北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)数学文试题(word版)

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）A ．2-B ．4-C ．8-D ．16- 3．下列函数既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是A ．x x f sin )(=B ．()|1|f x x =+C ．()f x x =-D ．()cos f x x =4．在平面直角坐标系中，不等式组0,2,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积为A ．1B ．2C ．4D ．8 5．已知,R x y ∈，那么“x y >”的充分必要条件是A ．22xy> B ．lg lg x y >C ．11x y>D ．22x y > 6．已知直线(0)x y m m +=>与圆122=+y x 相交于P ，Q 两点，且︒=∠120POQ (其中O 为原点)，那么m 的值是 A B C D ． 7测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．下图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为A BC D8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x ，装满纯酒精，乙容器容量为z ，其中装有体积为y 的水(,x y z <，单位：L). 现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计. 设经过n *()N n ∈次操作之后，乙容器中含有纯酒精n a (单位：L)，下列关于数,列{}n a 的说法正确的是 A ．当x y a ==时，数列{}n a 有最大值2aB ．设1n n n b a a +=-()*n ∈N，则数列{}n b 为递减数列C ．对任意的*n ∈N ，始终有n xy a z ≤D ．对任意的*n ∈N ，都有n xy a x y ≤+第二部分（非选择题 共110分）A1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知ABC ∆三内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且23B π=，又边长3b c =，那么sin C =．10．已知11i 1i 2n =-+，其中n 是实数，i 是虚数单位，那么=n ．11．右面茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填_____；y 的位置应填_____.12．已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间1(,)22k k + ()k Z ∈内，那么k =.13．已知双曲线G 以原点O 为中心，过4)点，且以抛物线C ：24y x =的焦点为右顶点，那么双曲线G 的方程为 ．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D-中，E 为对角线1B D 上的一点，,M N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1. （1）当N 为对角线AC 的中点且DE =时，则三棱锥E DMN -的体积是_______； （2）当三棱锥E DMN -的体积为13时，则=DE _______.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题13分）在等差数列{}n a 中，12a =-，1220a =. （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若12n n a a a b n++= ，求数列{}3n b的前n 项和.16.（本小题13分）函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的最大值为2, 它的最小正周期为2π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若()cos ()g x x f x =⋅，求()g x 在区间ππ[-,]64上的最大值和最小值.17．（本小题13分）某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率； （Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率.18．（本小题14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A 和侧面11CDDC 都是矩形，//BC AD ，ABD ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别为AD ，1A （Ⅰ）求证：1DD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11ADD A ； （Ⅲ）若//CF 平面1A BE ，求棱BC 的长度.19．（本小题13分）设函数xe a x xf ⋅-=)()(，a ∈R ．（Ⅰ）当1=a 时，试求)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）试求)(x f 在]2,1[上的最大值；（Ⅲ）当1=a 时，求证：对于[5,)x ∀∈-+∞，56()5f x x e ++≥-恒成立．20．（本小题14分）已知椭圆22:1(0)E mx y m +=>.（Ⅰ）若椭圆E 的右焦点坐标为，求m 的值；（Ⅱ）由椭圆E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以(0,1)B 为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求m 的取值范围.1A北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（二）数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.10. 1211. 3，812. 5 13. 2214y x -=14.9注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为 2(1)n a n d =-+-，所以 1221120a d =-+=.于是 2d =，所以 24n a n =-. ………………………………6分 （Ⅱ）因为24n a n =-， 所以 12(26)(3)2n n n a a a n n -+++==- . 于是 123nn a a a b n n++==- ，令 3n b n c =，则 33n n c -=.显然数列{}n c 是等比数列，且213c -=，公比3q =，所以数列{}3nb 的前n 项和1(1)31118n n n c q S q --==-. ………………13分16.（本小题13分）解：（Ⅰ）由已知()f x 最小正周期为π2,所以22ππω=,解得=1ω.因为()f x 的最大值2，所以2A =. 所以()f x 的解析式为()2sin()6f x x π=+. ----------------5分（Ⅱ）因为()2sin()=2sin cos2cos sin666f x x x x πππ=++cos x x +所以)(cos )(x f x x g ⋅=2cos cos x x x +1cos 222x x ++ =1sin2)62x π++（ 因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x g 取得最大值32；当)(6662x g x x 时，即πππ-=-=+取得最小值0．-------------13分17．（本小题13分）解：（Ⅰ）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况， 该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为1.6P =………………………4分 （Ⅱ）事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况， 一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为31=.62P =………………………9分 （Ⅲ）事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况， 事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为1.3P = …………13分 18．（本小题14分）解：（Ⅰ）因为侧面11ADD A 和侧面11CDDC 都是矩形， 所以1DD AD ⊥，且1DD CD ⊥. 因为AD CD D = ，所以1DD ⊥平面ABCD . ……………………………4分 （Ⅱ）因为ABD ∆是正三角形，且E 为AD 中点， 所以BE AD ⊥.因为1DD ⊥平面ABCD ， 而BE ⊂平面ABCD ， 所以1BE DD ⊥. 因为1AD DD D = ， 所以BE ⊥平面11ADD A . 因为BE ⊂平面1A BE ，所以平面1A BE ⊥平面11ADD A . ……………………………10分 （Ⅲ）因为//BC AD ， 而F 为11A D 的中点， 所以1//BC A F .所以1B C F A ，，，四点共面. 因为//CF 平面1A BE ，而平面1BCFA 平面11=A BE A B ， 所以1//CF A B .所以四边形1BCFA 是平行四边形. 所以11==12BC FA AD =. ………………………………14分 19．（本小题13分）解：（Ⅰ）由xe a x xf ⋅-=)()(得xe a x xf ⋅+-=)1()('． 当1=a 时，xe x xf ⋅=)('，令0)('>x f ，得0>x ， 所以)(x f 的单调增区间为(0,).+∞………………………4分（Ⅱ）令0)('=x f 得1-=a x ．所以当11≤-a 时，]2,1[∈x 时0)('≥x f 恒成立，)(x f 单调递增； 当21≥-a 时，]2,1[∈x 时0)('≤x f 恒成立，)(x f 单调递减； 当211<-<a 时，)1,1[-∈a x 时0)('≤x f ，)(x f 单调递减；)2,1(-∈a x 时0)('>x f ，)(x f 单调递增．综上，无论a 为何值，当]2,1[∈x 时，)(x f 最大值都为)1(f 或)2(f ．e af )1()1(-=，2)2()2(e a f -=，222(1)(2)(1)(2)()(2).f f a e a e e e a e e -=---=---所以当222211e e e a e e e --≥=--时，0)2()1(≥-f f ，e a f x f )1()1()(max -==. 当222211e e e a e e e --<=--时，0)2()1(<-f f ，2max )2()2()(e a f x f -==．…………10分 （Ⅲ）令()()h x f x x =+，所以'()1xh x xe =+.所以''()(1)xh x x e =+.令''()(1)=0xh x x e =+，解得1x =-，所以当[5,1)x ∈--，''()0h x <，'()h x 单调递减； 当[1,)x ∈-+∞，''()0h x >，'()h x 单调递增.所以当1x =-时，min 1'()'(1)10h x h e=-=->. 所以函数()h x 在[5,)-+∞单调递增.所以56()(5)5h x h e ≥-=--.所以[5,)x ∀∈-+∞，56()5f x x e ++≥-恒成立． ……………………13分 20．（本小题14分）解：（Ⅰ）椭圆E 的方程可以写成2211x y m+=，焦点在x 轴上，所以21a m =，21b =222113c a b m =-=-==，求得14m =. ……………………4分 （Ⅱ）设椭圆E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA ，BC ，设11(,)A x y ，22(,)C x y显然BA 与BC 不与坐标轴平行，且10BA BC k k ⋅=-<∴可设直线BA 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BC 的方程为11y x k=-+，由2211mx y y kx ⎧+=⎨=+⎩消去y 得到22()20m k x kx ++=，所以122k x m k -=+求得1||0|BA x -=同理可求2||0|BC x =-=因为ABC ∆为以(0,1)B 为直角顶点的等腰直角三角形，所以||||BA BC =，，整理得3232320()()0(1)()0mk k k m mk m k k m k k k -+-=⇒---=⇒---=22(1)(1)(1)0(1)[(1)]0m k k k k k k mk m k m -++--=⇒-+-+=所以1k = 或2(1)0mk m k m +-+=，设2()(1)f k mk m k m =+-+因为以(0,1)B 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于k 的方程2(1)0mk m k m +-+=有两个不同的正实根1x ，2x ，且都不为1 1212221(1)0(1)0,310001,01010(1)4013f m m m m m x x m mx x m m m ⎧≠⇒+-+≠⇒≠⎪⎪-⎪+>⇒->⇒<<⎪∴⎨⎪>⇒>⎪⎪∆>⇒∆=-->⇒-<<⎪⎩，恒成立 所以实数m 的取值范围是1(0,)3. ……………………14分。