北京市西城区2017届高三数学二模试题文

北京市西城区2017届高三数学二模试题 文

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．已知集合{|11}A x x =∈-<

（D ）{|12}x x ∈-<

2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)

（B ）(3,2)-

（C ）(4,6)

（D ）(4,6)-

3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）21

1

y x =

+ （D

）y 4．若抛物线2

y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =

（A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8±

5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11

a b

<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

6

．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩

≤≥≥表示的平面区域的面积是

（A

（B

（C ）2 （D

）

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为

（A ）

43 （B ）2

（C ）

83 （D ）4

8．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞

（C ）1

(,)2

+∞

（D ）1(,)4

+∞

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____．

10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．

11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3

A =

，

a =1

b =，则

c =____．

12．已知圆22

:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．

13．函数22, 0,()log , 0.

x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．

14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满

分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数π

()tan()4

f x x =+．

（Ⅰ）求()f x 的定义域；

（Ⅱ）设β是锐角，且π

()2sin()4

f ββ=+，求β的值．

16．（本小题满分13分）

某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．

整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，

[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：

（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；

（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在

[0,10)范围内的概率；

（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

17．（本小题满分13分）

设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记

n n n c a b =+，1,2,3,

n =．

（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ． B 餐厅分数频数分布表

18．（本小题满分14分）

如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，

ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．

（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；

（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FM

FC

的值；

若不能，说明理由．

19．（本小题满分13分）

已知函数()ln 2

a

f x x x =

+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =

+与椭圆C 相交于,A B 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；

（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．