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北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ðA ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x <-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x ≤≤- 2．下列函数中为奇函数的是A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y D ．||e x y -=3．若,x y 满足10,0,0x y x y y -++⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥则2x y +的最大值为A ．1-B ．0C ．12D ．2 4．设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和．若15172a a +=，244a a =，则6=S A ．2716 B ．278C ．634 D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261-)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利 用秦九韶算法求多项式的一个实例． 若输入的5,1,2n v x ===， 则 程序框图计算的是 A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++ C ．654322222221++++++ D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格 低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 A ．若A B p ，B C p ，则A C pB ．若A B p ，BC p 同时不成立，则A C p 不成立 C ．A B p ，B A p 可同时不成立D ．A B p ，B A p 可同时成立第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 ．10．在极坐标系中，直线cos sin 10r q q +=与圆2cos (0)a a r q >=相切，则a = ． 11．某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，1BC =， 2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA =．14．已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈=--∈--∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围 是_______．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.（本小题13分）已知函数()2cos 2()f x x a x a =+⋅∈R ． （Ⅰ）若()26f =π，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在7[,]1212ππ上单调递减，求()f x 的最大值．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该 主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之 比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题共14分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ^平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，2EA ED AB EF ===，EF AB ∥，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ^？若存在，求CG CF的值；若不存在，说明理由．设函数2()()e ()x f x x ax a a R -=+-⋅∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（Ⅱ）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围．19.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ， 线段BN 的中点为E ．证明： 点B 关于直线EF的对称点在直线MF 上．20.（本小题共13分）对于n 维向量12(,,,)n A a a a =鬃?，若对任意{1,2,,}i n 巫鬃均有0i a =或1i a =，则 称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B ，定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å．（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值；（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若1(1,1,1,1,1)A =且满足：1(,)2i i d A A +=，*i ÎN ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)；（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若112(1,1,,1)A个=鬃?且满足：1(,)i i d A A m +=， *m N Î，1,2,3,i 鬃?=，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A个鬃?=，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）(1,2) （10）1 （11）14（12）21 （13 （14）(1,)+∞ (4,2)(2,4--U 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2cos 2=2666f a πππ=⋅+⋅⋅， ………3分 所以31222a +?． ………5分所以1a =． ………6分（Ⅱ）由题意(22)f x x x)x ϕ=+，其中tanϕ=．………8分 所以T =π，且712122πππ-=， ………9分所以当12x π=时，max ()sin()126y f ϕππ==+．所以=+23k k ϕππ(∈)Z ． ………10分所以tanϕ=3a =． ………11分所以π())3f x x =+． ………12分所以()f x 的最大值为 ……………………13分（16）（共13分）解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”（1,2,,9i = ）. 根据题意，1()9i P A =，且()i j A A i j =乒 . …………1分（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则47B A A = . …………2分C所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=. …………5分 （Ⅱ）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， …………6分4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++= ，…………7分356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，…………8分12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． …………9分 所以X 的分布列为分故X 的期望14280123999EX =???．…………………11分 （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）取CD 中点N ，连结,MN FN ．因为,N M 分别为,CD BC 中点， 所以MN ∥BD ． 又BD ⊂平面BDE 且MN Ë平面BDE ， 所以MN ∥平面BDE ， 因为EF ∥AB ，2AB EF =， 所以EF ∥CD ，EF DN =． 所以四边形EFND 为平行四边形． 所以FN ∥ED ．又ED ⊂平面BDE 且FN Ë平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， ………2分 又FN MN N = ，所以平面MFN ∥平面BDE ． ………3分 又FM Ì平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． …………4分C（Ⅱ）取AD 中点O ，连结EO ，因为EA ED =，所以EO ^因为平面ADE ^平面ABCD 所以EO ^平面ABCD ，EO 因为AD AB =，60DAB ∠=所以△ADB 为等边三角形． 因为O 为AD 中点， 所以AD BO ^．因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -．…………6分 由题意得，(2,0,0)A ，B ，(C -，(2,0,0)D -，E ，(1F -．………7分(3,CF =，DE = ，(0,BE =-．设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BE DE ì?ïíï?î n n 即0,0.y z x ì-=ïíï=î 令1z =，则1y =，x =-所以(,1)=-n ．………9分 设直线CF 与平面BDE 成角为α，sin |cos ,|αCF =< n 所以直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值为10． ……………………10分 （Ⅲ）设G 是CF 上一点，且CG CFλ=，[0,1]λ∈．……………11分因此点(34,)G λ-+．……………12分(34,)BGλ=-． 由0BG DE ? ，解得49λ=．所以在棱CF 上存在点G 使得BG ^DE ，此时49CG CF =．………14分解：（Ⅰ）当0a =时，因为2()e x f x x -=?，所以2'()(2)e x f x x x -=-+?， …………1分'(1)3e f -=-． …………2分又因为(1)e f -=， …………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为e 3e(1)y x -=-+，即3e 2e 0x y ++=． ……………………4分（Ⅱ）“对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ³成立”等价于“在区间[0,2]上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”． …………………5分因为2215()1()24g x x x x =--=--， 所以()g x 在[0,2]上的最大值为(2)1g =．2'()(2)e ()e x x f x x a x ax a --=+?+-?2e [(2)2]x x a x a -=-+-- e (2)()x x x a -=--+ 令'()0f x =，得2x =或x a =-． …………………7分 ① 当0a -?，即0a ³时，'()0f x ³在[0,2]上恒成立，)(x f 在[0,2]上为单调递增函数， ()f x 的最大值为21(2)(4)e f a =+?, 由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． ……………9分 ② 当02a <-<，即20a -<<时，当(0,)x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为单调递减函数，当(2)x a ∈-，时，'()0f x >，()f x 为单调递增函数． 所以()f x 的最大值为(0)f a =-或21(2)(4)e f a =+?, 由1a -?，得1a ?；由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． 又因为20a -<<，所以21a -<?． ……………11分 ③ 当2a -?，即2a ?时，'()0f x £在[0,2]上恒成立，()f x 在[0,2]上为单调递减函数，()f x 的最大值为(0)f a =-，由1a -?，得1a ?， 又因为2a ?，所以2a ?．综上所述，实数a 的值范围是1a ?或2e4a ?．……………………13分解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?． 所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?．此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分 ② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF 的距离2d2=22|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==． 即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||niii d A B a b ==-å，可得(,)4d A B =. …………………………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A L ，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)m A =.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n -+-+-+-+- 123452(2)1n n n n n =++++--次，此数为奇数.又因为*1(,)2,i i d A A i +=?N ，说明i A 中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到1i A +，所以共需要改变数值2(1)m -次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分 （Ⅲ）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =. ……………13分易见当m 为12的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1分). 答出5,8,10m =给(1分).答出7,9,11m =中任一个给(1分)，都对给(2分)。
东城二模数学理科附答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x ，则A R（A ）{|2x x 或2}x （B ）{|2x x 或2}x（C ）{|22}x x （D ）{|22}x x（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+（C ）y x （D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ，则2x y 的最大值为（A ）1 （B ）0 （C ）12（D ）2（4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a ，244a a ，则6=S（A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632否1v v x 1i i1i n0i（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的着作《数书九章》中提出了九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n ，1v ，2x ，则程序框图计算的是（A ）5432222221（B ）5432222225APPAP（C ）654322222221（D ）43222221（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图P 所走的图形可能是（A）（B）（C）（D）BD（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a 和123,,,,n b b b b ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立（C ）A B ，B A 可同时不成立（D ）A B ，B A 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018北京市东城区高三综合练习{二}数 学（理）本试卷共 4 页，共 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分{选择题共 40 分)一、选择题共 8小题，每小题5分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的-项。
(1)若集合 A= {xl-1<x<2} ，B= {xlx<-2 或 x>l} ，则 AUB= A.{xlx<一2 或 x>l} B.{xlx<-2 或 x> 一 1} C.{xl-2<x<2} D.{xI1<x<2}(2)复数(1 +i)(2一i)=A.3+iB.1+iC.3-ID.1-i（3）在（x+ax ）5的展开式&x 3中的系数10,则实数 a 等于A.-1B.12 C.1 D.2（4）已知双曲线 C: x²a²-y²b²=1 的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆x²5+y ²=1有相等的焦距，则 C 的方程为 （A ）x²3- y ²（B ）x²9-y²3=1（C ）x ²-y²3=1（D ）x²3-y²9=1 (5)设 a ，b 是非零向量，则是"a//b"的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件(6)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为叫m 1，m 2 ;标准差分别为 S 1 ,S 2则下面正确的是则下面 正确的是(A)m 1>m 2，S 1>S 2 (C)m 1<m 2 ，S 1<S 2 (B)m 1>m 2，S 1<S 2 (D)m 1 <m 2，S 1 >S 2(7) 己知函数 f(x) =log 2 x ，g(x) =2x+α ，若存在x 1,x 2∈[12 ,2]，使得f(x 1) = g(X 2) ，则 a 的取值范围是A.[−5，O]B.（-∞，-5]∪[0+∞）C.(- 5，0)D.（-∞，-5）（0，+∞）(8)A ，B ，C ，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的Ⅰ型、Ⅱ型零件数，则下列说法错误的是 A.四个工人中，D 的日生产零件总数最大B.A ，B 日生产零件总数之和小于 C ，D 日生产零件总数之和C.A ，B 日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和(D)A ，B ，C ，D 日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ 型零件总数之和第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分。
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x，则A R（A ）{|2x x 或2}x （B ）{|2x x 或2}x（C ）{|22}x x （D ）{|22}x x（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C ）yx （D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y xy y，则2x y 的最大值为（A ）1 （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 15172a a ，244a a ，则6=S（A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632APP否 1v v x1i i输出v1i n0iAP（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n，1v ，2x ，则程序框图计算的是（A ）5432222221 （B ）5432222225 （C ）654322222221（D ）43222221（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）BD（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a 和123,,,,n b b b b ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立 （C ）A B ，B A 可同时不成立 （D ）AB ，BA 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ?或2}x ³ （B ）{|2x x <-或2}x >（C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -＃（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C）y =（D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ì-+?ïï+?íï³ïî，则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632APAP（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是 （A ）5432222221+++++ （B ）5432222225+++++ （C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）B D（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p（B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立（C ）A B p ，B A p 可同时不成立 （D ）A B p，B A p 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. 或B. 或C. D.【答案】A【解析】，所以，故选择A.2. 下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A和C为非奇非偶函数，为偶函数，令，定义域为，，故为奇函数，故选B.3. 若满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由约束条件，作出可行域如图：由，解得，化目标函数为直线方程的斜截式，得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，最大，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 设是非零向量，则“共线”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵数列为等比数列且，∴，又∵且为递增数列，∴，，则公比，故，故选D.6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的，则程序框图计算的是（）A. B.C. D.【答案】A7. 动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：对于、，当位于，图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除、，对于，其图象变化不会是对称的，由此排除，故选C.点睛：本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形以及应用图形的能力．体现了函数图象与实际应用的完美结合，在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给，两点连线的距离与点走过的路程的函数图象即可直观的获得解答.8. 据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和,令,若中元索个数大于,則称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格,记作: ,现有三种蔬菜下列说法正确的是（）A. 若,则B. 若同时不成立，则不成立C. 可同时不成立D. 可同时成立【答案】C点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 复数在平面内所对应的点的坐标为__________．【答案】【解析】在复平面内对应点的坐标为.10. 在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．【答案】【解析】直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解得，故答案为1.点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，以及直线与圆的位置关系，难度一般；主要是通过，，将极坐标方程转化为直角坐标方程，即可得圆与直线的方程，圆与直线相切等价于圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离即可得到结果.11. 某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门.若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有__________ 种.（用数字作答）【答案】【解析】可分为以下两类：①选一门类课程：；②选一门类课程：，则至少选一门类课程不同的选法共有种，故答案为.12. 如图，在四边形中，，则___________；三角形的面积为__________．【答案】(1). (2).13. 在直角坐标系中中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则__________．【答案】【解析】抛物线的焦点的坐标为，∵直线过，倾斜角为，∴直线的方程为：，即，代入抛物线方程，化简可得，∴，或，∵A在轴上方，故，则，则，故答案为.14. 已知函数.①若有且只有个实根，则实数的取值范围是__________．②若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是__________．【答案】(1). (2).【解析】函数图像如下图，根据上图，若只有1个实根，则；若将函数的图像向左平移T=2个单位时，如下图所得图像与的图像在上重合，此时方程有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图像，如下图观察可知或，方法点睛：本题主要考查函数图像，理解函数并画出函数图像，然后将方程有且只有1个实根转化为两个函数图像有且只有一个交点，主要考查函数零点的划归与转化能力.另外本题考查函数图像平移，将方程有且只有个不同的实根，转化为平移后两个函数图像有且只有3个交点，考法新颖、创新性强，考查学生分析问题、解决问题的能力，重点考数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数.（1）若，求的值；（2）若在上单调递减，求的最大值.【答案】(1) ; (2) .试题解析：(1)因为，所以，所以.(2)由题意.其中，所以，且，所以当时，,所以.所以，所以，所以的最大值为.考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数的单调性.16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，以下为舒适，为一般，以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）的分布列为的期望；（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.试题解析：设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主題公园”，根据题意，，且.（1）设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则，所以.（2）由题意，可知的所有可能取值为.且；；，所以的分布列为故的期望.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.考点：1.古典概型；2.离散性随机变量分布列和期望；3.方差.17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析.试题解析：（Ⅰ）取中点，连结．因为分别为中点，所以∥．又平面且平面，所以∥平面，因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形．所以∥．又平面且平面，所以∥平面，又，所以平面∥平面．又平面，所以∥平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，所以．因为平面平面，所以平面，．因为，，所以△为等边三角形．因为为中点，所以．设直线与平面成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）设是上一点，且，，因此点．．由，解得．所以在棱上存在点使得，此时．点睛：本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0.18. 设函数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) 或.试题解析：(1)当时，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.(2)“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”.因为，所以在上的最大值为.,令，得或.①当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值大为，由，得；③当，即时，在上恒成立，在上为单调递减函数，所以的最大值大为，由，得，又因为，所以，综上所述，实数的取值范围是或.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”. 19. 已知椭圆的短轴长为，右焦点为，点时是椭圆上异于左、右顶点的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与直线交于点，线段的中点为.证明：点关于直线的对称点在直线上.【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，结合离心率及可得椭圆的方程；（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”，设出直线的方程为，可解出，的坐标，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，分为当轴时，即可求得的角平分线所在的直线方程，可得证，当时，利用点到直线的距离可求出点到直线的距离，即可得结果.① 当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分．② 当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点到直线的距离．即点关于直线的对称点在直线上．20. 对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若, 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.【答案】(1) ；(2)见解析；（3）此时.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据的定义可求得其值；（Ⅱ）利用反证法，向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，根据，得出矛盾；（Ⅲ）根据题意可得.试题解析：（Ⅰ）由于，，由定义，可得.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在维向量.（Ⅲ）此时.。
2018北京市东城区高三综合练习(二)数 学（文）本试卷共 4 页，共 150 分。
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第一部分{选择题共 40 分)一、选择题共 8小题，每小题5分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的-项。
(1)若集合U=R,集合 A= {xl+1<x<0} ，B= {xlx-4≤0 } ，则C U （A∩B）= A.{xlx≤一1 或 x>4} B.{xlx≤-1 或 x<4} C.{xlX ≥-1} D.{xIx>4}(2) 某校高一年级有 400 名学生，高二年级有 360 名学生，现用分层抽样的方法在这 760 名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了 60 名学生，则在高二年级中应抽取的学 生人数为 A.66 B.54 C.40 D.36(3)执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为 9 ，则输出的y 值为 A.0 B.1 C.2 D.4(4)若 x 2<log 2(x 十1)，则x 的取值范围是 A. (0，1 B. (1，+∞) C. (-1，0) D. (0 ，+∞〕(5) 已知圆 X 2+ y 2-4x +α=0 截直线X-√3y 所得弦的长度为2√3 ,则实数a 的值为 A. -2 B.0 C.2 D.6(6)设 a ，b ，c ∈R ，则"a+b>c" 是"a>c 且 b>c" 的 A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件(7) 已知 m 是平面α的一条斜线，直线L 过平面α内一点A ，那么下列选项中能成立的是 A.L a ，且L ⊥m B.L ⊥α ，且L ⊥m C. L ⊥a ，且L ∥m D.L a ，且L ∥m （8）已知函数f ①当x ∈(-4 ，-3) 时 ，f(x)≥0; ② f(x) 在区间 (0 ，1)上单调递增; ③ f(x) 在区间(1， 3) 上有极大值; ④存在 M>O ，使得对任意 x ∈R ，都有I f(x) I ≤M. 其中真命题的序号是A.①②B.②③C.②④D. ①④ 第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分。
12020届北京市东城区2017级高三下学期二模考试数学试卷★祝考试顺利★2020.6本试卷共4页,150分。
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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题,每题4分,共40分。
在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1) 已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ,集合{}0,1,2=A ,{}5=B ,那么=⋃B A C u )((A) {}0,1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,4,5 (D) {}0,1,2,5(2) 已知三个函数33,3,log xy x y y x ===,则(A) 定义域都为R (B) 值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数(3) 平面直角坐标系中,已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),且四边形ABCD 为平行四边形,那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)- (C) (3,1)- (D) (3,3)-(4) 双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点,且4AB =,那么双曲线C 的离心率为(C) 2(5) 已知函数()log a f x x b =+的图象如图所示,那么函数()x g x a b =+的图象可能为2(A) （B ） （C ） （D ）(6) 已知向量(0,5)=a ,(4,3)=-b ,(2,1)=--c ,那么下列结论正确的是(A) -a b 与c 为共线向量 (B) -a b 与c 垂直(C) -a b 与a 的夹角为钝角 (D) -a b 与b 的夹角为锐角(7) 《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田,弧长为45米,直径为24米,那么扇形田的面积为(A) 135平方米 (B) 270平方米(C) 540平方米 (D)1080平方米(8) 已知函数2()ln f x x ax =+,那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (9) 已知一个几何体的三视图如图所示,正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的,俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体的体积是（A ）π12+（B ）π14+ （C ）π18+ （D ） 1π+(10) 函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的最小正周期是T ,已知俯视图侧（左）视图正（主）视图。
北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|40A x x =-<，则A C R = （ ）A ．{|2x x ≤-或}2x ≥B ．{|2x x <-或}2x >C ．{}|22x x -<<D ．{}|22x x -≤≤ 2. 下列函数中为奇函数的是（ ）A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y =D ．x y e -=3. 若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．2 4. 设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若152417,42a a a a +==，则6S =（ ） A ．2716 B ．278 C. 634 D ．6326. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2n x υ===，则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++C. 654322222221++++++ D ．43222221++++7. 动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ． C. D ．8. 据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,...,n a a a a 和123,,,...,n b b b b ,令{}|,1,2,...,m m M m a b m n =<=,若M 中元索个数大于34n ,則称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作:AB ,现有三种蔬菜,,A BC 下列说法正确的是（ ）A ．若,AB BC ,则 A C B ．若,A B B C 同时不成立，则A C 不成立C. ,AB BA 可同时不成立 D ．,AB B A 可同时成立第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 复数()i 2i -在平面内所对应的点的坐标为 ．10. 在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ+=与圆()2cos 0ρθ=>a a 相切，则a = ．11. 某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种.（用数字作答）12. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=∠===∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13.在直角坐标系中xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60，则OA = ．14. 已知函数()(]{}(]{}()1,0,2min 1,3,2,4min 3,5,4,x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩. ①若()f x a =有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是 ．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范闱是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2cos2(f x x a x a +⋅∈R). （1）若26π⎛⎫=⎪⎝⎭f ，求a 的值； （2）若()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求()f x 的最大值. 16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，000040~60为一般，0060以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17. 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60,2,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠====为BC 中点.（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ⊥？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由. 18. 设函数()()2(x f x x ax a e a -=+-⋅∈R ）.（1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为右焦点为()1,0F ，点M 时是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E .证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.20. 对于n 维向量()12,,...,n A a a a =，若对任意()1,2,...,i n ∈均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B 定义()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）若()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==, 求(,)d A B 的值；（2）现有一个5维T 向量序列：123,,,...A A A 若()11,1,1,1,1A =且满足：()1,2,i i d A A i N *+=∈，求证：该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.(3) 现有一个12维T 向量序列：123,,,...A A A 若()1121,1, (1)=且满足：()1,,,1,2,3,...i i d A A m m N i *+=∈=，若存在正整数j 使得()120,0,...,0,j j A A =为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题参考答案一、选择题1-4: ABCB 5-8: DACC二、填空题9.()1,2 10.1 11.14 12.21()1,+∞ ()()4,22,4--三、解答题15. 解：(1)因为2cos 22666f a πππ⎛⎫=⋅+⋅⋅=⎪⎝⎭，所以31222a +⋅=，所以1a =.(2)由题意()22f x x x ⎫=+⎪⎭()2x ϕ=+.其中tan ϕ=，所以T π=，且712122πππ-=，所以当12x π=时，max 126y f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()23k k Z πϕπ=+∈.所以tan 3a ϕ===，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x的最大值为16. 解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主題公园”()1,2,...9i =，根据题意，()19i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（1）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则47B A A =，所以()()()()474729P B P A A P A P A ==+=. （2）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2.且()()()()()478478103P X P A A A P A P A P A ===++=； ()()()()()()35693569419P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212229P X P A A P A P A ===+=，所以X 的分布列为故X 的期望()280123999E X =⨯+⨯+⨯=.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.17. 解：(1)取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE 且MN ⊄平面BDE .所以//MN 平面BDE ，因为//,2EF AB AB EF =，所以//,EF CD EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE .所以//FN 平面BDE .又FN MN N =，所以平面//MFN 平面BDE ，又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .(2) 取AD 中点O ，连结,EO BO ，因为EA ED =，所以EO AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面,ABCD EO BO ⊥，因为,60AD AB DAB =∠=，所以ADB ∆为等边三角形，因为O 为AD 中点，所以AD BO ⊥.因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -.由题意，得()()()()2,0,0,,,2,0,0A B C D --，((()()(,1,3,3,23,2,0,23,0,E F CF DE BE -=-==-.设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0n BE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则1,y x ==所以()3,1,1n =-，设直线CF 与平面BDE 所成角为α，10sin cos,CF n α==，所以直线CF 与平面ADE(3)设G 是CF 上一点，且[],0,1CG CF λλ=∈，因此点()()34,,34,G BG λλ-+=-，由0BG DE ⋅=，解得49λ=. 所以在棱CF 上存在点G 使得BG DE ⊥，此时49CG CF =. 18. 解：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()[]222x e x a x a -=-+--()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.19. 解：(1)由题意，得2221b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB ∠”.设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，则()()2,4,2,2N k E k .设点()00,M x y ，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +++-=，得2020286341234k x k k y k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.①当MF x ⊥轴时，01x =，此时12k =±，所以()()31,,2,2,2,12M N E ⎛⎫±±± ⎪⎝⎭，此时，点E 在BFM ∠的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+上，即EF 平分MFB ∠；②当12k ≠±时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--，所以直线MF 的方程为()244140kx k y k +--=，所以点E 直线MF 的距离d ==()22241241k k k BE k +===+，即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上. 20. 解：(1)由于()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==，由定义()1,ai ii d A B a b==-∑，可得(),4d A B =.(2)反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,...m A A A A ，使得()()11,1,1,1,1,0,0,0,0,0m A A ==，因为向量()11,1,1,1,1A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第()1,2,3,4,5i i =个分量1变化了121n -次之后变成0，所以将1A 中所有分量1变化为0共需要()()()()()123452*********n n n n n -+-+-+-+-()12345221n n n n n =++++--次，此数为奇数，又因为()1,2,i i d A A i N *+=∈，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1i A +，所以共需改变数值()21m -次，此数为偶函数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.（3）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =.。
东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）D （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9（10）40 （11）6（12）己巳 （13）32 （14）11,0,2()10,0.2x g x x x 或⎧≤<⎪⎪=⎨⎪<≥⎪⎩ 4三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设22225c a b ab a ab =++=+，得2b a =．由正弦定理sin sin a b A B =，sin sin b Ba A=， 得sin 2sin BA=． ……………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3A B π∠+∠=． sin sin sin sin()3A B A A π⋅=⋅-1sin (cos sin )22A A A =⋅-112cos 2444A A =+- 11sin(2)264A π=+-． 因为03A π<∠<， 所以当6A π∠=，sin sin A B ⋅取得最大值14．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）5a =．由表1知使用Y 共享单车方式人群的平均年龄的估计值为：Y 方式：2020%3055%+4020%+505%=31?创?.答：Y 共享单车方式人群的平均年龄约为31岁. ……………5分（Ⅱ）设事件i A 为“男性选择i 种共享单车”，12,3i =， 设事件i B 为“女性选择i 种共享单车”，12,3i =，设事件E 为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”. 由题意知，213132E A B A B A B = . 因此213132()()()()P E P A B P A B P A B =++0.58=.答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.……11分（Ⅲ）此结论不正确. ……………………………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，因为45ABC ? ，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABC ，CD Ì平面ABC ，所以CD ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ， 所以CD ⊥AE ．在等边△PAD 中，AE 为中线， 所以AE PD ⊥． 因为PD DC D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． ……………………………5分 （Ⅱ）在△PAB 中，取AD 中点O ，连接PO ，所以PO AB ^．在平面ABC 中，过O 作CD 的平行线，交AC 于G ． 因为平面PAB ⊥平面ABC ， 所以PO ⊥平面ABC ． 所以PO OG ^．因为,,OG OB OP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -． 设4AB a =，则相关各点坐标为：(0,,0)A a -，(0,3,0)B a ，(2,,0)C a a，)P ，(0,,0)D a ，(0,)2a E ，(,)2a Fa ．(2,2,0)AC a a =u u u r ，(0,,)PA a =-u u r．设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,ACPA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu rn n ，即0,0.x y y+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，则y =x =． 所以=n ．平面PAB 的法向量为(2,0,0)DCa=， 设,DC n 的夹角为α，所以cos α=由图可知二面角B PA C --为锐角，所以二面角B PA C --的余弦值为7．…………………………10分 （Ⅲ）设M 是棱PB 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PB λ=uuu r uu r．因此点(0,3(1))M a λλ-，(2,(3(1))CM a a λλ=---u u u r．由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAB ，AE ⊥PD ． 所以CD ⊥PD ． 因为EF ∥CD ， 所以EF PD ⊥． 又AE EF E =， 所以PD ^平面AEF ． 所以PD 为平面AEF 的法向量．(0,,)PD a =u u u r．因为CM ⊄平面AEF ，所以CM ∥平面AEF 当且仅当0CM PD ⋅=u u u r u u u r，即(2,(31(1))(0,,)0a a a λλ---⋅=．解得23λ=． 因为2[0,1]3λ=∈，所以在棱PB 上存在点M ，使得CM ∥平面AEF ， 此时23PM PB λ==． …………………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞．当1m =-时，1()2ln f x x x x=++， 所以221'()1f x x x=-+． 因为(1)2f =且'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y -=．…………4分 （Ⅱ）若函数)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，则'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立． 即2210m x x --≤在(0,)+∞上恒成立． 即221x m x -≤在(0,)+∞上恒成立． 设221()(0)g x x x x=->， 则max [()]m g x ≥． 因为22211()(1)1(0)g x x x x x=-=--+>， 所以当1x =时，()g x 有最大值1．所以m 的取值范围为[1,)+∞． ……………………9分（Ⅲ）因为b a <<0，不等式ln ln b ab a -<-ln ln b a -<．即lnb a <(1)t t >，原不等式转化为12ln t t t <-．令1()2ln h t t t t=+-， 由（Ⅱ）知1()2ln f x x x x=+-在(0,)+∞上单调递减，所以1()2ln h t t t t=+-在(1,)+∞上单调递减． 所以，当1t >时，()(1)0h t h <=． 即当1t >时，12ln 0t t t+-<成立． 所以，当时b a <<0，不等式ln ln b a b a -<-13分 （19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2222,b caa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>． 射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002yy x x =-， 所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=． 过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--． 由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得2201102()42y x x x +=+， 即2220010222200004(2)4(2)2(2)2(2)4x x x x x y x x ++===+++++-，同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）由于{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，所以{6,7,8,9,10}N =，{5,6,7,8,9}N =，{4,5,6,7,8}N ={3,4,5,6,7}N =，{2,3,4,5,6}N =，回答其中之一即可 ………3分（Ⅱ）若集合12{,,,}n A a a a =L ，如果集合A 中每个元素加上同一个常数t ，形成新的集合12{,,,}n M a t a t a t =+++L . ……………5分根据1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑定义可以验证：()()T M T A =. ……………6分取1nii C a t n=-=∑，此时11112{,,,}nnniiii i i n C a C a C a B a a a nnn===---=---∑∑∑L .通过验证，此时()()T B T A =，且1nii b C ==∑. ……………8分（Ⅲ）由于2m ³21314121()()()()()m T A a a a a a a a a =-+-+-++-L324222()()()m a a a a a a +-+-++-L4323()()m a a a a +-++-LM221()m m a a -+-121212=(21)(23)(23)(21)m m m mm a m a a a m a m a +-------+++-+-L L 212121=(21)()(23)()()m m m m m a a m a a a a -+--+--++-L2121=(21)()(23)()()m m m m b a m a a a a -+--+--++-L ………11分由于2120m a a b a -<-<-，2230m a a b a -<-<-， 2340m a a b a -<-<-，M10m m a a b a +<-<-.所以2(21)()()()m b a T A m b a --<<-.………13分。
北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答 案1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．(1,2) 10．1 11．1412．211314．①(1,)+∞；②4,2)(2,4)--U (15．解（Ⅰ）因为πππ()2cos22666f a =+=g g g ,31222a +=Qg ． 故得：1a =．（Ⅱ）由题意：()),tanf x x θθ=+其中∴函数的周期πT =,且7πππ12122-=,所以当π12x =时,函数()f x 取得最大值,即max ππ()())126f x f θ=+=,πsin()16θ∴+=,π2π,.tan 3.3k k a θθ∴=+∈∴===Z因此()f x 的最大值为16．解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(i 1,2,,9)=L ． 根据题意,1()9i P A =,且事件i A 与j A 互斥．（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”, 则47B A A =U ．所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=U ． （Ⅱ）由题意,可知X 的所有可能取值为0,1,2,4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++=U U ,356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=U U U , 12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=U ． 所以X 的分布列为X 012P13 49 29故X 的期望1428()0123999E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大． 17．证明：（Ⅰ）,CD N MN FN 取中点连结、． 因为,,,N M CD BC MN BD 分别为中点所以∥．,,BD BDE MN BDE MN BDE ⊂⊄又平面且平面所以∥平面,因为//,2,,EF AB AB EF EF CD EF DN ==所以∥． 所以四边形EFND 为平行四边形．所以FN ED ∥． 又ED BDE FN BDE ⊂⊄平面且平面, 所以FN BDE ∥平面,又,FN MN N MFN BDE =I 所以平面∥平面． 又,FM MFN FM BDE ⊂平面所以∥平面． 解：（Ⅱ）,,AD O EO BO 取中点连结． 因为,EA ED EO AD =⊥所以．因为平面,,ADE ABCD EO ABCD EO BO ⊥⊥⊥平面所以平面． 因为,60,AD AB DAB ADB =∠=︒所以△为等边三角形． 因为,O AD AD BO ⊥为中点所以． 因为,,,4,EO BO AO AB =两两垂直设以,,,,,O OA OB OE x y z 为原点为轴,如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得,2,0,0A (),B,(C -,2,0,0D (-),E,(F -．(3,CF =u u u r,CE =u u u r,(3,BE =-u u u r． 设平面BDE 的法向量为n r,,x y z =(),则00n BE n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g ,即00y z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩, 令11z y ==,则,x =．所以(n =．设直线CF BDE α与平面成角为,sin |cos ,n |CF α=<>=u u u r ,所以直线CF ADE 与平面． （Ⅲ）设G CF 是上一点,且CG CF λ=u u u r u u u r,1[]0,λ∈．因此点(34,)G λ-+．(34,)BG λ=-u u u r． 由0BG DE =u u u r u u u r g ,解得49λ=．所以在棱CF G BG DE ⊥上存在点使得,此时49CG CF =．18．解：（Ⅰ）当20e x a f x x -==Q 时,(), ∴22e ,13e x f x x x f -'=-+∴'--()()()=． 又∵1e f -=(),∴曲线()(1,(1))y f x f =--在点处的切线方程为：e 3e(1)3e 2e 0y x x y -=-+++=,即．（Ⅱ）“对任意的0,20,[],[]2t s f s g t ∈∈≥存在使得()()成立”, 等价于“在区间0,2,[]f x g x 上()的最大值大于或等于()的最大值”． ∵2215()1()24g x x x x =--=--, ∴0,2[]21g x g =()在上的最大值为()．2'2e x x f x x a x ax a e --=+-+-g g ()()()=2e 22[]x x a x a -+--=()e 2x x x a --+()(),令0,2,f x x x a '===-()得或． ①当0,0,a a -＜即＞时00[202[]]f x f x '()＞在，上恒成立,()在，上为单调递增函数,2124ef x f a =+g ()的最大值为()(),由22141,e 4ea a +≥≤-g ()得②当02,20a a --＜＜即＜＜时,当00,x a f x f x ∈-'(,)时,()＜()为单调递减函数, 当(,2)'()0,()x a f x f x ∈--时,＞为单调递增函数． ∴21()(0)(2)(4)f x f a f a e =-=+g的最大值为或,由1,1;(4)a a a -≥≤-+得由211e≥g,得2e 4a ≤-． 又∵20,21a a -∴-=＜＜＜． ③当22a a -＞,即＜-时,00[202[]]f x f x '()＜在，上恒成立,()在，上为单调递减函数,0f x f a =-()的最大值为(),由1,1a a -≥≤-得, 又因为2,2a a ＜-所以＜-．综上所述,实数a 的值范围是2{|}14x a a e ≤-≥-或．19．解：（Ⅰ）由题意得2b =则b 2221,4,2c a b c a ==+==则则,∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）证明：“”“B EF MF EF MFB ∠点关于直线的对称点在直线上等价于平分”．设直线202,4,2,2AM y k x k N k E k =+≠的方程为()(),则()()． 设点00,M x y (),由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2222431616120k x k x k +++-=(),由韦达定理可知2021612234k x k --=+,则2028634k x k -+=+,00212234k y k x k =+=+(), ①当01,1,2MF x x k ⊥==±轴时此时．则31,2M ±(),2,2N ±(),2,1E ±()．此时,点11E BFM y x y x ∠=-=-+在的角平分线所在的直线或, 即EF MFB ∠平分． ②当12k ≠时,直线MF 的斜率为0204114MF y kk x k ==--,所以直线244140MF kx k y k +--=的方程为()． 所以点E 到直线MF 的距离2222|2(41)||41|k k d k +==+2k BE ==． 即点B EF MF 关于直线的对称点在直线上,综上可知：点B EF MF 关于直线的对称点在直线上．20．解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =,(0,1,1,1,0)B =,由定义1(,B)||ni i i d A a b ==-∑,可得,4d A B =()．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含5维T 向量序列,123,,,,n A A A A L , 使得1(1,1,1,1,1)(0,0,0,0,0,0)m A A ==,．因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0,都需要奇数次变化, 不妨设1i i i 1,2,3,4,5121A n =的第()个分量变化了-次之后变成0, 所以将1A 中所有分量1变为0共需要:1234(21)(21)(21)(21)n n n n -+-+-+-521n +=（-）2123452n n n n n ++++-（）1-次,此数为奇数．又因为1,,*i i d A A m m +=∈N (),说明i A 中的分量有2个数值发生改变,进而变化到1,21i A m +所以共需要改变数值(-)次,此数为偶数,所以矛盾． 所以该序列中不存在5维T 向量0,0,0,0,0()．（Ⅲ）存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A =L 14243个,j A 为12维T 向量序列中的项,此时m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．解 析1．解：集合2{|}{4022|}A x x x x ==-＜-＜＜, 则}2|2{RA x x x =≤≥-或ð． 故选：A ．2．解：对于A 非奇非偶函数,不正确； 对于B ,计算,正确,对于C ,非奇非偶函数,不正确； 对于D ,偶函数,不正确, 故选：B ．3．解：作出x y ，满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由100x y x y -+=⎧⎨+=⎩,解得A 11(,)22-,设2z F x y x y ==+（，）,将直线2l z x y =+：进行平移, 当l 经过点A 时,目标函数z 达到最大值 ∴z F =最大值11(,)22-=12． 故选：C ．4．解：“||||||a b a b +=+r r r r ”⇒“,a b r r 共线”,反之不成立,例如0a b =-≠r r r．∴a r ,b r 是非零向量,则“a r ,b r共线”是“||||||a b a b +=+r r r r ”的必要不充分条件．故选：B ．5．解：设递增的等比数列{}n a 的公比为q ,∵15172a a +=,244a a =15a a =, 解得112a =,58a =． 解得2q =,则6S =61(21)632212-=-． 故选：D ．6．解：模拟程序的运行,可得5124n v x i ====，，，满足条件i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件0i ≥,执行循环体,72v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,151v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,310v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,631v i ==，﹣ 不满足条件0i ≥,退出循环,输出63v 的值为． 由于25+24+23+22+2+1=63． 故选：A ．7．解：由题意可知：对于A B P A B 、，当位于，图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除A 、B ,对于D ,其图象变化不会是对称的,由此排除D , 故选C ．8．解：若12i i a b i n ==L ，，，, 则A B B A <<，同时不成立, 故选C ．9．解：复数221i i i =+（﹣）在复平面内所对应的点的坐标为（1,2）． 故答案为：(12)，．10．解：直线ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程：10x ++=．圆2cos 0a a ρθ=（＞）即22cos 0a a ρρθ=（＞）,可得直角坐标方程：222x y ax +=,配方为：222x a y a -+=（）．可得圆心(0)a a ，，半径．∵直线10cos sin ρθθ+=与圆20acos a ρθ=（＞）相切, ∴|1|2a +0a a =，＞,解得1a =． 故答案为：1．11．解：根据题意,分2种情况讨论：①．选择1门B 类课程,需要选择A 类课程3门,则B 类课程有122C =种选法,A 类课程有344C =种选法, 此时有248⨯=种选择方法；②．选择2门B 类课程,需要选择A 类课程2门,则B 类课程有221C =种选法,A 类课程有246C =种选法, 此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法； 故答案为：14．12．解：CBD △中,由余弦定理,可得,2BD =, ABD △中,利用正弦定理,可得2sin 452sin105AD ︒==︒,∴三角形ABD的面积为1122)122⨯⨯⨯=,故答案为21．13．解：抛物线24y x =的焦点F 的坐标为（1,0） ∵直线l F 过,倾斜角为60︒,即斜率k tan α=, ∴直线l 的方程为：y=1)x ﹣,即1x y =+, 214x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,解得：3y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,13y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由点(3A x A 在轴上方，则,则OA则OA =14．解：①|1|,(0,2]()|x 3|,(2,4]|x 5|,(4,)x x f x x x -∈⎧⎪-∈⎨⎪-∈+∞⎩,作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知当1()a f x a =＞时，只有1解．②∵关于()()x f x T f x +=的方程有且仅有3个不同的实根,∴将f x T （）的图象向左或向右平移个单位后与原图象有3个交点, ∴24T ＜＜,即4224T T ﹣＜＜﹣或＜＜．故答案为：①(1)4,2)(24)+∞-U ，，②(﹣，． 15．（Ⅰ）根据π()26f a =，即可求的值；（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y Asin x ωϕ=+（）的形式,结合三角函数的图象和性质,()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得最大值． 16．设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(129)i =L ，，，．根据题意1()9i P A =,,且事件i A 与j A 互斥．（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则47B A A =U ．利用互斥事件的概率计算公式即可得出． （Ⅱ）由题意,可知X 的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出． （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）CD N MN FN EFND 取中点，连结、，推导出四边形为平行四边形．从而//FN //////ED FN BDE MFN BDE FM BDE ．进而平面，由此能证明平面平面，从而平面．（Ⅱ）AD O EO BO O OA OB OE x y z 取中点，连结，．以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标O xyz CF ADE 系-，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．（Ⅲ）设G CF 是上一点,且CG CF λ=u u u r u u u r ,]1[0λ∈，．利用向量法能求出在棱CF G 上存在点使得BG DE ⊥,此时49CG CF =． 18．（Ⅰ）当202a f x x x e x ='=+-时，（）（-）,由此能求出曲线y f x =（）在点（1(1)f --，)处的切线方程． （Ⅱ）“对任意的0202[][]t s f s g t ∈∈≥，，存在，使得（）（）成立”, 等价于“在区间]0[2f x g x ，上，（）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出[0]2g x （）在，上的最大值为- 11 - / 1121'202g f x e x x x a f x x x a ==--+'===-（）．（）（）（），令（），得，或．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知22214b c a b c ==+=，,即可求得椭圆方程；（Ⅱ）由“点”“”B EF MF EF MFB AM ∠关于直线的对称点在直线上等价于平分设直线的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得M MF x k ⊥点坐标，分类讨论，当轴时，求得的值,即可求得11N E E BFM y x y x ∠=-=-+和点坐标，求得点在的角平分线所在的直线或,则EF MFB ∠平分,当12k ≠时,即可求得直线MF 的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得2||d BE ==,则点B EF MF 关于直线的对称点在直线上．20．（Ⅰ）由于1010101110A B ==（，，，，），（，，，，）,由定义1(,B)||ni i i d A a b ==-∑,求d A B （，）的值． （Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A =L 14243个,12j A T m 为维向量序列中的项，求出所有的．。
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2０17年北京市东城区高考数学二模试卷(理科）一、选择题共８小题,每小题5分,共4０分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝｛x｜ｘ2﹣4＜0},则∁ＲA=( ）A.｛ｘ|x≤﹣2或ｘ≥2｝ﻩB．｛x|ｘ＜﹣2或x>2}ﻩC．｛x|﹣2<x<２}ﻩD.{ｘ｜﹣２≤x≤２} 2．下列函数中为奇函数的是（)A.y=ｘ＋coｓｘﻩＢ.y＝x＋sinx C. D.y=ｅ﹣|x｜３.若x，ｙ满足,则x＋2y的最大值为（)A.﹣1ﻩB.0ﻩC.ﻩＤ．２4．设,是非零向量,则“，共线”是“｜+｜＝||+||”的( ）A．充分而不必要条件ﻩＢ．必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等比数列{ａｎ}为递增数列，Sｎ是其前ｎ项和．若a1+a５＝,a２ａ4=４,则S6＝( )Ａ． B.C．ﻩD．6.我国南宋时期的数学家秦九韶(约1２02﹣12６1）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，ｖ=1,ｘ=2，则程序框图计算的是( )A．2５+24＋2３+22＋２+1ﻩB．２5+24+２3＋22+2+5C.２6+25+２4+23+2２＋2+1ﻩD．24＋２３＋22+２+17．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是( ）Ａ.B．Ｃ．ﻩD.8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1,a２，ａ3，…,a n,和b1，b2,b3，…，b n,令Ｍ=｛ｍ|a m<b m,ｍ=1,2,…,n｝，若M中元素个数大于n，则称蔬菜Ａ在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作:A Ｂ，现有三种蔬菜Ａ，B,C，下列说法正确的是（）A.若A B,B C,则A CB.若A B,Ｂ C同时不成立，则Ａ C不成立C.Ａ B,B A可同时不成立Ｄ.Ａ Ｂ,B Ａ可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.复数i(２﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为 .10．在极坐标系中,直线ρｃosθ＋ρsｉnθ+1=０与圆ρ=2acoｓθ（a＞0）相切，则a ＝.１1.某校开设A类选修课4门，B类选修课２门,每位同学需从两类选修课中共选４门，若要求至少选一门Ｂ类课程，则不同的选法共有种．(用数字作答）12.如图,在四边形AＢCD中，∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=１，DC＝2,cos∠BCD=，则BD= ;三角形ABD的面积为．13．在直角坐标系xOｙ中，直线l过抛物线ｙ2=４x的焦点F,且与该抛物线相交于Ａ,Ｂ两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|= ．１4.已知函数①若ｆ(x)=a有且只有一个根,则实数ａ的取值范围是.②若关于x的方程ｆ（x+T）＝f（x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共８0分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．1５．已知函数ｆ(x）=sｉn２x+a•cos２x（a∈R）．（Ⅰ)若f（）=２,求a的值；(Ⅱ）若f（x）在[，］上单调递减,求f（ｘ)的最大值.16.小明计划在8月１１日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,４0％以下为舒适，40%﹣60%为一般，６０％以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择８月１1日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览２天．(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.如图，在几何体ＡBＣＤEF中，平面AＤE⊥平面ＡBＣD，四边形ＡBＣD为菱形，且∠DAB ＝60°,EA=ED=AB=2EF，EＦ∥AB,M为BC中点.（Ⅰ）求证：FM∥平面BDＥ；（Ⅱ)求直线CＦ与平面BDE所成角的正弦值;（Ⅲ）在棱CF上是否存在点Ｇ,使ＢG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由.１8．设函数f（x）=(x2+aｘ﹣a)•ｅ﹣x（a∈Ｒ）．(Ⅰ）当a=0时，求曲线y=ｆ(x）在点（﹣１,ｆ(﹣1）)处的切线方程；(Ⅱ）设g(x）=x2﹣x﹣１,若对任意的t∈［0,2],存在ｓ∈[0，2］使得ｆ(s）≥g(t)成立,求a的取值范围．１9．已知椭圆Ｃ：=１(ａ>b>０）的短轴长为２,右焦点为Ｆ（1,0）,点M是椭圆C上异于左、右顶点Ａ，B的一点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；（Ⅱ）若直线ＡM与直线ｘ=2交于点N,线段BN的中点为E.证明:点B关于直线EＦ的对称点在直线MＦ上.２0．对于n维向量A=（a１,a２,…,a n)，若对任意ｉ∈｛1,２,…,n｝均有aｉ=０或ａi=1,则称A 为n维Ｔ向量．对于两个n维T向量A，B,定义ｄ（A，B）=.(Ⅰ)若Ａ=(1，0,1，0,1），B=(０,1,１，1，０）,求d（A,B)的值．(Ⅱ)现有一个5维T向量序列：A1,Ａ2,A3,…，若A1=(1,1,1,1,１）且满足：d（A i,Ａi+1）=2,i ∈N*.求证：该序列中不存在５维T向量（0,０,0,０，０）.（Ⅲ)现有一个1２维T向量序列：A１，A２，A3,…，若且满足:d（Ａｉ，A i+)=ｍ,ｍ∈N*,i=１,２，3,…，若存在正整数ｊ使得,A j为1２维Ｔ向量序列１中的项，求出所有的ｍ.2017年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题５分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.１．已知集合A={x|x2﹣4<0}，则∁RＡ=( )A.｛ｘ｜x≤﹣２或x≥２} B．{x|x＜﹣2或x>2} C．{x|﹣2<x<2｝D.｛x｜﹣2≤x≤2}【考点】1F:补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A,根据补集的定义计算∁ＲＡ.【解答】解：集合A=｛x|ｘ２﹣4<0}={x｜﹣2＜x＜２}，则∁ＲＡ={ｘ｜x≤﹣2或x≥2}.故选：Ａ.2.下列函数中为奇函数的是( )A.y=x+cosｘﻩＢ.y＝x+sinｘC．Ｄ.y=e﹣|ｘ｜【考点】3K:函数奇偶性的判断.【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．【解答】解:对于A非奇非偶函数，不正确；对于Ｂ，计算,正确,对于C，非奇非偶函数，不正确;对于D,偶函数，不正确,故选:B．３．若x，y满足，则x＋2y的最大值为( ）A．﹣1 B．0 C.D.２【考点】７C:简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABＣ及其内部，再将目标函数z=x+２y对应的直线进行平移，判断最优解,然后求解z取得的最大值．【解答】解：作出x,y满足表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由,解得A（﹣,）,设z＝F(x,y)=x+2ｙ,将直线ｌ:ｚ=x+２y进行平移,当l经过点Ａ时,目标函数z达到最大值∴ｚ最大值=Ｆ(，)=．故选:C．４．设，是非零向量,则“，共线”是“|+|=||+||”的（）Ａ.充分而不必要条件Ｂ.必要而不充分条件C.充分必要条件ﻩD．既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“|+|=||+｜|”⇒“，共线”,反之不成立，例如.【解答】解：“｜+|=｜｜+｜｜”⇒“，共线”，反之不成立，例如.∴,是非零向量，则“，共线”是“|＋｜=||＋｜|”的必要不充分条件．故选：B.５.已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和.若ａ１+a5=,a２ａ４＝4,则S６=（) A. B.ﻩC.ﻩD.【考点】８9:等比数列的前ｎ项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解:设递增的等比数列{a n}的公比为q,∵a１+a５=，ａ2ａ4=4＝a1a５，解得ａ1=,a５=8.解得q=2，则S6=＝.故选:D.６．我国南宋时期的数学家秦九韶（约１20２﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n ＝5,v=1，x=２,则程序框图计算的是( ）Ａ．25＋2４＋２３+2２+２＋1 B．25+24＋23+22+２+5Ｃ．２6＋25+２4+2３+22+2＋1ﻩD．24＋23+22+２＋1【考点】EF:程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的ｉ,v的值，当ｉ=﹣1时，不满足条件ｉ≥0,跳出循环,输出v的值为６３,即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=５，ｖ=1,x＝2，i=４满足条件i≥0，执行循环体，ｖ=3,i=３满足条件i≥0,执行循环体,v=7,i=２满足条件i≥0,执行循环体,ｖ=１5,i=1满足条件ｉ≥０,执行循环体,v＝3１，i＝0满足条件i≥0，执行循环体,v=63,ｉ=﹣1不满足条件i≥0，退出循环,输出v的值为63．由于２5+２４＋23+22＋2+1=63．故选:A．７．动点Ｐ从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A,Ｐ两点间的距离y 与动点Ｐ所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．ﻩＢ.ﻩC．D．【考点】3O:函数的图象.【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点,包括对称性、圆滑性等,再结合所给A,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解:由题意可知:对于A、Ｂ,当P位于Ａ，Ｂ图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线,由此即可排除Ａ、Ｂ，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除Ｄ,故选C．８．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为ａ1,a2,a3,…,a n，和ｂ1,b2,ｂ3，…,ｂn,令Ｍ＝{m｜ａm＜b m，m=1,2,…,n}，若Ｍ中元素个数大于n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作：A Ｂ，现有三种蔬菜A,B，C，下列说法正确的是( )A．若A Ｂ，B C，则Ａ CB.若Ａ Ｂ，B C同时不成立，则A C不成立C.Ａ B,B Ａ可同时不成立D．Ａ B,B A可同时成立【考点】F4:进行简单的合情推理.【分析】令a i=ｂｉ，ｉ＝1,2，…ｎ,即可判断C正确.【解答】解：若ａi=ｂi,i=1,2,…n,则A B，Ｂ A同时不成立,故选C．二、填空题共6小题,每小题5分，共３0分.9．复数i(2﹣ｉ)在复平面内所对应的点的坐标为(１,2) ．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解：复数ｉ（２﹣ｉ）=２i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．故答案为:(1,2)．10.在极坐标系中,直线ρcoｓθ+ρｓinθ+1=0与圆ρ＝2acｏsθ(a＞0）相切,则a＝1 ．【考点】Ｑ4:简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=０化为直角坐标方程：x＋y+1=0.圆ρ＝2acoｓθ(a>0)即ρ2=２ρaｃｏsθ（a>0),可得直角坐标方程：x2+ｙ２=2ax,配方为:（x ﹣a)2＋ｙ2=ａ2．可得圆心（a，０）,半径a.∵直线ρcosθ+ρsinθ＋1=0与圆ρ=2acoｓθ(a＞0）相切,∴=a，a>0，解得a=1.故答案为:１．１1．某校开设Ａ类选修课4门，Ｂ类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有14 种.(用数字作答）【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意,分2种情况讨论:①、选择１门B类课程，需要选择A类课程3门，②、选择2门B类课程，需要选择Ａ类课程2门，由分步计数原理计算每种情况的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意，分2种情况讨论:①、选择1门B类课程,需要选择A类课程3门,则B类课程有C21=2种选法,A类课程有C４3=4种选法，此时有2×4＝8种选择方法；②、选择2门B类课程，需要选择A类课程２门,则B类课程有C2２＝１种选法,A类课程有C42=６种选法，此时有１×6=6种选择方法；则一共有8+6=１４种不同的选法；故答案为：１4.1２．如图，在四边形ＡBCD中，∠ABＤ=４5°，∠AＤB=30°，BC=１，ＤC=2,coｓ∠BCＤ=，则BD= 2 ;三角形ＡBＤ的面积为﹣1 ．【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】△ＣＢD中,由余弦定理,可得，ＢD，△ＡBＤ中,利用正弦定理，可得AＤ,利用三角形的面积公式,可得结论.【解答】解:△CBD中,由余弦定理,可得,BＤ＝=２，△ＡBD中,利用正弦定理，可得ＡD==2﹣2,∴三角形ＡBD的面积为（2﹣2)×＝﹣1,故答案为２，﹣1.１3．在直角坐标系xＯy中，直线l过抛物线y２=4ｘ的焦点Ｆ，且与该抛物线相交于A,B两点,其中点Ａ在x轴上方．若直线ｌ的倾斜角为60°，则|OA|= ．【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】由题意可知求得直线l的方程,代入抛物线方程,点A在x轴上方,即可求得A点坐标，利用两点之间的距离公式,即可求得丨ＯA丨．【解答】解:抛物线y2＝４x的焦点F的坐标为(1,０)∵直线ｌ过Ｆ,倾斜角为60°，即斜率k＝tanα=，∴直线l的方程为：y＝(x﹣１)，即ｘ=ｙ+1，,解得:，，由点A在x轴上方，则A(3,2)，则｜OA｜==，则丨OA丨＝,故答案为:.14．已知函数①若f(x）=ａ有且只有一个根，则实数ａ的取值范围是(１,＋∞) .②若关于x的方程f（ｘ+Ｔ)=f（x）有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是(﹣4,﹣２)∪(2,4) ．【考点】54:根的存在性及根的个数判断．【分析】①作出ｆ(ｘ)的图象,根据图象判断;②将f（x)的图象平移,只需与原图象有３个交点即可.【解答】解:①ｆ(ｘ)=，作出f（x）的函数图象如图所示:由图象可知当a＞1时,ｆ(x）＝a只有1解.②∵关于x的方程f（ｘ＋T)=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将ｆ(ｘ)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有３个交点,∴2＜｜T｜<4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为：①（１，＋∞）,②(﹣4,﹣2）∪(2,４）.三、解答题共6小题,共８0分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.１5．已知函数f（x）=ｓin2x+a•cos２x（a∈R）．（Ⅰ)若f（）＝2，求ａ的值；(Ⅱ)若f(x）在［，］上单调递减,求ｆ（ｘ）的最大值.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H２：正弦函数的图象.【分析】（Ⅰ）根据f（)＝２,即可求a的值；(Ⅱ)利用辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asｉn(ωx+φ）的形式,结合三角函数的图象和性质，ｆ(x)在［,］上单调递减，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ)因为,∵.故得：a=1．（Ⅱ)由题意:f(x)=,其中taｎ,∴函数的周期Ｔ=π,且，所以当x=时,函数f(x）取得最大值，即f（ｘ)max＝ｆ（）═=，∴sin()=1,∴,k∈Z．∴ｔａnθ==,∴a=3．故得．因此f（x)的最大值为.1６．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园.根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度"(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，４0％以下为舒适,40%﹣６0%为一般,60％以上为拥挤)情况如图所示.小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?(结论不要求证明)【考点】ＣＨ：离散型随机变量的期望与方差;CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】设Ａi表示事件“小明８月１1日起第ｉ日连续两天游览主题公园”(i＝１,2,…，９).根据题意，,且事件Ａi与Aｊ互斥.(Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤",则B=A4∪A7．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．(Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0，1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出.(Ⅲ）从８月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．【解答】解:设Aｉ表示事件“小明8月１1日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2,…,９）．根据题意,,且事件Ａi与A j互斥.…(Ⅰ)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤＂,则B=A4∪Ａ7．…所以.…（Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,…,…，…. …所以Ｘ的分布列为Ｘ01２P…故X的期望．…(Ⅲ)从8月１6日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…1７．如图,在几何体ABＣDＥF中,平面ADＥ⊥平面ＡBCD,四边形ABCD为菱形,且∠ＤAＢ=60°,EA＝EＤ=ＡB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FＭ∥平面BDE;（Ⅱ）求直线CF与平面ＢＤE所成角的正弦值;(Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BＧ⊥DE？若存在,求的值；若不存在,说明理由.【考点】LＳ：直线与平面平行的判定;MＩ：直线与平面所成的角.【分析】（Ⅰ）取CＤ中点N,连结MＮ、ＦN，推导出四边形EFND为平行四边形.从而FN∥ED.进而ＦＮ∥平面BDE，由此能证明平面MＦＮ∥平面ＢＤE，从而ＦM∥平面BDE．(Ⅱ)取AD中点Ｏ,连结EO，BＯ.以O为原点,OA，OＢ,OE为x，y,ｚ轴,建立空间直角坐标系Ｏ﹣xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ)设G是CF上一点,且,λ∈[0,１].利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG ⊥DＥ，此时．【解答】(共1４分）证明:（Ⅰ)取ＣD 中点N,连结MN、FN.因为N，Ｍ分别为CＤ,BC中点,所以MN∥BD．又ＢD⊂平面ＢDＥ,且ＭＮ⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE，因为ＥF∥AB,AB＝2ＥF，所以ＥF∥ＣD,EF=DN．所以四边形ＥFND为平行四边形．所以ＦN∥ED.又ED⊂平面ＢDE且FN⊄平面BＤE，所以FＮ∥平面ＢDE，…又ＦN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．…又ＦＭ⊂平面MＦＮ,所以FM∥平面BＤE. …解:（Ⅱ）取ＡD中点O,连结ＥＯ,BO．因为EＡ＝ED，所以ＥＯ⊥ＡD．因为平面ADE⊥平面ＡBCD，所以ＥＯ⊥平面ABCD，EO⊥ＢO．因为AD=AＢ,∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形.因为Ｏ为ＡＤ中点，所以AD⊥BO.因为EO，ＢO,ＡO两两垂直,设AＢ＝4，以Ｏ为原点,OA,OＢ,OＥ为ｘ,y,ｚ轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xy ｚ. …由题意得，A(2，０,0）,,,D(﹣2，0,0),，．…,,.设平面BＤE的法向量为=(x,y，ｚ),则，即,令z=1,则y=1，．所以．…设直线CＦ与平面BDE成角为α,，所以直线CＦ与平面ADE所成角的正弦值为．…(Ⅲ）设Ｇ是CF上一点，且,λ∈[0,１］. …因此点. ….由,解得．所以在棱CF上存在点Ｇ使得BG⊥DE，此时.…18．设函数ｆ（x)=（ｘ2+ax﹣a）•ｅ﹣x(ａ∈R).(Ⅰ）当ａ=０时,求曲线y=f（x)在点(﹣1，f（﹣1）)处的切线方程;（Ⅱ)设ｇ（ｘ)＝x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[０,2],存在s∈[0，2]使得f(s）≥g（t）成立，求a的取值范围．【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(Ⅰ）当ａ=０时，f′(ｘ)＝（﹣x2+２x)e﹣ｘ,由此能求出曲线ｙ=ｆ（x)在点(﹣1，f（﹣１)）处的切线方程.(Ⅱ)“对任意的ｔ∈［0,2]，存在s∈[0,2］使得ｆ（s）≥g（t)成立＂,等价于“在区间［0,2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x)的最大值”．求出g(x）在［0,2］上的最大值为ｇ(２)＝１．f'(x）＝e﹣x（x﹣2)(x+a),令f′(x）=0,得ｘ=２，或x=﹣a. 由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数ａ的值范围．【解答】(共１3分）解：(Ⅰ）当ａ=0时，∵ｆ(ｘ)=x2ｅ﹣x,∴f′(x）＝(﹣x2+２x）e﹣x,…,∴f′(﹣1)﹣3e. …又∵f(﹣1)=e，…∴曲线y=f（ｘ）在点(﹣1，f（﹣1)）处的切线方程为:ｙ﹣e=﹣3ｅ(x+1),即３ex＋y＋2ｅ＝0. …(Ⅱ）“对任意的t∈［0,2]，存在ｓ∈［0，2]使得ｆ（s)≥g(t)成立",等价于“在区间［０，2］上，ｆ(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值". …∵，∴g(x)在［0,2］上的最大值为g（2)=１．f'(x)=(２ｘ+ａ）•e﹣x﹣(x２＋ａｘ﹣a）•e﹣x=﹣ｅｘ[x2+(a﹣2)ｘ﹣２ａ]=e﹣x（x﹣2)(x+ａ）,令f′(ｘ)=０，得x=2，或ｘ=﹣ａ．…①当﹣a<0,即a＞0时，ｆ′(x）＞0在[0,２]上恒成立，f（x)在[0,2]上为单调递增函数，f(x）的最大值为ｆ（2)=（4＋a）•，由（4＋a）•≥1，得a≤ｅ２﹣４．…②当0<﹣a<2,即﹣2＜a＜０时,当x∈(0，﹣a)时，ｆ′（x）<０，ｆ（x）为单调递减函数,当x∈(﹣a，¬2)时,f'(x)>0,f(ｘ)为单调递增函数．∴f(x)的最大值为f（０）=﹣ａ或f(2）=(4+a),由﹣a≥1,得a≤﹣1;由(4+ａ)≥1,得a≤e2﹣４.又∵﹣2<a＜0，∴﹣２<a=１. …③当﹣a＞2，即a＜﹣2时,f′（x）＜0在[0,2]上恒成立，ｆ(ｘ）在[0,２]上为单调递减函数，ｆ(x）的最大值为f（０）=﹣a，由﹣a≥1,得a≤﹣1，又因为a<﹣2,所以ａ<﹣2.综上所述,实数a的值范围是{x｜a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…1９．已知椭圆C:＝1（a>b＞０）的短轴长为2，右焦点为F(１，0)，点M是椭圆C上异于左、右顶点Ａ,Ｂ的一点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程;（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明:点B关于直线EＦ的对称点在直线ＭＦ上.【考点】ＫL：直线与椭圆的位置关系．【分析】(Ⅰ）由题意可知b=，ｃ=１,a2=ｂ2+ｃ２=4,即可求得椭圆方程;（Ⅱ)由“点B关于直线ＥＦ的对称点在直线MF上”等价于“EＦ平分∠ＭFB”设直线AM的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得Ｍ点坐标，分类讨论,当MF⊥x轴时,求得k的值,即可求得N和Ｅ点坐标,求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，则ＥＦ平分∠MFB,当k≠时,即可求得直线ＭF的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得=|ＢE|,则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解:（Ⅰ)由题意得2b=2,则b=,c=1，则a2=b2+ｃ2=４，则a=2，∴椭圆C的方程为;（Ⅱ）证明:“点B关于直线ＥF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB＂．设直线ＡM的方程为y=k(x+2）（k≠0)，则N(2,4k),E（2,2ｋ)．…设点M(x0，ｙ0)，由，整理得(4ｋ2＋3）x2+16k2x＋16k2﹣12=0,由韦达定理可知﹣２x０=，则x0＝，y0＝k(ｘ0+2）=,①当MＦ⊥x轴时,x０=1,此时k=±.则M（１,±）,N(2，±２）,E(２,±１)．此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1,即EF平分∠ＭFB．…②当ｋ≠时，直线ＭF的斜率为k MF＝=,所以直线ＭＦ的方程为4kx+(４k2﹣１)y﹣4k=0．…所以点E到直线MＦ的距离===|2k|＝|BE｜．即点B关于直线EF的对称点在直线ＭF上,综上可知：点Ｂ关于直线ＥF的对称点在直线MＦ上. …20.对于n维向量A=(ａ１，ａ2,…,a n),若对任意i∈{1,2,…，n｝均有a i=0或a i＝１,则称A为n 维T向量.对于两个n维T向量Ａ，B，定义d(Ａ,Ｂ）＝．(Ⅰ）若A=(1,0，1，０，1）,B=（0,1，1，１，0）,求ｄ（A，Ｂ)的值．（Ⅱ)现有一个５维T向量序列:Ａ１，Ａ2,A3,…,若A1＝（1,１,1，1,1）且满足:d（A i，A i+１）＝2，i∈N*．求证:该序列中不存在5维T向量（０，0，0,0，０).(Ⅲ）现有一个12维T向量序列:Ａ1,Ａ2，A3,…,若且满足：d(A i,A i+1)=m,ｍ∈N*，i=1，２,３，…,若存在正整数j使得,Ａｊ为１２维T向量序列中的项,求出所有的m.【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】(Ⅰ)由于Ａ＝(1,0，1,0,1),B=（0,1，１,1,0),由定义,求d(A,B)的值．(Ⅱ）利用反证法进行证明即可;（Ⅲ）根据存在正整数ｊ使得,A j为1２维T向量序列中的项,求出所有的m．【解答】解:（Ⅰ)由于A=(1，０,１,0,1),B=(０，1，１,１,0)，由定义，可得ｄ(A，B)＝4.…(Ⅱ)反证法:若结论不成立，即存在一个含５维Ｔ向量序列,A1，A2，A3,…A n，使得A1=（1，1,１，1，1)，A m＝(0,０,0,０,０).因为向量A１=（１,1,1,1，1）的每一个分量变为0,都需要奇数次变化，不妨设A１的第i（i=1,2，3,4，5)个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要(2n1﹣1)＋(2n２﹣1)+（2n3﹣1)+(2n4﹣1）+(2n5﹣１）=2(n1+n2＋ｎ3＋n４+n５﹣2)﹣1次,此数为奇数.又因为,说明Ａi中的分量有２个数值发生改变,进而变化到Ａｉ＋1,所以共需要改变数值２（m﹣1)次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0，０,0).…(Ⅲ)存在正整数j使得,A j为12维T向量序列中的项，此时m=1,2,３，４，５,６，７,8，９，1０，１1，12．…以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
北京市东城区2017届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合24{|}0A x x =﹣＜,则R A ð=（ ） A ．2{}2|x x x ≤≥-或B ．2{2|}x x x ＜-或＞C ．2{|}2x x -＜＜D ．2{|}2x x ≤≤-2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．yD ．xy e=-3．若x y ,满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设,a b 是非零向量,则“,a b 共线”是“||||||a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列,n S 是其前n 项和．若15172a a +=,244a a =,则6S =（ ） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===,则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A ,P 两点间的距离Y 与动点P 所走过的路程X 的关系如图所示,那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a ⋯,和123,,,,b b b 令,{|}1,2,,m m M m a b m n ==＜,若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作：,,,,,A B A B C 现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ） A ．,,A B B C A C <<<若则B ．,A B BC A C <<<若同时不成立,则不成立 C ．,A B B A <<可同时不成立D ．,A B B A <<可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ+=与圆2cos (0)a a ρθ=＞相切,则a =_______．11．4,2,4A B 某校开设类选修课门类选修课门每位同学需从两类选修课中共选门,若要求至少选一门B 类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形1,45,30,1,2,cos 4ABCD ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=中,则BD =_______；三角形ABD 的面积为_______．13．在直角坐标系2,4,,xOy l y x F A B =中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于两点,其中点60,A x l OA ︒=在轴上方．若直线的倾斜角为则_______．14．已知函数{}{}|1|,(0,2]()min |1|,|3|,(2,4]min |3|,|5|,(4,)x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪--∈⎨⎪--∈+∞⎩①若()f x a =有且只有一个根,则实数a 的取值范围是_______．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根,则实数T 的取值范围是_______． 三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 15．已知函数()f x=sin 2cos2()x a x a +∈R ． （Ⅰ）若π()26f =,求a 的值；（Ⅱ）若f x （）在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求()f x 的最大值． 16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 17．如图,在几何体ABCDEF 中,平面A D E A B C⊥平面,四边形ABCD 为菱形,且60,2,,DAB EA ED AB EF EF AB M BC ∠=︒===∥为中点．（Ⅰ）求证：FM BDE ∥平面；（Ⅱ）求直线CF BDE 与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在,CF G BG DE ⊥棱上是否存在点使？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．18．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-∈R ．（Ⅰ）当0,()(1,(1))a y f x f ==时求曲线在点-处的切线方程；（Ⅱ）设2()1,0,]2[g x x x t =--∈若对任意的,存在0,2[()])(s f s g t ∈≥使得成立,求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b =+＞＞的短轴长为,右焦点为(1,0)F ,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2AM x N BN E =与直线交于点，线段的中点为．证明：B EF 点关于直线的对称点在直线MF 上．20．对于12(,,,)n n A a a a =⋯维向量,若对任意1,2,{01},i i i n a a ∈==均有或,则称A 为,,,n T n T A B d A B 维向量．对于两个维向量定义（）=1||ni i i a b =-∑． （Ⅰ）若(1,0,1,0,1)(0,1,1,1,0)(,)A B d A B ==，，求的值．（Ⅱ）现有一个5维1231,,,,1(1,1,1,1,1)T A A A A ⋯=向量序列：若且满足：(,1)2i i d A A +=,*i ∈N ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维123T A A A 向量序列：,,,,若112(1,1,,1)A 个且满足：1()i i d A A m +=,,*,1,2,3,m i ∈=N ,若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个,j A 为12维T 向量序列中的项,求出所有的m ．。
