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2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4＜0}，则∁R A=（）
A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤2}
2．（5分）下列函数中为奇函数的是（）
A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣|x|
3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）
A．﹣1 B．0 C．D．2
4．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|=||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和．若a1+a5=，a2a4=4，则S6=（）
A．B．C．D．
6．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）
A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5
C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+1
7．（5分）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）
A． B．C． D．
8．（5分）据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，a n，和b1，b2，b3，…，b n，令M={m|a m＜b m，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）
A．若A B，B C，则A C
B．若A B，B C同时不成立，则A C不成立
C．A B，B A可同时不成立
D．A B，B A可同时成立
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为．
10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a=．
11．（5分）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）
12．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，
cos∠BCD=，则BD=；三角形ABD的面积为．
13．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=．
14．（5分）已知函数
①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是．
②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（）=2，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[，]上单调递减，求f（x）的最大值．
16．（13分）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游
局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．
（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．
（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18．（13分）设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．
19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点为F
（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．
20．（13分）对于n维向量A=（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i=0或a i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，
B）=．
（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1=（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i
）=2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，
+1
0）．
（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i
）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，
+1
A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．
