO ＝45º，即∠NAD ＝90º，.6.已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．【答案】（1）AB AH =；（2）AB AH =成立，理由见解析；（3）AH =【详解】解：（1）∵正方形ABCD ，∵AB ＝AD ，∵B ＝∵D ＝∵BAD ＝90°，在Rt ∵ABM 和Rt ∵ADN 中，AB AD B D BM DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵Rt ∵ABM ∵Rt ∵ADN （SAS ），∵∵BAM ＝∵DAN ，AM ＝AN ， ∵∵MAN ＝45°，∵∵BAM ＋∵DAN ＝45°，∵∵BAM ＝∵DAN ＝22.5°，∵∵MAN ＝45°，AM ＝AN ，AH ∵MN ，∵∵MAH ＝∵NAH ＝22.5°，∵∵BAM ＝∵MAH ，在Rt ∵ABM 和Rt ∵AHM 中，BAM MAH B AHM AM AM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵Rt ∵ABM ∵Rt ∵AHM （AAS ），∵AB ＝AH ，故答案为：AB ＝AH ；（2）AB ＝AH 成立，理由如下：延长CB 至E ，使BE ＝DN ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB ＝AD ，∵D ＝∵ABE ＝90°，在Rt ∵AEB 和Rt ∵AND 中，AB AD ABE D BE DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∵Rt ∵AEB ∵Rt ∵AND （SAS ），∵AE ＝AN ，∵EAB ＝∵NAD ，∵∵DAN ＋∵BAM ＝45°，∵∵EAB ＋∵BAM ＝45°，∵∵EAM ＝45°，∵∵EAM ＝∵NAM ＝45°，在∵AEM 和∵ANM 中，AE AN EAM MAN AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵AEM ∵∵ANM （SAS ），∵AB ，AH 是∵AEM 和∵ANM 对应边上的高，∵AB ＝AH ．（3）分别沿AM ，AN 翻折∵AMH 和∵ANH ，得到∵ABM 和∵AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，如图：∵沿AM ，AN 翻折∵AMH 和∵ANH ，得到∵ABM 和∵AND ，∵AB ＝AH ＝AD ，∵BAD ＝2∵MAN ＝90°，∵B ＝∵AHM ＝90°＝∵AHN ＝∵D ， ∵四边形ABCD 是正方形，∵AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD ．由折叠可得BM ＝MH ＝3，NH ＝DN ＝7，设AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝x ，在Rt ∵MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2＋NC 2，∵()()()2227+3=37x x -+-，解得5x =5x =，∵AH =。
初中数学经典几何模型专题07 半角模型在三角形中应用【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
【知识总结】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
解题技巧：在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN，∠AMB=∠AMN，AB=AH△CMN的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DF E.3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.点H，则AH＝AB.5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º.点M、N，则7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△A FE.8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N点M、N，则.10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则点M、N，则当BE＝DF时，EF.【基础训练】1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠P AQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC D′，当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC求证：BE=AE+CF4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______=_______如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;QL点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.【巩固提升】1、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．2、（1）问题发现如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是．（2）类比探究如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．3、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为．如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．6、已知，在R t△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．（1）如图1，求证：∠EBD＝90°（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．7、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．（1）如图1，求∠B的度数；（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．专题07 半角模型在三角形中应用答案【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①： （1）∠2=21∠AOB ；（2）OA=OB 。
如图②：连接 FB ，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型精练1．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD 中，∠B +∠ADC ＝180°，AB ＝AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，求证：EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，根据∠EAF =12∠BAD ，可知∠GAE ＝∠EAF ，可证明△AEG ≌△AEF ，EG ＝EF ，那么EF ＝GE ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ．【解析】证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． 在△ABG 和△ADF 中， {AB =AD∠B =∠ADF BG =DF， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE ＝∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， {AG =AF∠GAE =∠EAF AE =AE， ∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG ＝EF ，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N 分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．【点睛】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD ＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．【解析】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，∵△ABC 为等边三角形，∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ， ∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°， ∴OA ＝OC ，在△CDO 和△ANO 中， {OC =OA∠OCD =∠OAN CD =AN， ∴△CDO ≌△ANO （SAS ） ∴OD ＝ON ，∠COD ＝∠AON ， ∵∠MON ＝60°， ∴∠COD +∠AOM ＝60°， ∵∠AOC ＝120°， ∴∠DOM ＝60°， 在△DMO 和△NMO 中， {OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM， ∴△DMO ≌△NMO ， ∴DM ＝MN ，∴CM ＝CD +DM ＝AN +MN ； （2）补全图形如图2所示：CM ＝MN ﹣AN ，理由如下：在AC 延长线上截取CD ＝AN ，连接OD ， 在△CDO 和△ANO 中， {CD =AN∠OCD =∠OAN =150°OC =OA， ∴△CDO ≌△ANO （SAS ） ∴OD ＝ON ，∠COD ＝∠AON ， ∴∠DOM ＝∠NOM ， 在△DMO 和△NMO 中， {OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM， ∴△DMO ≌△NMO （SAS ） ∴MN ＝DM ，∴CM ＝DM ﹣CD ＝MN ﹣AN ．3．（2020•章丘区模拟）如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是射线CB 和射线DC 上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M 、N 分别在线段BC 、DC 上时，请直接写出线段BM 、MN 、DN 之间的数量关系； （2）如图2，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，若CN ＝CD ＝6，设BD 与AM 的延长线交于点P ，交AN 于Q ，直接写出AQ 、AP 的长．【点睛】（1）在MB 的延长线上，截取BE ＝DN ，连接AE ，则可证明△ABE ≌△ADN ，得到AE ＝AN ，进一步证明△AEM ≌△ANM ，得出ME ＝MN ，得出BM +DN ＝MN ；（2）在DC 上截取DF ＝BM ，连接AF ，可先证明△ABM ≌△ADF ，得出AM ＝AF ，进一步证明△MAN ≌△F AN ，可得到MN ＝NF ，从而可得到DN ﹣BM ＝MN ；（3）由已知得出DN ＝12，由勾股定理得出AN =√AD 2+DN 2=6√5，由平行线得出△ABQ ∽△NDQ ，得出BQ DQ=AQ NQ=AB DN=12，AQ AN=13，求出AQ ＝2√5；由（2）得出DN ﹣BM ＝MN ．设BM ＝x ，则MN＝12﹣x ，CM ＝6+x ，在Rt △CMN 中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM ＝2，由勾股定理得出AM =√AB 2+BM 2=2√10，由平行线得出△PBM ∽△PDA ，得出PM PA=BM DA=13，求出PM =12AM =√10，得出AP ＝AM +PM ＝3√10．【解析】解：（1）BM +DN ＝MN ，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，{AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，{AB=AD∠ABM=∠D BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠F AN＝45°，在△MAN和△F AN中，{AM=AF∠MAN=∠FAN AN=AN，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN=√AD2+DN2=√62+122=6√5，∵AB∥CD，∴△ABQ ∽△NDQ ，∴BQ DQ =AQ NQ =AB DN=612=12，∴AQ AN=13，∴AQ =13AN ＝2√5； 由（2）得：DN ﹣BM ＝MN ．设BM ＝x ，则MN ＝12﹣x ，CM ＝6+x ，在Rt △CMN 中，由勾股定理得：62+（6+x ）2＝（12﹣x ）2， 解得：x ＝2， ∴BM ＝2，∴AM =√AB 2+BM 2=√62+22=2√10， ∵BC ∥AD ， ∴△PBM ∽△PDA ，∴PM PA=BM DA=26=13，∴PM =12AM =√10， ∴AP ＝AM +PM ＝3√10．4．（2019•麒麟区模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【点睛】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．【解析】解：（1）如图①AH＝AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，{AB=AD∠ABE=∠ADN BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD．设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1＝6，x2＝﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH＝6．5．（2019秋•东台市期末）在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 BM +NC ＝MN ；此时Q L=23；（2）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，探索BM 、NC 、MN 之间的数量关系如何？并给出证明．【点睛】（1）由DM ＝DN ，∠MDN ＝60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD ＝BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM+NC＝MN，此时QL=23；（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN．【解析】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．此时QL=23．（2分）．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB ＝AM +BM ， ∴AM ：AB ＝2：3，∴Q L=23；（2）猜想：结论仍然成立． （3分）．证明：在NC 的延长线上截取CM 1＝BM ，连接DM 1．（4分） ∵∠MBD ＝∠M 1CD ＝90°，BD ＝CD ， ∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM ＝DM 1，∠MBD ＝∠M 1CD ，M 1C ＝BM ， ∵∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°， ∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°， ∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN ＝M 1N ＝M 1C +NC ＝BM +NC ，∴△AMN 的周长为：AM +MN +AN ＝AM +BM +CN +AN ＝AB +AC ，∴Q L=23；（3）证明：在CN 上截取CM 1＝BM ，连接DM 1．（4分） 可证△DBM ≌△DCM 1， ∴DM ＝DM 1，（5分）可证∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°， ∴△MDN ≌△M 1DN ， ∴MN ＝M 1N ，（7分）．∴NC﹣BM＝MN．（8分）．6．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE ＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【点睛】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE ≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD ＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．【解析】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．7．（2019•夏津县二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF 是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【点睛】（1）结论仍然成立．延长CB到G，使BG＝FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，而∠EAF=12∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE＝∠EAF，进一步得到∠EAF＝∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，如图在CB上截取BG＝FD，由于∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，可以得到∠B＝∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，而∠EAF=12∠BAD，所以得到∠EAF＝∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF＝EG＝EB﹣BG＝EB﹣DF．【解析】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．8．（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF＝45°，BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6＝0的两根，请直接写出EF的长；（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF=12∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长．①EF的长为：5；②数量关系：EF＝DF﹣BE．【点睛】（1）先证明△ABE≌△ADM，再证明△AEF≌△AMF，得到EF＝DF+BE即可；（2）先证明△ADM≌△ABE，再证明△EAF≌△MAF，即可；（3）直接计算△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．【解析】（1）解：如图1，延长CD使DM＝BE，连接AM；在△ABE和△ADM中，{AB=AD∠ABE=∠ADM=90°BE=DM∴△ABE≌△ADM，∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，∴∠BAF+∠DAM＝45°，即∠MAF＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AM，AF＝AF，∴△AEF≌△AMF，∴EF＝FM，∵FM＝DF+DM，∴EF＝DF+NB，即EF＝DF+BE；∵BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6＝0的两根，∴BE＝2，DF＝3，∴EF＝DF+BE＝3+2＝5，（2）证明：如图2，在DF上截取DM＝BE，∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，∴AD＝AB，∴△ADM≌△ABE，∴AM＝AE，∴∠DAM＝∠BAE；∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF＝∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠F AM=12∠BAD，∴∠MAF=12∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF；∵AF是△EAF与△MAF的公共边，∴△EAF≌△MAF，∴EF＝MF；∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE，∴EF＝DF﹣BE．（3）由上面的结论知：DF＝EF+BE；∵BC＝4，DC＝7，CF＝2，∴DF＝CD+CF＝9∴△CEF的周长＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．即△CEF的周长为15．①EF＝DF﹣BE＝FC+CD﹣BE＝5②和（2）方法一样，EF＝DF﹣BE．故答案为EF＝DF﹣BE．。
半角模型及拓展---参考答案与试题解析1．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）【解答】解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．2．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG：②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°．则正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，∵CD=3DE，∴DE=2，∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，∴AF=AB，∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．∴①正确；∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．设BG=x，则CG=BC﹣BG=6﹣x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．∵CG=6﹣x，CE=4，EG=x+2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．∴BG=GF=CG=3．∴②正确；∵CG=GF，∴∠CFG=∠FCG．∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，∴∠AGB=∠FCG．∴AG∥CF．∴③正确；∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴△DAE≌△FAE．∴∠DAE=∠FAE．∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG=∠FAG．∵∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°．∴④正确．3．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°．求证：以MN，BN，AM为边的三角形是直角三角形．【解答】证明：将△BCN绕点C逆时针旋转90°至△ACN′，点B与点A重合，点N落在N′处，连接MN′，则有AN′=BN，CN′=CN，∠1=∠3．∵∠MCN=45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠2+∠3=45°，∴∠MCN′=∠MCN．在△MCN与△MCN′中，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN=MN′．由旋转性质可知，∠CAN′=∠B=45°，∴∠MAN′=∠CAN′+∠CAB=90°，∴△AMN′为直角三角形．∵AN′=BN，MN′=MN，∴以MN，BN，AM为边的三角形是直角三角形．4．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．则△AMN的周长等于（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．故选：A．5．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为4+4 ．【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，∵∠BAC=∠D=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°﹣90°﹣90°=180°，∴∠ABD+∠ABE=180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC﹣∠MAN=90°﹣45°=45°，∴∠EAM=∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN=ME，∴MN=CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BD=4，CD=BD×tan∠CBD=4，∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=4+4，故答案为：4+4．BD=2CE，则DE的长为3﹣5 ．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，BF=EC设EC=x，则BF=x，BD=2x，DF=DE=x，∵BC=4，∴2x+x+x=4，x=3﹣，∴DE=x=（3﹣）=3﹣5，故答案为：3﹣5．BD=2CE，则DE的长为3﹣3 ．【解答】解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM ⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2，∴AN=AB=，BN==3，∴BC=6．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE．∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，∴设CE=2x，则CM=x，EM=x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM=x，∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（x）2，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴DE=6﹣6x=3﹣3．故答案为：3﹣3．（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，∴∠ECG=60°．∵CF=BD=2CE，∴CG=CE，∴△CEG为等边三角形，∴EG=CG=FG，∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，∴△CEF为直角三角形．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE．设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6﹣3x，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，EF==x，∴6﹣3x=x，x=3﹣，∴DE=x=3﹣3．故答案为：3﹣3．8．（1）探究：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系（不必证明）；（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠EAF=∠BAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何？请加以证明；（3）应用：在条件（2）中，若∠BAD=120°，AB=AD=1，BC=CD（如图3），求此时△CEF的周长．【解答】解：（1）EF=BE+DF．（2）EF=BE+DF．证明：延长CB至M，使BM=DF，∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∠1=∠D，又∵AB=AD，∴△ABM≌△ADF．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AME≌△AFE．∴EF=ME，即EF=BE+BM．∴EF=BE+DF．（3）连接AC，∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．∵∠B+∠D=180°，∴∠B=90°，∠BAC=∠BAD=60°．∴在Rt△ABC中，BC=ABtan60°=，由（2）得EF=BE+DF．∴△CEF的周长=CE+CF+EF=2BC=2．9．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【解答】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°﹣∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=135°﹣45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ，根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得,EC EB ，,AE AD ，从而求得AN AM +的长，根据材料可得MN DM BN =+，即可求解．【详解】解：如图，延长,AB DC 交于点E ，连接,CM CN ，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，30A ∴∠=︒，90E ∠=︒，100DC DM ==DCM ∴是等边三角形，60DCM ∴∠=︒,90BCM ∴∠=︒,在Rt BCE 中，100BC =，18030ECB BCD ∠=︒-∠=︒，1502EB BC ==，EC ==100DE DC EC ∴=+=+Rt ADE △中，2200AD DE ==+150AE ==，∴200100100AM AD DM =-=+=+()AN AB BN AE EB BN =-=--())15050501=--150=，100150250AM AN ∴+=+=+Rt CMB △中，BM =)50501EN EB BN EC =+=+==ECN ∴是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB ∴∠=∠-∠=∠-∠-∠=︒=∠由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+=，∴路线M N →的长比路线M A N →→的长少)250501200370+=+≈m ．答案：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把∠ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '． E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系． ADE ，证明∠AEF EAF ='E AF ∠先利用圆内接四边形的性质证明为等腰直角三角形，等量代换即得结论．AD 重合，点ADE=180°知，BAD，∠∠BAF=∠EAF=∠，∠EF=E F'∠ABE绕点【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明） ②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =求AF 的长．180ADF ADG ∴∠+∠=︒，F ∴，D ，G 三点共线，45EAF ∠=︒，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF =，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，EF DF BE ∴=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF =，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，EF FM DF DM DF BE ∴==-=-；②如图3，将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，AN AF ∴=，90NAF ∠=︒，45EAF ∠=︒，45NAE ∴∠=︒，NAE FAE ∴∠=∠，AE AE =，()AFE ANE SAS ∴∆≅∆，EF EN ∴=，BE BN NE DF EF ∴=+=+．正方形Rt EFC中，2CF CE+解得：2x=．2DF∴=，226AF AD DF=+=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH∠MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．又AH=AN，AB=AD，∠∠ABH∠∠ADN（SAS），∠DN=BH，∠ABH=∠ADN，∠∠B=60°，且∠EAF=60°．∠∠BAD=120°，∠∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°，∠∠BAG+∠BAE=∠EAF，即∠MAH=∠MAN，而AH=AN，AM=AM，∠∠AMH∠∠AMN（SAS），∠MN=MH，∠AMN=∠AMH，∠菱形ABCD，∠B=60°，∠∠ABD=∠ADB=30°，∠∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，∠∠DAF=15°，∠EAF=60°，∠∠ADM中，∠DAM=∠AMD=75°，∠∠AMN=∠AMH=75°，∠∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°，∠∠BHM=90°，∠BH2+MH2=BM2，∠DN2+MN2=BM2．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用探究的结论解决新的问题，属于中考压轴题．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE∠∠ADG，再证明△AEF∠∠AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．证得ABE ADG ≌，得出证得AEF AGF ≌，之间的数量关系；（2）同（1）②即可得出，证得ABD ACM ≌，同（证得AEF AGF ≌，在Rt ECM 中，由勾股定理可解得90BAD B D =∠=∠=︒，ABCD 是矩形，又∠AB AD ，∠矩形CD 至点G ，使得DG=BE 90ADG ADF =∠=︒，∠∠，∠ABE ADG ≌，DG ，BAE DAG ∠=∠BAD ∠，∠BAE DAF ∠+∠∠AEF AGF ≌，∠EF DG EF =∠BE FD +在ABC 中，B ACB ∠=∠∠ABD ACM ≌，同（1）②的证明方法得DE ME =， 2BD =，22+BC AB AC ==DE ME =x -，Rt ECM 中，2EM ，2(2)(32+【点睛】本题考查了特殊的平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定及勾股定理的应用，熟练应用相关定理和性质是解决本题的关键．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在∠ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．AB AD =∠ADC =∠B =90°∠则DAG ∠∠F AG =∠F AD理由：AB AD==∠BAE DAG∠=︒，BAD90∠+∠=ADC B在∠AFE和∠AFG∴=EF FG()3将∠ACE∠=BAC又∠∠F AB=∠则在∠ADF∠∠ADF∠∠∠∠C+∠ABD4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1），易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】(1)BM DN MN +=，理由见解析；(2)DN BMMN -=，理由见解析【分析】（1）把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∆，然后证明得到AEM ANM ∆∆≌，从而证得ME MN =，可得结论；（2）首先证明ADQ ABM ∆∆≌，得DQ BM =，再证明AMN AQN ∆∆≌，得MN QN =，可得结论； （1）解：BM DN MN +=．理由如下：如图2，把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∆，90ABE ADN ∴∠=∠=︒，AE AN =，BE DN =，180ABE ABC ∴∠+∠=︒，∴点E ，点B ，点C 三点共线，90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又45NAM ∠=︒，在AEM ∆与ANM ∆中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ANM ∴∆∆≌（SAS ），ME MN ∴=， ME BE BM DN BM =+=+，DN BM MN ∴+=；（2）解：DN BM MN -=．理由如下：在线段DN 上截取DQ BM =，在ADQ ∆与ABM ∆中，AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADQ ABM ∴∆∆≌（SAS ），DAQ BAM ∴∠=∠，QAN MAN ∴∠=∠．在AMN ∆和AQN ∆中，AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AMN AQN ∴∆∆≌（SAS ），MN QN ∴=，DN BM MN ∴-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN -=，见解析【分析】（1）把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，证得B 、E 、M 三点共线，即可得到AEM △∠ANM ，从而证得ME MN =；（2）证明方法与（1）类似；（3）在线段DN 上截取DQ BM =，判断出ADQ △∠ABM ，同（2）的方法，即可得出结论．（1）证明：如图1，∠把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，ABE ∴∠ADN △，AE ANM ∴=，ABE D ∠=∠，四边形ABCD 是正方形，90ABC D ∴∠=∠=︒，90ABE ABC ∴∠=∠=︒，∴点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又45NAM ∠=︒，在AEM △与ANM 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ∴△∠()ANM SAS ，ME MN ∴=，ME BE BM DN BM =+=+，DN BM MN ∴+=，BM DN =，2MN BM ∴=．（2）证明：如图2，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，ABE ∴∠ADN △，AE ANM ∴=，ABE D ∠=∠，四边形ABCD 是正方形，90ABC D ∴∠=∠=︒，90ABE ABC ∴∠=∠=︒，∴点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又45NAM ∠=︒，在AEM △与ANM 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ∴△∠()ANM SAS ，ME MN ∴=，ME BE BM DN BM =+=+，DN BM MN ∴+=． （3）解：DN BM MN -= 理由如下：如图3，在线段DN 上截取DQ BM =，连接AQ ，在ADQ △与ABM中，AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADQ ∴∠()ABM SAS ，DAQ BAM ∴∠=∠，QAN MAN ∴∠=∠．在AMN 和AQN △中，AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AMN ∴∠()AQN SAS ，MN QN ∴=，DN BM MN ∴-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF =BE +DF ，理由见解析；（2）EF =BE +DF ，理由见解析；（3）85海里【分析】（1）延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，可证得∠ABE ∠∠ADG ，可得到AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，再由100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，可证得∠AEF ∠∠AGF ，从而得到EF =FG ，即可求解；（2）延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，可证得∠ABE ∠∠ADH ，可得到AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，再由2BAD EAF ∠∠=，可证得∠AEF ∠∠AHF ，从而得到EF =FH ，即可求解；（3）连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意可得∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD =AC +BD ，即可求解．【详解】解：（1）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，∠90ABC ADC∠=∠=︒，∠∠ADG=∠ABC=90°，∠AB=AD，∠∠ABE∠∠ADG，∠AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠100BAD∠=︒，50EAF∠=︒，∠∠BAE+∠DAF=50°，∠∠F AG=∠EAF=50°，∠AF=AF，∠∠AEF∠∠AGF，∠EF=FG，∠FG=DG+DF，∠EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，∠180ABC ADC∠+∠=︒，∠ADC+∠ADH=180°，∠∠ADH=∠ABC，∠AB=AD，∠∠ABE∠∠ADH，∠AE=AH，∠BAE=∠DAH，∠2BAD EAF∠∠=∠∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∠∠EAF=∠HAF，∠AF=AF，∠∠AEF∠∠AHF，∠EF=FH，∠FH=DH+DF，∠EF=DH+DF=BE+DF；（3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，∠∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∠OA=OB，∠由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，∠AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∠CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小明发现，将∠ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到∠ACF ，联结EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△F AE ∠△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE （即DE ）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并说明理由． ）根据旋转的性质，可得ADB AFC ≌，勾股定理解按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，FG ＝DG ＋FD ＝BE ＋按逆时针方向旋转90º，得到∠ACF ∠ADB AFC ≌ACF ∴∠,90AB AC BAC ∠==45ACF ABD ∴∠=∠=在Rt FCE 中，BD 2EF CF ∴=+(2)猜想：EF =BE 如图，将∠ABE8．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【分析】（1）延长CB 到G 使BG DN=，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN ∠=∠，再根据45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=；（2）在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN ∠=∠，由此可得90GAN BAD ∠=∠=︒，再根据45MAN ∠=︒可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN -=；（3）在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，先证明ABM ADG ≌，再证明AMN AGN △≌△，设DG BM x ==，根据DC BC =可求得2x =，由此可得6AB BC CD CN ====，最后再证明ABP NCP △≌△，由此即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，∠45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∠BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，∠GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，∠90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∠BM BG GM -=，BG DN =，∠BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，∠MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，∠90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，∠6CN =，8MC =，∠1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-， ∠DC BC =，∠48x x +=-，解得：2x =，∠6AB BC CD CN ====，∠//AB CD ，∠BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM∠EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；∠BAD，（3）如图2，将Rt∠ABC沿斜边AC翻折得到Rt∠ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12连接EF，过点A作AM∠EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP （0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD∠CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)作图见解析．(2)结论：AD+BE=DE．证明见解析．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE=DE．延长DA至F，使DF=DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．（1）解：如图所示：（2）结论：AD+BE=DE．理由：延长DA至F，使DF=DE，连接CF．∠AD∠CP，DF=DE，∠CE=CF，∠∠DCF=∠DCE=45°，∠∠ACB=90°，∠∠ACD+∠ECB=45°，∠∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°，∠∠FCA=∠ECB，在∠ACF和∠BCE中，CA CB ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACF ∠∠BCE （SAS ），∠AF =BE ，∠AD +BE =DE ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
专题15半角模型证全等1．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠C在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝，CF＝，∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∴AE＝CF＝，∴AE+CF＝EF；（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∵∠A＝∠BCF＝90°，∴∠BCG+∠BCF＝180°，∴点G、C、F三点共线，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝60°，在△GBF与△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴FG＝EF，∴EF＝AE+CF；（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴AE＝CG，由（2）同理得，点C、F、G三点共线，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，∵∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，在△BFG与△BFE中，，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF＝EF，∴EF＝AE﹣CF．3．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 2＜AE＜8 ；则中线AD的取值范围是 1＜AD ＜4 ；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF ＞ EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF ＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF ＝ EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝ 2a （用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，∵点D是BC的中点，∴DB＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵ED⊥FD，FD＝GD，∴EF＝EG，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF，故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF，如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D，又∵CB＝CD，BG＝DF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF+∠BCE＝70°，∴∠BCE+∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+BG＝EG，∴BE+DF＝EF，故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，故答案为：2α．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF＝BE+DF ．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A 沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝20°+90°+（90°﹣60°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣20°）+（60°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝583米．6．阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC 上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．请回答：在图2中，∠FCE的度数是 90° ，DE的长为 ．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．【解答】解：如图2，∵∠ACF＝∠B＝45°，∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1，∴EF＝＝＝，∴DE＝，故答案为90°；；如图3，猜想：EF＝BE+FD．理由如下：如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上，∵∠DAG＝∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+FD＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．7．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝45°．猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： EF＝BE+FD ．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．故答案为：EF＝BE+FD；（2）结论成立，应为EF＝BE+DF，在CD的延长线上截取DG＝BE，（如图）∵BE＝DG，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AFG（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG＝EB+DF．8．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 EF＝BE+FD ．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，∴EF2＝BE2+CF2；（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．【解答】解：延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，∵EF＝BE+FD，∴EF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠FAG＝55°，∵∠BAE＝∠GAD，∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．11．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．12．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段BE与DF之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①，延长CB到H点，使BH＝DF，连接AH，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠D+∠B＝180°，∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ABH＝∠D，∵AD＝AB，BH＝DF，∴在△ABH和△ADF中，，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，∴∠FAD+∠BAE＝30°，∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，在△HAE和△EAF中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∵HE＝HB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立，如图②，在BC上截取BH＝DF，在△ABH与△ADF中，，∴△ABH≌△ADF，∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∴∠EAF＝30°，∴∠BAH+∠EAD＝30°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠HAE＝30°，在△HAE与△FAE中，，∴△HAE≌△FAE，∴HE＝EF，∵BE＝BH+HE，∴BE＝DF+EF．13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A 逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论： EF＝BE+DF ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．【解答】解：问题背景：EF＝BE+DF，证明如下：如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；探索延伸：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，则△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF，（SAS）∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+FD；结论应用：如图3，连接EF，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∴∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A+∠B＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE++FB＝1×30+1×50＝80（海里）答：此时两舰艇之间的距离为80海里．。
2021年中考数学专题——半角模型经典模型【例1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N（1）求证：EF＝BE+DF为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．（2）若BE＝2，DF＝3，请求出正方形ABCD的边长．（3）请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系【例2】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且∠DAE=12α．（1）如图1，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连接DF，①求∠DAF的度数；②求证：△ADE≌△ADF；（2）如图2，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为．小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE ＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△F AE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．【例4】请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE ＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．（1）【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”，如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，我们把△ABE 绕点A逆时针旋转90°至△ADG，再通过证明△AEF与△AGF全等，从而发现BE、EF、FD之间的数量关系是（直接写出答案）．（2）【探究引申】如图②，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD≠90°，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，（1）中的结论仍成立？请说明理由．（3）【问题解决】如图③，在等邻边四边形ABCD中，已知AB＝AD=20√3米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，在BC、CD上分别取点E、F，且AE⊥AD，DF＝（30−10√3）米，求线段EF 的长．【例6】已知，四边形ABCD中，∠BAD+∠C＝180°，AD＝AB，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2∠BAD．（1）如图1，求证：BE+DF＝EF；（2）如图2，求证：FD﹣BE＝EF．1．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：①如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长；②如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝4，CD＝6，则△ABC的面积为（直接写出结果，不需要写出计算过程）．2．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为．3．如图1：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作∠MAN＝45°．AM、AN分别交BC 于点M，N．【操作】（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图1中画出△ACQ；（不写出画法）【探究】（2）在（1）中作图的基础上，连接NQ，①求证“MN＝NQ”；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由．【拓展】如图2，在等腰△DEF中，∠EDF＝45°，DE＝DF，点P是EF边上任意一点（不与E，F重合），连接DP，以DP为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分别交DE，DF于点K，L，连接GH，分别交DE，DF于点S，T．（3）线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是；（4）设DK＝a，DE＝b，求DP的值．（用a，b表示）4．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是．参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，则BE＝．（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（﹣3，2），连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y＝．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF＝AD，AF与DE交于点G．（1）求证：AB＝BF．（2）当AB＝5√2，AD＝2√5，求DG的长．6．（1）如图1，正方形ABCD中，F是边CD边上一点，F′是CB延长线上一点，∠F AF′的平分线交边BC于E．已知DF＝BF'，①求证：∠EAF＝45°②若正方形ABCD边长是3，BE＝1，求DF的长．（2）如图2，正方形ABCD中，F是边CD边上一点，E为边AB上一点．以直线EF为对称轴把正方形折叠，BC的对应线段为B'C'，其中点C在边AD上，B'C交边AB于点G，记△AGC′周长为x，正方形ABCD周长为y，求y与x的函数关系式．7．如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥BC 交AD 于点E ，连接BE ，点F 是BE 上一点，连接CF ．（1）如图1，若tan ∠ECD =13，BC ＝BF ＝4，DC =√10，求EF 的长．（2）如图2，若BC ＝EC ，连接BE ，在BE 上取点F ，使∠FCD ＝45°，过点E 作EM ⊥CF 交CF 延长线于点M ，延长ME 、CD 相交于点G ，连接BG 交CM 于点N ．求证：EG ＝2MN ．8．在锐角△ABC 中，∠BAC ＝50°，将∠α的顶点P 放置在BC 边上，使∠α的两边分别与边AB ，AC 交于点E ，F （点E 不与B 点重合，点F 不与点C 重合）．设∠BEP ＝x ，∠CFP ＝y ． （1）【发现】 若∠α＝40°．①如图1，当点F 与点A 重合，x ＝60°时，y ＝ °； ②如图2，当点E ，F 均不与点A 重合时，x +y ＝ °； （2）【探究】判断x ，y 和∠α之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由．9．【发现】如图①，已知等边△ABC ，将直角三角板的60°角顶点D 任意放在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合），使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F ． （1）若AB ＝6，AE ＝4，BD ＝2，则CF ＝ ； （2）求证：△EBD ∽△DCF ．【思考】若将图①中的三角板的顶点D 在BC 边上移动，保持三角板与边AB 、AC 的两个交点E 、F 都存在，连接EF ，如图②所示，问：点D 是否存在某一位置，使ED 平分∠BEF 且FD 平分∠CFE ？若存在，求出BD BC的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．10．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△，BM•DN＝；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．11．如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD 于F，连接AF．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）若AB＝4，F为CD的中点，求tan∠BAE的值；（3）如图2，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．12．如图，BM ，DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角，且∠MAN ＝45°，连接MN ．（1）画出将△ABM 绕点A 顺时针旋转90°后得到的图形，并探究以线段BM ，DN ，MN 为三边组成的三角形的形状；（2）当MN ∥AD 时，直接写出BM DN的值．13．（1）问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，连接MN ，且∠MAN ＝45°，将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，可证△AMG ≌△AMN ，易得线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系为： （直接填写）；（2）实践应用：在平面直角坐标系中，边长为5的正方形OABC 的两顶点分别在y 轴、x 轴的正半轴上，O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A 第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N ．如图2，设△MBN 的周长为P ，在旋转正方形OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论；（3）拓展研究：如图3，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且∠MAN ＝∠CMN ＝45°，请你直接写出线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系．14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：∠BDA∠CED第一次测量结果第二次测量结果探索：（1）观察实验结果，猜想∠BDA与∠CED的大小有何关系？并证明你的结论；（2）设BD＝x，AE＝y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图1供实验操作用，图2备用）15．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）如图1，若AB＝AC，∠BAC＝90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），证明：△ACF≌△ABD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．16．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC边上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y．①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；②求y的最小值．17．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'CM'（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可）18．【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：①∠EAF的度数为；②DE与EF之间的数量关系为；【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB边上的一点，∠DCE＝45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF．①则∠EAF的度数为；②线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；【实际应用】如图3，△ABC是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB＝120°，AC＝BC，他在边BC上取了D、E两点，并量得∠BCD＝15°、∠DCE＝60°，这样CD、CE将△ABC分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE这三个三角形的面积之比．解析【例1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N（1）求证：EF＝BE+DF为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．（2）若BE＝2，DF＝3，请求出正方形ABCD的边长．（3）请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系【分析】（1）延长BC到G，使BG＝DF，连接AG，证得△ABG≌△ADF，△AEF≌△AEG，最后利用等量代换求得答案即可；（2）根据（1）中的结论，设正方形的边长为x，列方程可解答；（3）在AG截取AH＝AM，连接NH、BH，证得△ABH≌△ADM，△AMN≌△AHN，最后利用勾股定理求得答案即可．【解析】（1）证明：如图1，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，经典例题{∠ABG =∠ADF BG =DF， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠DAF ＝∠BAG ，AF ＝AG ，∴∠GAE ＝∠BAG +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF ， 在△AEF 和△AEG 中， {AF =AG∠FAE =∠GAE AE =AE， ∴△AEF ≌△AEG （SAS ）， ∴EF ＝EG ， ∵EG ＝BE +BG ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）解：设正方形的边长为x ， ∵BE ＝2，DF ＝3， ∴CE ＝x ﹣2，CF ＝x ﹣3，由（1）得：EF ＝BE +DF ＝2+3＝5， Rt △CEF 中，EF 2＝CE 2+CF 2， 52＝（x ﹣2）2+（x ﹣3）2， 解得：x ＝6或﹣1（舍）， 答：正方形ABCD 的边长为6． （3）解：BN 2+DM 2＝MN 2；理由是：如图2，在AG 上截取AH ＝AM ，连接HN 、BH ，在△AHB 和△AMD 中，{∠HAB =∠MAD AH =AM， ∴△AHB ≌△AMD （SAS ），∴BH ＝DM ，∠ABH ＝∠ADB ＝45°， 又∵∠ABD ＝45°， ∴∠HBN ＝90°． ∴BH 2+BN 2＝HN 2． 在△AHN 和△AMN 中， {AH =AM∠HAN =∠MAN AN =AN， ∴△AHN ≌△AMN （SAS ）， ∴MN ＝HN ． ∴BN 2+DM 2＝MN 2．【例2】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 、E 在边BC 上，且∠DAE =12α．（1）如图1，当α＝60°时，将△AEC 绕点A 顺时针旋转60°到△AFB 的位置，连接DF ， ①求∠DAF 的度数； ②求证：△ADE ≌△ADF ；（2）如图2，当α＝90°时，猜想BD 、DE 、CE 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当α＝120°，BD ＝4，CE ＝5时，请直接写出DE 的长为 √21 ．【分析】（1）①利用旋转的性质得出∠F AB ＝∠CAE ，再用角的和即可得出结论； ②利用SAS 判断出△ADE ≌△ADF ，即可得出结论；（2）先判断出BF ＝CE ，∠ABF ＝∠ACB ，再判断出∠DBF ＝90°，即可得出结论；（3）同（2）的方法判断出∠DBF ＝60°，再用含30度角的直角三角形求出BM ，FM ，最后用勾股定理即可得出结论．【解析】（1）①由旋转得，∠F AB ＝∠CAE ，∵∠BAD +∠CAE ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAF ＝∠BAD +∠BAF ＝∠BAD +∠CAE ＝30°；②由旋转知，AF ＝AE ，∠BAF ＝∠CAE ，∴∠BAF +∠BAD ＝∠CAE +∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝∠DAE ， 在△ADE 和△ADF 中，{AF =AE∠DAF =∠DAE AD =AD ，∴△ADE ≌△ADF （SAS ）；（2）BD 2+CE 2＝DE 2，理由：如图2，将△AEC 绕点A 顺时针旋转90°到△AFB 的位置，连接DF ， ∴BF ＝CE ，∠ABF ＝∠ACB ， 由（1）知，△ADE ≌△ADF ， ∴DE ＝DF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠DBF ＝∠ABC +∠ABF ＝∠ABC +∠ACB ＝90°， 根据勾股定理得，BD 2+BF 2＝DF 2， 即：BD 2+CE 2＝DE 2；（3）如图3，将△AEC 绕点A 顺时针旋转120°到△AFB 的位置，连接DF ， ∴BF ＝CE ，∠ABF ＝∠ACB ， 由（1）知，△ADE ≌△ADF ， ∴DE ＝DF ，BF ＝CE ＝5， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°，过点F作FM⊥BC于M，在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°，BF＝5，∴BM=52，FM=52√3，∵BD＝4，∴DM＝BD﹣BM=3 2，根据勾股定理得，DF=√FM2+DM2=√21，∴DE＝DF=√21，故答案为√21．【例3】阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE ＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△F AE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．请回答：在图2中，∠FCE的度数是90°，DE的长为√10．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．【分析】对于图2，由旋转性质得到∠ACF＝∠B＝45°，CF＝BD，所以∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算EF ，即可得到DE ；对于图3，将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADG ，根据旋转的性质得BE ＝DG ，AE ＝AG ，∠DAG ＝∠BAE ，∠B ＝∠ADG ，由于∠B +∠ADC ＝180°，则∠ADG +∠ADC ＝180°，则可判断点F ，D ，G 在同一条直线上，接着证明△AEF ≌△AGF ，得到EF ＝FG ，由于FG ＝DG +FD ＝BE +DF ，于是得到EF ＝BE +FD ． 【解析】如图2，∵∠ACF ＝∠B ＝45°， ∴∠FCE ＝∠ACF +∠ACB ＝45°+45°＝90°， 在Rt △EFC 中，∵CF ＝BD ＝3，CE ＝1， ∴EF =√CF 2+CE 2=√32+12=√10， ∴DE =√10， 故答案为90°；√10； 如图3，猜想：EF ＝BE +FD ．理由如下：如图，将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADG ， ∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∠DAG ＝∠BAE ，∠B ＝∠ADG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∴∠ADG +∠ADC ＝180°，即点F ，D ，G 在同一条直线上， ∵∠DAG ＝∠BAE ， ∴∠GAE ＝∠BAD ， ∵∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠EAF ， 在△AEF 和△AGF 中， {AE =AG∠EAF =∠GAF AF =AF， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +FD ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +FD ．【例4】请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE ＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE ≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD ＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．【解析】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．【例5】解答下列各题：（1）【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”，如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，我们把△ABE 绕点A逆时针旋转90°至△ADG，再通过证明△AEF与△AGF全等，从而发现BE、EF、FD之间的数量关系是EF＝BE+FD（直接写出答案）．（2）【探究引申】如图②，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD≠90°，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，（1）中的结论仍成立？请说明理由．（3）【问题解决】如图③，在等邻边四边形ABCD中，已知AB＝AD=20√3米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，在BC、CD上分别取点E、F，且AE⊥AD，DF＝（30−10√3）米，求线段EF 的长．【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE 即可；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△F AE≌△MAE，即可得出答案；（3）利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝20√3米．把△ABE绕点A 逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD，可得EF的长．【解析】（1）EF＝BE+FD，理由是：如图①，∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BAE＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠F AE，∵∠ADG＝∠B＝∠ADF＝90°，∴F 、D 、G 三点共线， 在△GAF 和△F AE 中， ∵{AE =AG∠EAF =∠GAF AF =AF ， ∴△AFG ≌△AFE （SAS ）． ∴GF ＝EF ． 又∵DG ＝BE ， ∴GF ＝BE +DF ， ∴BE +DF ＝EF ； 故答案为：EF ＝BE +FD ；（2）当∠BAD ＝2∠EAF 时，（1）中的结论仍成立； 理由如下：如图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， {AB =AD∠ABM =∠D BM =DF， ∴△ABM ≌△ADF （SAS ）， ∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠EAB +∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△F AE 和△MAE 中，∵{AF=AM∠FAE=∠MAE AE=AE，∴△F AE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF；（3）如图③，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝20√3．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．由旋转得：△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝20√3×√32=30，HF＝HD+DF＝10√3+30﹣10√3=30，故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°，从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°，又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF，∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝20√3+30﹣10√3=30+10√3，即线段EF的长为（30+10√3）米．【例6】已知，四边形ABCD中，∠BAD+∠C＝180°，AD＝AB，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2∠BAD．（1）如图1，求证：BE+DF＝EF；（2）如图2，求证：FD﹣BE＝EF．【分析】（1）延长CB，使BN＝DF，连接AN，易证∠ABN＝∠D，由SAS证得△ABN≌△ADF，得出AF＝AN，∠DAF＝∠BAN，证明∠EAB+∠BAN＝∠EAN＝∠EAF，由SAS证得△F AE≌△NAE，即可得出结论；（2）在DF上截取DH＝BE，连接AH，易证∠ABE＝∠D，由SAS证得△ABE≌△ADH，得出AH＝AE，∠EAB＝∠DAH，证明∠EAF＝∠HAF，由SAS证得△EAF≌△HAF，即可得出结论．【解析】（1）证明：延长CB，使BN＝DF，连接AN，如图1所示：∵∠BAD+∠C＝180°，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABN+∠ABC＝180°，∴∠ABN＝∠D，在△ABN和△ADF中，{AB=AD∠ABN=∠D BN=DF，∴△ABN≌△ADF（SAS），∴AF＝AN，∠DAF＝∠BAN，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAN＝∠EAN＝∠EAF，在△F AE 和△NAE 中，{AF =AN∠EAF =∠EAN AE =AE ，∴△F AE ≌△NAE （SAS ）， ∴EF ＝EN ＝BE +BN ＝BE +DF ， 即EF ＝BE +DF ；（2）证明：在DF 上截取DH ＝BE ，连接AH ，如图2所示： ∵∠BAD +∠C ＝180°， ∴∠ABC +∠D ＝180°， ∵∠ABE +∠ABC ＝180°， ∴∠ABE ＝∠D ，在△ABE 和△ADH 中，{AB =AD∠ABE =∠D BE =DH ，∴△ABE ≌△ADH （SAS ）， ∴AH ＝AE ，∠EAB ＝∠DAH ， ∵∠EAF =12∠BAD ， ∴∠DAH +∠BAF =12∠BAD ， ∴∠HAF =12∠BAD ， ∴∠EAF ＝∠HAF ，在△EAF 和△HAF 中，{AE =AH∠EAF =∠HAF AF =AF ，∴△EAF ≌△HAF （SAS ）， ∴EF ＝FH ，∵FH ＝DF ﹣DH ＝DF ﹣BE ， ∴DF ﹣BE ＝EF ．1．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：①如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长；②如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝4，CD＝6，则△ABC的面积为60（直接写出结果，不需要写出计算过程）．【分析】（1）因为ABCD为正方形，所以CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，又因为DF＝BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE＝CF；（2）因为∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，则有∠BCE+∠GCD＝45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG＝∠FCG，CE＝CF，CG＝CG，则△ECG≌△FCG，故GE＝BE+GD成立；（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长，再求得△ABC的面积．【解析】（1）在正方形ABCD中CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，∴∠CDF＝∠B＝90°．在△BCE和△DCF中，{CB=CD∠B=∠CDFBE=DF，∴△BCE≌△DCF（SAS）．∴CE＝CF．培优训练（2）GE ＝BE +GD 成立．理由如下： ∵∠BCD ＝90°，∠GCE ＝45°， ∴∠BCE +∠GCD ＝45°． ∵△BCE ≌△DCF （已证）， ∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠GCF ＝∠GCD +∠DCF ＝∠GCD +∠BCE ＝45°． ∴∠ECG ＝∠FCG ＝45°． 在△ECG 和△FCG 中， {CE =CF∠ECG =∠FCG CG =CG， ∴△ECG ≌△FCG （SAS ）． ∴GE ＝FG ． ∵FG ＝GD +DF ， ∴GE ＝BE +GD ．（3）①如图2，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，由（2）和题设知：DE ＝DG +BE ， 设DG ＝x ，则AD ＝6﹣x ，DE ＝x +3，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE 2＝DE 2， ∴（6﹣x ）2+32＝（x +3）2， 解得x ＝2． ∴DE ＝2+3＝5；②如图3，将△ABD 沿着AB 边折叠，使D 与E 重合，△ACD 沿着AC 边折叠，使D 与G 重合，可得∠BAD＝∠EAB，∠DAC＝∠GAC，∴∠EAG＝∠E＝∠G＝90°，AE＝AG＝AD，BD＝EB＝4，DC＝CG＝6，∴四边形AEFG为正方形，设正方形的边长为x，则BF＝x﹣4，CF＝x﹣6，在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BF2+CF2＝BC2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2＝（4+6）2，解得：x＝12或x＝﹣2（舍去），∴AD＝12，∴S△ABC=12BC•AD=12×10×12＝60．故答案为：60．2．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+FD．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为5．【分析】【问题背景】延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；【探索延伸】延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；【学以致用】过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．【解析】【问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵{DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵{AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．【探索延伸】解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵{DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵{AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；【学以致用】如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+2，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．3．如图1：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作∠MAN＝45°．AM、AN分别交BC 于点M，N．【操作】（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图1中画出△ACQ；（不写出画法）【探究】（2）在（1）中作图的基础上，连接NQ，①求证“MN＝NQ”；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由．【拓展】如图2，在等腰△DEF中，∠EDF＝45°，DE＝DF，点P是EF边上任意一点（不与E，F重合），连接DP，以DP为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分别交DE，DF于点K，L，连接GH，分别交DE，DF于点S，T．（3）线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是ST2＝GS2+TH2；（4）设DK＝a，DE＝b，求DP的值．（用a，b表示）【分析】（1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；（2）先根据SAS判定△MAN≌△QAN，进而得出结论，再由全等三角形和旋转，得出MN＝NQ，MB＝CQ，最后根据Rt△NCQ中的勾股定理得出结论；（3）运用②中的方法即可得出类似的加仑；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式进行求解．【解析】（1）如图，△ACQ即为所求；（2）①证明：由旋转可得，△ABM≌△ACQ∴AM＝AQ，∠BAM＝∠CAQ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°∴∠BAM+∠NAC＝45°∴∠CAQ +∠NAC ＝45°，即∠NAQ ＝45° 在△MAN 和△QAN 中 {AM =AQ∠MAN =∠QAN AN =AN∴△MAN ≌△QAN （SAS ） ∴MN ＝NQ ②MN 2＝BM 2+NC 2由①中可知，MN ＝NQ ，MB ＝CQ又∠NCQ ＝∠NCA +ACQ ＝∠NCA +∠ABM ＝45°+45°＝90° 在Rt △NCQ 中，NQ 2＝CQ 2+NC 2，即MN 2＝BM 2+NC 2 （3）ST 2＝GS 2+TH 2（4）如图，∵DE ＝DF ，DG ＝DP ，∠EDF ＝∠GDP ＝45° ∴∠DPK ＝∠DEP 又∵∠PDK ＝∠EDP ∴△DPK ∽△DEP ∴DPDE=DK DP，即DP 2＝DK •DE∵DK ＝a ，DE ＝b ∴DP =√ab4．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF ＝45°，连接EF ，求证：DE +BF ＝EF ．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是45°．参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，则BE＝587．（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（﹣3，2），连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y＝x+1或﹣x﹣5．【分析】阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得∠GAB＝∠EAD，然后求出∠GAF＝∠BAF+∠EAD，再根据∠EAF＝45°计算即可得解；（1）过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，可得四边形AFCD是正方形，然后设BE＝x，根据小伟的结论表示出BF，再求出CE、BC，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，然后利用“AAS”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，BE＝CF，然后分点B在点A的右边与左边两种情况再根据点A、C的坐标表示出OB，整理即可得解．【解析】阅读材料：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴∠GAB＝∠EAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF，＝∠EAD+∠BAF，＝∠BAD﹣∠EAF，＝90°﹣45°，＝45°；。
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
专项07 半角模型综合应用模型一等角=要三角形中得半角模型模型二正方形中的半角模型应用：①利用旋转构造全等三角形；②利用翻折构造全等三角形。
【类型一：等腰三角形中的半角模型】【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E 在边BC上，且．（1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF．①∠DAF＝ ；②求证：DF＝DE；（2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，故答案为：30°；②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，∵AB＝AC，∴△DAF≌△DAE（SAS），∴DF＝DE；（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF，∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°，∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，∴DF2＝BD2+CE2，同（1）②的方法得，DF＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．【变式1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B 顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE．（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝ 3或5 ．【解答】（1）证明：∵△BEF为等边三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF+CF，∴CE＝BE+AE；（2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE，图②的理由如下：∵△BEF为等边三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF﹣CF，∴CE＝BE﹣AE，图③的利用如下：∵△BEF为等边三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝CF﹣EF，∴CE＝AE﹣BE；（3）解：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，综上所述，CE＝3或5，故答案为：3或5．【典例2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．②猜想：结论仍然成立．证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，③证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可证∠CDN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【变式2】（1）问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF＝70°时，两舰艇之间的距离是 海里．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图②，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（60+80）＝280海里．答：此时两舰艇之间的距离是280海里；故答案为：280；【类型二：正方形中的半角模型】【典例3】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A 旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．【变式3】【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM＝DN（不要求证明）【应用】如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．求证：BE+DF＝EF．【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，若BD＝3，EF＝1.7，则四边形BEFD的周长为 ．【解答】【应用】如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°．∴∠B＝∠ADG＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°．∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD＝90°．∴∠BAE＝∠DAG．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，BE＝DG．∵∠EAF＝45°，AG⊥AE，∴∠EAF＝∠GAF＝45°．在△FAE和△FAG中，，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．∵FG＝DF+DG＝DF+BE，∴BE+DF＝EF【拓展】如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．∵AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠ABE＝∠ADG，∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD＝90°．∵∠BAE+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠DAG．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，BE＝DG．∵∠EAF＝45°，AG⊥AE，∴∠EAF＝∠GAF＝45°．在△FAE和△FAG中，，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．∵FG＝DF+DG＝DF+BE，∴BE+DF＝EF．∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB＝1.7+1.7+3＝6.4，故答案为6.41．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）求BP和AD的长．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD；（2）解：在△ABP中，∠BPQ＝∠ABP+∠BAP，∵∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABP+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°，∵BQ⊥AD，PQ＝3，PE＝1．在Rt△BPQ中，∠BPQ＝60°，则∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ＝6，∴BE＝BP+PE＝7．由（1）△ABE≌△CAD，∴AD＝BE＝7．即BP和AD的长为6和7．2．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．（1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝ 度；（2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD；（3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 ．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥BC，即∠BDE＝90°，∠EDF＝60°，∴∠BED＝∠CDF＝30°，∴∠DFC＝90°，故答案为：90；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE＝CD；（3）∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝2，∵D为BC中点，且BD＝CF，∴BD＝CD＝CF＝AF＝1，由（2）知△BDE≌△CFD，∴BE＝CD＝1，DE＝DF，∵∠B＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝DF＝1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF＝4，故答案为：4．3.如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，△BDC是等腰三角形且BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作∠MDN＝60°，交边AB，AC于M，N两点，延长AC到点E，使得CE＝BM，连接MN、DE．（1）试说明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；（2）如图2，若点M是AB的延长线的一点，N是CA的延长线上的点，点E在线段AC 上，其他条件不变，探究线段BM，MN，NC之间的关系，并说明理由．【解答】解：（1）①延长AC至E，使得CE＝BM（或延长AB至E，使得BE＝CN），并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又BD＝DC，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD与△ECD中，∵，∴△MBD≌△ECD（SAS）．②∵△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∵∠MDN＝∠NDE＝60°，在△DMN与△DEN中，，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN＝EN，又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，∴MN＝BM+NC；（2）如图②中，结论：MN＝NC﹣BM．理由：在CA上截取CE＝BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∴∠MBD＝∠DCE＝90°，在△BMD和△CED中∵，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE＝DM，在△MDN和△EDN中∵，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．4．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF ＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．5．阅读下列学习内容：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究思路如下：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．⇒△ABG≌△ADF⇒⇒∠DAF+∠BAE＝60°⇒∠GAB+∠BAE＝60°∠EAG＝60°⇒⇒△AEF≌△AEG⇒EF＝EG则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF＝BE+FD ．（2）根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝45°，若BM＝3，ND＝2，请求出线段MN的长度．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．（3）∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是正方形，如图3，旋转ABM至△ADP位置，∴∠PAM＝∠DAM+∠MAB＝90°AP＝AM，AN＝AN，∠PAN＝∠PAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，在△PAN和△MAN中，，∴△PAN≌△MAN，∴MN＝NP，∴MN＝PN＝PD+DN＝BM+DN＝3+2＝5．6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 EF＝BE+FD ；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠3+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．7．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．。
13.13专题8.2：截长补短-半角模型一．【知识要点】1.半角模型：若一个角等于整个角的一半,往往通过旋转将两个角搬到一起从而产生全等转化问题.有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。
2.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法。
二．【经典例题】1.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，∠EAF=21∠BAD ，求证：EF=BE+DF2．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，AB ＝BC ，E 、F 分别在AD 、CD 上，且∠EBF ＝60°，求证：EF ＝AE+CF ．（2）如图2，在题（1）中，若E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，其余条件不变，求证：AE ＝EF+CF ．3.在等腰Rt△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°. O为AB的中点,∠EOF=45°,交CA 于F，交BC的延长线于E.(1)求证:EF=CE+AF;(2)如图2,当E在BC上,F在CA的反向延长线上时,探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.三．【题库】【A】1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,E,F分别在AD,CD上,且∠EBF=60°,求证:EF=AE+CF.2.(2021年绵阳期末本题满分8分)如图，在多边形 ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF=BC，∠CBF=2∠DBE，∠ABF=∠CBD.(1)求证:AB=DB(2)求证：ED＝CD+EF．(3)若DE=4，BF=3，求△BDE的面积3.(10分)在∠MAN内部有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C，且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上.(1)如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF;(2)如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，试猜想EF，BE，FC之间的数量关系，并说明结论成立的理由.【B 】1.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．求证：CE ＝CF ；（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠ECG ＝45°，请你利用（1）的结论证明：ECGBCE CDG s s s ∆∆∆=+．2.如图，D 为等边ABC ∆外一点，且BD=CD ，120BDC ∠=︒,点M,N 分别在AB,AC 上，且BM+CN=MN.(1) 求证：60MDN ∠=︒. (2) 求证：BD+CD=AD3.点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC ．【C 】1.【问题背景】如图1:在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120∘,∠B=∠ADC=90∘,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF=60∘，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系。
2020年暑假八年级数学学习单1《1.旋转中的半倍角模型剖析》专题导入导例：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①∠EAF=45°；②BE=CD；③EA平分∠CEF；④BE2+DC2=DE2.下其中正确的个数有（）．A．１个B．２个C．３个D．４个方法提炼图2 图3如图，已知OA=OB，∠2=∠1+∠3，则可以通过以下解题策略进行转化：连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF′≌△OEF.模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，且共顶点线段相等；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.例题讲解类型一：特定角度的半倍构造旋转全等例1问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；类型二：一般的半倍角构造旋转全等∠例2．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12 BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，E ，F 分别是边BC ，CD 所在直线上的点，且∠EAF=12∠BAD ．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系： ．专题练习1．在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）．A ．AE ∥BCB ．∠ADE=∠BDC C ．△BDE 是等边三角形D ．△ADE 的周长是92．如图，在△ABC 中，∠BAE=60°．若AB=2AC ，点P 在△ABC 内，且PA=√3， BP=5 ，∠APC=120°，则PC=______．3.正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，（1）将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD ，AB 重合，得到△ABF ，如图1所示.观察可知：与DE 相等的线段是_______，∠AFB=______；（2）如图2，正方形ABCD 中，P ，Q 分别是BC ，CD 边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ ； （3）在（2）题中，连接BD 分别交AP ，AQ 于M ，N ，你还能用旋转的思想说明BM 2+DN 2=MN 2.CBAP图34. 已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°．把Rt△ABC绕点C旋转．（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线上时，若BC=13√2，BE=5，求CD的长；2（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．5.在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）如图1.1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由. （2）如图1.2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图1.3，若∠DAB=90°，探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由6.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO 与AB重合，得到△ABD.(Ⅰ)求点B的坐标及直线AB的解析式;(Ⅱ)当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点D的坐标;，若存在，请求出符合条件的点P的坐标(直接写出(Ⅲ)是否存在点P，使△OPD的面积等于√34结果即可)备用图7.在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，点D，点E分别是AC，BC 的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，旋转角为α，连接AD′，BE′.(1)如图①，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；(2)如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；(3)若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围.。
半角模型经典例题
摘要：
1.半角模型的概念和特点
2.半角模型的经典例题
3.半角模型的解题技巧和方法
4.半角模型在实际生活中的应用
正文：
【半角模型的概念和特点】
半角模型，是数学模型中的一种，主要用于解决一些角度或位置只有半角（即180 度）的问题。
半角模型的特点是，问题中给出的信息通常只有角度或位置的一半，需要我们通过逻辑推理和数学计算，找出另外一半的角度或位置。
这种模型需要我们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
【半角模型的经典例题】
例题一：一个长方体的三条边长分别是3 厘米、4 厘米和5 厘米，求这个长方体的体积。
例题二：一个球体的半径是3 厘米，求这个球体的表面积和体积。
例题三：在一个等腰三角形中，已知底边的一半是4 厘米，高是6 厘米，求这个等腰三角形的面积。
【半角模型的解题技巧和方法】
在解决半角模型的问题时，有以下几点技巧和方法：
1.建立模型：根据题目描述，建立起半角模型，明确已知和未知的信息。
2.转换角度：将问题中的半角信息转换为可以计算的角度或位置信息。
3.使用公式：根据已知信息，运用相关的数学公式进行计算。
4.检验答案：将计算出的答案代入原问题中，检验答案的合理性。
【半角模型在实际生活中的应用】
半角模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在物理、化学、生物、地理等学科的研究中，都会涉及到半角模型的问题。
