北京市海淀区2017年高三二模数学理科试题(word版含答案)

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学(理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2017年北京，理1，5分】若集合–21{|}A x x =<<,–1{|}3B x x x =<>或,则A B =（ )(A ）1|}–2{x x <<- （B ）3|}–2{x x << （C ）1|}–1{x x << (D)3|}1{x x << 【答案】A【解析】{}21A B x x =-<<-，故选A ．（2）【2017年北京，理2，5分】若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(),1-∞ （B ）(),1-∞- （C ）()1,+∞ （D ）()1,-+∞ 【答案】B【解析】()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限,所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B ．（3)【2017年北京，理3,5分】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ) (A ）2（B ）32 (C ）53 (D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环,2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ．(4）【2017年北京,理4，5分】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则2x y +的最大值为（ ） （A ）1 （B)3 （C)5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域,2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．(5）【2017年北京，理5，5分】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （ ）(A ）是奇函数,且在R 上是增函数 （B)是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 (D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数故选A ．(6）【2017年北京，理6，5分】设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件(C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180,那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<,反过来，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，KS5U 并不一定反向,即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A ．（7）【2017年北京,理7，5分】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）(A ）32 （B ）23 （C ）22 （D)2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体,最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=,故选B ．（8）【2017年北京，理8,5分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（ )（参考数据：30.48lg ≈)（A ）3310（B ）5310 (C ）7310 （D ）9310 【答案】D【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310,故选D ．第二部分(非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分,共30分。

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =I （ ）、 A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2. 已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b r r ，满足1a b a b ==+=r r r r，则向量a b r r ，夹角的余弦值为（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．35.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A 5B 5C 53D ．5或57.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π103f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分） 已知集合{}12320112012S =L ，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A L ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =L ，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为 （III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞U ．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”； （II ）A 的最大值为671； （III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =L 即可． （III ）12,,,m A A A L 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．32．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．25．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．1 B．C．5 D．97．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．208．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z（1+i）=2，则z=．10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为．13．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O 是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．2．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．【解答】解：点（1，）与点（1，）的距离，即点（，）与点（﹣，）的距离为，故选：B．3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．4．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【解答】解：向量，满足+2=，即++=，∴+=﹣，又（）=2，∴﹣•=2，∴=﹣2．故选：C．5．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+【解答】解：直线l经过双曲线的焦点（，0），渐近线方程为：y=，选项C、D错误；焦点坐标代入选项A正确，选项B错误．故选：A．6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．1 B．C．5 D．9【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．7．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：红色用1次，有6种方法，红色用2次，有10种方法，红色用3次，有4种方法，共20种，故选D．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z（1+i）=2，则z=1﹣i．【解答】解：由（1+i）z=2，得，故答案为：1﹣i．10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，正方体的体积为：2×2×2=8，四棱锥的体积为：×2×2×2=，故组合体的体积V=8﹣=，故答案为：12．（5分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为（1，0）；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为y=±（x+1）．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=±，∴直线l的方程为y=±（x+1），故答案为（1，0），y=±（x+1）13．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．【解答】解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=，∴可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=．②∵∃x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，∴∃x∈R，使ωx+2ω+φ=2k1π+，ωx+φ=2k2π+，k∈Z，∴解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1，k2∈Z，又∵ω＞0，|∴ω的最小值是．故答案为：，．14．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是①②③．【解答】解：由→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0，故②正确；当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e﹣|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；故答案为：①②③三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为=acsinB=．∴解得：a=1，c=2，∴由余弦定理可得：b===．（2）∵a=1，c=2，b=，∴cosA==，∴tanA==．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=×=91%．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：EX==2．（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O 是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵DC∥OB，DC⊄平面A1OB，OB⊂平面A1OB∴DC∥平面A1OB，∵m为平面A1DC与平面A1OB的交线，∴DC∥m；（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O，∴OG⊥A1O，∴A1G=2A1O=4；（3）△A1OB中，A1B==2，∵A 1D=DB=2，∴==，设O到平面A1DB的距离为h，则，∴h=，∵A1O=2，∴直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）•（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）•+3k+1=0，化简得，18k2﹣7k﹣1=0，解得k=或k=，∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1，即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣﹣1得：f′（x）=，（x＞0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）=﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，∵y=x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g′（x）==，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）=﹣a﹣1＜0，取x=e，显然e＞1，f（e）=﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．【解答】解：（1）由a n=2n+1可得{ a n}为递增数列，所以b n=max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}=a n﹣a1=2n+1﹣3=2n﹣2，故{ b n}的前n项和为（2n﹣2）n=n（n﹣1）（2）因为max{ a1，a2，…，a n}≤max{ a1，a2，…，a n+1}，因为min{ a1，a2，…，a n}≥min{ a1，a2，…，a n+1}，所以max{ a1，a2，…，a n+1}﹣min{ a1，a2，…，a n+1}≥max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n，又因为b n=a1﹣a1=0，所以max{ b1，b2，…，b n}﹣min{ b1，b2，…，b n}=b n﹣b1=b n，所以{ b n}的“收缩数列”仍是{ b n}，（3）由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，则b3=a2﹣a1，所以由（*）可得a3=a2与a3＜a2矛盾，若a3＜a1≤a2，则b3=a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2=3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3=a3﹣a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{ a n}是，a n=，a2≥a1，经验证：左式=S1+S2+…+S n=na1+[1+2+…+（n﹣1）]=na1+n（n﹣1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1=n（n+1）a1+n（n﹣1）（a2﹣na1）=na1+n （n﹣1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n≤3的情况可知，n≤3，a n=，a2≥a1是成立的，假设a k=是首次不符合a n=，a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=…=a k﹣1≠a k 由题设条件可得（k2﹣k﹣2）a2+a k=k（k﹣1）a1+k（k﹣1）b k（*），若a1＜a k＜a2，则由（*）可得a k=a2与a k＜a2矛盾，若a k＜a1≤a2，则b k=a2﹣a k，所以由（*）可得a k﹣a2=k（k﹣1）（a1﹣a k），所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k=a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k=a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n=，a2≥a1的{a n}符合题设条件。

2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}2．（5分）二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x43．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．24．（5分）圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．05．（5分）已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值6．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③8．（5分）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为．10．（5分）已知复数，则|z|=．11．（5分）在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）（填“＞”或“＜”）；f （x）在区间上存在零点，则正整数n=．13．（5分）在四边形ABCD中，AB=2．若，则=．14．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．16．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X 的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．18．（14分）已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．19．（13分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．20．（13分）对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*且m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列{a n}具有性质P（t）．（Ⅰ）若数列{a n}满足判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{a n}是各项为正整数的数列，且{a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是等差数列．2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．（5分）二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．2【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3）时，z 最小，所以最小值为3；故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，故选：D．5．（5分）已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【解答】解：由{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；在C中，=，∴是递增数列，故C正确；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x 1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．（5分）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x 1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为1．【解答】解：直线ρcosθ=1，即x=1，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=1的距离为1，故答案为1．10．（5分）已知复数，则|z|=．【解答】解：复数==﹣i﹣1，则|z|==．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=．【解答】解：由正弦定理化简2a=3b得：2sinA=3sinB，把A=2B代入得：2sin2B=3sinB，即4sinBcosB=3sinB，∵sinB≠0，∴4cosB=3，即cosB=，故答案为：12．（5分）已知函数f（x）=，则＞f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数n=2．【解答】解：易知函数f（x）=为减函数，则f（）＞f（1），∵f（1）=1﹣2=﹣1，f（）=2﹣＞0，∴f（1）f（）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（，1），∵f（x）在区间上存在零点，∴=，解得n=2，故答案为：＞，213．（5分）在四边形ABCD中，AB=2．若，则=2．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，则：；∴；∴四边形ADCE是平行四边形；∴，且AB=2；∴．故答案为：2．14．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是①③．【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为F1（，0）和F2（﹣，0），短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，即有P在椭圆+=1上．对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．故答案为：①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）．所以f（x）的最小正周期，令2x﹣=+kπ，解得x=+kπ．所以f（x）的对称轴方程为x=+kπ，k∈Z．（Ⅱ）因为，所以2x∈[0，π]，所以所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣1．16．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X 的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望．【解答】解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2.；；（Ⅱ）．故随机变量X的分布列为（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，所以随机变量Y的数学期望为E（Y）=6000+500E（X）=6000+500（）=6500．（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．所以随机变量Y的分布列为所以随机变量Y的数学期望为E（Y）==6500．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以，所以∠DBA=60°．因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．因为AC⊄平面PDB，DB⊂平面PDB，所以AC∥平面PDB．解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PD⊥DA，PD⊥DB．如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B（1，0，0），，P（0，0，1），．平面ABC的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则由，得，令y=1，则，所以平面PAB的一个法向量=（），所以cos＜＞==，由图象知二面角P﹣AB﹣C是钝二面角，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，因为，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．18．（14分）已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=﹣1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．所以（*）可化简为y2﹣4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=﹣1得，因为n=﹣m2，所以所以NA⊥NP，所以点N在以PA为直径的圆C上．19．（13分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=ae ax﹣1，∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，∴切线l的斜率为2，∴f'（0）=a﹣1=2，∴a=3；（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e a﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，∴在时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在上递减；时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在上递增．∴=是f（x）的极小值．设，则，令g'（x）=0，得x=1．∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，∴，综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．20．（13分）对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*且m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列{a n}具有性质P（t）．（Ⅰ）若数列{a n}满足判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{a n}是各项为正整数的数列，且{a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是等差数列．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a 2﹣a 1=0，a 3﹣a 2=1， 所以不具有性质P （0）；（必要性）因为数列{a n }具有性质P （0），所以一定存在一组最小的且m ＞k ，满足a m ﹣a k =0，即a m =a k由性质P （0）的含义可得a m +1=a k +1，a m +2=a k +2，…，a 2m ﹣k ﹣1=a m ﹣1，a 2m ﹣k =a m ，… 所以数列{a n }中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：a k ，a k +1，…，a m ﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n }中最多有m ﹣1个不同的项， 所以T 最多有个元素，即T 是有限集．（Ⅲ）因为数列{a n }具有性质P （2），数列{a n }具有性质P （5），所以存在M′、N′，使得a M'+p ﹣a M '=2，a N'+q ﹣a N '=5，其中p ，q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P （2），P （5）的含义可得，a M'+p +k ﹣a M'+k =2，a N'+q +k ﹣a N'+k =5， 若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得a N'+p ﹣a N '=2； 若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得a M'+q ﹣a M '=5．记M=max {M'，N'}，则对于a M ，有a M +p ﹣a M =2，a M +q ﹣a M =5，显然p ≠q ， 由性质P （2），P （5）的含义可得，a M +p +k ﹣a M +k =2，a N +q +k ﹣a N +k =5，所以a M +qp ﹣a M =（a M +qp ﹣a M +（q ﹣1）p ）+（a M +（q ﹣1）p ﹣a M +（q ﹣2）p ）+…+（a M +p ﹣a M ）=2qa M +qp ﹣a M =（a M +pq ﹣a M +（p ﹣1）q ）+（a M +（p ﹣1）q ﹣a M +（p ﹣2）q ）+…+（a M +q ﹣a M ）=5p 所以a M +qp =a M +2q=a M +5p ． 所以2q=5p ，又p ，q 是满足a M +p ﹣a M =2，a M +q ﹣a M =5的最小的正整数， 所以q=5，p=2，a M +2﹣a M =2，a M +5﹣a M =5， 所以，a M +2+k ﹣a M +k =2，a M +5+k ﹣a M +k =5，所以，a M +2k =a M +2（k ﹣1）+2=…=a M +2k ，a M +5k =a M +5（k ﹣1）+5=…=a M +5k ， 取N=M +5，则，所以，若k 是偶数，则a N +k =a N +k ；若k 是奇数，则a N +k =a N +5+（k ﹣5）=a N +5+（k ﹣5）=a N +5+（k ﹣5）=a N +k ， 所以，a N +k =a N +k所以a N ，a N +1，a N +2，…，a N +k ，…是公差为1的等差数列．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2017.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）3π3π3π()sin 2coscos 2sin sin(2)555f x x x x =-=-- 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 因为sin y x =的对称轴方程为ππ,2x k k =+∈Z ， 令3ππ2π,52x k k -=+∈Z ， 得11π1π,202x k k =+∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为11π1π,202x k k =+∈Z . 或者：()f x 的对称轴方程为3ππ22π52x k -=+和3ππ22π,52x k k -=-+∈Z ， 即11ππ20x k =+和ππ,20x k k =+∈Z . （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2[0,π]x ∈， 所以3π3π2π2[,]555x -∈- 所以，当3ππ252x -=-即π20x =时， ()f x 在区间π[0,]2上的最小值为1-.16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人). (Ⅱ) (ⅰ) 依题意，随机变量X 可取0，1，2.4062483(0)14C C p X C ===；3162484(1)7C C p X C ===；2262483(2).14C C p X C === 故随机变量X 的分布列为(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y =2000X +1500(4)X -=6000+500X ， 所以随机变量Y 的数学期望为E (Y )=6000+500E (X )=6000+500(34301214714⨯+⨯+⨯) =6500.(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y 可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y 的分布列为所以随机变量Y E (Y )=34360006500700014714⨯+⨯+⨯ =6500.17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =， 所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ，所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B ，A ，(0,0,1)P ，C .平面ABC 的法向量(0,0,1)=n ，设(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则 由0,0BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可得0,0,x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x z ==PAB的一个法向量=m ，所以cos ,||||7⋅<>===m n m n m n ， 所以二面角P AB C --的余弦值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）可得(1,AB =，1)PC =-，因为1)(1,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =.（Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220nNA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--= 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k-+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=， 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.19.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）'()e 1ax f x a =-，因为曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以切线l 的斜率为2， 所以'(0)2f =， 所以3a =.（Ⅱ）法1：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a+∞上递增所以11(ln )f a a=1(1ln )a a +是()f x 的极小值.由函数()e ax f x x =-可得(0)1f =，由1a ≠可得11ln 0a a≠， 所以11(ln )(0)1f f a a<=，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.（Ⅱ）法2：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a +∞上递增. 所以11(ln )f a a =1ln a a+是()f x 的极小值.设1ln ()xg x +=，则2ln '()(0)x g x x -=>,令'()0g x =，得1x =所以当1x ≠时()(1)1g x g <=， 所以11(ln )1f a a<，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{0,1}T =是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项， 所以数列{}n a 中最多有m 个不同的项，所以T 最多有2m C 个元素，即T 是有限集.（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，所以数列{}n a 中一定存在一项M a ，使得2M p M a a +-=，5M q M a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，显然p q ≠，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N ，2,5M p k M k M q k M k a a a a ++++++-=-=， 所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-++-= (1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以k ∀∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以k ∀∈N ，22(1)22M k M k M a a a k ++-=+==+，55(1)55M k M k M a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则k ∀∈N ，所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；若k 是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，所以k ∀∈N ，N k N a a k +=+所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种11主视图左视图俯视图8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-， 函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=则=BCPB． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；P（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+； （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=； -------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）∵Aax b sin sin =， ∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，)0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ， ()0, 0D .所以() 0, 0AC =-u u u r ，()0, 0BD =-u u u r.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a a =-u u u r . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n .易知()0, 0BD =-u u u r是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02a BD a ⋅=⋅-=-u u u r n ，所以BD ⊥u u u rn ，所以平面BDE ⊥平面SAC .-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =u u u r是平面SAC 的一个法向量.由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 452OS 〈〉=︒=u u u r n ，2=，解得1a =.[ 所以点E 是SC 的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,222824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===, ξ的分布列为-------------------------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ② 当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分 19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ---------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ． 解得67=k ，此时（*）方程0>∆， ∴存在67=k ，满足题设条件．------------------------------------------------------14分 20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． 解：（Ⅰ） 由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20.综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分（Ⅲ）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n nc c c 条件. 若2n ≥，则1≤n p ,此时1n pc n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时， 取1n =则：1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时， 取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列 -----------------------------------------------------------------------------13分。

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2017 年北京，理 1，5 分】若集合 A {x | –2 x 1} ， B {x | x –1或x 3}，则 A B =（ ）（A） {x | –2 x 1}（B） {x | –2 x 3}（C） {x | –1 x 1}（D） {x |1 x 3}【答案】A【解析】 A B x 2 x 1，故选 A．（） 【2017 年北京，理 2，5 分】若复数 1 ia i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（）（A） ,1（B） , 1（C）1, （D）1, 【答案】B【解析】z1iaia11ai，因为对应的点在第二象限，所以a1 0，解得： a 1 ，故选1 a 0B．（） 【2017 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）（A）23 （B）2（C） 5 3（D）8 5【答案】C【解析】k 0 时，0 3 成立，第一次进入循环11k 1, s 2 ，1 3 成立，第二次进入循环，1k2, s2 13，23成立，第三次进入循环k3,s3 21 5，33否，输出22332s5，3故选 C．x 3，（） 【2017 年北京，理 4，5 分】若 x y 满足 x y 2，则 x 2 y 的最大值为（ ），y x，（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域， z x 2 y 表示斜率为 1 的一组平行线，当过点 C 3, 3时，2目标函数取得最大值zmax323 f(9x)，故3x选 (1D．（） 【2017 年北京，理 5，5 分】已知函 数)x ，则 f (x) （ ） 3 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数【答案】A1【解析】 f x 3x 1x 1 x 3x f x，所以函数是奇函数，并且 3x 是增函数， 1x 是减函数，根 3 3 3 据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A．（） 【2017 年北京，理 6，5 分】设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n”是“ m n < 0 ”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 0 ，使m n，即两向量反向，夹角是1800，那么m n m n cos1800 m n0，反过来， 若 m n0，那么两向量的夹角为900,1800，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得m n，所以是充分不必要条件，故选 A．（） 【2017 年北京，理 7，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （）（A） 3 2（B） 2 3（C） 2 2（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线， l 22 22 22 2 3 ，故选 B．（） 【2017 年北京，理 8，5 分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 ， 而可M观 （测参宇考宙数中据普：通lg物3质 0的.4原8 子）总数 N 约为1080 ．则下列各数中与 N 最接近的是（ ）（A） 1033【答案】D【解析】设 M x 3361N1080（B） 1053（C） 1073（D） 109333613618093.28，两边取对数，lgxlg 1080lg 3 lg10 361 lg 3 80 93.28 ，所以 x 10，即 M 最接近1093 ，故选 D． N第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

海淀区2017年高三第二次联合考试数学一、选择题1.已知复数，则在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，，则( )A.B.C.D.3.下列选项中说法正确的是( )A. 命题“为真”是命题“为真”的必要条件.B. 若向量，满足，则与的夹角为锐角.C. 若，则.D. “”的否定是“”.4.若等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于( )A. 7B. 6C. 5D. 45.过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，且，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是( )A.B.C.D.6.已知若e1，e2是夹角为90°的两个单位向量，则，的夹角为( )A.B.C.D.7.，则展开式中，项的系数为( )A.B.C.D.8.右图是求样本x 1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A. S=S+B. S=S+C. S=S+ nD. S=S+9.设为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0++=，则FA FB FC ++的值为( )FA FB FCA. 3B. 6C. 9D. 1210.函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是( )A.B.C.D.11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即。

与此类似，我们可以得到：(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；(2)正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；那么( )A.B.C.D.12.记为最接近的整数，如：，，，，，……，若，则正整数m的值为( )A.B.C.D.二、填空题13.函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为____.14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件, “摸得的两球同色”为事件,则概率为____.15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为____.16.已知动点满足：，则的最小值为____.三、解答题17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=3sin B.（1）求角A的大小；（2）若0<A<，a=6，且△ABC的面积，求△ABC的周长.18.某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数X，求X的分布列及数学期望.19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点.(1)证明：PB∥平面ACM；(2)设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.20.设椭圆（a>0）的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的离心率，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P.问当a变化时，F1P与F1Q的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.21.设函数f(x)=x2-a x（a>0，且a≠1），g(x)=，（其中为f(x)的导函数）.(1)当a=e时，求g(x)的极大值点；(2)讨论f(x)的零点个数.22.设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.23.选修4—5：不等式选讲.已知函数的最大值为10.(1)求的值；(2)求的最小值，并求出此时的值.答案一、选择题1. C2. D3. A4. B5. D6. C7. A 8. D 9. B 10. B 11. A 12. C二、填空题13.14.15.16. 0解析一、选择题1.，∴复数对应的点的坐标是，∴在复平面内对应的点在第三象限，故选C.2.由题意得，，∴，故选D.3.对于A，∵命题“为真”则p和q均为真命题，∴命题“为真”可以推出命题“为真，反之命题“为真不能推出命题“为真，故命题“为真”是命题“为真”的必要条件，A正确；对于B，若与的夹角为0°，则可得，此时与的夹角不是锐角，故B错；对于C，若且当时可能存在，故C错；对于D，“”的否定是“”，故D错.综上所述，正确答案为A，故选A.4.由是与的等比中项可得：，由等差数列的公差为2得：，解得，，由可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6，故选C.5.由，则双曲线的左焦点为F，当AB所在直线斜率不存在时，则其方程为，代入可得，此时；由焦点弦公式及性质知过左焦点的直线交双曲线的左支于A，B两点的弦长，即过左焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长最短，则要满足的直线可以作2条，则设坐标分别为，则，又，∴，故选D.6.∵，是夹角为90°的两个单位向量，∴，，∴，故，的夹角为45°，故选C.7.则二项式的展开式的通项公式为，令解得r=3，∴展开式中项的系数为：，故选A.8.由题意可知：该程序的作用是求样本x 1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值再求平均数，故应为：，故选D.9.抛物线的焦点坐标，准线方程为，设，，，∵，∴点F是△ABC的重心，∴，再由抛物线的定义可得：，，，∴，故选B.10.设，∵是其定义域上的减函数，∴即，∴，由此可知，在自变量增大的过程中函数值增加的量越来越小，故有，故选B.11.设正四面体的棱长为a，则正四面体的底面高为，故底面积为，正四面体的底面半径为，∴正四面体的高，所以正四面体的体积，∴；设正方体的棱长为a，则正方体的体积，∴；设正八面体的棱长为a，则正八面体的一半即四棱锥的高，底面积，∴该四棱锥的体积，故正八面体的体积，∴，故，故选A.12.根据已知可得：，，有2个1；，，，有4个2；，，，，，，有6个3；，……，有8个4……；∴又，其中总共的项数为：，又，∴，故选C.二、填空题13.∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，∴，∴，则的最小值为，故答案为.14.由，，由条件概率计算公式得，故答案为.15.由三视图知该几何体是如下图所示的三棱锥A—BCD，将该三棱锥放在棱长为4的正方体中，E是棱的中点，所以三棱锥A—BCD和三棱柱DEF —ABC的外接球相同，设外接球的球心为O，半径为R，△ABC外接圆的圆心为M，则OM=2，在△ABC中，，由余弦定理得：，∴，由正弦定理得：，则，∴，则外接球的表面积，故答案为：.16.∵，则，∴要使只要，∴；∴动点P满足，该不等式表示的平面区域如下图：设，∴，∴表示以为圆心的圆的半径，由图形可知该圆经过原点O时半径最小为3，∴，则z的最小值为0，故答案为0.三、解答题17. （1）由正弦定理得2sin A sin B=∵0<A<π，∴或（2）∵，∴，由余弦定理得，，故△ABC的周长l=a+b+c=1418.（1）由图知，P(25≤xx=100×0.05=5；P(30≤xy=100×0.2=20，其补全频率分布直方图，如下图：(2)∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人.X可取0，1，2，，故X的分布列为：故.19.(1)连结OM，BD，∵O为BD中点，M为PD中点，∴OM为△PBD的中位线，故OM ∥PB，OM平面ACM，PB平面ACM，故PB∥平面ACM；(2)取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，故∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角.∵在Rt△ADO中，，在Rt△AMN中，∴，取AO的中点R，连结NR，MR，∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M—AC—B 的补角，即为π-β.∵∴，∴20.(1)由题知，由得：a4 - 25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为.(2).设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=2a2-8，联立得8x2 -4x+a4=0，即，故，，直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为，故，故故与的夹角为定值.21.(1)g(x)=2x-e x ，=2-e x=0，当x<ln2时，>0；当x>ln2时，<0，故的极大值点为ln2(2)22.联立直线方程与C的方程可解得：，P2(0，1)，P1 P2线段中点，，故P1 P2线段中垂线的方程为，即3x-9y-4=0，即极坐标方程为23.(1)当且仅当时等号成立，又的最大值为又已知的最大值为10，所以(2)由（1）知，由柯西不等式得：，即，当且仅当即时等号成立.。

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（5分）在极坐标系中Ox，方程ρ=2sinθ表示的圆为（）A．B．C．D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③8．（5分）已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是．10．（5分）已知公差为1的等差数列{a n}中，a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前100项和为．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则=．12．（5分）已知（5x﹣1）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n=．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM=1，则PQ长度的最小值为．14．（5分）对任意实数k，定义集合．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；②当k=0时，若对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，且存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3BC，AB=．（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tan∠ABC的值．16．（13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．17．（14分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．△A1ED为正三角形，将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，如图2，△A1ED为正三角形．（Ⅰ）求证：平面△A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（Ⅲ）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．18．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=9，点P（2，0）（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．19．（14分）已知函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，求证：函数f（x）有且仅有一个零点；（Ⅲ）当a＞0时，写出函数f（x）的零点的个数．（只需写出结论）20．（13分）无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1=2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：=．故选：A．2．（5分）在极坐标系中Ox，方程ρ=2sinθ表示的圆为（）A．B．C．D．【解答】解：方程ρ=2sinθ，整理得：ρ2=2ρsinθ，转化为：x2+y2﹣2y=0，即：x2+（y﹣1）2=1．根据圆在极坐标系中的位置，只有D符合．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，k=1不满足条件a＞10，执行循环体，a=2，k=2不满足条件a＞10，执行循环体，a=4，k=3不满足条件a＞10，执行循环体，a=8，k=4不满足条件a＞10，执行循环体，a=16，k=5满足条件a＞10，退出循环，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．∴“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x﹣y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．6．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，基本事件总数n==20，恰有两个小球编号相邻包含的基本事件个数m=12个，∴恰有两个小球编号相邻的概率为p==．故选：C．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：依据三视图，可得该几何体，如图三棱锥P﹣ABC，AC=BC=1，AB=．PA=PB，面PC⊥面ABC，P到面ABC的距离为1．①三棱锥的体积为=，正确；②三棱锥的面PAB不是直角三角形，错；③三棱锥的四个面的面积最大的是△PAB，PA=BP═AB=，其面积S=，故错．故选：A8．（5分）已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个【解答】解：由△MFK为等腰三角形，若KF=MF，则M有两个点；若MK=MF，则不存在，若MK=FK，则M有两个点，则使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个；由△MFK中∠MFK为直角的点M有两个；∠MKF为直角的点M不存在；∠FMK为直角的点M有两个，则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个；若的M在第一象限，可得直线MK：y=x+，代入抛物线的方程可得x2﹣px+=0，解得x=，由对称性可得M在第四象限只有一个，则满足的M有且只有2个；使得的点M在第一象限，可得直线MK：y=（x+），代入抛物线的方程，可得x2﹣5px+=0，△=25p2﹣p2=24p2＞0，可得点M有2个；若M在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点M有且只有4个．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=，点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．10．（5分）已知公差为1的等差数列{a n}中，a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前100项和为5050．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a2，a4成等比数列，得：（a1+1）2=a1（a1+3），即a1=1．∴S100=100×=5050．故答案为：5050．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则=2．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则A（1，2），B（1，﹣2）；=（2，0）；则=2．故答案为：2．12．（5分）已知（5x﹣1）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n=6．【解答】解：由题意可得=2n=64，∴n=6，故答案为：6．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM=1，则PQ长度的最小值为．【解答】解：如图，点P在以M为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上，连结A1C1、B1D1，交于点O，取B1C1中点N，OC1中点Q，连结QN，取QN中点E，连结PE，PQ，此时PQ长度取最小值，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD 内，点Q在线段A1C1上，PM=1，∴PM=EN=1，∵ON=OB1=B1D1==2，∴QE=2﹣1=1，又PE=CC1=4，∴PQ长度的最小值为：==．故答案为：．14．（5分）对任意实数k，定义集合．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是（﹣1，1）；②当k=0时，若对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，且存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：①作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，观察图形可得只要满足﹣1＜k＜1时满足条件，②对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，则a≤恒成立，因为表示与定点（﹣3，﹣1）的斜率，当过点B（2，0）时，此时有最小值，最小值为，即a≤，存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则a≥（x﹣y）min，平移目标函数y=x﹣a，当直线和y=x+2重合时，此时x﹣y最小，最小值为﹣2，则a≥﹣2，综上所述a的取值范围为[﹣2，]故答案为：①（﹣1，1）②三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3BC，AB=．（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tan∠ABC的值．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，，…．（1分）故∠DBC=∠C，DB=DC…．（2分）设DC=x，则DB=x，DA=3x．在△ADB中，由余弦定理AB2=DA2+DB2﹣2DA•DB•cos∠ADB…．（3分）即，…．（4分）解得x=1，即DC=1．…．（5分）（Ⅱ）方法一．在△ADB中，由AD＞AB，得∠ABD＞∠ADB=60°，故…．（6分）在△ABC中，由正弦定理…．（7分）即，故，…．（9分）由，得，…．（11分）…（13分）方法二．在△ADB中，由余弦定理…．（7分）由∠ABD∈（0，π），故…．（9分）故…．（11分）故…（13分）16．（13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS ）（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率； （Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价． 【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有： 测试1、2、5、6、9、10、11，共7次 设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此…．（3分）（Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有： 测试1、3、4、5、7、8，共6次 随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，3…．（7分）随机变量X 的分布列为…．（8分）…．（10分）（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，（1分）；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，（2分）．…（13分）．标准1：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3．后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据17．（14分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．△A1ED为正三角形，将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，如图2，△A1ED为正三角形．（Ⅰ）求证：平面△A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（Ⅲ）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵BE⊥A1E，BE⊥DE，且A1E∩DE=E，A1E，DE⊂平面A1DE，∴BE⊥平面A1DE，∵BE⊂平面BCDE，∴平面A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）解：在平面A1DE内过E作ED的垂线，由BE⊥平面A1DE，建系如图．则，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，0）．，，，设平面A 1CD的法向量为，则，即，令z=1，得，∴．∴A1B与平面A1CD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD的体积相等．理由如：方法一、由，，知，则．∵MN⊄平面A1CD，∴MN∥平面A1CD．故点M、N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M﹣A1CD和N﹣A1CD同底等高，则体积相等．方法二、如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN．∵在△A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，∴MP∥A1D，在正方形BCDE中，∵N，P分别是BC，DE的中点，∴NP∥CD，∵MP∩NP=P，MP，NP⊂平面MNP，A1D，CD⊂平面A1CD，∴平面MNP∥平面A1CD．∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面A1CD．故点M、N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M﹣A1CD和N﹣A1CD同底等高，则体积相等．18．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=9，点P（2，0）（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=9，化为：，故a2=9，，，有a=3，．…..（3分）椭圆C的短轴长为，离心率为．…..（5分）（Ⅱ）结论是：|TP|＜|TM|．…..（6分）设直线l：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：（m2+2）y2+2my﹣8=0…..（8分）△=（2m）2+32（m2+2）=36m2+64＞0故，…..（10分）=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2…..（11分）=（my1﹣1）（my2﹣1）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1==＜0…..（12分）故∠MPN＞90°，即点P在以MN为直径的圆内，故|TP|＜|TM|…..（13分）19．（14分）已知函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，求证：函数f（x）有且仅有一个零点；（Ⅲ）当a＞0时，写出函数f（x）的零点的个数．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2，所以f′（x）=2e x﹣2ax﹣2，故f（0）=0，f'（0）=0，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（Ⅱ）证明：当a≤0时，令g（x）=f′（x）=2e x﹣2ax﹣2，则g′（x）=2e x﹣2a＞0，故g（x）是R上的增函数．由g（0）=0，故当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0．即当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．函数f（x）的最小值为f（0）．由f（0）=0，故f（x）有且仅有一个零点．（Ⅲ）当a=1时，f（x）有一个零点；当a＞0且a≠1时，f（x）有两个零点．20．（13分）无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1=2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．【解答】解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 …，证明（Ⅱ）假设存在正整数M，使得对任意的k∈N*，a k≤M．由题意，a k∈{1，2，3，…，M}考虑数列{a n}的前M2+1项：a1，a2，a3，…，其中至少有M+1项的取值相同，不妨设此时有：，矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M．证明（Ⅲ）充分性：当a1=1时，数列{a n}为1，1，2，1，3，1，4，…，1，k﹣1，1，k，…特别地，a2k﹣1=k，a2k=1故对任意的n∈N*（1）若n为偶数，则a n+2=a n=1（2）若n为奇数，则综上，a n+2≥a n恒成立，特别地，取m=1有当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立必要性：方法一：假设存在a1=k（k＞1），使得“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n 成立”则数列{a n}的前k2+1项为k，1，1，2，1，3，1，4，…，1，k﹣1，1，k2，2，3，2，4，…，2，k﹣1，2，k3，3，4，…，3，k﹣1，3，k…k﹣2，k﹣2，k﹣1，k﹣2，kk﹣1，k﹣1，kk后面的项顺次为k+1，1，k+1，2，…，k+1，kk+2，1，k+2，2，…，k+2，kk+3，1，k+3，2，…，k+3，k…对任意的m，总存在n≥m，使得a n=k，a n+2=1，这与a n≤a n+2矛盾，故若存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n≥a n成立，必有a1=1+2≥a n恒成立，记max{a1，a2，…，a m}=s．方法二：若存在m∈N*，当n≥m时，a n+2由第（2）问的结论可知：存在k∈N*，使得a k＞s（由s的定义知k≥m+1）不妨设a k是数列{a n}中第一个大于等于s+1的项，即a1，a2，…，a k均小于等﹣1于s．=1．因为k﹣1≥m，所以a k+1≥a k﹣1，即1≥a k﹣1且a k﹣1为正整数，所以a k 则a k+1=1．﹣1记a k=t≥s+1，由数列{a n}的定义可知，在a1，a2，…，a k﹣1中恰有t项等于1．假设a 1≠1，则可设，其中1＜i1＜i2＜…＜i t=k﹣1，考虑这t个1的前一项，即，因为它们均为不超过s的正整数，且t≥s+1，所以中一定存在两项相等，将其记为a，则数列{a n}中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列{a n}的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾，故假设a1≠1不成立，所以a1=1，即必要性得证综上，“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=｛一l,0，1，2｝，集合A={一l,2}，B={0，2｝,则=⋂B A C U)(A ．｛0}B ．｛2}C ．｛0,l,2}D ．φ 2．已知i 为虚数单位,2=iz ，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i3．“a=2"是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23 D ．25．函数2(sin cos )1y x x =+-是11主视图左视图俯视图否A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线,则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．247．将图中的正方体标上字母, 1111A BC D -， 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=,且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-,函数()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个 数为A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4是 （用数字作答）10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PAA 为切点,PBC 的割线，且PB PA 3=，则=BCPB ． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立,则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M有公共点,则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1,2,…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点(i ＋1）的向量记作1+i i t t ,则2111243323221t t t t t t t t t t tt ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分13分）P在ABC ∆中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a =设角B 的大小为x ,ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形,AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE;（Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ)当二面角E BD C--的大小为45︒时,试判断点E在SC上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克）,重量的分组区间为(],490，495 (]515510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：,495,…,(]500,（Ⅰ)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量;（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件,设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列;(Ⅲ)从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分)已知xx x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=,其中e 是自然常数,R a ∈．（Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值; (Ⅱ）求证：在(Ⅰ)的条件下,1()()2f xg x >+；(Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3,若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由．已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a )，过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（Ⅲ)是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由．定义:对于任意*n ∈N ,满足条件212nn n aa a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}na 称为T 数列．（Ⅰ）若29nan n =-+（*n ∈N ），证明：数列{}n a 是T 数列；(Ⅱ)设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}nb 是T 数列，求常数M 的取值范围; (Ⅲ)设数列1npcn=-（*n ∈N ,1p >）,问数列{}n c 是否是T 数列?请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题:本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分13分)在ABC ∆中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a =设角B 的大小为x ,ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ)∵222bc a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=；——-————-—--———---——--——---——--—-——————-—-—---—-————-—--——--——5分（Ⅱ）∵Aa xb sin sin =，∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π ∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ,∴62x ππ+=即3x π=时，max y =——-———-——---———-—————-—————13分16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ,E 为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ)当二面角E BD C --的大小为45︒时,试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE 。

2 3．若 x ,y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 ,则 x + 2 y 的最大值为（ ）⎪ y ≥ 0 2D ．216B．北京市东城区 2017 届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A = {x | x ﹣4＜0} ,则 RA =（ ）A ． {x | x ≤ -2或x ≥ 2}B ． {x | x ＜-2或x ＞2}C ．{x | -2＜x ＜2}D ．{x | -2 ≤ x ≤ 2}2．下列函数中为奇函数的是（ ）A ． y = x + cosxB ． y = x + sin xC ． y = xD ． y = e - x⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎩A ． -1B ．0C ． 14．设 a, b 是非零向量,则“ a, b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的（）A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n }为递增数列, S n 是其前 n 项和．若 a + a = 1 5 17 2, a a = 4 ,则 S =（ ） 2 4 6A ． 2727 863 63 C ． D ．4 26．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n = 5,v = 1, x = 2 ,则程序框图 计算的是（）A ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1B ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 5C ． 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1D ． 24 + 23 + 22 + 2 + 147．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离Y与动点P所走过的路程X的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．B．C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a,a,a,⋯,a,和b,b,b,,令123n123M={m|a＜b,m=1,2,,n},若M中元素个数大于3n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格, m m记作：A,B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是（）A．若A<B,B<C,则A<CB．若A<B,B<C同时不成立,则A<C不成立C．A<B,B<A可同时不成立D．A<B,B<A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2-i)在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线ρcosθ+3ρsinθ+1=0与圆ρ=2a cosθ(a＞0)相切,则a=_______．11．某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45︒,∠ADB=30︒,BC=1,DC=2,cos∠BCD=角形ABD的面积为_______．14,则BD=_______；三13．在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点14．已知函数f(x)⎨min{|x-1|,|x-3|},x∈(2,4]{}⎩min|x-3|,|x-5|,x∈(4,+∞)（Ⅱ）若（x）在⎢,⎥上单调递减,求f(x)的最大值．flE A B,A在x轴上方．若直线的倾斜角为60︒,则OA=_______．⎧|x-1|,x∈(0,2]⎪⎪①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是_______．②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是_______．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．已知函数f(x)=3sin2x+a cos2x(a∈R)．（Ⅰ）若f(π)=2,求a的值；6⎡π7π⎤⎣1212⎦16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．如图,在几何体ABCDEF中,平面A D⊥平面C四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60︒,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．n维T向量．对于两个n维T向量A,B,定义（A,B）=∑|a-b|．d,),0),A为12维T向量序列中的项,求出所有的m．18．设函数f(x)=(x2+ax-a)e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a＞b＞0)的短轴长为23,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段B N的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF 上．20．对于n维向量A=(a,a,⋯,a),若对任意i∈{1,2,12n,n}均有a=0或a=1,则称A为i ini ii=1（Ⅰ）若A=(1,0,1,0,1)，B=(0,1,1,1,0)，求d(A B的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A,A,A,⋯,若A1=(1,1,1,1,1)且满足：d(A,A+1)=2,i∈N*．求证：1231i i该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A,A,A,,若A(1,1,,1)且满足：d(A,A)=m,m∈N*,i=1,2,3,,1231i i+112个若存在正整数j使得A(0,0,j12个j北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答案1．A2．B3．C4．B5．D6．A7．C8．C9．(1,2)10．111．1412．2；3-113．2114．①(1,+∞)；②(-4,-2)(2,4)15．解（Ⅰ）因为f(π)=3sin2631+a=2．22故得：a=1．ππ+a cos2=2, 66（Ⅱ）由题意：f(x)=3+a2sin(2x+θ),其中tanθ=a 3 ,∴函数的周期T=π,且7πππ-=, 12122所以当x=π12时,函数f(x)取得最大值,即f(x)maxππ=f()=3+a2sin(+θ)=3+a2,126π∴sin(+θ)=1,6πa∴θ=+2kπ,k∈Z.∴tanθ==3,∴a=3.33因此f(x)的最大值为23．16．解：设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2, i1根据题意,P(A)=,且事件A与A互斥．i i j ,9)．993 故 X 的期望 E( X ) = 0 ⨯ + 1⨯（Ⅰ）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则 B = AA ．47所以 P(B) = P( A4A ) = P( A ) + P( A ) = 27 4 7． （Ⅱ）由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,P( X = 0) = P( A 4A71A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) = ,8 4 7 8P( X = 1) = P( A3A 5A6A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) + P( A ) = 9 3 5 6 9 4 9, P( X = 2) = P( A1A ) = P( A ) + P( A ) = 2 1 2 2 9．所以 X 的分布列为X0 1 2P13 4 9 2 91 3 42 8+ 2 ⨯ = ．9 9 9（Ⅲ）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．证明：（Ⅰ） 取CD 中点 N , 连结 M N 、FN ．因为 N , M 分别为 C D, BC 中点, 所以MN ∥BD ．又BD ⊂ 平面BDE, 且MN ⊄ 平面BDE, 所以MN ∥平面BDE ,因为 EF / / AB, AB = 2EF , 所以EF ∥CD, EF = DN ．所以四边形 EFND 为平行四边形．所以 FN ∥ED ． 又 ED ⊂ 平面BDE 且FN ⊄ 平面BDE , 所以 FN ∥平面BDE , 又 FNMN = N , 所以平面MFN ∥平面BDE ．又 FM ⊂ 平面MFN , 所以FM ∥平面BDE ． 解：（Ⅱ） 取AD 中点O , 连结EO, BO ．因为 EA = ED, 所以EO ⊥ AD ．因为平面 ADE ⊥ 平面ABCD, 所以EO ⊥ 平面ABCD, EO ⊥ BO ． 因为 AD = AB, ∠DAB = 60︒, 所以△ADB 为等边三角形．因为 O 为AD 中点, 所以AD ⊥ BO ．因为 EO, BO, AO 两两垂直, 设AB = 4,以 O 为原点, O A, O B, O E 为x, y , z 轴,如图建立空间直角坐标系 O - xyz ．-6-/15⎪ ⎩ ⎩由题意得, A (2,0,0 ), B(0,2 3,0) , C (-4,2 3,0) , D (-2,0,0 ), E (0,0,2 3) , F (-1, 3,2 3) ．CF = (3,- 3,2 3) , CE = (2,0,2 3) , BE = (3,-2 3,2 3) ．设平面 BDE 的法向量为 n =(x, y , z ),⎧n BE = 0 ⎧⎪ y - z = 0 则 ⎨ ,即 ⎨ ,⎪n DE = 0⎪ x + 3z = 0令 z = 1,则y = 1 , x = - 3 ．所以 n = (- 3,1,1) ．设直线 CF 与平面 BDE 成角为 α , sin α =| cos < CF ,n >|= 10 10,所以直线 CF 与平面ADE 所成角的正弦值为 10 10．（Ⅲ）设 G 是CF 上一点,且 CG = λ CF , λ ∈[0,1] ．因此点 G(3λ - 4, - 3λ + 2 3,2 3λ) ．BG = (3λ - 4, - 3λ,2 3λ) ．由 BG DE = 0 ,解得 λ = 49．所以在棱 CF 上存在点G 使得BG ⊥ DE ,此时CG 4= ．CF 9' ' ' ' ' 2] 2] '18．解：（Ⅰ）当 a = 0时,f (x )= x 2e - x ,∴ f (x )=( - x 2 + 2 x )e - x ,∴ f ( - 1)= - 3e ．又∵ f ( - 1)= e ,∴曲线 y = f ( x )在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为：y - e = -3e(x + 1),即3ex + y + 2e = 0 ．（Ⅱ）“对任意的 t ∈ [0,2 ], 存在 s ∈ [0, 2]使得 f (s )≥ g (t )成立”,等价于“在区间[0,2 ]上, f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”．∵ g ( x ) = x 2 - x - 1 = ( x - 1 )2 - 25 4,∴ g (x )在[0,2 ]上的最大值为g (2)= 1 ．f (x )=(2 x + a ) e - x -(x 2 + ax - a ) e - x = -e x [ x 2 +(a - 2)x - 2a] = e - x (x - 2)(x + a ) ,令 f (x )= 0, 得x = 2, 或x = -a ．①当 -a ＜0,即a ＞0时,f (x )＞0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递增函数,f (x )的最大值为f (2)=(4 + a ) 1 e 2,由(4 + a ) 1 e 2≥ 1,得a ≤ e 2 - 4②当 0＜ - a ＜2,即 - 2＜a ＜0 时,当 x ∈(0,- a )时,f (x )＜0, f (x )为单调递减函数,当 x ∈ (-a, -2)时,f '(x)＞0, f ( x ) 为单调递增函数．∴ f ( x )的最大值为f (0) = -a 或f (2) = (4 + a) 1e 2,-8-/15设点 M (x , y ),由 ⎨x 2 y 2 ,整理得(4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 , ⎪ + = 1 ' 2] 2] , 3 + 4k 3 + 4k ①当 MF ⊥ x 轴时, x = 1,此时k = ± ．2 则 M (1,± ), N (2, ±2), E (2, ±1)．时,直线 MF 的斜率为 k=y 16k 2 + (4k 2 - 1)2 =由 -a ≥ 1,得a ≤ -1;由(4 + a)1≥ 1 ,得 a ≤ e 2-4 ．e 2又∵ -2＜a ＜0,∴- 2＜a = 1 ．③当 -a ＞2,即a ＜-2 时,f (x )＜0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递减函数,f (x )的最大值为f (0)= -a ,由 -a ≥ 1, 得a ≤ -1 ,又因为 a ＜-2,所以a ＜-2 ．综上所述,实数 a 的值范围是{x | a ≤ -1或a ≥ e 2 - 4} ．19．解：（Ⅰ）由题意得 2b = 2 3 ,则 b = 3 , c = 1,则a 2 = b 2 + c 2 = 4, 则a = 2 ,x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为+= 1；43（Ⅱ）证明：“ 点B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分 ∠MFB ”．设直线 AM 的方程为y = k (x + 2)(k ≠ 0),则N (2,4 k ) E (2,2 k ) ．⎧ y = k ( x + 2)⎪ 0 0⎩ 4 316k 2 - 12 -8k 2 + 6由韦达定理可知 -2 x = ,则 x =0 2 0 2, y = k (x + 2)= 0 0 12k 3 + 4k 2 ,132此时,点 E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,即 EF 平分∠MFB ．②当 k ≠ 1 4k 0 = ,2 x - 1 1 - 4k 2 0所以直线 MF 的方程为4kx +(4k 2 - 1)y - 4k = 0 ．所以点 E 到直线 MF 的距离d = | 8k + 2k (4k 2 - 1) - 4k | | 4k + 2k (4k 2 - 1)| (4k 2 + 1)2=| 2k(4k 2 + 1)| | 4k 2 + 1| = 2k = BE ．即点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上,20．解：（Ⅰ）由于 A = (1,0,1,0,1) , B = (0,1,1,1,0) ,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b | , i + = 2 ,0) , A 为 12 维 T 向 量 序 列 中 的 项 , 此 时 m综上可知：点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n i ii =1可得 d (A, B )= 4 ．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含 5 维 T 向量序列, A , A , A ,123, A ,n使得 A = (1,1,1,1,1) A = (0,0,0,0,0,0) ．1m因为向量 A = (1,1,1,1,1)的每一个分量变为 0,都需要奇数次变化,1不妨设 A 的第 (i = 1,2,3,4,5 )个分量1变化了2n -1 次之后变成 0, 1i所以将 A 中所有分量 1 变为 0 共需要:1(2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) （2n -1） （n + n + n + n + n - 2）-1次,此数为奇数．1234512345又因为 d (A , A )= m , m ∈ N * ,说明 A 中的分量有 2 个数值发生改变,ii +1i进而变化到 A , 所以共需要改变数值 2(m -1)次,此数为偶数,所以矛盾．i +1所以该序列中不存在 5 维 T 向量(0,0,0,0,0 )．（ Ⅲ ） 存 在 正 整 数 j 使 得 A = (0,0,j12个=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．j3．解：作出 x ，y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 表示的平面区域,⎪ y ≥ 0 得到如图的三角形及其内部,由 ⎨, x + y = 0 F = ∴ z 最大值 = F (- , ) = (26 - 1)解 析1．解：集合 A = {x | x 2-4＜0} = {x | -2＜x ＜2} ,则 RA = {x | x ≤ -2或x ≥ 2} ．故选：A ．2．解：对于 A 非奇非偶函数,不正确； 对于 B ,计算,正确,对于 C ,非奇非偶函数,不正确； 对于 D ,偶函数,不正确, 故选：B ．⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 = 0 ⎩1 1解得 A (- , ) ,2 2设 z = （x ，y ） x + 2 y ,将直线 l ：z = x + 2 y 进行平移,当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值1 12 2 1 2．故选：C ．4．解：“ | a + b |=| a | + | b | ” “ a, b 共线”,反之不成立,例如 a = -b ≠ 0 ．∴ a , b 是非零向量,则“ a , b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的必要不充分条件．故选：B ．5．解：设递增的等比数列{a1解得 a =, a = 8 ．125n }的公比为 q ,∵ a 1+ a = 5 172 , a a = 4 = a a ,2 4 1 5解得 q = 2 ,1 则 S = 2663= ．2 - 1 2故选：D ．-11-/1512 i 2 i ．2) θ θ 2 0) θn = 5，v = 1，x = 2，i = 4 满足条件 i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 7，i = 2满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 15，i = 1 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 31，i = 0 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 63，i =﹣ 不满足条件 i ≥ 0 ,退出循环,输出 v 的值为 63 ．由于 25+24+23+22+2+1=63．故选：A ．7．解：由题意可知：对于 A 、B ，当P 位于A ，B 图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除 A 、B ,对于 D ,其图象变化不会是对称的,由此排除 D , 故选 C ．8．解：若 a = b ，i = 1，， n ,ii则 A < B ，B < A 同时不成立,故选 C ．9．解：复数（﹣）= 2i + 1 在复平面内所对应的点的坐标为（1,2） 故答案为： (1， ．10．解：直线 ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程： x + 3 y + 1 = 0 ．圆 ρ = 2a cos （a ＞0）即 ρ 2 = 2ρ a cos （a ＞0）, 可 得 直 角 坐 标 方 程 ： x 2 + y 2 = 2ax , 配 方 为 ：（x - a ） + y 2 = a 2 ．可得圆心 (a ，，半径 a ．∵直线 ρcos θ + 3ρsin θ + 1 = 0 与圆 ρ = 2acos （a ＞0）相切,∴ | a + 1|= a ，a ＞0 ,解得 a = 1 ．2故答案为：1．11．解：根据题意,分 2 种情况讨论：①．选择 1 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 3 门,则 B 类课程有 C 1 = 2 种选法,A 类课程有 C 3 = 4 种选法,24此时有 2 ⨯ 4 = 8 种选择方法；②．选择 2 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 2 门,则 B 类课程有 C 2 = 1 种选法,A 类课程有 C 2 = 6 种选法,24此时有 1×6=6 种选择方法；3 y + 1 ,⎪⎪ y = 3 y + 1 ,解得： ⎨ 3 , , ⎨ 解：① f ( x ) ⎨| x - 3|, x ∈ (2,4] , ⎪| x - 5|, x ∈ (4, +∞) x ⎩2则一共有 8+6=14 种不同的选法；故答案为：14．12．解： △CBD 中,由余弦定理,可得, BD = 1 + 4 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ 1= 2 ,4△ABD 中,利用正弦定理,可得 AD = 2sin 45︒ sin105︒= 2 3 - 2 ,1 1∴三角形 ABD 的面积为 ⨯ 2 ⨯ (2 3 - 2) ⨯ = 3 - 1,2 2故答案为 2, 3 - 1．13．解：抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的坐标为（1,0）∵直线 l 过F ,倾斜角为 60︒ ,即斜率 k = tan α = 3 ,∴直线 l 的方程为： y =3( ﹣1) ,即 x =3⎧ 3 ⎧ 2 3⎪ x = ⎧⎪ y = 2 3 ⎨⎪ y 2 = 4 x⎪⎩ x = 3 ⎪ x = 1 ⎪⎩ 3由点 A 在x 轴上方，则A(3， 3) ,则 OA = (3)2 + (2 3) 2 = 21 ,则 OA = 21 ,故答案为： 21 ．14．⎧| x - 1|, x ∈ (0,2]⎪ ⎩作出 f (x) 的函数图象如图所示：f42+4)15．（Ⅰ）根据f()=2，即可求a的值；⎢12,12⎥上单调递减,可得最大值．（29)此时CG1]'=f2]2]f≥g2]f x g g2]由图象可知当a＞1时，f(x)=a只有1解．②∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将（x）的图象向左或向右平移T个单位后与原图象有3个交点,∴2＜T＜4,即﹣＜T＜﹣或2＜T＜4．故答案为：①(1，∞)，②(﹣4,-2)(2，．π6（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asinωx+ϕ）的形式,结合三角函数的图象和性质,f(x)在⎡π7π⎤⎣⎦16．设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，，，．根据题意P(A)=i i 且事件A与A互斥．i j 1 9,,（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则B=A4A．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．7（Ⅱ）由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）取CD中点N，连结M N、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN//ED．进而FN//平面BDE，由此能证明平面MFN//平面BDE，从而FM//平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点,且CG=λCF,λ∈[0，．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG⊥DE, 4=．CF918．（Ⅰ）当a=0时，f（x）（-x2+2x）e-x,由此能求出曲线y=（x）在点（-1，f(-1))处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈[0，，存在s∈[0，使得（s）（t）成立”,等价于“在区间[0，上，（x）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出（x）在[0，上的最大值为g = ' = = ' + (4k - 1) 20．（Ⅰ）由于 A =（10101，），B =（01110，）,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b |,求 d （A ，B ）的值． ，，， ，，，（2） 1．f （x ） e - （x - 2）（x + a ），令f （x ） 0，得x = 2，或x = -a ．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数 a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知 b = 3，c = 1，a = b + c = 4 ,即可求得椭圆方程；222（Ⅱ）由“点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分∠MFB ”设直线 A M 的方程,代入椭圆方程 , 由 韦 达 定 理 求 得 M 点坐标，分类讨论，当 MF ⊥ x 轴时，求得 k 的 值 , 即 可 求 得N 和E 点坐标，求得点E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,则 EF 平分∠MFB ,当 k ≠ 12时,即可求得直线 MF 的斜率及方程 ,利用点到直线的距离公式 ,求得 d = | 8k + 2k (4k 2 - 1)- 4k|16k 2 2 2=| BE | ,则点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n iii =1（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数 j 使得 A = (0,0,j12个,0) , A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的 m ．j-15-/15。

2017年北京市海淀区高考数学零模试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．{0}2．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=2﹣x C．y=D．y=|log0.5x|3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．154．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．设为两个非零向量，则“?=|?|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设不等式组表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．（1，3]B．[3，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）A．B． C．D．8．已知函数f（x）满足如下条件：①任意x∈R，有f（x）+f（﹣x）=0成立；②当x≥0时，f（x）=（|x﹣m2|+|x﹣2m2|﹣3m2）；③任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立．则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．10．抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离是．11．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB=b，则角A 等于．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2，若数列{b n}满足b n=10﹣log2a n，则使数列{b n}的前n项和取最大值时的n的值为．13．小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有种．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M 在棱DD1上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面所围成的较小的几何体的体积等于．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP 的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．17．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170P m0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：X012ξ241.2117.6204.0（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求ξ2的分布列；（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=﹣3上任意一点，过点F作直线PF 的垂线交椭圆C于M，N，记d1，d2分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d1=d2．19．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．20．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1=a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：a n≤2a1+a2+…+a n﹣1（n≥2）；（Ⅲ）若a n=72，求数集A中所有元素的和的最小值．2017年北京市海淀区高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，∵N={﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}．故选：B．2．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=2﹣x C．y=D．y=|log0.5x|【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，进行判断即可．【解答】解：对于A，f（﹣x）=（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx，是奇函数；对于B，非奇非偶函数；对于C，f（﹣x）==，是偶函数；对于D，非奇非偶函数．故选C．3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值∵S=0+20+21+22+23=15，故选D．的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）4．在极坐标系中圆ρ=2cosθA．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．5．设为两个非零向量，则“?=|?|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论．【解答】解：若?=|?|，则||?||cos＜，＞=|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞=|cos＜，＞|，则cos ＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞=π，cos＜，＞=﹣1，此时?=|?|不成立，即必要性不成立，故“?=|?|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．设不等式组表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．（1，3]B．[3，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=log a x（a＞1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由a＞1，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由，解得A（3，1），此时满足log a3≤1，解得a≥3，∴实数a的取值范围是：[3，+∞），故选：B．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P﹣ABC，直观图如图所示：由图得，PA⊥平面ABC，，，，，则，在△PBC中，，由余弦定理得：，则，所以，所以三棱锥中，面积最大的面是△PAC，其面积为，故选B．8．已知函数f（x）满足如下条件：①任意x∈R，有f（x）+f（﹣x）=0成立；②当x≥0时，f（x）=（|x﹣m2|+|x﹣2m2|﹣3m2）；③任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立．则实数m 的取值范围（）A．B．C．D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】化简f（x）在[0，+∞）上的解析式，根据f（x）的奇偶性做出函数图象，根据条件③得出不等式解出．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）是奇函数．当m=0时，f（x）=x，显然符合题意．当m≠0时，f（x）在[0，+∞）上的解析式为：f（x）=，做出f（x）的函数图象如图所示：∵任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立，∴6m2≤1，解得﹣≤m≤．故选A．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）10．抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线y2=8x的焦点坐标、双曲线的渐近线，即可求出结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0）到双曲线的渐近线y=x的距离是d==，故答案为．11．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于60°．。

【全国区级联考】北京市海淀区2017届高三5月期末练习（二模）数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若集合，或，则A．B．C．D．2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为A．B．C．D．3. 已知向量，若，则A．B．C．D．4. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的为A．B．C．D．5. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. 某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度7. 函数的图象如图所示,则的解析式可以为A．B．C．D．8. 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字A．4，6 B．3，6 C．3，7 D．1，7二、填空题9. 双曲线的实轴长为_____.10. 在这三个数中最大的数是_____.11. 在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则其最大内角的余弦值为________．12. 设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____.13. 已知为原点，点为直线上的任意一点. 非零向量.若恒为定值，则_____.三、双空题14. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点.当在平面上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为.(i) 当时，____（填“>”或“=”或“<”）；(ii) 的最大值为____.四、解答题15. 已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值.16. 已知是各项为正数的等差数列,为其前项和,且. （Ⅰ）求,的值及的通项公式;（Ⅱ）求数列的最小值.17. 为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.图中，课程为人文类课程，课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组”）.（Ⅰ）在“组”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组”中选择课程或课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择课程的学生中有人参加科学营活动，每人需缴纳元，选择课程的学生中有人参加该活动，每人需缴纳元.记选择课程和课程的学生自愿报名人数的情况为，参加活动的学生缴纳费用总和为元.①当时，写出的所有可能取值；②若选择课程的同学都参加科学营活动，求元的概率.18. 如图，在四棱锥中, 底面为菱形，平面，点在棱上.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若平面，求证：；（Ⅲ）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时, 求函数在区间上的最大值.20. 已知,分别是椭圆:的左、右焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若分别在直线和上，且.(ⅰ) 当为等腰三角形时,求的面积；(ⅱ) 求点, 到直线距离之和的最小值.。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A B Uð等于（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o，则2z 等于（ ） A.734i - B.134i - C.734i + D.134i + 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（ ） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（ ） A.-2 B. 2 C. -1 D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（ ）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥ 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是 （ ） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n VD ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ， 且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（ ） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(,)x y 的概率是 . 10.522()x x+的展开式中2x 的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答) 11.若数列}{),,(11}{*1n nn n a d N n d a a a 则称数列为常数满足∈=-+为调和数列。