2017年北京市朝阳区高三二模数学(理)试题及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：因为()sin (cos )2f x x x x ωωω=+2sin cos x x x ωωω=⋅+1sin 222x x ωω= πsin(2)3x ω=+， …………5分(Ⅰ) 又因为函数()f x 的最小正周期为π2，所以222ωππ=. 解得2ω=. …………7分 (Ⅱ) 令ππ3π2π42π,232k x k k +≤+≤+∈Z 得， π7π2π42π,66k x k k +≤≤+∈Z ， 所以πππ7π,224224k k x k +≤≤+∈Z . 所以函数()f x 的单调递减区间是πππ7π[,],224224k k k ++∈Z . …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为527345⨯=，女员工的人数为518245⨯=．…………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人． 所以，随机变量X 的所有可能取值为1, 2, 3．根据题意，1232353(1)10C C P X C ⋅===， 2132356(2)10C C P X C ⋅===， 3032351(3)10C C P X C ⋅===． 随机变量X 的分布列是：数学期望361189123101010105EX =⨯+⨯+⨯==． ………………………………10分 （Ⅲ）2212s s =． ……………………………………………………………13分 （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由已知平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥， 且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA CD ⊥.又因为BE AD ⊥，BE CD ， 所以CD AD ⊥.所以CD ⊥平面PAD .因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面PAD ⊥平面PCD . ……4分（Ⅱ）作Ez ⊥AD ，以E 为原点，以,EB ED 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ， 则点(0,00)，E ，(0,22)，-P ，(0,20)，-A ，(2,00)，B ,(1,20)，C ，(0,20)，D .y所以(2,22,)，=- PB ，(1,20)，=- BC ，(0,22)，=- EP .设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以0,0.n n PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩ 令1=y ，解得(2,1,3)n =.设平面PBE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，所以0,0.PB EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.a b c b c +-=⎧⎨-+=⎩令1=b ，解得(0,1,1)m =.所以cos ,n m 〈〉==. 由图可知，二面角--C PB E. …………………………………10分 （Ⅲ）“线段PE 上存在点M ，使得DM 平面PBC ”等价于“0n DM ⋅=”.因为(0,22)PE ，=- ，设(0,22)PM PE ，λλλ==-，(0,1)λ∈， 则(0,2222)M ，λλ--，(0,2422)DM ，λλ=--.由（Ⅱ）知平面PBC 的法向量为(2,1,3)n =，所以24660n DM λλ⋅=-+-=.解得12λ=. 所以线段PE 上存在点M ，即PE 中点，使得DM 平面PBC . ………14分（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得0x >，11()axf x a x x-'=-=. （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数；（ⅱ）当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<； 由()0f x '<，得1x a >； 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞. ……4分（Ⅱ）因为21()()22g x xf x x x =++21(ln 1)22x x x x x =--++21ln 2x x x x =-+，则()ln 11g x x x '=+-+ln 2()3x x f x =-+=+.由（Ⅰ）可知，函数()g x '在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.又因为2211()22e e g '=--+210e =-<，(1)10g '=>， 所以()g x '在(0,1)上有且只有一个零点1x .又在1(0,)x 上()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上单调递减； 在1(,1)x 上()0g x '>，()g x 在1(,1)x 上单调递增. 所以1x 为极值点，此时0m =.又(3)ln 310g '=->，(4)2ln 220g '=-<， 所以()g x '在(3,4)上有且只有一个零点2x .又在2(3,)x 上()0g x '>，()g x 在2(3,)x 上单调递增； 在2(,4)x 上()0g x '<，()g x 在2(,4)x 上单调递减. 所以2x 为极值点，此时3m =.综上所述，0m =或3m =. ……………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又3c a =，即22123a a -=.解得23a =.即a =所以c =所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(. …………………4分 （Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R . 设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y .因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22224824(3)m m m ++=+2221224(3)m m +=+. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. …………………………………3分 （Ⅱ）设集合12{,,,}n A a a a =所有元素之和为M .由题可知，i M a -（1,2,,i n = ）均为偶数， 因此i a （1,2,,i n = ）的奇偶性相同.（ⅰ）如果M 为奇数，则i a （1,2,,i n = ）也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数. （ⅱ）如果M 为偶数，则i a （1,2,,i n = ）均为偶数， 此时设2i i a b =，则12{,,,}n b b b 也是“和谐集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”. 此时各项之和也为奇数，集合A 中元素个数为奇数.综上所述，集合A 中元素个数为奇数. …………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A 中元素个数为奇数，当3n =时，显然任意集合123{,,}a a a 不是“和谐集”. 当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，将集合1345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a +=+ ①，或者5134a a a a =++ ②；将集合2345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+ ③，或者5234a a a a =++ ④. 由①、③，得12a a =，矛盾；由①、④，得12a a =-，矛盾； 由②、③，得12a a =-，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾. 因此当5n =时，集合A 一定不是“和谐集”. 当7n =时，设{1,3,5,7,9,11,13}A =，因为35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513,++=++3791513++=++，1359711+++=+，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}A =是“和谐集”.集合A 中元素个数n 的最小值是7. ……………………………………13分。

2017年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．23 B．31 C．32 D．633．（5分）“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增5．（5分）现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）A．12 B．24 C．36 D．486．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A．B．C．3 D．7．（5分）已知函数（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，4） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，4）8．（5分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛第一名得分a为4B．甲可能有一场比赛获得第二名C．乙有四场比赛获得第三名D．丙可能有一场比赛获得第一名二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的渐近线方程是，离心率是．10．（5分）若平面向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣1），且⊥，则sin2θ的值是．11．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=2，a4=﹣2，则{a n}的通项公式a n=，S9=．12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ被直线ρcosθ=所截得的弦长为．13．（5分）已知x，y满足，若z=x+2y有最大值8，则实数k的值为．14．（5分）已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在a i，a j∈B （i≠j），使得x=λ1a i+λ2a j（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=c，2sinB=sinA．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．16．（13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm．17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：A1F⊥BE；（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q£¬使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小．18．（13分）已知椭圆W：（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1，F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2=120°．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．19．（14分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．20．（13分）各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1=m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m=5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．2017年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．故选：B．2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．23 B．31 C．32 D．63【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2°+21+22+23+24的值，由于S=2°+21+22+23+24=31．故选：B．3．（5分）“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．4．（5分）已知函数的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增【解答】解：函数的最小正周期为4π，∴，可得ω=．那么f（x）=sin（）．由对称中心横坐标方程：，k∈Z，可得：x=2kπ∴A不对；由对称轴方程：=，k∈Z，可得：x=2k，k∈Z，∴B不对；函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：sin[（x﹣）]=sin2x，图象关于原点对称．∴C对．令≤，k∈Z，可得：≤x≤∴函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增．∴D不对；故选C5．（5分）现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将电影票分成4组，其中1组是2张连在一起，有4种分组方法，②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有A22=2种情况，③、将剩余的3张票全排列，分给其他三人，有A33=6种分法，则共有4×2×6=48种不同分法，故选：D．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A．B．C．3 D．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．则最长棱为PC==3．故选：C．7．（5分）已知函数（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，4） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，4）【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）=log a x关于y轴的对称函数为f（x）=log a（﹣x），则log a4＞1，∴1＜a＜4，综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，4），故选D．8．（5分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛第一名得分a为4B．甲可能有一场比赛获得第二名C．乙有四场比赛获得第三名D．丙可能有一场比赛获得第一名【解答】解：由题可知（a+b+c）×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整数，所以a+b+c也是正整数，48能被N整除，N的可能结果是1、2、3、4、6、8、12、16、24、48经检验当N=5时a+b+c=8且a＞b＞c 推断出a=5，b=2，c=1最后得出结论甲4个项目得第一，1个项目得第二乙4个项目得第三，1个项目得第一丙4个项目得第二，1个项目得第三，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率是．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a=，b=，则c==3，又由其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x，其离心率e===；故答案为：y=±x，．10．（5分）若平面向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣1），且⊥，则sin2θ的值是1．【解答】解：因为⊥，所以•=0，即：cosθ﹣sinθ=0，两边平方可得：cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ=0，可得：1﹣sin2θ=0，解得：sin2θ=1．故答案为：1．11．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=2，a4=﹣2，则{a n}的通项公式a n=2×（﹣1）n﹣1，S9=2．【解答】解：∵a1=2，a4=﹣2，则a4=﹣2=a1q3，∴q3=﹣1，q=﹣1，即a n=2×（﹣1）n﹣1．∴a1=a3=a5=a7=a9=2，a2=a4=a6=a8=﹣2，∴S9=2．故答案是：2×（﹣1）n﹣1；2．12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ被直线ρcosθ=所截得的弦长为．【解答】解：由ρcosθ=，得x=；由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），半径为1，圆心到直线的距离为，截得的弦长为2=，故答案为：．13．（5分）已知x，y满足，若z=x+2y有最大值8，则实数k的值为﹣4．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点A处取得最大值，由，解得A（0，4），A在直线2x﹣y=k上，此时0﹣4=k，解得k=﹣4，故答案为：﹣4．14．（5分）已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在a i，a j∈B（i≠j），使得x=λ1a i+λ2a j（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是3．【解答】解：不妨设a 1＜a2＜a3＜…＜a m，则形如1×a i+0×a j（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；形如1×a i+1×a i（1≤i≤m）的正整数共有m个；形如1×a i+1×a j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有C m2个；形如﹣1×a i+1×a j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有C m2个．又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．故m+m+C m2+C m2≥n，即m（m+1）≥n，A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．故答案为3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=c，2sinB=sinA．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以．所以．所以．…（7分）（Ⅱ）因为a=2，所以．又因为，所以．所以S==．…（13分）△ABC16．（13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a=0.010．…（3分）（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则=（145+195）×0.05+155×0.1+（165+185）×0.2+175×0.4=17+15.5+70+70=172.5．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm．…（7分）（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，所以；；；．随机变量X的分布列为因为X～B，所以．…（13分）17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE 的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：A1F⊥BE；（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q£¬使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵A 1D=DC，∠A1DC=60°，∴△A1DC为等边三角形，又F为线段CD的中点，∴A1F⊥DC，由图1可知ED⊥A1D，ED⊥DC，∴ED⊥平面A1DC，又A1F⊂平面A1DC，∴ED⊥A1F，又ED∩DC=D，DE⊂平面BCDE，CD⊂平面BCDE，∴A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE．（Ⅱ）取A1B的中点Q，连接FG，FQ，GQ，∵G，F，Q分别是BE，CD，A1B的中点，∴FG∥DE，GQ∥A1E，又FG⊂平面GFQ，GQ⊂平面GFQ，DE⊂平面A1DE，A1E⊂平面A1DE，∴平面GFQ∥平面A1DE，又FQ⊂平面GFQ，∴FQ∥平面A1DE．∴当Q为A1B的中点时，FQ∥平面A1DE．连接BF，则BF==，由（I）知△A1DC是边长为2的等边三角形，A1F⊥平面BCDE，∴A1F=，A1F⊥BF，∴A1B==2，∴A1Q==．（Ⅲ）以F为原点，以FC，FG，FA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则D（﹣1，0，0），E（﹣1，1，0），A1（0，0，），B（1，2，0），G（0，，0），∴=（1，2，﹣），=（0，1，0），=（1，0，），=（0，﹣，），∴==（，，﹣），∴=+=（，0，），设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（﹣，0，1），∴cos＜＞===﹣，设直线GQ与平面A 1DE所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=，∴直线GQ与平面A1DE所成角为30°．18．（13分）已知椭圆W：（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1，F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2=120°．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得b=1．又∠F 1BF2=120°，在Rt△BF1O中，∠F1BO=60°，则a=2．∴椭圆W的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E．由点M在椭圆W上，则．即．又A（0，1），则直线AE的方程为．令y=﹣1，得C．又B（0，﹣1），G为线段BC的中点，则G．∴，．∵===1﹣y0﹣1+y0=0，∴．则∠OEG=90°，∠OEG为90°．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=e x﹣2x﹣b，则F'（x）=e x﹣2．令F'（x）=e x﹣2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上单调递增．令F'（x）=e x﹣2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减．…（4分）（Ⅱ）因为f'（x）=e x+2x﹣1，所以f'（0）=0，所以l的方程为y=1．依题意，，c=1．于是l与抛物线g（x）=x2﹣2x+b切于点（1，1），由12﹣2+b=1得b=2．所以a=﹣2，b=2，c=1．…（8分）（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．易得h'（x）=e x﹣（a+1）．（1）当a+1≤0时，因为h'（x）＞0，所以此时h（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤﹣1；②若a+1＜0，取x0＜0且，此时，所以h（x）≥0不恒成立．不满足条件；（2）当a+1＞0时，令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．要使得“h（x）=e x﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立”，必须有：“当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0”成立．所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．则a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．令G（x）=2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）=1﹣lnx．令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，当x=e时，G（x）max=e﹣1．从而，当a=e﹣1，b=0时，a+b的最大值为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1．…（14分）20．（13分）各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1=m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m=5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m=5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2=0时，若a3=1，则a3=a4=a5= (1)且对n≥3，都为整数，∴m=2；若a3=2，则a3=a4=a5= (2)且对n≥3，都为整数，∴m=4；（2）当a2=1时，若a3=0，则a3=a4=a5= 0且对n≥3，都为整数，∴m=﹣1，不符合题意；若a3=2，则a3=a4=a5= (2)且对n≥3，都为整数，∴m=3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n=a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．均为整数，由题设知，又及a n+1=，故=常数．∴=a n+1从而=常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（?U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．47．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）若集合M满足：?x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M?R），。

2016年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷一、单选题（共8小题）1．已知集合，，则＝（）A．B．C．D．2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．6B．10C．14D．15 4．已知非零向量，，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A．B．C．D．6．已知函数且的最大值为，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．B．C．D．8．已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）9.双曲线的渐近线方程是；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则______．10.如图，为⊙外一点，是⊙的切线，为切点，割线与⊙相交于两点，且，为线段的中点，的延长线交⊙于点．若，则的长为______；的值是________．11.已知等边的边长为3，是边上一点，若，则的值是______．12.已知关于的不等式组所表示的平面区域为三角形区域，则实数的取值范围是_____．13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润（=前年的总收入－前年的总费用支出－投资额），则_____（用表示）；从第_____年开始盈利.14.在平面直角坐标系中，以点，曲线上的动点，第一象限内的点，构成等腰直角三角形，且，则线段长的最大值是_____．三、解答题（共6小题）15.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；（Ⅱ)若角为锐角，求的值及的面积．16.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为，五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学期望．17.如图1，在等腰梯形中，，，，为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围．19.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．20.已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集．（Ⅰ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；（Ⅱ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：，，都有；（Ⅲ）求证：对任意正整数，集合具有性质．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：所以=。

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2017．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()U A B = ðA ． {|2}x x >B ．{}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =-C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为A．3B ．43 CD ．4正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC = ,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ．21 D ．19 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，2S =则2a = ，10S = ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠=13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （M ⊆R ），f ：M M →是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+，就称f 是保加法的；②如果,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的； ③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的． 在上述定义下，集合},n m n +∈Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小； （ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?FAD CBE若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． 18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．20．（本小题满分13分）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1kk m ≤≤（）有i j k a a a +=，则称数列m A 是“好数列”． （Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥L ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2017．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-．…………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：…………………………………4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：()170280490289124835858=⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()1x 70180490350035025858=⨯+⨯+⨯++++++++=乙， 甲乙9884215350035025789()()()()()2222221s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣甲()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，()()()()()2222221s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣乙 ()()()22290859285958541.⎤-+-+-=⎦因为 x =甲x 乙，22s s <乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f =，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ==． 因为21f f >，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， ()63A 84P ==． ……………………………………………………… 9分随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ∼．∴()3331C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 0,1,2,3=．所以变量ξ的分布列为：11分19272790123646464644Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （或393.44nP Eξ==⨯=） ………………………………………………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ， 所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥． 所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，FADCB EOG由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得20, 220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0. y x z =⎧⎨-=⎩ 取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ， 得000020,20.x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是y x =，由22236,,3x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =，1y =±．取(2M，则(1)2N -．所以OMN ∆的面积为2②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时， (2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-． …………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，所以10,1x x e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取012x a-=，显然00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ) 当12a <-，则ln(2)0a ->． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则l n (2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，则ln(2)0a -≤． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0x g x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞ …………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可．因为1()e (e )11xxx h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．所以()().f x g x ≤ ……………………………………………………14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C =种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个， 有10种；若取6877a ≤≤，则791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a =，则61178a A +=∈，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a <<，则671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a =，则67b =，符合条件，若取56a <，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a <<<L ． 把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L ，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤L ， 又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，所以k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j个不同取值，矛盾．所以，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L 每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+L ，即1212m a a a n m ++++≥L ．…………………13分。

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类）2017．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U R ，集合12xx A ，20Bx x ，则()U A Be A ．{|2}x xB ．2x xC ．{|02}x xD ．{|2}x x2．在复平面内，复数21i对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos yxB ．2y xC ．1()2xyD ．|sin |yx 4．若0a ，且1a，则“函数xy a 在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x在R 上是增函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．126．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A ．223B ．43C ．2D ．412俯视图正视图侧视图17．在Rt ABC 中，90A ，点D 是边BC 上的动点，且3AB，4AC,ADAB AC (0,0)，则当取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23B ．20C ．21D ．19第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b的一条渐近线方程为320x y ，则b 等于．10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a ，32a S ，则2a =，10S ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为．12．在△ABC 中，已知45,2BAC BC ，则C．13．设D 为不等式组0,0,+33xyx yxy表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y的最大值是_______；22x y xy的取值范围是．14．若集合M 满足：,x y M ，都有,x y M xy M ，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （MR ），f ：MM 是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M 都有()()()f x y f x f y ，就称f 是保加法的；②如果,x yM 都有()()()f xy f x f y ，就称f 是保乘法的；开始0,1Si是否6?i输出S结束2ii 2SSi③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的．在上述定义下，集合3,m n m n Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x 在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求的分布列及数学期望E ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE 平面ABCD 平面,ABEFAB 22ABBEAF.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）若二面角DABE 为直二面角，（i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP平面DEF ?若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由．FADCBE18．（本小题满分13分）已知椭圆22:132xyC 上的动点P 与其顶点(3,0)A ,(3,0)B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN 的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x axx ，2()(1)exg x x ax ，R a ．（Ⅰ）当1a 时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；（Ⅲ）证明()()f x g x ．20．（本小题满分13分）设(3)m,n mn 是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a im 是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j ijm （）使i ja a n ，总存在1kkm （）有i j k a a a ，则称数列m A 是“好数列”．（Ⅰ）当6100m,n时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b cd ，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212ma a a n mL ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类）2017．1一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDDACBCB二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案34,1103010594，[2,0]是，(),f x x x Q（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()23sin cos 2cos 1f x x x x xx2cos 2sin 32sin(2)6x．所以)(x f 的最小正周期为．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7分（Ⅱ）因为2,2.64663xx所以-当2,626x x 即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666xxf x 即时取得最小值1．,,,,,,,,,,13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：,,,,,,,,,,,,,4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：1x 70280490289124835858甲，1x 7018049035003525858乙，甲乙9884215350035257892222221s 788579858185828584858甲22288859385958535.5，2222221s 758580858085838585858乙22290859285958541.因为x 甲x 乙，22s s 乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．,,,,,,,,,,8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f ，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ．因为21f f ，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，63A 84P ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9分随机变量的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ～．∴3331C44kkk P k ，k 0,1,2,3．所以变量的分布列为：1 2 3 P16496427642764,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11分19272790123646464644．（或393.44nP）,,,,,,,,,,,,,,,,,,13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OGBE ．由已知//AF BE ，且12AFBE ，所以//,AF OG OG AF ．所以四边形AOGF 为平行四边形．所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC平面DEF ，FG平面DEF ，所以AC //平面DEF ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE ABBE ，所以AFAB ．因为二面角D ABE 为直二面角，所以平面ABCD平面ABEF ．所以AF 平面ABCD ，所以,AF AD AFAB ．四边形ABCD 为正方形，所以ABAD ．所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为22ABBE AF ，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z n ，FADCBEOGxyzP．FAD CBE由0,0CD CEn n 得20,220.y xz即0,0.y xz取1x ，得(1,0,1)n．设直线AC 与平面CDE 所成角为，则21sincos ,2222AC n，因为090，所以30．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30．,,,,,,,,,,,,9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ．设(01)DP DE，则DPDE ．设(,,)P x y z ，则(2,,)DP xy z ，因为(2,2,2)DE，所以(2,,)(2,2,2)x y z ．所以22,2,2x yz，所以P 点坐标为(22,2,2)．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP ．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF解得23．因为2[0,1]3，所以DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ，且23DP DE．（另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ．设(01)DP DE，则DPDE ．设(,,)P x y z ，则(2,,)DP xy z ，因为(2,2,2)DE，所以(2,,)(2,2,2)x y z ．所以22,2,2x yz，所以P 点坐标为(22,2,2)．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP ．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z m，则0,0m DF m EF由(2,0,1),(0,2,1)DF EF ，得00020,20.x z y z 取01x ，得(1,1,2)m．由m BP ，即(22,22,2)(1,1,2)，可得22,22,22.解得23．因为2[0,1]3，所以DE 上存在点P ，使得BP平面DEF ，且23DP DE．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则22132x y ．所以直线PA 与PB 的斜率乘积为220022062233(3)333y y y x xxx x ．,,4分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23．①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON 的斜率为63，设直线OM 的方程是63yx ，由22236,6,3xy yx 得62x，1y ．取6(,1)2M ，则6(,1)2N ．所以OMN 的面积为62．②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kxm ,由22,2360y kx m xy得222(32)6360kxkmx m．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m km，解得22320km．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632km x x k，21223632m x x k．22222121222636(1)[()4](1)[()4]3232km m MN kx x x x kk k222226(1)(32)2(32)kk m k ．设点O 到直线MN 的距离为d ，则21mdk．所以OMN 的面积为2222216(32)2(32)OMNm kmS d MNk①．因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23，所以121223y y x x ．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x mx x x x x x 2222636m k m．由222262363m km ，得22322k m ．②由①②，得2222222246(32)6(2)6(32)42OMNm km m m m S k m．综上所述，62OMNS ．,,,,,,,,,,,,,13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)，(221)()1x ax a f x x ．当1a时，(2)426f a，(2)437f a ．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)yx．即65yx ．,,,,,,,,,,,,,4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)x g x xa ．①当0a 时，函数()(1)e xg x x 只有一个零点；②当0a ，因为e20xa ，当(,0)x 时，()0g x ；当(0,)x时，()0g x ．所以函数()g x 在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增．又(0)1g ，(1)g a ，因为0x，所以10,1xx e ，所以(1)1xe x x ，所以2()1g x axx 取01142a x a，显然0x 且0()g x 所以(0)(1)0g g ，0()(0)0g x g ．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当0a时，由()(e2)0xg x x a ，得0x，或ln(2)x a ．ⅰ)当12a ，则ln(2)0a ．当x 变化时，(),()g x g x 变化情况如下表：x(,0)0(0,ln(2))a ln(2)a (ln(2),)a ()g x + 0－0+ ()g x ↗1↘↗注意到(0)1g ，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．ⅱ)当12a，则ln(2)0a ，()g x 在(,)单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．若12a ，则ln(2)0a ．当x 变化时，(),()g x g x 变化情况如下表：x(,ln(2))a ln(2)a (ln(2),0)a 0(0,)()g x + 0－0+ ()g x ↗↘1↗注意到当0,0x a时，2()(1)e0xg x x ax，(0)1g ，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).,,,,,,,,,,,,,,,,9分（Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x ．设()(1)eln(1)1xh x x x x ，其定义域为(1,)，则证明()0h x 即可．因为1()e(e)11xxx h x x x x x ，取311e x ，则1311()(ee )0x h x x ，且(2)0h ．又因为21()(1)e0(1)xh x x x ，所以函数()h x 在(1,)上单增．所以()0h x 有唯一的实根0(1,2)x ，且001e1x x ．当01xx 时，()0h x ；当0xx 时，()0h x ．所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以0000()()(1)e ln(1)1x h x h x x x x 00110x x ．所以()().f xg x ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）89100x ,y ，或10089x ,y ；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”．,,,,,,,,,,,,,3分（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C 种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个，有10种；若取6877a ，则791188a ，902299a ，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a ，则61178a A ，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a，则671178a，782289a，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a，则67b ，符合条件，若取56a ，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值．,,,,,,,,,,,,,,,7分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a L ．把数列配对：121122m m mm a a ,a a ,,a a L ，只要证明每一对和数都不小于1n 即可．用反证法，假设存在12m j，使1j mja a n ，因为数列单调递增，所以111211mj m j m j j m j a a a a a a a n L，又因为“好数列”，故存在1km ，使得1(1)imjk a a a ij ，显然1>k mja a ，故1k m j ，所以k a 只有1j个不同取值，而1i mja a 有j个不同取值，矛盾．所以，121122m m mm a a ,a a ,,a a L 每一对和数都不小于1n ，故12(1)2mm a a a n L ，即1212m a a a n mL ．,,,,,,,13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2017．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 A ．23 B ．31 C ．32 D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ，俯视图正视图侧视图9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．a 身高(cm)17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ P 平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134AQ A B =u u u u r u u u r 时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG已知函数2()e x f x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ． （Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++L 的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 22a c b B ac b +-===． …………7分 （Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos B =sin B =所以11sin 222ABC S a c B =⋅⋅=⨯=V ． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以13344EX =⨯=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又ED DC D =I ，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,A D =-u u u u r ,(1,0,0)DE =u u u r，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r 即0,0.y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=n 假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ P 平面1A DE ．设11AQ A Bλ=u u u r u u u r ，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =u u u r ，所以1(2,,)AQ λλ=u u u r ．所以(2,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=u u u r.BA 1FCED QG所以0FQ ⋅=+=u u u rn .解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ P 平面1A DE ．且1AQ = ……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =u u u r u u u r，又1(2,1,A B =u u u r ，所以133(,,)244A Q =-u u u r ．所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,4GQ =u u u r ．因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===u u u r u u u r n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=， 所以OE GE ⊥u u u r u u u r．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分（Ⅱ）因为()e 21xf x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-；②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01x bh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+； 由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====L ， 且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====L ，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ； （2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====L ，且对3≥n ，n m n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====L ，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ； 综上，m 的值为2,3,4. …………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++L ，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S n n n n n n . 又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m S n S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有n S n S n n =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则nS S n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11. 从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数， 所以=++22n S n =+1n a 11+=+n S n S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++L 常数. 从而==-+=-=++nS S n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。

北京市朝阳区2017届高三数学二模试题 文（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是 （A ）11x y< （B ）2log ()0x y -> （C ）33x y <（D ） 11()()22xy<（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（A ）15 （B ）29 （C ） 31 （D ） 63（4）“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为（A ）π8 （B ）π4 （C ）π2 （D ）3π4（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A（B） （C ）3 （D）（7）已知过定点(20)P ，的直线l与曲线y =Α，Β两点，Ο为坐标原点，当ΑΟΒ∆的面积最大时，直线l 的倾斜角为（A ）150 （B ）135 （C ）120 （D ）30（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *∈N ），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(A)甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙都有可能第二部分（非选择题 共110分）俯视图 正视图侧视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知集合{}121x A x -=>，{}()0B x x x =-2<，则AB = ．（10）在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部的任意一点，则x y +的最大值为 ．（11）已知平面向量,a b 满足()(2)4+⋅-=-a b a b ，且2=a ，4=b ，则a 与b 的夹角等于 .（12）设函数31,0,(),0,x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩则(1)f = ；若()f x 在其定义域内为单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 ；该双曲线的渐近线方程为 ．（14）设P 为曲线1C 上动点，Q 为曲线2C 上动点，则称PQ 的最小值为曲线1C ,2C 之间的距离，记作12(,)d C C ．若221:2C x y +=，222:(3)(3)2C x y -+-=，则12(,)d C C = _____；若3:e 20xC y -=，4:ln ln 2C x y +=，则34(,)d C C =_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c >>2sin =0b C -．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =1c =，求a 和△ABC 的面积．（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是首项113a =，公比13q =的等比数列．设132log 1n n b a =- *()n ∈N ．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列；（Ⅱ）设2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（17）（本小题满分13分）某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[185,195]（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[145,155)和[185,195]（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185 cm 的概率．（18）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，12AA =，D 是棱1AA 的中点．a 身高(cm)（Ⅰ）求证：11B C 平面BCD ；（Ⅱ）求三棱锥1B C CD -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点Q ，使得1CQ BC ⊥？请说明理由．（19）（本小题满分14分）已知椭圆W ：22214x y b+=(0)b >的一个焦点坐标为0). （Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．（20）（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =，2()2a g x x x a =+-()a ∈R ． （Ⅰ）若直线x m =()0m >与曲线()y f x =和()y g x =分别交于,M N 两点.设曲线()y f x =在点M 处的切线为1l ，()y g x =在点N 处的切线为2l .（ⅰ）当e m =时，若1l ⊥2l ，求a 的值；ABC A 1B 1C 1D（ⅱ）若12l l ，求a 的最大值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-在其定义域内恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <．若0λ>，且21ln 1ln x x λλ->-恒成立，求λ的取值范围．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（文史类） 2017.5一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）解：2sin =0b C -，2sin sin 0C B C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以sin B =. 因为0πB <<，且a b c >>，所以π3B =． …………6分（Ⅱ）因为b =1c =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2211212a a =+-⨯⨯，即220a a --=. 解得2a =或1a =-（舍）.所以2a =.11=sin 2122ABC S ac B ∆=⨯⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得：1111()()333n nn a -=⋅=. 1312log ()1=213n n b n =--（*n ∈N ）.则12(1)1212n n b b n n +-=+--+=.所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，241n b n =-，则数列2{}n b 是以3为首项，4为公差的等差数列.21()413n n n n c a b n =+=+-.则111...()37...(41)393nn T n =+++++++-.即n T =11[1()]33113n ⨯--+(341)2n n +-⋅.即21112()223n n T n n =++-⋅ (*n ∈N ). …………13分（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，(0.0050.0200.0250.040)101a ++++⨯=. 解得 0.010a =．所以样本中学生身高在[185,195]内（单位:cm ）的人数为400.01104⨯⨯=． ……………4分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1500.051600.21700.41800.251900.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7.532684519171.5=++++= ．所以，该校男生的平均身高为171.5 cm ． …………8分（Ⅲ）样本中男生身高在[145,155)内的人有400.005102⨯⨯=（个），记这两人为,A B ． 由（Ⅰ）可知，学生身高在[185,195]内的人有4个，记这四人为,,,a b c d ． 所以，身高在[145,155)和[185,195]内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ， 共15种情况．设所选两人的身高都不低于185 cm 为事件M ，事件M 包括,,,,,ab ac ad bc bd cd ，共6种情况． 所以，所选两人的身高都不低于185 cm 的概率为62()155P M ==． ………………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，11B C BC ，且BC ⊂平面BCD ，11B C ⊄平面BCD ， 所以11B C 平面BCD . ………………4分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，所以1AA BC ⊥，AC BC ⊥， 则BC ⊥平面11AAC C . 即BC ⊥平面1C CD .所以111111332B CC D C CD V S BC CC AC BC -=⋅=⨯⋅⋅111211323=⨯⨯⨯⨯=. ………9分（Ⅲ）因为在侧面11ACC A 中，112AC AA =，1AA AC ⊥，D 是棱1AA 的中点， 所以1145,45A DC ADC ∠=︒∠=︒.则1C D DC ⊥. 因为BC ⊥平面1C CD ， 所以1BC C D ⊥. 所以1C D ⊥平面BCD . 又1C D ⊂平面1C DB ，所以平面BCD ⊥平面1C DB ，且平面BCD平面1C DB BD =，过点C 作CQ BD ⊥于Q ，所以CQ ⊥平面1C DB . 则 CQ ⊥1BC .所以在线段BD 上存在点Q ，使得1CQ BC ⊥. …………14分 （19）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =2221b a c =-=.则椭圆W 的方程为2214x y +=.离心率2c e a ==. …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，则C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-， 000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)x x y y y =-++-．因为点M 在椭圆W 上，则220014x y +=，所以220044x y =-． 则200014(1)x OE GE y y ⋅=-+-0011y y =--+0=．因此OE GE ⊥．故90OEG ∠=． ……………14分 （20）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+. （ⅰ）当e m =时，(e)2f '=，(e)e 1g a '=+.因为12l l ⊥，所以(e)(e)1f g ''⋅=-. 即2(e 1)=1a +-. 解得32ea =-. ………………3分 (ⅱ)因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln 0m am -=在()+∞0，上有解.设()ln F x x ax =-，0x >， 则11()axF x a x x-'=-=. （1）当0a ≤时，()0F x '>恒成立，则函数()F x 在()+∞0，上为增函数.1 当0a <时，取e a x =，(e )e (1e )0.a a a F a a a =-=-<取e x =，(e)=1e 0F a ->, 所以()F x 在()+∞0，上存在零点.2当0a =时，()ln F x x =存在零点，1x =，满足题意.（2）当0a >时，令()0F x '=，则1x a=.则()F x 在(0)a1，上为增函数，1(,)a+∞上为减函数. 所以()F x 的最大值为11()ln 10F a a=-≥. 解得10<ea ≤. 取1x =，(1)=0F a -<. 因此当1(0,]e a ∈时，方程()0F x =在()+∞0，上有解.所以，a 的最大值是1e. ………………8分 另解：函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+.则()1ln f m m '=+，()1g m am '=+.因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln m am =在()+∞0，上有解.因为0m >，所以ln m a m =. 令ln ()x F x x=(0x >). 21ln ()0x F x x -'==. 得e x =.当(0,e)x ∈，()0F x '>，()F x 为增函数；当()e,x ∈+∞，()0F x '<，()F x 为减函数；所以max 1()(e)e F x F ==. 所以，a 的最大值是1e. ………………8分 （Ⅱ） 2()ln 2a h x x x x x a =--+ (0),x > ()ln h x x ax '=-.因为12,x x 为()h x 在其定义域内的两个不同的极值点，所以12,x x 是方程ln 0x ax -=的两个根. 即11ln x ax =，22ln x ax =.两式作差得，1212ln ln x x a x x -=-. 因为0,λ>120x x <<，由21ln 1ln x x λλ->-，得121ln ln x x λλ+<+. 则121211()a x x a x x λλλλ++<+⇔>+ ⇔1212ln ln x x x x --121x x λλ+>+ ⇔112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+. 令12x t x =，则(0,1)t ∈，由题意知: ln t <(1)(1)t t λλ+-+在(0,1)t ∈上恒成立， 令(1)(1))ln t t t t λϕλ+-=-+（， 则221(1)()()t t t λϕλ+'=-+=22(1)()()t t t t λλ--+. （1） 当21λ≥，即1λ≥时， (0,1)t ∀∈，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()0,1上单调递增.又(1)0ϕ=，则()0t ϕ<在()0,1上恒成立.（2） 当21λ<，即01λ<<时， ()20,t λ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()20,λ上为增函数；当()21t λ∈，时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()21λ，上为减函数. 又(1)0ϕ=，所以()t ϕ不恒小于0，不合题意.综上，[1,)λ∈+∞. ………………13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 2017.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是 （A ）11x y< （B ）2log ()0x y -> （C ）33x y <（D ） 11()()22x<（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 （A ）15 （B ）29 （C ）31 （D ）63（4）“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为（A ）π8 （B ）π4 （C ） （D ）π（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A （B ） （C ）3 （D ）（7）已知过定点(20)P ，的直线l 与曲线y =Α，Β两点，Ο为坐标原点，当ΑΟΒ∆的面积最大时，直线l 的倾斜角为（A ）150 （B ）135 （C ）120 （D ）30 （8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、 击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *∈N ）， 选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分， 且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(A)甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙都有可能第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知集合{}121x A x -=>，{}()0B x x x =-2<，则A B = ．（10）在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部的任意一点，则x y +的最大值为 ． （11）已知平面向量,a b 满足()(2)4+⋅-=-a b a b ，且2=a ，4=b ，则a 与b 的夹角等于 . （12）设函数31,0,(),0,x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩则(1)f = ；若()f x 在其定义域内为单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ． （13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 ；该双曲线的渐近线方程为 ．（14）设P 为曲线1C 上动点，Q 为曲线2C 上动点，则称PQ 的最小值为曲线1C ,2C 之间的距离，记作12(,)d C C ．若221:2C x y +=，222:(3)(3)2C x y -+-=，则12(,)d C C = _____；若3:e 20x C y -=，4:ln ln 2C x y +=，则34(,)d C C =_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c >>2sin =0b C -． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =1c =，求a 和△ABC 的面积． （16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是首项113a =，公比13q =的等比数列．设132log 1nn b a =-*()n ∈N ．正视图侧视图俯视图（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列；（Ⅱ）设2n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（17）（本小题满分13分）某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据， 完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[185,195]（单位:cm ） 的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替， 通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在 [145,155)和[185,195]（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人 的身高都不低于185 cm 的概率．（18）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，12AA =，D 是棱1AA 的中点．（Ⅰ）求证：11B C 平面BCD ； （Ⅱ）求三棱锥1B C CD -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点Q ，使得1CQ BC ⊥？请说明理由．（19）（本小题满分14分）已知椭圆W ：22214x y b+=(0)b >的一个焦点坐标为.（Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段 MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点． 求OEG ∠的大小．（20）（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =，2()2a g x x x a =+-()a ∈R ．（Ⅰ）若直线x m =()0m >与曲线()y f x =和()y g x =分别交于,M N 两点.设曲线()y f x =在点M 处的切线为1l ，()y g x =在点N 处的切线为2l .（ⅰ）当e m =时，若1l ⊥2l ，求a 的值；（ⅱ）若12l l ，求a 的最大值； （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-在其定义域内恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <．若0λ>，且21ln 1ln x x λλ->-恒成立，求λ的取值范围．aA BC A 1B 1C 1D北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2017.5（15）（本小题满分13分）解：2sin=0b C-，所以2sin sin0C B C-=. 因为0πC<<，所以sin0C≠，所以sin2B=.因为0πB<<，且a b c>>，所以π3B=．…………6分（Ⅱ）因为b=1c=，所以由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得2211212a a=+-⨯⨯，即220a a--=.解得2a=或1a=-（舍）.所以2a=.11=sin2122ABCS ac B∆=⨯⨯=…………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得：1111()()333n nna-=⋅=.1312log()1=213nnb n=--（*n∈N）.则12(1)1212n nb b n n+-=+--+=.所以数列{}nb是以1为首项，2为公差的等差数列. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，241nb n=-，则数列2{}nb是以3为首项，4为公差的等差数列.21()413nn n nc a b n=+=+-.则111...()37 (41)393nnT n=+++++++-.即nT=11[1()]33113n⨯--+(341)2n n+-⋅.即21112()223nnT n n=++-⋅(*n∈N).…………13分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，(0.0050.0200.0250.040)101a++++⨯=.解得0.010a=．所以样本中学生身高在[185,195]内（单位:cm）的人数为400.01104⨯⨯=．……………4分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x，则1500.051600.21700.41800.251900.17.532684519171.5x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=．所以，该校男生的平均身高为171.5 cm．…………8分（Ⅲ）样本中男生身高在[145,155)内的人有400.005102⨯⨯=（个），记这两人为,A B．由（Ⅰ）可知，学生身高在[185,195]内的人有4个，记这四人为,,,a b c d．所以，身高在[145,155)和[185,195]内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB，共15种情况．设所选两人的身高都不低于185cm为事件M，事件M包括,,,,,ab ac ad bc bd cd，共6种情况．所以，所选两人的身高都不低于185cm的概率为62()155P M==．…13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C-中，11B C BC，且BC⊂平面BCD，11B C⊄平面BCD，所以11B C 平面BCD.………………4分（Ⅱ）因为1AA⊥底面ABC，90ACB∠=︒，所以1AA BC⊥，AC BC⊥，则BC⊥平面11AAC C.即BC⊥平面1C CD.所以111111332B CCD C CDV S BC CC AC BC-=⋅=⨯⋅⋅111211323=⨯⨯⨯⨯=. ………9分（Ⅲ）因为在侧面11ACC A中，112AC AA=，1AA AC⊥，D是棱1AA的中点，所以1145,45A DC ADC∠=︒∠=︒.则1C D DC⊥.因为BC⊥平面1C CD，所以1BC C D⊥.所以1C D⊥平面BCD.又1C D⊂平面1C DB，所以平面BCD⊥平面1C DB，且平面BCD 平面1C DB BD=，过点C作CQ BD⊥于Q，所以CQ⊥平面1C DB.则CQ⊥1BC. 所以在线段BD上存在点Q，使得1CQ BC⊥. …………14分（19）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =2221b a c =-=.则椭圆W 的方程为2214x y +=.离心率c e a ==.…………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2xy ．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，则C 00(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2xOE y = ， 0000(,1)22(1)x x GE y y =-+- ，000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-．因为点M 在椭圆W 上，则220014x y +=，所以220044x y =-．则200014(1)x OE GE y y ⋅=-+- 0011y y =--+0=．因此OE GE ⊥ ．故90OEG ∠= ． ……………14分 （20）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+.（ⅰ）当e m =时，(e)2f '=，(e)e 1g a '=+.因为12l l ⊥，所以(e)(e)1f g ''⋅=-.即2(e 1)=1a +-.解得32ea =-.…3分 (ⅱ)因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln 0m am -=在()+∞0，上有解.设()ln F x x ax =-，0x >，则11()axF x a x x-'=-=. （1）当0a ≤时，()0F x '>恒成立，则函数()F x 在()+∞0，上为增函数. 1 当0a <时，取e a x =，(e )e (1e )0.a a aF a a a =-=-<取e x =，(e)=1e 0F a ->,所以()F x 在()+∞0，上存在零点. 2 当0a =时，()ln F x x =存在零点，1x =，满足题意.（2）当0a >时，令()0F x '=，则1x a =.则()F x 在(0)a 1，上为增函数，1(,)a+∞上为减函数.所以()F x 的最大值为11()ln 10F a a =-≥.解得10<e a ≤.取1x =，(1)=0F a -<.因此当1(0,]ea ∈时，方程()0F x =在()+∞0，上有解. 所以，a 的最大值是1e.……………8分另解：函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1ln f x x '=+，()1g x ax '=+.则()1ln f m m '=+，()1g m am '=+.因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln m am =在()+∞0，上有解.因为0m >，所以ln ma m=.令ln ()x F x x =(0x >).21ln ()0xF x x-'==.得e x =.当(0,e)x ∈，()0F x '>，()F x 为增函数；当()e,x ∈+∞，()0F x '<，()F x 为减函数；所以max 1()(e)e F x F ==.所以，a 的最大值是1e. ………………8分（Ⅱ） 2()ln 2a h x x x x x a =--+(0),x >()ln h x x ax '=-.因为12,x x 为()h x 在其定义域内的两个不同的极值点，所以12,x x 是方程ln 0x ax -=的两个根.即11ln x ax =，22ln x ax =.两式作差得，1212ln ln x x a x x -=-.因为0,λ>120x x <<，由21ln 1ln x x λλ->-，得121ln ln x x λλ+<+.则121211()a x x a x x λλλλ++<+⇔>+⇔1212ln ln x x x x --121x x λλ+>+⇔112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+.令12x t x =，则(0,1)t ∈，由题意知: ln t <(1)(1)t t λλ+-+在(0,1)t ∈上恒成立，令(1)(1))ln t t t t λϕλ+-=-+（，则221(1)()()t t t λϕλ+'=-+=22(1)()()t t t t λλ--+. （1）当21λ≥，即1λ≥时，(0,1)t ∀∈，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()0,1上单调递增.又(1)0ϕ=，则()0t ϕ<在()0,1上恒成立.（2）当21λ<，即01λ<<时，()20,t λ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()20,λ上为增函数；当()21t λ∈，时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()21λ，上为减函数.又(1)0ϕ=，所以()t ϕ不恒小于0，不合题意. 综上，[1,)λ∈+∞.………………13分。